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云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试 文科数学


玉溪一中 2013 届高三上学期期中考 数学(文)试题
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合 M A. ?1, 2 ?
?

?y

y ? 2 ,x ? 0
x

? , N ? ?x y

? lg( 2 x ? x )? ,则 M
2

? N

为(

)

B. ?1 , ?? ?

C. ?2 , ?? ?

D. ?1, ?? ?
? a

2. a , b 是平面 ? 内两条不同的直线,l 是平面 ? 外的一条直线, “ l 设 则 是“ l ? ? ”的( ) A.充要条件 C.必要而不充分的条件 B.充分而不必要的条件 D.既不充分也不必要的条件
?
3
3 ?1 2

,l

? b



2 2 3.定义运算: x ? y ? x ? y ? 2 x y ,则 s in

? cos

?
3

的值是( )
3 ?1 2

A.

?

3 ?1 2

B.

3 ?1 2

C. ?
? 90

D.

4.等差数列 { a n } 中,已知前 15 项的和 S 15 A.
45 2

,则 a 8 等于( D.12
f ( x ? 4)

)

B.6
f (x)

C.

45 4

5.若函数 y=

的图象经过(0,-1) ,则 y= B. (一 1,-4)
?
4

的反函数图象经过点( D. (1,-4)

)

A. (4,一 1) 6.将函数 y=sin(2x+

C. (-4,-1)
?
4

)的图象向左平移 )

个单位,再向上平移 2 个单位,则所得

图象的函数解析式是( A.y=2cos2(x+
?
8

)
?
4

B.y=2sin2(x+ )
??? 2 ?

?
8

)

C.y=2-sin(2x-

D.y=cos2x
??? ???? ? ? ??? ???? ? ??? ??? ? ?

A B C 7.在△ A B C 中,若 A B ? A B · C ? B A · C ? C A · B ,则

△ A B C 是( ) A.等边三角形 B.锐角三角形 A.3 B.4

C.钝角三角形 D.直角三角形 ) D.6
2

8.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的值是( C.5
3

9.若 a>0,b>0,且函数 值等于( A.2 ) B. 9

f ( x) ? 4 x ? ax ? 2bx ? 2

在 x=1 处有极值,则 ab 的最大

C.6

D.3

10. 设 f(x)、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时,f′(x)· g(x) +f(x)· g′(x)>0,且 f(-3)· g(-3)=0,则不等式 f(x)· g(x)<0 的解集是( ) A.(-3,0)∪(3,+∞) B.(-3,0)∪ (0,3) C.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(0,3) ? ? ? 1 ? 11.设函数 f(x)=xm+ax 的导数 f′(x)=2x+1,则数列?f?n??n∈(N*)的前 n 项和( ) ? ? ? ? n+1 n+2 n n A. B. C. D. n n-1 n+1 n+1 12.已知抛物线方程为 y 2
? 4x

,直线 l 的方程为 x

? y ? 4 ? 0

,在抛物线上有一动
? d2

点 P 到 y 轴的距离为 d 1 ,P 到直线 l 的距离为 d 2 ,则 d 1 A.
5 2 2 ? 2

的最小(
2

)

B.

5 2

2

?1

C.

5 2

2

? 2

D.

5 2

?1

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。将答案填在答题卷相应位 置上)
? x ? 3 y ? 4 ? 0, ? x ? 0, 13.若在区域 ? 内任取一点 ? y ? 0 ?

P,则点 P 落在单位圆 x 2

? y

2

? 1 内的概

率为

.
a b

14.已知向量 a 与向量 b 的夹角为 120°,若向量 c=a+b,且 a⊥c,则 ________. 15 若不等式 | 2 a
? 1 |? | x ? 1 x | 对一切非零实数 x

的值为

恒成立,则实数 a 的取值范围是

16.某四面体的三视图如上图所示,该四面体四个面的面积中最大的是 三、解答题: (本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明、证明过程和 演算步骤)

17.(本题满分 12 分) 在△ A B C 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,已知 4 s in
a ? b ? 5 ,c ?
7 ,求: (1) ? C
2

A? B 2

? cos 2C ?

7 2

,且

(2)△ A B C 的面积.

18. (本题满分 12 分) 今年十一黄金周,记者通过随机询问某景区 110 名游客对景区的服务是否满意, 得到如下的列联表: 性别与对景区的服务是否满意 单位:名 男 女 总计 50 30 80 满意 10 20 30 不满意 60 50 110 总计 (1)从这 50 名女游客中按对景区的服务是否满意采取分层抽样,抽取一个容量 为 5 的样本,问样本中满意与不满意的女游客各有多少名? (2)从(1)中的 5 名女游客样本中随机选取两名作深度访谈,求选到满意与不 满意的女游客各一名的概率; (3)根据以上列联表,问有多大把握认为“游客性别与对景区的服务满意”有关 注: k
2

?

n ? ad ? bc ?

