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广东省深圳市高级中学2015-2016学年高一数学上学期期末考试试题


深圳市高级中学 2015—2016 学年第一学期期末测试 高一数学
本试卷由两部分组成。第一部分:期中前基础知识和能力考查,共 57 分;第二部分:期中后知 识考查,共 93 分。全卷共计 150 分,考试时间为 120 分钟。 1.答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答

案标号涂黑。如需改动用橡皮擦干净后, 再涂其它答案,不能答在试题卷上。 3.考试结束,监考人员将答题卡按座位号、页码顺序收回。 第 I 卷 (本卷共计 57 分) 一.选择题:共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项符合题目 要求的。 1.集合 A ? ?( x, y) y ? 2x ? 1? , B ? ?( x, y) y ? x ? 3? ,则 A ? B ? A. ?2,5?
1

B. [2,5]

C. (2,5)

D. ?(2,5)?

2.若 a ? ln 2 , b ? ? 2 , c ? log 1 e ,则有
2

A. a ? b ? c 3.函数 f ( x) ? ln x ? A. (0,1) 4. 函数 f ( x) ? ? A. ?

B. b ? a ? c

C. b ? c ? a

D. c ? a ? b

2 的零点所在的区间为 x B. (1, 2)
则 f ?f ?

C. (2,3)

D. (3, 4)

?2 x ? 2, x ? 1, ?log 2 ( x ? 1), x ? 1,

? ? 5 ?? ?? ? ? ? 2 ??
C. ?5 D.

1 2

B. ? 1

1 2

5.已知定义域为 R 的偶函数 f ( x ) 在(-∞,0]上是减函数,且 f ( ) ? 2 ,则不等式 f (log4 x) ? 2 的 解集为 A. (0, ) ? (2, ??)

1 2

1 2

B. (2, ??)

C. (0,

2 ) ? ( 2, ??) 2

D. (0,

2 ) 2

二.填空题:共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分,把答案填在答卷卡的相应位置上。 6.计算 (lg
1 ? 1 ? lg 25) ? 100 2 ? 4



1

?1, x ? 0 ? 7.已知 符号函数 sgn( x) ? ?0, x ? 0 ,则函数 f ( x) ? sgn(ln x) ? ln x 的零点个数为 ??1, x ? 0 ?
三.解答题:共 2 小题,共 22 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 8. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ?

a ? ex ,其中 a 为常数. 1 ? ae x

(1)若 a ? 1 ,判断函数 f ( x ) 的奇偶性;

a ? ex (2) 若函数 f ( x) ? 在其定义域上是奇函数,求实数 a 的值. 1 ? ae x

9.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? lg(ax2 ? ax ? 2) ( a ? R ). (1)若 a ? ?1 ,求 f ( x ) 的单调区间; (2)若函数 f ( x ) 的定义域为 R ,求实数 a 的取值范围.

第Ⅱ卷(本卷共计93分) 四.选择题:共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项符合题目 要求。 10.已知直线 Ax ? By ? C ? 0 不经过第三象限,则 A, B, C 应满足 A.AB ? 0 ,BC ? 0 B.AB ? 0 ,BC ? 0 C.AB ? 0 ,BC ? 0 D.AB ? 0 ,BC ? 0

11.在正四面体 S ? ABC 中,若 P 为棱 SC 的中点,那么异面直线 PB 与 SA 所成的角的余弦值等于 A.

3 6

B.

3 3

C.

3 2

D.

33 6

2

12.已知 m, n 是空间两条不重合的直线, ? , ? 是两个不重合的平面,则下列命题中正确的是 A. m ? ? , ? ? ? , m / / n ? n / / ? C. m / /? , m ? n , ? / / ? ? n ? ? B. m ? ? , m ? n , ? / / ? ? n / / ? D. m ? ? , m / / n , ? / / ? ? n ? ?

