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高三第二次月考数学(理)试卷答案


银川一中 2009 届高三第二次月考试题解答

数学

(理)

2008.9.28

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C B A D D A C A D B

C B 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 13.

1 . 2

14. y ? x ? z .

15.①②④.

16. 两组相对侧面分别平行;一组相对侧面平行且全等;对角线交于一点; 底面是平行四边形. 注:上面给出了四个充要条件.如果考生写出其他正确答案,同样给分. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)
2 解: (1)当 a ? 2 时, f ( x ) ? x ?

2 2 2 , f ( x ? 1) ? ( x ? 1) ? ,………2 分 x x ?1

2 2 ? ( x ? 1) 2 ? > 2x ?1 , ………3 分 x x ?1 2 2 得 ? > 0 , x( x ? 1) < 0 , 0 < x < 1 ………5 分 x x ?1 ∴原不等式的解为 0 < x < 1 ; ………………6 分 (2) f ( x ) 的定义域为 (??, ? (0,+?), ………………7 分 0) 2 2 2 当 a ? 0 时, f ( x) ? x , f (? x) ? (? x) ? x ? f ( x) , 所以 f ( x ) 是偶函数. ………………9 分 2a ?0 当 a ? 0 时, f ( x) ? f (? x) ? 2 x2 ? 0( x ? 0) , f ( x ) ? f ( ? x ) ? x 所以 f ( x ) 既不是奇函数,也不是偶函数. ………………12 分
由 x ?
2

18. (本小题满分 12 分) 证明: 由多面体 PABCD 的三视图知, 四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的正 方形,侧面 PAD 是等腰三角形, PA ? PD ? 且平面 PAD ? 平面 ABCD .……2 分 (1) 连结 AC ,则 F 是 AC 的中点, 在△ CPA 中, EF // PA ,………4 分 且 PA ? 平面 PAD , EF ? 平面 PAD , ∴ EF ∥平面 PAD ………6 分 (2) 因为平面 PAD ⊥平面 ABCD , 平面 PAD ∩平面 ABCD ? AD , 又 CD ⊥ AD ,所以, CD ⊥平面 PAD , ∴ CD ⊥ PA …………8 分
1

2,

P E D F A B

C

又 PA ? PD ? 且 ?PAD ?

,即 PA ? PD ………………10 分 2 又 CD ? PD ? D , ∴ PA ? 平面 PDC , 又 PA ? 平面 PAD , 所以 平面 PAD ⊥平面 PDC ………………12 分 19. (本小题满分 12 分) 解: (1)投资为 x 万元,A 项目的利润为 f (x) 万元,B 项目的利润为 g (x) 万元。 由题设 f ( x) ? k1 x, g ( x) ? k 2 x.

?

2 , AD ? 2 ,所以△ PAD 是等腰直角三角形,

1 1 , 故k1 ? . ……………………2 分 4 4 5 5 又 g ( 4) ? , ? k 2 ? . …………………………4 分 2 4 1 5 x ( x ? 0) ………………6 分 从而 f ( x) ? x( x ? 0), g ( x) ? 4 4 1 5 10 ? x (0 ? x ? 10) (2) h( x) ? f ( x) ? g (10 ? x) ? x ? 4 4 10 ? t 2 5 ? t 令 t ? 10 ? x , 则y ? 4 4 1 5 65 ? ? (t ? ) 2 ? (0 ? t ? 10). ……………………10 分 4 2 16 5 65 , 此时 x ? 3.75 ……………………11 分 当 t ? 时, h( x) max ? 2 16
由图知 f (1) ? 答:当 A 项目投入 3.75 万元,B 项目投入 6.25 万元时,最大利润为

65 万元. 16

………………12 分 20. (本小题满分 12 分) 解:(1) K AB ?

3 ? 3 ?0 , ……2 分 ? ? 3 ,? K BC ? 3 0 ? (?1)

3 x ,当 y ? 0, 得 x ? 3 ,即点 C (3,0) ,………………3 分 3 所以, ?ABC 的外接圆 M 的圆心 M (1,0) ,半径 r ? 2 .
直线 BC 的方程是 y ? 3 ? 圆 M 的方程是 ( x ? 1) ? y ? 4 ……………………6 分
2 2

(2) 直线 l 的方程可化为 y ?

m2 ? 1 m2 ? 1 m2 ? 1 x? ,令 k ? , m m m 则 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,则直线 l 恒过圆 M 上的定点 A(?1,0) ,且斜率存在, 则直线 l 与圆一定相交. ……………………7 分
2

