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【广东北江中学】高考数学(文)全程复习课件:选修4-1-1-相似三角形的判定及有关性质


选修4-1-1 相似三角形的判定及有关性质

设计制作:陈代富

考点梳理 1.平行线分线段成比例定理 (1)定理:三条平行线截两条直线,截得的 成比例 如图所示. 对应线段__________. l1∥l2∥l3,直线 a、b 与 l1、l2、l3 分别交于 AB DE A、B、C、D、E、F,则BC= EF . AB DE 说明:上

图中,除了BC= EF 外, DE EF AB BC DF DF 还有AC=__________ ;AC=__________ 成立.

(2)推论:平行于三角形一边的直线截其他两边 (或两边的延 长线),截得的对应线段成比例.如下图所示.

AD AE 在以上三种基本图形中,DE∥BC,有DB=EC. (3)推论的逆定理:如果一条直线截三角形的两边 (或两边的 延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线 平行于三角形的第三边 ________________________.

2.三角形内角平分线定理 三角形的内角平分线分对边所得的两条线段与这个角的两 边对应成比例.如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,AD 交 BC AB BD 于点 D,则有_________. AC=DC

3.直角三角形的射影定理 (1)定理:直角三角形的每一条直角边 都是它在斜边上的射影与斜边的比例中 项,斜边上的高是两条直角边在斜边上射 影的比例中项. 如图,在△ABC 中,∠ACB=90° ,CD⊥AB 于 D,则 AD· AB ; AC2=__________ DB· AB ; BC2=__________ AD· DB CD2=__________. (2)逆定理: 如果一个三角形一边上的高是另两边在这条边上 的射影的比例中项,那么这个三角形是直角三角形.

考点自测 1. 如图, DE∥BC, DF∥AC, AD=4 cm, BD=8 cm,DE=5 cm,则线段 BF 的长为 __________.

解析: ∵DE∥BC,DF∥AC,∴四边形 DECF 是平行四边形. ∴FC=DE=5 cm. BF BD BF 8 ∵DF∥AC,∴FC=DA,即 5 =4.∴BF=10 cm. 答案:10 cm

2.在 Rt△ABC 中,∠CAB=90° ,AD⊥BC 于 D,AB∶AC =3∶2,则 CD∶BD=__________.

解析:由△ABD∽△CBA 得 AB2=BD· BC. 由△ADC∽△BAC,得 AC2=DC· BC, CD· BC AC2 4 ∴BD· BC=AB2=9. 即 CD∶BD=4∶9. 答案:4∶9

3.如图,E 是?ABCD 的边 AB 延长线上的一点,且 DC∶ BE=3∶2,则 AD∶BF=______.

DC DF 3 解析:由题可证得△BEF∽△CDF,∴ BE = EF =2. 5 AD DE DF ∴ BF = EF = EF +1=2. 答案:5∶2

4.如图,∠B=∠D,AE⊥BC,∠ACD=90° ,且 AB=6, AC=4,AD=12,则 AE=__________.

解析: 由∠B=∠D, AE⊥BC 及∠ACD=90° 可推得 Rt△ABE 6×4 AE AB ∽Rt△ADC,则AC=AD,∴AE= 12 =2. 答案:2

5.如图,正方形 ABCD 的边长为 4,P 为 AB 上的点,且 AP∶PB=1∶3,PQ⊥PC,则 PQ 的长为__________.

解析:∵PQ⊥PC,∴∠APQ+∠BPC=90° . ∴∠APQ=∠BCP. AP PQ ∴Rt△APQ∽Rt△PBC.∴BC=PC. ∵AB=4,AP∶PB=1∶3,∴PB=3,AP=1. AP· PC ∴PQ= BC . 5 2 2 2 又 PC = 3 +4 =5,∴PQ=4. 5 答案:4

疑点清源 1.证明三角形相似的一般思路是:先找两对内角对应相等; 若只找到一个角对应相等, 再判定这个角的两邻边是否对应成比 例;若找不到角对应相等,就要证明三边对应成比例. 2.证明线段成比例,若已知条件中没有平行线,但有三角 形相似的条件(如角相等,有相等的比例式等),常考虑相似三角 形的性质构造比例或利用中间比求解. 3.已知条件中含有直角三角形,且涉及直角三角形斜边上 的高时, 应首先考虑射影定理, 注意射影定理与斜边的对应关系, 根据题目中的结论分析并选择射影定理中的等式, 并分清比例中 项.

题型探究 题型一 平行线分线段成比例问题 例 1 如图,梯形 ABCD 中,AD∥BC,EF 经过梯形对角线 的交点 O,且 EF∥AD. (1)求证:OE=OF; OE OE (2)求AD+BC的值; 1 1 2 (3)求证:AD+BC=EF.

解析: (1)证明:∵EF∥AD,AD∥BC,∴EF∥AD∥BC. OE AE OF DF ∵EF∥BC,∴BC =AB,BC =DC. AE DF ∵EF∥AD∥BC,∴AB=DC. OE OF ∴BC=BC ,∴OE=OF.

OE BE (2)∵OE∥AD,∴AD=AB. OE AE 由(1)知BC =AB. OE OE BE AE BE+AE ∴AD+BC =AB+AB= AB =1. 2OE 2OE OE OE (3)证明:由(2)知AD+BC=1,∴ AD + BC =2. 1 1 2 EF EF 又 EF=2OE,∴AD+BC=2,∴AD+BC=EF.

