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专题2 第2讲


专题二
一、选择题

第二讲

1.若三角形 ABC 中,sin(A+B)sin(A-B)=sin2C,则此三角形的形状是( A.等腰三角形 C.等边三角形 [答案] B [解析] B.直角三角形 D.等腰直角三角形

)

∵sin(A+B)sin(A-B)=sin2C,sin(A+B)=

sinC≠0,∴sin(A-B)=sin(A+B),

∴cosAsinB=0, ∵sinB≠0,∴cosA=0,∴A 为直角. 2.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若(a2+c2-b2)tanB= 3ac,则角 B 的值为( π A. 6 π 5π C. 或 6 6 [答案] D [ 解析 ] a2+c2-b2 由 (a + c - b )tanB = 3 ac 得, · tanB = 3 ,再由余弦定理 cosB = ac
2 2 2

) π B. 3 π 2π D. 或 3 3

a2+c2-b2 3 π 2π 得,2cosB· tanB= 3,即 sinB= ,∴角 B 的值为 或 ,故应选 D. 2ac 2 3 3 3.(文)在△ABC 中,已知 b· cosC+c· cosB=3a· cosB,其中 a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,则 cosB 的值为( 1 A. 3 2 2 C. 3 [答案] A [解析] 由正弦定理得 sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB, ∴sin(B+C)=3sinAcosB, ∴sinA=3sinAcosB, 1 ∵sinA≠0,∴cosB= . 3 (理)(2013· 东北三省四市联考)在△ABC 中,若 tanAtanB=tanA+tanB+1,则 cosC 的值 是( ) ) 1 B.- 3 2 2 D.- 3

A.- 1 C. 2

2 3

B.

2 2

1 D.- 2

[答案] B tanA+tanB [解析] 由 tanA· tanB=tanA+tanB+1,可得 =-1,即 tan(A+B)=-1,所 1-tanA· tanB 3π π 2 以 A+B= ,则 C= ,cosC= ,故选 B. 4 4 2 4.设 tanα、tanβ 是方程 x2-3x+2=0 的两根,则 tan(α+β)的值为( A.-3 C.1 [答案] A [解析] 本题考查了根与系数的关系与两角和的正切公式. 由已知 tanα+tanβ=3,tanα· tanβ=2, tanα+tanβ 3 所以 tan(α+β)= = =-3.故选 A. 1-tanα· tanβ 1-2 [点评] 运用根与系数的关系,利用整体代换的思想使问题求解变得简单. 5.(2014· 哈三中二模)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边长分别为 a,b,c,且 a2-c2 tanA =2b, =3,则 b 等于( tanC A.3 C.6 [答案] B tanA [解析] ∵ =3,∴sinAcosC=3sinCcosA, tanB b2+c2-a2 ∴sinB=sin(A+C)=4sinCcosA,∴b=4c· , 2bc ∴b2=2(a2-c2)=4b,∵b>0,∴b=4. π π 6.(文)函数 y=cos(x+ )+sin( -x)具有性质( 2 3 π A.最大值为 1,图象关于点( ,0)对称 6 π B.最大值为 3,图象关于点( ,0)对称 6 π C.最大值为 1,图象关于直线 x= 对称 6 π D.最大值为 3,图象关于直线 x= 对称 6 ) ) B.4 D.7 B.-1 D.3 )

[答案] B [解析] y=-sinx+ =- 3( 3 1 cosx- sinx 2 2

3 1 π sinx- cosx)=- 3sin(x- ), 2 2 6

π ∴最大值为 3,图象关于点( ,0)对称. 6 (理)给出下列四个命题: π kπ 3π ①f(x)=sin(2x- )的对称轴为 x= + ,k∈Z; 4 2 8 ②函数 f(x)=sinx+ 3cosx 最大值为 2; ③函数 f(x)=sinxcosx-1 的周期为 2π; π π π ④函数 f(x)=sin(x+ )在[- , ]上是增函数. 4 2 2 其中正确命题的个数是( A.1 C.3 [答案] B π π [解析] ①由 2x- =kπ+ ,k∈Z, 4 2 kπ 3π 得 x= + (k∈Z), 2 8 π kπ 3π 即 f(x)=sin(2x- )的对称轴为 x= + ,k∈Z,正确; 4 2 8 π ②由 f(x)=sinx+ 3cosx=2sin(x+ )知, 3 函数的最大值为 2,正确; 1 ③f(x)=sinxcosx-1= sin2x-1,函数的周期为 π,故③错误; 2 π π ④函数 f(x)=sin(x+ )的图象是由 f(x)=sinx 的图象向左平移 个单位得到的, 故④错误. 4 4 二、填空题 7.已知△ABC 的一个内角为 120° ,并且三边长构成公差为 4 的等差数列,则△ABC 的 面积为________. [答案] 15 3 [解析] 设三角形的三边长分别为 a-4,a,a+4,最大角为 θ,由余弦定理得(a+4)2 1 =a2+(a-4)2-2a(a-4)· cos120° ,则 a=10,所以三边长为 6,10,14.△ABC 的面积为 S= 2 ×6×10×sin120° =15 3. ) B.2 D.4

