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2015年高中数学作业第8篇 第2讲两条直线的位置关系

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第2讲

两条直线的位置关系

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择题 1.直线 l 过点(-1,2)且与直线 2x-3y+4=0 垂直,则 l 的方程是 A.3x+2y-1=0 C.2x-3y+5=0 解析 B.3x+2y+7=0 D.2x-3y+8=0 ( ).

3 3 由题意知, 直线 l 的斜率是-2, 因此直线 l 的方程为 y-2=-2(x+1),

即 3x+2y-1=0. 答案 A

2.(2014· 济南模拟)已知两条直线 l1:(a-1)x+2y+1=0,l2:x+ay+3=0 平行, 则 a= A.-1 C.0 或-2 解析 B.2 D.-1 或 2 ( ).

若 a=0,两直线方程分别为-x+2y+1=0 和 x=-3,此时两直线相

a-1 2 1 交,不平行,所以 a≠0;当 a≠0 时,两直线若平行,则有 1 =a≠3,解 得 a=-1 或 2. 答案 D

3.已知直线 l1 的方程为 3x+4y-7=0,直线 l2 的方程为 6x+8y+1=0,则直线 l1 与 l2 的距离为 8 A.5 C.4 解析 3 B.2 D.8 ∵直线 l1 的方程为 3x+4y-7=0,直线 l2 的方程为 6x+8y+1=0,即 ( ).

?1 ? ?2+7? ? ? 3 1 3x+4y+2=0,∴直线 l1 与 l2 的距离为 2 = . 3 +42 2

答案

B

1 4.(2014· 金华调研)当 0<k<2时,直线 l1:kx-y=k-1 与直线 l2:ky-x=2k 的交 点在 A.第一象限 C.第三象限 解析 B.第二象限 D.第四象限 ( ).

?kx-y=k-1, 2k-1? ? k , ? ,因 解方程组 ? 得两直线的交点坐标为 ? ?k-1 k-1 ? ?ky-x=2k

2k-1 1 k 为 0<k<2,所以 <0, >0,故交点在第二象限. k-1 k-1 答案 B ).

5.若直线 l1:y=k(x-4)与直线 l2 关于点(2,1)对称,则直线 l2 经过定点( A.(0,4) C.(-2,4) 解析 B.(0,2) D.(4,-2)

直线 l1:y=k(x-4)经过定点(4,0),其关于点(2,1)对称的点为(0,2),又

直线 l1:y=k(x-4)与直线 l2 关于点(2,1)对称,故直线 l2 经过定点(0,2). 答案 B

二、填空题 6.若三条直线 y=2x,x+y=3,mx+2y+5=0 相交于同一点,则 m 的值为 ________. 解析 ?y=2x, ?x=1, 由? 得? ?x+y=3 ?y=2.

∴点(1,2)满足方程 mx+2y+5=0, 即 m×1+2×2+5=0,∴m=-9. 答案 -9

7.设 a、b、c 分别是△ABC 中∠A、∠B、∠C 所对边的边长,则直线 xsin A+ ay+c=0 与 bx-ysin B+sin C=0 的位置关系是________. 解析 a b 由sin A=sin B,得 bsin A-asin B=0.

∴两直线垂直. 答案 垂直

8.若直线 m 被两平行线 l1:x-y+1=0 与 l2:x-y+3=0 所截得的线段的长为 2 2,则 m 的倾斜角可以是: ①15° ;②30° ;③45° ;④60° ;⑤75° . 其中正确答案的序号是________. 解析 很明显直线 l1∥l2,直线 l1,l2 间的距离为 d= |1-3| = 2,设直线 m 2

与直线 l1,l2 分别相交于点 B,A,则|AB|=2 2,过点 A 作直线 l 垂直于直线 |AC| 2 l1,垂足为 C,则|AC|=d= 2,则在 Rt△ABC 中,sin ∠ABC=|AB| = = 2 2 1 ,又直线 l1 的倾斜角为 45° ,所以直线 m 的倾斜角为 45° 2,所以∠ABC=30° +30° =75° 或 45° -30° =15° . 答案 ①⑤

三、解答题 9.已知直线 l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0,求 m 的值,使得: (1)l1 与 l2 相交;(2)l1⊥l2;(3)l1∥l2;(4)l1,l2 重合. 解 (1)由已知 1×3≠m(m-2),

