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题型最全的递推数列求通项公式的习题


递推数列通项公式求法
各种数列问题在很多情形下,就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中,数列通项公式的求解问题往往是解决 数列难题的瓶颈。现总结出几种求解数列通项公式的方法。 类型 1

an ?1 ? an ? f (n)

解法:把原递推公式转化为 an?1 ? an ? f (n) ,利用累加法(逐差

相加法)求解。 例 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 类型 2

1 1 , a n ?1 ? a n ? 2 ,求 an 。 2 n ?n

an?1 ? f (n)an
an?1 ? f (n) ,利用累乘法(逐商相乘法)求解。 an

解法:把原递推公式转化为 例:已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 类型 3

2 n a n ,求 an 。 , a n ?1 ? 3 n ?1

。 an?1 ? pan ? q (其中 p,q 均为常数, ( pq( p ? 1) ? 0) )

解法(待定系数法) :把原递推公式转化为: an?1 ? t ? p(an ? t ) ,其中 t ? 例:已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 3 ,求 an . 类型 4

q ,再利用换元法转化为等比数列求解。 1? p

。 an?1 ? pan ? q n (其中 p,q 均为常数, ( pq( p ? 1)(q ? 1) ? 0) )

(或 an?1 ? pan ? rqn ,其中 p,q, r 均为常数) 。

解法:一般地,要先在原递推公式两边同除以 q n?1 ,得: 系数法解决。 例:已知数列 ?an ? 中, a1 ?

an?1 p an 1 a p 1 ) ,得: bn?1 ? bn ? 再待定 ? ? n ? 引入辅助数列 ?bn ? (其中 bn ? n n ?1 n q q q q q q q

5 1 1 n ?1 , a n ?1 ? a n ? ( ) ,求 an 。 6 3 2

类型 5 递推公式为 an?2 ? pan?1 ? qan (其中 p,q 均为常数) 。 解法:先把原递推公式转化为 an?2 ? san?1 ? t (an?1 ? san ) 其中 s,t 满足 ?

?s ? t ? p ?st ? ?q
2 1 a n ?1 ? a n ,求 an 。 3 3

例:已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a2 ? 2 , a n ? 2 ?

类型 6 递推公式为 S n 与 an 的关系式。(或 Sn ? f (an ) ) 解法:这种类型一般利用 a n ? ? 去 an 进行求解。 例:已知数列 ?an ? 前 n 项和 S n ? 4 ? a n ?

?S1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(n ? 1) 与 an ? S n ? S n?1 ? f (an ) ? f (an?1 ) 消去 S n (n ? 2) 或与 S n ? f (S n ? S n?1 ) (n ? 2) 消 ?S n ? S n ?1 ? ? ? ? ? ? ? (n ? 2)

1 2
n?2

.求 an?1 与 an 的关系; (2)求通项公式 an .

、 0,a ? 0) 类型 7 an?1 ? pan ? an ? b ( p ? 1
解法:这种类型一般利用待定系数法构造等比数列,即令 an?1 ? x(n ? 1) ? y ? p(an ? xn ? y) ,与已知递推式比较,解出 x, y , 从而转化为

?an ? xn ? y?是公比为 p 的等比数列。
例:设数列 ?an ? : a1 ? 4, an ? 3an?1 ? 2n ? 1, (n ? 2) ,求 an .
r 类型 8 an?1 ? pan ( p ? 0, an ? 0)

解法:这种类型一般是等式两边取对数后转化为 an?1 ? pan ? q ,再利用待定系数法求解。 例:已知数列{ an }中, a1 ? 1, a n ?1 ? 类型 9 a n?1 ?

1 2 ? a n (a ? 0) ,求数列 ?an ? 的通项公式 . a

f ( n) a n 解法:这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为 an?1 ? pan ? q 。 g ( n) a n ? h( n)

例:已知数列{an}满足: an ?

an?1 , a1 ? 1 ,求数列{an}的通项公式。 3 ? an?1 ? 1

类型 10 周期型

解法:由递推式计算出前几项,寻找周期。

例:若数列 ?an ? 满足 a n ?1

1 ? 2a n , (0 ? a n ? ) ? 6 ? 2 ?? ,若 a1 ? ,则 a 20 的值为___________。 7 ?2a ? 1, ( 1 ? a ? 1) n n ? 2 ?


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