8 . ( 文 )(2014· 新 课 标 Ⅱ 理 , 14) 函 数 f(x) = sin(x + 2φ) - 2sinφcos(x + φ) 的 最 大 值 为 ________. [答案] 1 [解析] ∵f(x)=sin(x+2φ)-2sinφcos(x+φ) =sin(x+φ)· cosφ+cos(x+φ)· sinφ-2sinφcos(x+φ) =sin(x+φ)· cosφ-cos(x+φ)· sinφ =sinx≤1. ∴最大值为 1. (理)(2014· 天津理,12)在△ABC 中,内角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,已知 b- 1 c= a,2sinB=3sinC,则 cosA 的值为________. 4 1 [答案] - 4 [解析] ∵2sinB=3sinC,∴2b=3c, 1 又∵b-c= a, 4 3 1 ∴b= a,c= a, 4 2 9 2 1 2 a + a -a2 4 b +c -a 16 1 ∴cosA= = =- . 2bc 3 1 4 2× a× a 4 2
2 2 2

→ → → 9.在△ABC 中,(AB-3AC)⊥CB,则角 A 的最大值为________. [答案] π 6

→ → → → → → → [解析] 由已知可得(AB-3AC)· CB=0,AB· CB=3AC· CB,由数量积公式可得 accosB= 3abcos(π-C)=-3abcosC,可化为 ccosB=-3bcosC, 由正弦定理可得 sinCcosB=-3sinBcosC, 化简得 sinA=-2sinBcosC,可得 cosC<0,角 C 为钝角,角 A 为锐角,又 sinA=sin(C -B)-sin(C+B), 1 1 即有 sinA= sin(C-B)≤ , 2 2 π π 综上,0<A≤ ,A 的最大值为 . 6 6 三、解答题 10.(文)(2014· 山东文,17)△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c. 已知 a=3, cosA= 6 π ,B=A+ . 3 2

(1)求 b 的值; (2)求△ABC 的面积. [解析] (1)∵cosA= 6 3 .0<A<π.∴sinA= . 3 3

π π 6 又 B=A+ .∴sinB=sin(A+ )=cosA= . 2 2 3 又 a=3.∴由正弦定理得. a b = sinA sinB 即 3 b = 3 6 3 3

∴b=3 2. π 3 (2)∵cosB=cos(A+ )=-sinA=- , 2 3 ∴在△ABC 中,sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB= 1 1 1 3 2 ∴S△ABC= absinC= ×3×3 2× = . 2 2 3 2 1? (理)(2013· 陕西理,16)已知向量 a=? ?cos x,-2?,b=( 3sin x,cos 2x),x∈R,设函数 f(x)=a· b. (1)求 f(x)的最小正周期; π? (2)求 f(x)在? ?0,2?上的最大值和最小值. 1 [解析] f(x)=a· b= 3sinxcosx- cos2x 2 = 3 1 sin2x- cos2x 2 2 3 3 6 6 1 ×(- )+ × = 3 3 3 3 3

π =sin(2x- ) 6 2π (1)f(x)的最小正周期为 T= =π 2 π π π 5π (2)∵x∈[0, ],∴2x- ∈[- , ], 2 6 6 6 π 1 ∴sin(2x- )∈[- ,1] 6 2 π π π 故当 2x- = 即 x= 时,f(x)max=1 6 2 3 π π 1 当 2x- =- 即 x=0 时,f(x)min=- . 6 6 2

一、选择题 π 11.(2013· 天津理,6)在△ABC 中,∠ABC= ,AB= 2,BC=3,则 sin∠BAC=( 4 A. 10 10 B. D. 10 5 5 5 )

