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4.2.1直线与圆的方程的应用

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例4。如图是某圆拱桥的一孔圆拱示意图.该圆 拱跨度AB=20m,拱高OP=4m,在建造时每隔4 m需要用一个支柱支撑,求支柱A2P2 的长度 (精确到0.01m). P2 y P x A A1 A2 O A3 A4 B 解:建立坐标系如图所示.圆心的坐标 P 是(0,b),圆的半径是r,那么 x 圆的方程是: x2+(y-b)2=r2 A A A O A A B 因为P、B都在圆上,所以: 1 2 3 4 把P2的横坐标x=-2代入得: 2 2 2 例1。如图是某圆拱桥的一孔圆拱示意图 . 该圆 例 5 如图是圆拱桥的一孔圆拱示意图 . 该圆拱 拱跨度AB=20 m,拱高 OP=4 m,在建造时每隔 AB=20 m,拱高 OP=4 m,在建造时每隔 4 4m m需要用一个支柱支撑,求支柱 A2P2 的长度 需要用一个支柱支撑,求支柱 A2P2的长度 . (精确到0.01m). y P2 ? 0 ? ( 4 ? b) ? r ? ?10 ? (0 ? b) ? r 2 2 (-2)2+(y+10.5)2=14.5 2 2 解得:y ≈3.86(m) 答:支柱A 2P 2的长度约为 3.86(m) 解得:b=-10.5,r2=14.5 2 所以这个圆的方程是: 思考:若不建立坐标系,能解决这个 问题吗? 练习 ? 课本132页 ? 2、3 已知内接于圆的四边形的 对角线互相垂直. 求证:圆心到一边的距离等于 这条边所对边长的一半。 例2. B 2 M -5 A 5 C O N -2 o’ E D -4 设A?a,0?、B?0,b?、C?c,0? D?0,d? -6 -8 过四边形ABCD外接圆的圆心O’ 分别作AC,BD,AD的垂线,垂足分别为 M,N,E,则M,N,E分别是线段AC,BD, AD的中点。由中点坐标公式,得 xo ' ? xM a ?c ? ,y 2 b?d a d O ' ? yN ? , xE ? , yE ? 2 2 2 2 2 1 2 2 ?a c a? ?b d d ? 所以 | O ‘E |? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? b ?c 2 ?2 2 2? ?2 2 2? 又 BC ? b 2 ? c 2 1 所以 O ' E ? BC 2 坐标法解决平面几何问题的“三步 曲” ? 第一步:建系,几何问题代数化; ? 第二步:解决代数问题; ? 第三步:还原结论。 ? 例3.(BP132.4) 等边三角形ABC中,点D,E 分别在边BC,AC上,且 |BD| =1/3 |BC| , |CE| =1/3 |CA| ,AD,BE相交于点P。 ? 求证:AP ⊥ CP ?

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