13. 已知 ?ABC 三个顶点的坐标分别为 A(1,3) , B(3,1) , C (?1, 0) , 则 ?ABC 的面积为 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

14.已知圆锥的全面积是底面积的 3 倍,那么这个圆锥的侧面积展开图扇形的圆心角为 A.90 度 B.120 度 C.150 度 D.180 度

15. 已知圆 C 的标准方程为 x 2 ? y 2 ? 1,直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,若直线 l 和圆 C 有公共点, 则实数 k 的取值范围是 A. [?

3 3 , ] 2 2

B. [?

3 3 , ] 3 3

C. [ ?

1 1 , ] 2 2

D. [?1,1]

V ,点 P、Q 分别在侧棱 AA1、CC1 上,且 PA ? QC1 ,则四 16.设直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 的体积为
棱锥 B ? APQC 的体积为 A. V

1 6

B. V

1 4

C.

1 V 3

D.

1 V 2

五.填空题:共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分,把答案填在答卷卡的相应位置上。 17.已知某几何体的三视图的侧 视图是一个正三角形,如图所示,
2 3

则该几何体的体积等于___________ 18.半径为 2 ,且与圆 x2 ? y 2 ? 10 x ? 10 y ? 0 外切于原点的 圆的标准方程为_____________________ 六. 解答题:共 4 小题,共 48 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19. (本小题满分 12 分)
? 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形, ?BCD ? 60 ,

AB ? 2 AD 。 PD ? 平面 ABCD ,点 M 为 PC 的中点。
(1)求证: PA // 平面 BMD ; (2)求证: AD ? PB .

20. (本小题满分 12 分)
3

已知圆 C 过点 A(1, 2) 和 B(1,10) ,且与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 相切。 (1)求圆 C 的方程; (2)设 P 为圆 C 上的任意一点,定点 Q( ?3, ?6) ,当点 P 在圆 C 上运动时,求线段 PQ 中点 M 的轨迹方程.

21.(本小题满分 12 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,平面 A 1 BC ? 侧面 A 1 ABB 1 ,且 AA 1 ? AB ? 2 . (1) 求证: AB ? BC ; (2) 若 AC ? 2 2 ,求锐二面角 A ? AC ? B 的大小。 1 A1 B1 C1

A B

C

22.(本小题满分 12 分)
2 2 已知圆 M 的标准方程为 x ? ( y ? 2) ? 1 ,圆心为 M ,直线 l 的方程为 x ? 2 y ? 0 ,点 P 在直线 l

上,过 P 点作圆 M 的切线 PA , PB ,切点分别为 A , B . (1)若 ?APB ? 60? ,试求点 P 的坐标; (2) 若 P 点的坐标为 (2,1) , 过 P 作直线与圆 M 交于 C , D 两点, 当 CD ? 2 时, 求直线 CD 的方程; (3)求证:经过 A , P , M 三点的圆必过定点,并求出所有定点的坐标。

4

深圳市高级中学2015—2016学年第一学期期末测试 高一数学 命题人:范铯

审题人:程正科

本试卷由两部分组成。第一部分:期中前基础知识和能力考查 ,共 57 分;第二部分:期中后知 识考查,共 93 分。全卷共计 150 分,考试时间为 120 分钟。 1.答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动用橡皮擦干净后, 再涂其它答案,不能答在试题卷上。 3.考试结束,监考人员将答题卡按座位号、页码顺序收回。 第 I 卷 (本卷共计 57 分) 一.选择题:共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项符合题目 要求。 1.集合 A ? ?( x, y) y ? 2x ? 1? , B ? ?( x, y) y ? x ? 3? ,则 A ? B ? A. ?2,5?
1

D D. ?(2,5)?

B. [2,5]

C. (2,5)

2.若 a ? ln 2 , b ? ? 2 , c ? log 1 e ,则有
2

B

a?b?c A.
3.函数 f ( x) ? ln x ? A. (0,1) 4. 函数 f ( x) ? ? A. ?

b?a?c B.
2 的零点所在的区间为 C x B. (1, 2)
则 f ?f ?

b?c?a C.

c?a?b D.

