nbhkdz.com冰点文库

高等代数课件(北大版)第四章 矩阵§4-6

时间:2012-09-22


一、初等矩阵 二、等价矩阵 三、用初等变换求矩阵的逆

2012-9-22

数学与计算科学学院

一、初等矩阵
定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的
矩阵,称为初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等方阵:
? 1 . 对调两行或两列; ? ? 2 . 以数 k ? 0 乘某行或某列; ? 3 . 以数 k 乘某行(列)加到另一 ?

行(列)上去.

§4.6 初等矩阵
2012-9-22

数学与计算科学学院

1、 对调两行或两列

对调 E 中第 i , j 两行,即

( ri ? r j ),得初等方阵

?1 ? ? ? ? 1 ? ? ? ? 0 ? 1 ? ? 1 ? P (i, j) ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? 1 ? 0 ? ? 1 ? ? ? ? ? 1? ?

?第i 行

?第 j 行

(换法矩阵)
§4.6 初等矩阵
2012-9-22 数学与计算科学学院

2 、以数

k ? 0 乘某行或某列

以数 k ? 0 乘单位矩阵的第期 i 行 初等矩阵
?1 ? ? ? ? 1 ? ? P ( i ( k )) ? ? ? k ? ? 1 ? ? ? ? ? 1? ?

( ri ? k ), 得

? 第 i 行

(倍法矩阵)
§4.6 初等矩阵
2012-9-22 数学与计算科学学院

3 、以数 k ? 0 乘某行 ( 列 ) 加到另一行

( 列 ) 上去

以 k 乘 E 的第 j 行加到第 [ 或以 k 乘 E 的第 i 列加到第

i 行上 ( ri ? kr j )

j 列上 ( c j ? kc i ),

?1 ? ? ? ? 1 ? k ? ?? 第 i 行 P ( i , j ( k )) ? ? ? ? ? ?? 第 j 行 1 ? ? ? ? ? 1? ?

(消法矩阵)
§4.6 初等矩阵
2012-9-22 数学与计算科学学院

初等矩阵的性质
1 初等矩阵皆可逆,且 其逆仍为初等矩阵.
P (i, j)
?1

? P ( i , j ),

P ( i ( k ))

?1

? P (i(

1 k

)),

P ( i , j ( k ))

?1

? P ( i , j ( ? k )).

§4.6 初等矩阵
2012-9-22

数学与计算科学学院

2 引理 对任一矩阵 A 作一初等行(列)变换相当于 对 A 左(右)乘一个相应的初等矩阵.
P (i, j) A : A P ( i , j ): P ( i ( k )) A A P ( i ( k ))

对换 A 的 i , j 两行; 对换 A 的 i , j 两列.

:用非零数 k 乘 A 的第 i 列; :用非零数 k 乘 A 的第 i 列.
A : 的第 j 行乘以 k 加到第 i 行 ;

P ( i , j ( k )) A A P ( i , j ( k ))
2012-9-22

:A 的第 i 列乘以 k 加到第 j 列.
数学与计算科学学院

§4.6 初等矩阵

二、等价矩阵
定义 若矩阵B可由A经过一系列初等变换得到,
则称A与B等价的.(也称A与B相抵) 注: ① 矩阵的等价关系具有: 反射性、对称性、传递性. ②
2012-9-22

等价矩阵的秩相等.
数学与计算科学学院

§4.6 初等矩阵

矩阵等价的有关结论
1) 定理5
? 1 ? ? ? ? 0 ?? ? ? 0

任一 s ? n 矩阵 A 都与一形式为
? ? 0 ? ? 1 0 ? 0 0 ? ? ? ? 0 0 ? ? ? ? ? ? 0 ? 0 0 ? 0 ? ? ? ? Er 0? ?? ? ? 0 0? ? ? ? ?

的矩阵等价,称之为 A 的标准形, 且主对角线上1 的个数 r 等于R(A)(1的个数可以是零).
§4.6 初等矩阵
2012-9-22 数学与计算科学学院

2) 矩阵A、B等价 存在初等矩阵
P1 , P2 , ? , P s , Q 1 , Q 2 , ? , Q t ,

使

B ? P1 P2 ? P s A Q 1 Q 2 ? Q t .

3) n 级方阵A可逆

A的标准形为单位矩阵E. A与单位矩阵E等价.

4) n 级方阵A可逆 定理6
§4.6 初等矩阵
2012-9-22

A能表成一些初等矩阵的积, 即
A ? Q 1Q 2 ? Q t .