点评: ①利用平行线分线段成比例定理来计算或证明, 首先要观察 平行线组,再确定所截直线,进而确定比例线段及比例式,同时 注意合比性质、等比性质的运算. ②有时图形中没有平行线,要添加辅助线,构造相关图形, 创造可以形成比例式的条件,达到证明的目的.

变式探究 1 如图所示,在△ABC 中,D 是 AC 的中点,E BF 是 BD 的中点,AE 交 BC 于 F,则FC的值为__________.

解析: 过点 D 作 DM∥AF 交 BC 于点 M. ∵点 E 是 BD 的中点, ∴在△BDM 中,BF=FM, ∵点 D 是 AC 的中点, ∴在△CAF 中,CM=MF, 1 BF BF ∴FC= = . FM+MC 2

题型二 相似三角形的判定

例 2 如图所示,AE、AF 分别为△ABC 的内、外角平分线, O 为 EF 的中点. 求证:OB:OC=AB2:AC2.

解析: ∵AE,AF 为△ABC 的内、外角平分线,∴AE⊥AF, 又∵O 为 EF 的中点,∴∠OEA=∠OAE. ∵∠OAE=∠CAE+∠OAC,∠OEA=∠B+∠BAE, 而∠BAE=∠CAE,∴∠OAC=∠B. ∵∠AOB 为公共角,∴△OAC∽△OBA. ∴S△OBA:S△OAC=AB2:AC2. 又∵△OAB 与△OCA 有一个公共边 OA. ∴S△OBA:S△OAC=OB:OC,∴OB:OC=AB2:AC2. 点评:利用三角形相似的判定定理来证明三角形相似,然后 由面积比等于相似比的平方这一性质来解题. 所以并非见到内外 角平分线,就用角平分线定理.

变式探究 2 如图所示,已知 AD、BE 分别是△ABC 中 BC 边和 AC 边上的高,H 是 AD,BE 的交点,求证: (1)AD· BC=BE· AC; (2)AH· HD=BH· HE.

证明: (1)在 Rt△ADC 和 Rt△BEC 中,∠C 为公共角. AD AC ∴Rt△ADC∽Rt△BEC,∴ BE =BC, ∴AD· BC=BE· AC. (2)在 Rt△BHD 和 Rt△AHE 中, ∵∠BHD=∠AHE, BH HD ∴Rt△BHD∽Rt△AHE,∴AH= HE . ∴AH· HD=BH· HE.

题型三 射影定理的应用 例 3 如图所示,已知 BD、CE 是△ABC 的两条高,过点 D 的直线交 BC 和 BA 的延长线于 G、H,交 CE 于 F,且∠H=∠ BCF.求证:GD2=GF· GH.

解析:∵CE⊥AB, ∴∠H+∠HFE=90° . 又∵∠BCF=∠H,∠HFE=∠CFG, ∴∠BCF+∠CFG=90° . ∴FG⊥GC,∴△BGH∽△FGC. BG GH ∴GF=GC,即 BG· GC=GF· GH. 又∵DG2=BG· GC(射影定理), ∴DG2=GF· GH.

点评: 利用直角三角形的射影定理解决问题首先确定直角边 与其射影,再就是要善于将有关比例式进行适当的变形转化,有 时还要将等积式转化为比例式或将比例式转化为等积式, 并且注 意射影定理的其他变式.

变式探究 3 在 Rt△ABC 中, ∠ACB=90° , CD⊥AB 于点 D, CD=2,BD=3,则 AC 的长为__________.

解析:如图所示,由射影定理得 CD2=AD· BD, 4 13 ∵CD=2,BD=3,∴AD=3,得 AB=AD+BD= 3 . 4 13 2 13 又 AC2=AD· AB=3· ,∴ AC = 3 3 . 2 13 答案: 3

名师归纳 ?方法与技巧 相似三角形的判定定理的选择 (1)已知有一角相等时,可选择判定定理 1、2; (2)已知有两边对应成比例时,可选择判定定理 2、3; (3)判定直角三角形相似时, 首先看是否可以用判定直角三角 形的方法来判定, 如不能再考虑用判定一般三角形相似的方法来 判定.

?失误与防范 (1)关于直角三角形射影定理 ①射影定理的两个条件: 一是直角三角形; 二是斜边上的高, 二者缺一不可. ②应用射影定理可求直角三角形的边长、面积等有关量,同 时还可用于研究相似问题,比例式等问题. (2)在应用平行截割定理时,一定要注意对应线段成比例. (3)在解决相似三角形时, 一定要注意对应角和对应边, 否则 容易出错.

随堂检测 1.(2014· 东莞模拟)如图,在△ABC 中,D 为 AC 边上一点, ∠DBC=∠A,BC= 6,AC=3,则 CD=__________.

答案:2

2.(2014· 广东调研)如图,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB =4,CD=2,E,F 分别为 AD,BC 上点,且 EF=3,EF∥AB, 则梯形 ABFE 与梯形 EFCD 的面积比为__________.

答案:7∶5

3.(2014· 揭阳质检)如图,在△ABC 中,DE∥BC,EF∥CD, 若 BC=3,DE=2,DF=1,则 BD 的长为__________,AB 的长 为__________.

3 9 答案:2 2


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