C. (2,3)

D. (3, 4)

?2 x ? 2, x ? 1, ?log 2 ( x ? 1), x ? 1,

? ? 5 ?? ?? ? ? ? 2 ??

A C. ?5

1 2

B. ?1

D.

1 2

5.已知定义域为 R 的偶函数 f ( x ) 在(-∞,0]上是减函数,且 f ( ) ? 2 ,则不等式 f (log4 x) ? 2 的 解集为 A A. (0, ) ? (2, ??)

1 2

1 2

B. (2, ??)

C. (0,

2 ) ? ( 2, ??) 2

D. (0,

2 ) 2

二.填空题:共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分,把答案填在答卷卡的相应位置上。 6.计算 (lg
1 ? 1 ? lg 25) ? 100 2 ? 4

. ?20

?1, x ? 0 ? 7.已知 符号函数 sgn( x) ? ?0, x ? 0 ,则函数 f ( x) ? sgn(ln x) ? ln x 的零点个数为 ??1, x ? 0 ?

3

5

三.解答题:共 2 小题,共 22 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 8. (本小题满分 10 分)

a ? ex 已知函数 f ( x) ? ,其中 a 为常数. 1 ? ae x
(1)若 a ? 1 ,判断函数 f ( x ) 的奇偶性; (2) 若函数 f ( x) ?

a ? ex 在其定义域上是奇函数,求实数 a 的值. 1 ? ae x 1 ? ex ,其定义域为 R. 1 ? ex 1 ? e? x e x ? 1 1 ? ex ? ?? ? ? f ( x) 1 ? e? x e x ? 1 1 ? ex

解: (1)当 a ? 1 时, f ( x ) ?

此时对任意的 x ? R ,都有 f ( ? x ) ?

所以函数 f ( x ) 在其定义域上为奇函数。 (2)若函数 f ( x ) ?

a ? ex 在其定义域上是奇函数,则对定义域内的任意 x ,有: 1 ? ae x

a ? e? x ae x ? 1 ex ? a f (? x) ? ? ? ? f ( x) ? 1 ? ae? x e x ? a 1 ? ae x
整理得: a e 所以 a ? 1
2
2 2x

? 1 ? e2 x ? a 2 ,即: e2 x (a2 ? 1) ? 1 ? a2 对定义域内的任意 x 都成立。

当 a ? 1 时, f ( x ) ?

1 ? ex ,定义域为 R; 1 ? ex

?1 ? e x e x ? 1 ? x 当 a ? ?1 时, f ( x ) ? ,定义域为 (??, 0) ? (0, ??) . 1 ? ex e ?1
所以实数 a 的值为 a ? 1 或 a ? ?1 . 9.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? lg(ax ? ax ? 2) ( a ? R ).
2

(1)若 a ? ?1 ,求 f ( x ) 的单调区间; (2)若函数 f ( x ) 的定义域为 R ,求实数 a 的取值范围.
2 解: (1)当 a ? ?1 时, f ( x) ? lg(? x ? x ? 2)

? x2 ? x ? 2 ? 0 ,即 x 2 ? x ? 2 ? 0 ,解得: ?2 ? x ? 1
6

所以函数 f ( x ) 的定义域为 ( ?2,1)
2 设 t ( x) ? ? x ? x ? 2, x ? (?2,1) ,则 f ( x) ? lg t 关于 t 在 t ? (0, ??) 为增函数。 2 由复合函数的单调性, f ( x ) 的单 调区间与 t ( x) ? ? x ? x ? 2, x ? (?2,1) 的单调区间一致。

2 二次函数 t ( x) ? ? x ? x ? 2, x ? (?2,1) 的对 称轴为 x0 ? ?