数学与计算科学学院

推论1 两个 s ? n 矩阵A、B等价
存在 s 级可逆矩阵P及 n 级可逆矩阵Q, 使
B ? PAQ .

由此得定理5的另一种叙述: 对任一 s ? n 矩阵A,存在可逆矩阵
? E 0? PAQ ? ? r ? 0 0? ?
Ps? s , Q n ? n

,使

,其中 r ? R ( A ) .

推论2 可逆矩阵可经一系列初等行(列)变换化成 单位矩阵.
§4.6 初等矩阵
2012-9-22 数学与计算科学学院

三、利用初等变换求逆阵
原理:
?1

当 A ? 0时,由
?1 ?1

A ? P1 P2 ? Pl,有
Pl Pl ? 1 ? P1 E ? A
?1 ?1 ?1 ?1

Pl Pl ? 1 ? P1 A ? E , 及 ? Pl Pl ? 1 ? P1
?1 ?1 ?1 ?1 ?1

,

?A E ?
?1 ?1 ?1 ?1

? ? Pl Pl ? 1 ? P1 A Pl Pl ? 1 ? P1 E

?

? ?E

A

?1

?
E 就变成 A
?1

即对 n ? 2 n 矩阵 ( A E ) 施行初等行变换, 当把 A 变成 E 时,原来的
§4.6 初等矩阵
2012-9-22

.

数学与计算科学学院

例1 设

?1 ? A ? ?2 ? ?3 2 2 4 2 ?2 ?2

2 2 4 3 1 3

3? ? ?1 1 ?,求 A . ? 3? 1 0 0 1 ?2 ?3 0 1 0 0? ? 0? ? 1? 0 1 0 0? ? r1 ? r2 0? ? r3 ? r2 1?



?1 ? ?A E ? ? ? 2 ? ?3 1 r2 ? 2 r1 ? ? ?0 r3 ? 3 r1 ? ?0

3 ?5 ?6

§4.6 初等矩阵
2012-9-22

数学与计算科学学院

r1 ? r2

r3 ? r2

?1 0 ? 2 ? 1 1 0? r ? 2r 3 ? ? 1 ?0 ? 2 ? 5 ? 2 1 0? ? ? r 2 ? 5 r3 ?0 0 ? 1 ? 1 ? 1 1? ?1 ? ?0 ? ?0 0 ?2 0 ? 2 ? r ? ? 2) ? 2 ( 0 3 6 ? 5? ( ? r3 ? ? 1) ?1 ?1 ?1 1 ? 0 1 3

r1 ? 2 r3

r 2 ? 5 r3

? 1 0 10 ? r2 ? ? 2) ? ( ? 3 ?1 ? A 0 ?1 ? 0 ? ? r3 ? ? 1) ? ( ? 2 ? 0 0 11 ?
§4.6 初等矩阵
2012-9-22

1 3 3 ? 3 ? 2 1

?3 2 ? ? 2 ? 5 ? 5 ? ? 3 ?. ? 2 ? 2 ? 1 ? 1? ? 1?

数学与计算科学学院

利用初等行变换求逆阵 矩阵 A
?1

的方法,还可用于求

B .
A
?1

?

(A B) ? (E

A

?1

B)



(A B)
初等行变换
E
A B
?1

§4.6 初等矩阵
2012-9-22

数学与计算科学学院

例2 求矩阵 X , 使 AX ? B ,其中
?1 ? A ? ?2 ? ?3 2 2 4 3? ? 1 ?, ? 3?
X ? A

?2 ? B ? ?3 ? ?4
?1

5? ? 1 ?. ? 3?



若 A 可逆,则

B.

?1 ? (A B) ? ?2 ? ?3

2 2 4

3 1 3

2 3 4

5? ? 1? ? 3?

§4.6 初等矩阵
2012-9-22

数学与计算科学学院

r2 ? 2 r1

r3 ? 3 r1
r1 ? r2

?1 ? ?0 ? ?0 ?1 ? ?0 ? ?0 ?1 ? ?0 ? ?0

2 ? 2 ? 2 0 ? 2 0 0 ? 2 0

3 ?5 ?6 ? 2 ?5 ?1 0 0 ?1

2 ?1 ? 2 1 ?1 ?1 3 4 ?1

5 ? ? ?9 ? ? ? 12 ? ? 4? ? ? 9? ? ? 3? 2 ? ? 6 ? ? ? 3?

r3 ? r2
r1 ? 2 r3

r 2 ? 5 r3
§4.6 初等矩阵
2012-9-22

数学与计算科学学院

r1 ? 2 r3

r 2 ? 5 r3

?1 ? ?0 ? ?0

0 ? 2 0 0 1 0 0 0 1

0 0 ?1 3 ? 2 1

3 4 ?1

2 ? ? 6 ? ? ? 3?

r2 ? ? 2) ? 1 ( ? ?0 r3 ? ? 1) ? ( ?0

2 ? ? ? 3 ?, ? 3 ?