2

?a

? b??c ? d

??a

? c ? ?b ? d

?
0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879

临界值表: P( k 2
K
? k0)

0.05 3.841

0

19. (本题满分 12 分) 如图所示,四边形 ABCD 为正方形,QA⊥平面 ABCD,PD∥QA, 1 QA=AB= PD. 2 (1)证明:PQ⊥平面 DCQ; (2)求棱锥 Q-ABCD 的体积与棱锥 P-DCQ 的体积的比值.

20.(本题满分 12 分)

已知 a∈R,函数 f(x)=4x3-2ax+a. (1)求 f(x)的单调区间; (2)证明:当 0≤x≤1 时,f(x)+|2-a|>0.

21. (本题满分 12 分) 已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴长是短轴长的 2 倍且经过点 M(2,1) ,平行于 OM 的直线 l 在 y 轴上的截距为 m(m≠0) l 交椭圆于 , A、B 两个不同点。 (1)求椭圆的方程; (2)求 m 的取值范围; (3)求证直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形.

请考生在第 22、23 两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分 22. (本题满分 10 分) 《选修 4-4:坐标系与参数方程》 在直接坐标系 xOy 中,直线 l 的方程为 x-y+4=0,曲线 C 的参数方程为
? x ? 3co s? ? (?为参数) ? ? y ? s in ? ?

(1) 已知在极坐标系 (与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位, 且以原点 O 为极点, 以 x 轴正半轴为极轴) 中, P 的极坐标为 ? 4 , 点
? ?

? ?
? 2 ?

, 判断点 P 与直线 l 的位置关系;

(2)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值.

23. (本题满分 10 分) 《选修 4-5:不等式选讲》 已知函数 f ( x ) ? x ? 2 ? x ? 5 (1)证明: ? 3 ? f ( x ) ? 3
2 (2)求不等式: f ( x ) ? x ? 8 x ? 15 的解集

玉溪一中 2013 届高三上学期期中考

数学(文)试题答案
一、选择题:第小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A C D B B C D A B D C D 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。将答案填在答题卷相应位 置上.) 13 14 15 16
3? 32 1 2
? 1 3? ? , ? ? ? 2 2?

10

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明、证明过程和演 算步骤
17.解: (1)? 4 sin
2

A ? B 2

? cos 2 C ? C ?1? 7 2 7 2

7 2

? 2 ?1 ? cos( A ? B ) ? ? 2 cos ? 2 ? 2 cos C ? 2 cos ? cos
2 2

2

C ?1? ? 0

C ? cos C ? 1 2

1 4

? cos C ?

,且 0 ? C ? ?


C ?

C ?
2

?
3

(2)由余弦定理得: cos
? ab ? a
2

a

? b

2

? 7

?

1 2

2 ab

? b

2

? 7
2

? 3 ab ? ( a ? b )

? 7 即 ab ? 6

?S

? ABC

?

1 2

ab sin C ?

3 2

3

18.解: (1)根据分层抽样可得:样本中满意的女游客为 满意的女游客为
5 50 ? 20 ? 2

5 50

? 30 ? 3

名,样本中不

名。

(2)记样本中对景区的服务满意的 3 名女游客分别为 a 1 , a 2 , a 3 ,对景区的服务不 满意的 2 名女游客分别为 b 1 , b 2 。 5 名女游客中随机选取两名, 从 共有 10 个基本事 件,分别为: ( a 1 , a 2 ), ( a 1 , a 3 ) , ( a 1 , b 1 ), ( a 1 , b 2 ) , ( a 2 , a 3 ), ( a 2 , b 1 ) , ( a 2 , b 2 ), ( a 3 , b 1 ) ,

( a 3 , b 2 ), ( b 1 , b 2 )

;其中事件 A:选到满意与不满意的女游客各一名包含了 6 个基本
( a 2 , b 2 ), ( a 3 , b 1 )

事件,分别为: ( a 1 , b 1 ), ( a 1 , b 2 ) , ( a 2 , b 1 ) 所以所求概率 P ( A )
? 6 10 ? 3 5

, (a 3 , b2 )



(3)假设 H 0 :该景区游客性别与对景区的服务满意无关,则 k 2 应该很小。 根据题目中列联表得: k 由 P (k 2
? 6 . 635 ) ? 0 . 010
2

?

110 ? ( 50 ? 20 ? 30 ? 10 ) 80 ? 30 ? 60 ? 50

2

?