3 10 C. 10 [答案] C

[解析] 本题考查了余弦定理、正弦定理. π 由余弦定理得 AC2=AB2+BC2-2AB×BC· cos 4 =2+9-2× 2×3× 2 =5,∴AC= 5, 2

AC BC 由正弦定理, = , sinB sinA 2 3× 2 3 10 BCsinB ∴sinA= = = . AC 10 5 |cosx| 12.(文)(2014· 东北三省三校二模)已知方程 =k 在(0,+∞)上有两个不同的解 α、 x β(α<β),则下列的四个命题正确的是( A.sin α=2αcos α C.sin2β=-2βsin2β [答案] C [解析] 令 y=|cosx|,y=kx,在同一坐标系中画出它们的图象,如图所示.
2 2

) B.cos2α=2αsin2α D.cos2β=-2βsin2β

π π ∵α<β,∴0<α< , <β<π,检验可知,选 C. 2 2 1+sinβ π π (理)(2014· 新课标Ⅰ理,8)设 α∈(0, ),β∈(0, ),且 tanα= ,则( 2 2 cosβ π A.3α-β= 2 π C.2α-β= 2 [答案] C π B.3α+β= 2 π D.2α+β= 2 )

[解析] 本题考查了诱导公式以及三角恒等变换.运用验证法. π π 解法 1:当 2α-β= 时,β=2α- , 2 2 π 1+sin?2α- ? 2 1-cos2α 2· sin2α 所以 = = =tanα. π sin2α sin2α cos?2α- ? 2 sinα 1+sinβ 解法 2:∵tanα= = , cosα cosβ π ∴sin(α-β)=cosα=sin( -α), 2 π π π π π π π ∵α、β∈(0, ),∴α-β∈(- , ), -α∈(0, ),∴α-β= -α,∴2α-β= . 2 2 2 2 2 2 2 π 13.已知函数 f(x)=1+cos2x-2sin2(x- ),其中 x∈R,则下列结论中正确的是( 6 A.f(x)是最小正周期为 π 的偶函数 B.f(x)的一条对称轴是 x= C.f(x)的最大值为 2 π D.将函数 y= 3sin2x 的图象左移 得到函数 f(x)的图象 6 [答案] D π [解析] f(x)=cos2x+cos(2x- ) 3 1 3 =cos2x+ cos2x+ sin2x 2 2 π = 3sin(2x+ ),故选 D. 3 π π π 14.(文)函数 f(x)=sin(x+ )+asin(x- )的一条对称轴方程为 x= ,则 a=( 3 6 2 A.1 C.2 [答案] B π π π π π π [解析] 由题意得 f(x)=sin(x+ )+asin[(x+ )- ]=sin(x+ )-acos(x+ ), 若 x= 是函 3 3 2 3 3 2 π π π 数 f(x)的图象的一条对称轴, 则由对称轴的意义可得 f( )=cos +asin = 1+a2, 解得 a= 3. 2 3 3 (理)在锐角△ABC 中,设 x=sinA· sinB,y=cosA· cosB,则 x、y 的大小关系为( A.x≤y C.x>y B.x<y D.x≥y ) B. 3 D.3 ) π 3 )

[答案] C [解析] y-x=cosAcosB-sinAsinB=cos(A+B) =cos(π-C)=-cosC, ∵△ABC 为锐角三角形,∴cosC>0, ∴y-x<0,∴y<x. 15.已知函数 f(x)=sinx+cosx,g(x)=sinx-cosx,下列四个命题: π ①将 f(x)的图象向右平移 个单位可得到 g(x)的图象; 2 ②y=f(x)g(x)是偶函数; f?x? ③y= 是以 π 为周期的周期函数; g?x? ④对于?x1∈R,?x2∈R,使 f(x1)>g(x2). 其中真命题的个数是( A.1 C.3 [答案] C π π [解析] ∵f(x)=sinx+cosx= 2sin(x+ ), g(x)=sinx-cosx= 2sin(x- ), ∴将 f(x)的图 4 4 π 象向右平移 个单位,可以得到 g(x)的图象,故①为真命题;又 y=f(x)· g(x)=sin2x-cos2x= 2 π π sin?x+ ? sin?x+ ? 4 4 f?x? π -cos2x 为偶函数,故②为真命题;y= = = =-tan(x+ ),故其最 π π 4 g?x? sin?x- ? -cos?x+ ? 4 4 5π 5π π 小正周期为 π,∴③为真命题;取 x1= ,则 f(x1)= 2sin( + )=- 2,∵?x2∈R 都有 4 4 4 5π g(x2)≥- 2,∴不存在 x2∈R,使 f( )>g(x2),故选 C. 4 二、填空题 16.(文)在△ABC 中,sin2C= 3sinAsinB+sin2B,a=2 3b,则角 C=________. [答案] π 6 ) B.2 D.4