1 2

所以 t ( x ) 在 x ? (?2, ? ] 单调递增,在 x ? [? ,1) 单调递减。

1 2

1 2

所以 f ( x ) 的单调增区间为 ( ?2, ? ] ,单调减区间为 [ ? ,1) 。 (2)当 a ? 0 时, f ( x) ? lg 2 为常数函数,定义域为 R ,满足条件。
2 当 a ? 0 时, f ( x ) 的定义域为 R 等价于 ax ? ax ? 2 ? 0 恒成立。

1 2

1 2

于是有 ?

?a ? 0
2 ?? ? a ? 8a ? 0

,解得: 0 ? a ? 8

综上所述,实数 a 的取值范围是 0 ? a ? 8 。 第Ⅱ卷(本卷共计93分) 四.选择题:共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项符合题目 要求。 10.已知直线 Ax ? By ? C ? 0 不经过第三象限,则 A, B, C 应满足 A. AB ? 0 , BC ? 0 B. AB ? 0 , BC ? 0 B D. AB ? 0 ,

C. AB ? 0 , BC ? 0

BC ? 0
11. 在正四面体 S ? ABC 中, 若 P 为棱 SC 的中点, 那么异面直线 PB 与 SA 所成的角的余弦值等于 A A.

3 6

B.

3 3

C.

3 2

D.

33 6
D

12.已知 m, n 是空间两条不重合的直线, ? , ? 是两个不重合的平面,则下列命题中正确的是 A. m ? ? , ? ? ? , m / / n ? n / / ? C. m / /? , m ? n , ? / / ? ? n ? ?

B. m ? ? , m ? n , ? / / ? ? n / / ? D. m ? ? , m / / n , ? / / ? ? n ? ?

13. 已知 ?ABC 三个顶点的坐标分别为 A(1,3) , B(3,1) , C (?1, 0) ,则 ?ABC 的面积为 C A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

14.已知圆锥的全面积是底面积的 3 倍,那么这个圆锥的侧面积展开图扇形的圆心角为 D
7

A.

? 2

B.

2? 3

C.

5? 6

D. ?

15. 已知圆 C 的标准方程为 x 2 ? y 2 ? 1,直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,若直线 l 和圆 C 有公共点, 则实数 k 的取值范围是 B A. [?

3 3 , ] 2 2

B. [?

3 3 , ] 3 3

C. [?

1 1 , ] 2 2

D. [?1,1]

V ,点 P、Q 分别在侧棱 AA1、CC1 上,且 PA ? QC1 ,则四棱 16.设三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 的体积为
锥 B ? APQC 的体积为 A. V C B. V

1 6

1 4

C.

1 V 3

D.

1 V 2

五.填空题:共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分,把答案填在答卷卡的相应位置上。 17.已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形,如图所示,则该几何体的 体积等于___________ 20 3
2 3

第 8 题图

18.半径为 2 ,且与圆 x2 ? y 2 ? 10 x ? 10 y ? 0 外切于原点的圆的标准方程为 ______________________ ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 2 六.解答题:共 4 小题,共 48 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形,

第 17 题图

?BCD ? 60? , AB ? 2 AD 。 PD ? 平面 ABCD ,点 M 为 PC 的中点.
(1)求证: PA // 平面 BMD ; (2)求证: AD ? PB . (1) 证明:连接 AC , AC 与 BD 相交于点 O , 连接 MO , ∵ ABCD 是平行四边形, ∴ O 是 AC 的中点. ∵ M 为 PC 的 中点, ∴ MO // AP . ∵ PA ? 平面 BMD , MO ? 平面 BMD , ∴ PA // 平面 BMD .
8

(2)证明:∵ PD ? 平面 ABCD , AD ? 平面 ABCD , ∴ PD ? AD . 方法 1: ∵ AB ? 2 AD ,设 AD ? 2 , AB ? 4 ,过点 D 作 AB 的垂线交 AB 于点 E 。
P

∵ ?BAD ? ?BCD ? 60 , ∴ AE ? 1, DE ? 3, BE ? 3 ∵ DE ? AB
2 2

?