1 2 m2 ? 1 ( m ? 1) ,所以 | k |? ? 2 ,当且仅当 m ? 1 时等号成立. 2 |m| 2|k | 圆心 M (1,0) 到直线 l 的距离 d ? . ··········· ··········· ·· 9 分 ··········· ·········· ··· ·········· ··········· ··· 1? k 2 r 2|k | 2 4 由 | k |? 2 , d ? ,即 d ? .从而圆 M 截直线 l 所得的 ? ? 2 1 5 1? k 2 1? 2 k 2? 弦所对的圆心角小于 .……………………11 分 3 1 所以 l 不能将圆 M 分割成弧长的比值为 的两段弧. ·················· 12 分 ··········· ······· ·········· ········ 2
因为 m ≤ 21. (本小题满分 12 分) 解: (I)因为二次函数 f ( x) ? 3ax2 ? 2(a ? c) x ? c 的图象的对称轴 x ? 由条件 a ? c ? 0 ,得 2a ? a ? c, 故

即二次函数 f (x) 的对称轴在区间 [1,??) 的左边,且抛物线的开口向上, 故 f (x) 在 [1,??) 是增函数. …………………4 分

a ? c 2a 2 ? ? ? 1, …………………2 分 3a 3a 3

a?c , 3a

2 2 若 f ( x) ? c ? 2c ? a , 对 x ? [1,??) 恒 成 立 , 则 f ( x) min ? f (1) ? c ? 2c ? a , 即

a ? c ? c 2 ? 2c ? a, 得 c 2 ? c ? 0,? 0 ? c ? 1. …………………6 分 (II)①若 f (0) ? f (1) ? c ? (a ? c) ? 0 ,即 c ? 0, 或 a ? c ,二次函数 f (x) 在 (0,1) 只有
一个零点. …………………8 分 ② f (0) ? c ? 0, f (1) ? a ? c ? 0 ,即 a ? c ? 0, 因为
2 二次函数 f ( x) ? 3ax ? 2(a ? c) x ? c 图象的对称轴是 x ?

a?c . 3a

a?c a 2 ? c 2 ? ac )?? ? 0, …………………10 分 3a 3a a?c a?c ) 和( ,1) 内分别有一零点. 所以函数 f (x) 在区间 (0, 3a 3a 故函数 f (x) 在区间 (0,1) 内有两个零点. …………………12 分
而 f( 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲. 解: (1)∵ AB 是⊙ O 的一条切线,∴AB ? AD ? AE .
2

2 又∵AC ? AB ,∴ AC ? AD ? AE …………………5 分

(2)∵AC ? AD ? AE ,∴
2

AC AE ? , AD AC

又∵?DAC ? ?CAE , ∴?CAD ~ ?EAD .
3

∴?ACD ? ?AEC . 又∵ 四边形 DEGF 是⊙ O 的内接四边形, ∴?CFG ? ?AEC . ∴?ACD ? ?CFG , ∴FG // AC .…………………10 分 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程.

? ? ? 3 t ?x ? 1? ? x ? 1 ? t cos 6 ? ? 2 .………………5 分 解 (1)直线 l 的参数方程为 ? ,即 ? ? y ? 1 ? t sin ? ? y ? 1? 1 t ? ? 6 ? ? 2 ? 3 t ?x ? 1? ? 2 代入 x 2 ? y 2 ? 4 , (2)把直线 ? ? y ? 1? 1 t ? ? 2 3 2 1 得 (1 ? t ) ? (1 ? t )2 ? 4, t 2 ? ( 3 ? 1)t ? 2 ? 0 , t1t2 ? ?2 , 2 2 则点 P 到 A, B 两点的距离之积为 2 .……………………10 分
24. (本小题满分 10 分)选修 4 ? 5 ;不等式选讲. 解.(Ⅰ)令 y ? 2x ?1 ? x ? 4 ,则

1 ? x≤? , ? ? x ? 5, 2 ? 1 ? y ? ?3 x ? 3, ? ? x ? 4, ....... 分 ........3 2 ? ? x ? 5, x ≥ 4. ? ? 作出函数 y ? 2x ?1 ? x ? 4 的图象,
2) 它与直线 y ? 2 的交点为 (?7, 和 ? ,? . 2

?5 ?3

? ?

O 1 ? 2

所以 2x ?1 ? x ? 4 ? 2 的解集为 (? x, 7) ? ? , x ? .…………………5 分 ? ? (Ⅱ)由函数 y ? 2x ?1 ? x ? 4 的图像可知,当 x ? ? 小值 ?

?5 ?3

? ?

1 时, y ? 2x ?1 ? x ? 4 取得最 2

9 .…………………10 分 2

4


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