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2015届高三艺术班数学一轮复习资料 第二章 函数、导数及其应用第11讲 导数与函数单调性 学生版

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高三艺术生数学复习专用资料 第二章 第 11 讲 一、必记 3 个知识点 1.函数的单调性 函数、导数及其应用 导数与函数单调性 在(a,b)内可导函数 f(x),f′(x)在(a,b)任意子区间内都不恒等于 0. f′(x)≥0?f(x)在(a,b)上为增函数. f′(x)≤0?f(x)在(a,b)上为减函数. 2.函数的极值 (1)函数的极小值: 函数 y=f(x)在点

x=a 的函数值 f(a)比它在点 x=a 附近其它点的函数值都小, f′(a)=0, 而且在点 x=a 附近 的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0,则点 a 叫做函数 y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数 y=f(x)的极小值. (2)函数的极大值: 函数 y=f(x)在点 x=b 的函数值 f(b)比它在点 x=b 附近的其他点的函数值都大,f′(b)=0,而且在点 x=b 附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,则点 b 叫做函数 y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数 y=f(x)的极大值. 极小值点,极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值. 3.函数的最值 (1)在闭区间[a,b]上连续的函数 f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值. (2)若函数 f(x)在[a,b]上单调递增,则 f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数 f(x)在[a,b]上单调 递减,则 f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值. 二、必明 2 个易误区 1.求函数极值时,误把导数为 0 的点作为极值点;极值点的导数也不一定为 0. 2.易混极值与最值:注意函数最值是个“整体”概念,而极值是个“局部”概念. 三、必会 2 个方法 解决含参数问题及不等式问题中的两个转化 (1)利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题,要注意分类讨论和数形结合思 想的应用. (2)将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性、极值问题处理. 考点一 判断或证明函数的单调性 3 x -?a+5?x,x≤0, ? ? [典例] (2013· 天津高考节选)设 a∈[-2,0],已知函数 f(x)=? 3 a+3 2 ? ?x - 2 x +ax,x>0. 信心+细心 第 1 页 共 4 页 高三艺术生数学复习专用资料 [针对训练] 已知函数 f(x)=x2-ex 试判断 f(x)的单调性并给予证明. 考点二 求函数的单调区间 [典例] (2012· 北京高考改编)已知函数 f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx. (1)若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求 a,b 的值; (2)当 a2=4b 时,求函数 f(x)+g(x)的单调区间. 一题多解 在本例(2)中,若条件不变,讨论函数 f(x)+g(x)当 a>0 时,在区间(-∞,-1)上的单调性. [针对训练] (2013· 重庆高考)设 f(x) =a(x-5)2+6ln x, 其中 a∈R, 曲线 y=f(x)在点(1, f(1))处的切线与 y 轴相交于点(0,6). (1)确定 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间与极值. 考点三 已知函数的单调性求参数的范围 1 [典例] (2013· 北京东城区统一检测)已知函数 f(x)= x3+mx2-3m2x+1,m∈R. 3 (1)当 m=1 时,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)若 f(x)在区间