M

∴ BD ? 2 3
D
2

∴ AB ? AD ? BD . ∴ AD ? BD .
A

N O B

C

∵ PD ? BD ? D , PD ? 平面 PBD , BD ? 平面 PBD , ∴ AD ? 平面 PBD . ∵ PB ? 平面 PBD , ∴ AD ? PB . 方法 2:
? ∵ ?BAD ? ?BCD ? 60 , AB ? 2 AD , 2

∴ BD

? AB2 ? AD2 ? 2 AB ? AD ? cos 60?
? AB2 ? AD2 ? 2 AD2

? AB2 ? AD2 .
∴ AB
2

? AD2 ? BD2 .

∴ AD ? BD . ∵ PD ? BD ? D , PD ? 平面 PBD , BD ? 平面 PBD , ∴ AD ? 平面 PBD . ∵ PB ? 平面 PBD ,

9

∴ AD ? PB .

20. (本小题满分 12 分) 已知圆 C 过点 A(1, 2) 和 B(1,10) ,且与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 相切。 (1)求圆 C 的方程; (2)设 P 为圆 C 上的任意一点,定点 Q( ?3, ?6) ,当点 P 在圆 C 上运动时,求线 段 PQ 中点 M 的轨 迹方程. 解: (1)圆心显然在线段 AB 的垂直平分线 y ? 6 上,设圆心为 ( a , 6) ,半径为 r ,则: 圆 C 的标准方程为 ( x ? a)2 ? ( y ? 6)2 ? r 2 , 由点 B 在 圆上得: (1 ? a)2 ? (10 ? 6)2 ? r 2 , 又圆 C 与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 ,有 r ?

a ? 13 5

.

( a ? 13)2 于是 ( a ? 1) ? 16 ? 5
2

解得: a ? 3, r ? 2 5 ,或 a ? ?7, r ? 4 5 所以圆 C 的标准方程为 ( x ? 3)2 ? ( y ? 6)2 ? 20 ,或 ( x ? 7)2 ? ( y ? 6)2 ? 80 (2)设 M 点坐标为 ( x, y ) , P 点坐标为 ( x0 , y0 ) ,

x ?3 ? x? 0 ? ? x0 ? 2 x ? 3 ? 2 由 M 为 PQ 的中点, ,则 ? ,即: ? ? y0 ? 2 y ? 6 ? y ? y0 ? 6 ? ? 2
又点 P( x0 , y0 ) 在圆 C 上, 若圆的方程为 ( x ? 3) ? ( y ? 6) ? 20 ,有: ( x0 ? 3) ? ( y0 ? 6) ? 20 ,
2 2

2

2

则 (2x ? 3 ? 3) ? (2 y ? 6 ? 6) ? 20 ,整理得: x ? y ? 5
2 2 2 2

此时点 M 的轨迹方程为: x ? y ? 5 .
2 2

若圆的方程为 ( x ? 7) ? ( y ? 6) ? 80 ,有: ( x0 ? 7) ? ( y0 ? 6) ? 80 ,
2 2

2

2

10

则 (2x ? 3 ? 7)2 ? (2 y ? 6 ? 6)2 ? 80 ,整理得: ( x ? 5)2 ? y 2 ? 20 此时点 M 的轨迹方程为: ( x ? 5)2 ? y 2 ? 20 综上所述:点 M 的轨迹方程为 x2 ? y 2 ? 5 ,或 ( x ? 5)2 ? y 2 ? 20

21.(本小题满分 12 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,平面 A 1 BC ? 侧面 A 1 ABB 1 ,且 AA 1 ? AB ? 2 A1 (1) 求证: AB ? BC ; (2) 若 AC ? 2 2 ,求锐二面角 A ? AC ? B 的大小。 1 B1

