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山东省济宁市汶上一中2012-2013学年高一12月质检 数学


汶上一中 2012-2013 学年高一 12 月质量检测 数学
一、选择题( 本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中只有一 个选项是符合题目的要求) 1. 已 知 集 合 U ? x ? Z ?4 ? x ? 4

?

?

, A ? ??1,0,2,3? , B ?

??2,0,1,2? , 则

(CU A ) C( ) UB ? (
A. ??3, ?2,1 ?

) B. ??3, ?1,3? C.
1

??3, ?2, ?1,1,3?
? ? ? ?
B =(

D. ??3?

.

2.

若集合 A ? x y ? log 2 (2 x ? 1) , B ? ? y y ? 2 x ? ,则 A

?

?

? ? ? ?



A. ? x x ?

? ?

1? ? 2?

B. ? x x ?

? ?

1? ? 2?

C. ? y

? 1 ? ? y ? 1或y ? 1? ? 2 ?

D. y 0 ? y ? 1或y ? 1

?

?

3.已知关于 x 的二次函数 f ( x) ? 3x2 ? 2mx ? log2 27在区间 ( ??, 2) 上是单调函数,则 m 的取值范围是( ) B. ? 6, ?? ? C. (0, ??) D. ? ??,6? A. ? ??, ?12? ? ?6, ??? 4.函数 y ? sin ? 2 x ?

? ?

π? ? π ? ? 在区间 ? ? ,π ? 的简图是( 3? ? 2 ?
y
1



y
? ? 3

1
? 6

? ? 2

O
?1

?

x

?

? ?? O 3 2

?1

? 6

? x

A.

B.

y

y
?
? 3

1
? ? 2

?

? O ? 6

x

?

?1

? 2

? 6

1
? 3

O

?

x

?1
D.

C. 5. sin(?4200 ) cos 2100 的值等于( )
-1-

A.

3 4

B.

?

3 4

C. ) C.

3 4

D.

?

3 4

6.设 2a ? 5b ? m ,且 A.

1 1 1 ? ? ,则 m ? ( a b 2

10

B.

10

20

D. 100 ) D.等腰直角三角形

7.在 ?ABC 中,若 sin( A ? B ? C ) ? sin( A ? B ? C ) ,则△ABC 必是( A. 等腰或直角三角形 B.直角三角形 8.把函数 y ? sin(2 x ? A. y ? sin(2 x ? C. 等腰三角形

?
3

) 的图象向右平移

?
3

)

? 个单位得到的函数解析式为( ) 3 ? B. y ? sin(2 x ? ) C. y ? cos 2 x D. y ? ? sin 2 x 3
? ? 1? ?

9. 函数 y ? sin x 的定义域为 ?a , b? ,值域为 ?? 1 , ? ,则 b ? a 的最大值与最小值之和等于 2 ( A. 2? ) B.

8? 3

C. 4?

D.

4? 3

10.已知函数 f ?x ? ? x ? sin x 的图像是下列两个图像中的一个,请你选择后再根据图像做出下 面 的 判 断 : 若 x1 , x 2 ? ? ?

? ? ?? , ? 且 ? 2 2?
y
0

f ?x1 ? ? f ?x2 ?,则(
A. x1 ? x 2 C. x1 ? x 2

) 。 B. x1 ? x2 ? 0
2 2 D. x1 ? x2

y x
0

x

11.若函数 y ? x2 ? 2x ? 2 在闭区间 ? m,1? 上有最大值 5,最小值 1,则 m 的取值范围是( ) A. ??1,1? B. ?? 1,??? C. ? ?3,0? D. ??3, ?1?

12. 已知定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 满足下列条件: ①对任意的 x ? R 都有 f ( x ? 2) ? f ( x) ; ②若 0 ? x1 ? x2 ? 1 ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ;③ y ? f ( x ? 1) 是偶函数,则下列不等式中正确的是() A. f (7.8) ? f (5.5) ? f (?2) B. f (5.5) ? f (7.8) ? f (?2) C. f (?2) ? f (5.5) ? f (7.8) D. f (5.5) ? f ( ?2) ? f (7.8) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在答题卡对应题横线上。 )

-2-

13.cos( -

23? 17? )与cos( - ) ,其大小为 5 4



14. 已知函数 f ( x) ? 3x ? x, g ( x) ? log3 x ? 2, h( x) ? log3 x ? x 的零点依次为 a, b, c , 则 a, b, c 的大小关系是 .