即 m2-2m-3≠0, 解得 m≠-1 且 m≠3. 故当 m≠-1 且 m≠3 时,l1 与 l2 相交. (2)当 1· (m-2)+m· 3=0, 1 即 m=2时,l1⊥l2. (3)当 1×3=m(m-2)且 1×2m≠6×(m-2)或 m×2m≠3×6,即 m=-1 时, l1∥l2. (4)当 1×3=m(m-2)且 1×2m=6×(m-2), 即 m=3 时,l1 与 l2 重合. 10.求过直线 l1:x-2y+3=0 与直线 l2:2x+3y-8=0 的交点,且到点 P(0,4) 的距离为 2 的直线方程. 解 ?x-2y+3=0, 由? ?2x+3y-8=0,

?x=1, 解得? ?y=2, ∴l1,l2 的交点为(1,2), 设所求直线方程为 y-2=k(x-1), 即 kx-y+2-k=0, ∵P(0,4)到直线的距离为 2, ∴2= |-2-k| 4 2 ,解得 k=0 或3. 1+k

∴直线方程为 y=2 或 4x-3y+2=0. 能力提升题组 (建议用时:25 分钟) 一、选择题 1.设两条直线的方程分别为 x+y+a=0 和 x+y+b=0,已知 a,b 是关于 x 的 1 方程 x2+x+c=0 的两个实数根,且 0≤c≤8,则这两条直线之间的距离的最 大值和最小值分别为 2 1 A. 4 ,2 1 C. 2,2 解析 ∵ d= 2 B. 2, 2 2 1 D. 2 ,2 |a-b| ? 2 ? ,a+b=-1,ab=c,又|a-b|= 1-4c∈? ,1?,从而 ?2 ? 2 ( ).

2 1 dmax= 2 ,dmin=2. 答案 D

2.(2014· 武汉调研)已知 A,B 两点分别在两条互相垂直的直线 2x-y=0 与 x+ 10? ? ay=0 上,且 AB 线段的中点为 P?0, a ?,则线段 AB 的长为 ? ? A.11 C.9 解析 B.10 D.8 1 由两直线垂直, 得-a· 2=-1, 解得 a=2.所以中点 P 的坐标为(0,5). 则 ( ).

OP=5,在直角三角形中斜边的长度 AB=2OP=2×5=10,所以线段 AB 的

长为 10. 答案 B

二、填空题 3.已知 0<k<4,直线 l1:kx-2y-2k+8=0 和直线 l2:2x+k2y-4k2-4=0 与 两坐标轴围成一个四边形,则使得这个四边形面积最小的 k 值为________.

解析

由题意知直线 l1,l2 恒过定点 P(2,4),直线 l1 的纵截距为 4-k,直线

1 l2 的横截距为 2k2+2,如图,所以四边形的面积 S=2k2×2+(4-k+4)×2×2 1 =4k2-k+8,故面积最小时,k=8. 答案 1 8

三、解答题 4.(1)在直线 l:3x-y-1=0 上求一点 P,使得 P 到 A(4,1)和 B(0,4)的距离之差 最大; (2)在直线 l:3x-y-1=0 上求一点 Q,使得 Q 到 A(4,1)和 C(3,4)的距离之和 最小.

图1 解 (1)如图 1,设点 B 关于 l 的对称点 B′的坐标为(a,b),直线 l 的斜率为

b-4 k1,则 k1· kBB′=-1.即 3· a =-1.∴a+3b-12=0.①

?a b+4? ?,且在直线 l 上, 又由于线段 BB′的中点坐标为? , 2 ? ?2 a b+4 ∴3×2- 2 -1=0.即 3a-b-6=0.② 解①②得 a=3,b=3,∴B′(3,3). 于是 AB′的方程为 即 2x+y-9=0. ?3x-y-1=0, ?x=2, 解? 得? ?2x+y-9=0, ?y=5, 即 l 与 AB′的交点坐标为 P(2,5). y-1 x-4 = , 3-1 3-4

图2 ?3 24? (2)如图 2,设 C 关于 l 的对称点为 C′,求出 C′的坐标为?5, 5 ?. ? ? ?11 26? ∴AC′所在直线的方程为 19x+17y-93=0,AC′和 l 交点坐标为? 7 , 7 ?, ? ? ?11 26? 故 Q 点坐标为? 7 , 7 ?. ? ?


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