C1

AD , 解: (1)证明:如右图,取 A 1B 的中点 D ,连接
因 AA 1 ? AB ,则 AD ? A 1B A ……………1 分 B C

由平面 A 1 BC ? 侧面 A 1B , 1 BC ? 侧面 A 1 ABB 1 ,且平面 A 1 ABB 1 ? A 得 AD ? 平面A 1BC , 又 BC ? 平面 A1 BC , 所以 AD ? BC . …………………4 分 A1 E B1 ………………3 分

C1

因为三棱柱 ABC —A1B1C1 是直三棱柱, D 则 AA 1 ? 底面ABC , 所以 AA1 ? BC . A …………………5 分 B C

又 AA 1 ? AD=A ,从而 BC ? 侧面 A 1 ABB 1 , 又 AB ? 侧面 A 1 ABB 1 ,故 AB ? BC . ………………7 分

DE . (2)解: 过点 A 作 AE ? AC 1 于点 E ,连
由(1)知 AD ? 平面A1BC ,则 AD ? AC 1 ,且 AE ? AD ? A ∴ ? AED 即为二面角 A ? AC 1 ? B 的一个平面角 …………………9 分

11

且直角 ?A1 AC 中: AE ? 又 AD= 2 , ?ADE =

A1 A?AC 2 ? 2 2 2 6 ? ? AC 3 2 3 1

…………………10 分

?
2
…………………11 分



sin ?AED=

AD 2 3 , ? ? AE 2 6 2 3
∴ ?AED =

由二面角 A ? AC 1 ? B 为锐二面角 即二面角 A ? AC 1 ? B 的大小为 22.(本小题满分 12 分)

?
3

, …………………12 分

? 3

2 2 已知圆 M 的标准方程为 x ? ( y ? 2) ? 1 ,圆心为 M ,直线 l 的方程为 x ? 2 y ? 0 ,点 P 在直线 l

上,过 P 点作圆 M 的切线 PA , PB ,切点分别为 A , B . (1)若 ?APB ? 60? ,试求点 P 的坐标; (2) 若 P 点的坐标为 (2,1) , 过 P 作直线与圆 M 交于 C , D 两点, 当 CD ? 2 时, 求直线 CD 的方程; (3)求证:经过 A , P , M 三点的圆必过 定点,并求出所有定点的坐标。 解: (1)直线 l 的方程为 x ? 2 y ? 0 ,点 P 在直线 l 上,设 P(2m, m) , 由题可知 MP ? 2 ,所以 (2m)2 ? (m ? 2)2 ? 4 , 解之得: m ? 0, m ?

4 8 4 故所求点 P 的坐标为 P(0, 0) 或 P ( , ) . 5 5 5

( 2)易知直线 CD 的斜率一定存在,设其方程为: y ? 1 ? k ( x ? 2) ,

由题知圆心 M 到直线 CD 的距离为 解得, k ? ?1 或 k ? ?

2 2 ?2k ? 1 ,所以 , ? 2 2 1? k 2

1 , 7

故所求直线 CD 的方程为: x ? y ? 3 ? 0 或 x ? 7 y ? 9 ? 0 . (3)设 P(2m, m) ,则 MP 的中点 Q ( m,

m ? 1) , 因为 PA 是圆 M 的切线, 2

所以经过 A, P , M 三点的圆是以 Q 为圆心,以 MQ 为半径的圆, 故其方程为: ( x ? m) ? ( y ?
2

m m ? 1) 2 ? m2 ? ( ? 1)2 2 2

化简得: x ? y ? 2 y ? m(2x ? y ? 2) ? 0 ,此式是关于 m 的恒等式,
2 2

12

4 ? x? , ? ? x ? y ? 2 y ? 0, ?x ? 0 ? 5 故? 解得 ? 或? ? 2 x ? y ? 2 ? 0, ?y ? 2 ?y ? 2. ? 5 ?
2 2

所以经过 A, P , M 三点的圆必过定点 (0, 2) 或 ( , ) 。

4 2 5 5

13


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