[解析] 由正弦定理知 c2= 3ab+b2, a2+b2-c2 a2- 3ab 所以 cosC= = 2ab 2ab = a- 3b 2 3b- 3b 3 = = , 2b 2b 2

π 又 C∈(0,π),所以 C= . 6

(理)(2014· 福建理,12)在△ABC 中,A=60° ,AC=4,BC=2 3,则△ABC 的面积等于 ________. [答案] 2 3 2 3 4 [解析] 本题考查正弦定理及三角形的面积公式,由正弦定理得, = , sin B 3 2 ∴sinB=1,∴B=90° ,∴AB=2, 1 S= ×2 3×2=2 3. 2 三、解答题 17.(文)(2013· 浙江文,18)在锐角△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 2asinB= 3b. (1)求角 A 的大小; (2)若 a=6,b+c=8,求△ABC 的面积. a b 3 [解析] (1)由 2asinB= 3b 及正弦定理 = ,得 sinA= . sinA sinB 2 π 因为 A 是锐角,所以 A= . 3 (2)由余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA,得 b2+c2-bc=36,即(b+c)2-3bc=36. 又 b+c=8,所以 28 bc= . 3 1 由三角形面积公式 S= bcsinA,得 2 7 3 △ABC 的面积为 . 3 (理)(2013· 北京理,15)在△ABC 中,a=3,b=2 6,∠B=2∠A. (1)求 cos A 的值; (2)求 c 的值. [解析] (1)因为 a=3,b=2 6,∠B=2∠A, 3 2 6 所以在△ABC 中,由正弦定理得 = , sinA sin2A 2sinAcosA 2 6 6 所以 = ,故 cosA= . sinA 3 3 (2)由(1)知 cosA= 6 , 3

所以 sinA= 1-cos2A=

3 . 3

1 又因为∠B=2∠A,所以 cosB=2cos2A-1= . 3 2 2 所以 sinB= 1-cos2B= , 3 在△ABC 中,sinC=sin(A+B) 5 3 =sinAcosB+cosAsinB= . 9 asinC 所以 c= =5. sinA 18.(文)(2014· 唐山市一模)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,且 4bsinA = 7a. (1)求 sinB 的值; (2)若 a,b,c 成等差数列,且公差大于 0,求 cosA-cosC 的值. [解析] (1)由 4bsinA= 7a,根据正弦定理得 4sinBsinA= 7sinA, 所以 sinB= 7 . 4

(2)由已知得 2b=a+c, 由正弦定理以及(1)得, sinA+sinC= 7 .① 2

设 cosA-cosC=x,② 7 ①2+②2,得 2-2cos(A+C)= +x2.③ 4 又由条件知 a<b<c,∴A<B<C,所以 0° <B<90° ,cosA>cosC, 3 故 cos(A+C)=-cosB=- ,且 x>0. 4 7 代入③式得 x2= . 4 因此 cosA-cosC= 7 . 2

π 1 (理)已知△ABC 中,a,b, c 分别为角 A,B,C 的对边,a2+b2<c2,且 sin(2C- ) = . 2 2 (1)求角 C 的大小; (2)求 a+b 的取值范围. c

a2+b2-c2 [解析] (1)∵a2+b2<c2,∴cosC= <0, 2ab

π ∴ <C<π,故 π<2C<2π, 2 π 1 1 由 sin(2C- )= ,得 cos2C=- , 2 2 2 4π 2π ∴2C= ,即 C= ; 3 3 π sinA+sin? -A? 3 a+b sinA+sinB (2) = = c sinC 2π sin 3 1 3 sinA+ cosA 2 2 2 π = = sin(A+ ), 3 3 3 2 2π π π π 2π 由 C= ,知 0<A< ,故 <A+ < , 3 3 3 3 3 ∴ ∴ 3 π <sin(A+ )≤1, 2 3 a+b 2 3 2 3 a+b 2 · < ≤ ,即 1< ≤ . c c 3 3 2 3


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