15 . 已 知 函 数 f ( x) ? ln( x 2 ? 1 ? x) , 若 实 数 a , b 满 足 f ( a ? 1) ? f (b ) ? 0 ,则 a ? b 等 于 。 16.某同学在研究函数 f ( x) ?

x ( x ? R ) 时,分别给出下面几个结论: 1? x

①等式 f (? x) ? ? f ( x) 在 x ? R 时恒成立;②函数 f ( x) 的值域为(-1,1);③若 x1 ? x 2 , 则一定有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ;④方程 f ( x) ? x 在 R 上有三个根,其中正确结论的序号 有 .(请将你认为正确的结论的序号都填上)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明或演算步骤) 17. (本小题满分 10 分) 函数 f ( x) ? 4 sin(
2x ? ? )?2 3 6

(1)当 x ? [0, ? ] ,求 f ( x) 的值域 (2) 求 f ( x) 的增区间,并求出当 x ? [0, ? ] ,求 f ( x) 的增区间.

18. (本小题满分 12 分) 有一批某家用电器原销售价为每台 800 元,在甲、乙两家家电商场均有销售。甲商场用如下 方法促销:买一台单价 800 元,买两台每台单价 780 元,以此类推,每多买一台则所买各台 单价均再减少 20 元,但每台最低不能低于 460 元;乙商场一律打八折。某单位购买一批此类 电器,问去哪家商场购买花费较少?

19. (本小题满分 12 分)

-3-

已知函数 f ( x ) ? 2 sin( 2 x ?

?
6

)?a

a ? R, a是常数

(1)求 f (

5? ) 的值 3

(2)若函数 f ( x) 在 ??

? ? ?? , ? 上的最大值与最小值之和为 3 ,求实数 a 的值.(12 分) ? 4 4?

20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a ? 2b sin( x ? 的最大值为 2 2 ? 1. (1)求 f ( x) 的解析式; (2)由 y ? sin x 的图象经过怎样的变换可得到 f ( x) 的图象.

?
4

) (b ? 0)

图象经过点 A (

?

,1) . 当 x ? [0, ] 时,f ( x) 2 2

?

21. (本小题满分 12 分) 设 f ( x) ? log 1

1 ? ax 为奇函数, a 为常数. 2 x ?1

(1) 求 a 的值; (2) 证明: f ( x) 在区间(1,+∞)内单调递增; (3) 若对于区间[3,4]上的每一个 x 的值,不等式 f ( x) > ( ) ? m 恒成立,求实数 m 的取
x

1 2

值范围.

-4-

22.(本小题满分 12 分)

?? ? 已知函数 f ? x ? ? 2cos ? ? x ? ? (其中 ? ? 0 x ? R )的最小正周期为 10? . 6? ?
(1)求 ? 的值;

5 ? 6 5 ? 16 ? ?? ? ? (2)设 ? 、 ? ? ?0, ? , f ? 5? ? ? ? ? ? , f ? 5? ? ? ? ? ,求 cos? cos ? ? sin ? sin ? 的 3 ? 5 6 ? 17 ? 2? ? ?
值. (3)求

f ? x ?的单调递增区间;

参考答案: 1-5 DCBAC 6-10 DADAD 11-12 DB
-5-

13.

cos( ?

17 23 ? ) ? cos( ? ) 4 5
15 .1 16. ①②③
2 ? ? 5? 2 ? 1 x ? ?[ , ] ? sin( x ? ) ? [ , 1] 3 6 6 6 3 6 2

14. a<b<c

17.解: (1)当 x ? [0, ? ] , 故 f ( x) ? 4 sin(

2x ? ? ) ? 2 ? [0 , 2] ,故 f ( x) 的值域为 [0 , 2] 3 6 2x ? ? ) ? 2 的递增区间: 3 6 k ? Z 即 ? ? ? 3k? ? x ?

(2) f ( x) ? 4 sin(
?

?
2

? 2k? ?

2x ? ? ? ? ? 2k? 3 6 2

?
2

? 3k?

k ?Z

f ( x) ? 4 sin( ? ) ? 2 [0 , ] 3 6 2 所以当 x ? [0, ? ] 时, 的递增区间是

2x

?

?