?

? 3 ? X ? ?? 2 ? ? 1

2 ? ? ? 3 ?. ? 3 ?

§4.6 初等矩阵
2012-9-22

数学与计算科学学院

如果要求 Y ? CA ? A ? 列变换 ? ? ?C?
也可改为对
T

?1

, 则可对矩阵

? A? ? ? 作初等列变换, ?C ?
?1

? E ? ? ?, ?1 ? CA ?
T T

即可得 Y ? CA

.

( A , C ) 作初等行变换,
T

(A ,C ) 即可得 Y
T

列变换
?1 T T T ?1

( E , ( A ) C ), ) C ? (A ) C ,
T

T

?1

T

? (A

即可求得
§4.6 初等矩阵
2012-9-22

Y.
数学与计算科学学院

思考题
?1 ? 将矩阵 A ? ? 2 ? ?0 的乘积 . 0 0 ?1 0 ? ? ? 1 ? 表示成有限个初等方阵 ? 0 ?

§4.6 初等矩阵
2012-9-22

数学与计算科学学院

解 A可以看成是由3阶单位矩阵 E 经4次初等变换,
r2 ? r3 , c1 ? 2 c 3 ,

? ? 1 ? r3 ,

? ? 1 ?c 3

? A ? P3 P1 E P2 P4 ? P3 P1 P2 P4 .

?1 ? P1 ? ? 0 ? ?0 ?1 ? P3 ? ? 0 ? ?0
2012-9-22

0 0 1 0 1 0

0? ? 1 ?, ? 0? 0 ? ? 0 ?, ? ? 1?

?1 ? P2 ? ? 0 ? ?2 ?1 ? P4 ? ? 0 ? ?0
数学与计算科学学院

0 1 0 0 1 0

0? ? 0 ?, ? 1? 0 ? ? 0 ?. ? ? 1?

§4.6 初等矩阵


赞助商链接

高等代数 第四章 矩阵练习题参考答案

搜 试试 7 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS ...高等代数 第四章 矩阵练习题参考答案_理学_高等教育...? ?4 6 ? ?1 3 5 ? ? , B ? ?2 4 6...

高等代数北大版教案-第6章线性空间

高等代数北大版教案-第6章线性空间_理学_高等教育_...tnn ? 定义 4.11 我们称矩阵 ? t11 t12 ? t1n...高等代数课件(北大版)第... 26页 免费 高等...

北大高等代数1-23

高等代数北大版4-1 6页 免费 高等代数【北大...北大精品课件高等代数(下) 80页 免费 北大精品课件...(第二章 §2) 矩阵的行秩与列秩,行(列)初等...

高等代数(北大版)第6章习题参考答案

搜 试试 7 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 教育专区 高等教育 ...矩阵作成的数域 P 上的空间;3)第 3 题 8)中的空间;4)实数域上由矩阵 ...

北大高等代数1-26

搜 试试 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS ...高等代数北大版4-1 6页 免费 高等代数【北大...(第二章 §2) 矩阵的行秩与列秩,行(列)初等...

[高等代数(下)课外习题 第四章 矩阵]

搜 试试 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS ...高等代数 第四章 矩阵练习... 12页 2财富值 大学...( 4、 n 阶矩阵 A 可逆,则 A * 也可逆。( ...

高等代数第三章,第四章

高等代数教案(北大版)第二... 18页 免费 北大精品课件高等代数(下) 80页 免费...2 1 4 E ? 1 2 E , 即证 B 2 ? E。 10.矩阵称 A 为对称的,如...

北大高等代数1-27

搜 试试 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS ...高等代数北大版4-1 6页 免费 高等代数【北大...(第二章 §2) 矩阵的行秩与列秩,行(列)初等...

北大高等代数1-28

搜 试试 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS ...高等代数北大版4-1 6页 免费 高等代数【北大...(第二章 §2) 矩阵的行秩与列秩,行(列)初等...

北大高等代数1-19

高等代数北大版4-1 6页 免费 高等代数【北大...北大高等代数1-30 3页 免费 北大精品课件高等代数(...(第二章 §2) 矩阵的行秩与列秩,行(列)初等...

更多相关标签