18 解: 设购买 x

( x ? N ? ) 台影碟机,由题意可知:

在甲商场购买花费与数量的函数是:
? x?800 ? 20( x ? 1)? 0 ? x ? 18 f ( x) ? ? x ? 18 ?460 x

? ?? 20 x 2 ? 820 x 0 ? x ? 18 即 f ( x) ? ? ? x ? 18 ?460 x

在乙商场购买花费与数量的函数是: g ( x) ? 0.8 ? 800 x ? 640 x x ? 0 所以, 当 0< x ? 18 时, f ( x) ? g ( x) ? ?20 x 2 ? 180 x 当 x ? 9 时, f ( x) ? g ( x) ;当 x ? 9 时, f ( x) ? g ( x) ;当 9 ? x ? 18 时, f ( x) ? g ( x) ; 当 x ? 18 时, f ( x) ? g ( x) ? 460 x ? 640 x ? ?180 x ? 0 , f ( x) ? g ( x) 综上:当 1 ? x ? 9 时在乙商场购买花费较少;当 x ? 9 时,甲乙两商场费用相同;当 x ? 10时, 在 甲商场购买花费较少. 19.解 f (

5? 10? ? ) ? 2 sin( ? )?a ? a?2 3 3 6

因为 x ? ??

? ? ?? , ? ? 4 4?

所以 2 x ?

?

? ? 2? ? ? ?? , ? 6 ? 3 3 ?

sin(2 x ?

?

? 3 ? ) ? ?? ,1? 6 ? 2 ?

所以 ? 3 ? a ? f ( x) ? 2 ? a 即 y max ? 2 ? a 所以 a ?

ymin ? ? 3 ? a

由已知得 ? 3 ? a ? 2 ? a ? 3

3 ?1

-6-

20.解: (1)∵函数图象过点 A(

? ,1) 2

a ?b ?1
∵当 x ? [0,



?
2

]时, f ( x)的最大值为 2 2 ? 1. ∴ 2b ? a ? 2 2 ? 1 ②
联立 ① ②得

?a ? ?1 . ? ?b ? 2

∴ f ( x) ? 2 2 sin( x ?

?
4

) ?1

(2)①把 y ? sin x 图象向左平移 ②再把 f ( x) ? sin( x ? 到 f ( x) ? 2 2 sin( x ?

?
4

? ? 个单位得到 f ( x) ? sin( x ? ) 的图象; 4 4

) 的图象上所有点的纵坐标变为原来的 2 2 倍,横坐标不变,得

?
4

) 的图象

③最后把 f ( x) ? 2 2 sin( x ?

?
4

) 的图象向下平移一个单位,得到

f ( x) ? 2 2 sin( x ?

?
4

) ? 1 的图象

21.(1)∵ f(-x)=-f(x),∴ log 1
2

1 ? ax 1 ? ax x ?1 . ? ? log 1 ? log 1 ?1 ? x x ? 1 1 ? ax 2 2

1 ? ax x ?1 ? ∴ ,即 (1 ? ax)(1 ? ax) ? ?( x ? 1)( x ? 1) ,∴a=-1. ? x ? 1 1 ? ax x ?1 2 (2)由(1)可知 f(x)= log 1 ? log 1 (1 ? ) (x>1) x ?1 2 x ?1 2
2 记 u(x)=1+ ,由定义(略)可证明 u(x)在(1,+∞)上为减函数, x-1

x ?1 在(1,+∞)上为增函数. 2 x ?1 1 x x ?1 (3)设 g(x)= log 1 - ( ) .则 g(x)在[3,4]上为增函数. 2 2 x ?1
∴ f(x)= log 1 ∴g(x)>m 对 x∈[3,4]恒成立,∴m<g(3)=- 22.解析:(1) T ? 9 . 8

2?

1 ? 10? ,所以 ? ? . 5 ?

?1 ? 5 ? 5 ? ?? ?? 6 ? ? (2) f ? 5? ? ? ? ? 2cos ? ? 5? ? ? ? ? ? ? 2cos ? ? ? ? ? ?2sin ? ? ? , 3 ? 3 ? 6? 2? 5 ? ? ?5 ?
所以 sin ? ?

3 . 5

?1 ? 5 ? 5 ? ?? 16 8 ? ,所以 cos ? ? . f ? 5? ? ? ? ? 2cos ? ? 5? ? ? ? ? ? ? 2cos ? ? 6 ? 6 ? 6? 17 17 ? ?5 ?

-7-

4 15 ? ?? 因为 ? 、 ? ? ?0, ? ,所以 cos ? ? 1 ? sin 2 ? ? , sin ? ? 1 ? cos2 ? ? , 5 17 ? 2?
所以 cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ?

4 8 3 15 13 ? ? ? ?? . 5 17 5 17 85

x ? f ( x) ? 2 cos( ? ) (3) 5 6
x ? ? ? 2k? 5 6

由2k? ? ? ?

得单调递增区间 ?10k? ?

? ?

35? 5? ? ,10k? ? ?, k ? Z 6 6?

-8-


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