539 72

? 7 . 486

可知:有 99%的把握认为:该景区游客性别与对景区的服

务满意有关。 19. 解: (1)证明:由条件知 PDAQ 为直角梯形. 因为 QA⊥平面 ABCD,所以平面 PDAQ⊥平面 ABCD,交线为 AD. 又四边形 ABCD 为正方形,DC⊥AD, 所以 DC⊥平面 PDAQ,可得 PQ⊥DC. 2 在直角梯形 PDAQ 中可得 DQ=PQ= PD,则 PQ⊥QD. 2 所以 PQ⊥平面 DCQ. (2)解:设 AB=a. 1 由题设知 AQ 为棱锥 Q-ABCD 的高,所以棱锥 Q-ABCD 的体积 V1= a3. 3 2 由(1)知 PQ 为棱锥 P-DCQ 的高,而 PQ= 2a,△DCQ 的面积为 a2, 2 1 所以棱锥 P-DCQ 的体积 V2= a3. 3 故棱锥 Q-ABCD 的体积与棱锥 P-DCQ 的体积的比值为 1:1. 20. 解: (1)由题意得 f′(x)=12x2-2a. 当 a≤0 时,f′(x)≥0 恒成立,此时 f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞). ? a?? a? ??x+ ?,此时 当 a>0 时,f′(x)=12?x- 6?? 6? ? ? a? ? a ? ?和? 函数 f(x)的单调递增区间为?-∞,- ,+∞?, 6? ? 6 ? ? ? a a? ?. 单调递减区间为?- , 6 6? ? (2)由于 0≤x≤1,故 当 a≤2 时,f(x)+|a-2|=4x3-2ax+2≥4x3-4x+2. 当 a>2 时,f(x)+|a-2|=4x3+2a(1-x)-2≥4x3+4(1-x)-2=4x3-4x+2. ? 3 ?? 3? 设 g(x)=2x3-2x+1,0≤x≤1,则 g′(x)=6x2-2=6?x- ??x+ ?,于是 3 ?? 3? ?

x
g ?( x )

0

(0,

3 3

)

3 3

(

3 3

,1 )

1

g (x)

1

减函数

0 极小值

+ 增函数

1

4 3 ? 3? 所以 g(x)min=g? ?=1- >0. 9 ?3? 所以当 0≤x≤1 时,2x3-2x+1>0. 故 f(x)+|a-2|≥4x3-4x+2>0.
21. 解: (1)设椭圆方程为
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

?a ? 2b 2 ?a ? 8 ? ? 解得 ? 则? 4 1 2 ? 2 ?1 ?b ? 2 ? 2 ? b ?a

∴椭圆方程为

x

2

?

y

2

?1

8
1 2

2

(2)∵直线 l 平行于 OM,且在 y 轴上的截距为 m ;
? l 的方程为: y ? 1 2
1 ? y ? x ? m ? ? 2 2 ? x ? 2 mx ? 2 m 由? 2 2 ?x ? y ?1 ? 8 2 ?

又 KOM=

x ? m

2

? 4 ? 0

∵直线 l 与椭圆交于 A、B 两个不同点,
? ? ? (2m )
2

? 4(2m

2

? 4) ? 0,

解得 ? 2 ? m ? 2 , 且 m ? 0

(3)设直线 MA、MB 的斜率分别为 k1,k2,只需证明 k1+k2=0 即可 设 A ( x 1 , y 1 ), 由x2 而 k1
B(x2 , y2 )

则 k1

?

y1 ? 1 x1 ? 2

,k2 ?

y2 ? 1 x2 ? 2
2

? 2 mx ? 2 m

2

? 4 ? 0

可得
?

x1 ? x 2 ? ? 2 m , x1 x 2 ? 2 m

? 4

? k2 ?

y1 ? 1 x1 ? 2

?

y2 ? 1 x2 ? 2

( y 1 ? 1 )( x 2 ? 2 ) ? ( y 2 ? 1 )( x 1 ? 2 ) ( x 1 ? 2 )( x 2 ? 2 )

( ?

1 2

x 1 ? m ? 1 )( x 2 ? 2 ) ? (

1 2

x 2 ? m ? 1 )( x 1 ? 2 )

( x 1 ? 2 )( x 2 ? 2 ) x 1 x 2 ? ( m ? 2 )( x 1 ? x 2 ) ? 4 ( m ? 1 ) ( x 1 ? 2 )( x 2 ? 2 ) 2m
2

?

?

? 4 ? ( m ? 2 )( ? 2 m ) ? 4 ( m ? 1 ) ( x 1 ? 2 )( x 2 ? 2 )

?

2m

2

? 4 ? 2m

2

? 4m ? 4m ? 4

( x 1 ? 2 )( x 2 ? 2 )

? 0

? k1 ? k 2 ? 0

故直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形. 22 解:(1)把极坐标系下的点 P ? 4 ,
? ?

? ?
? 2 ?

化为直角坐标,得 P(0,4) 。
? y ? 4 ? 0

因为点 P 的直角坐标(0,4)满足直线 l 的方程 x 所以点 P 在直线 l 上, (2)因为点 Q 在曲线 C 上,故可设点 Q 的坐标为 ? 从而点 Q 到直线 l 的距离为
| 3 c o s ? ? s in ? ? 4 | 2 2 c o s (? ? ? 2



3 cos ? , sin ?

?,

?
6

)? 4 ? 2 c o s (? ?

d ?

?
6

)? 2

2

由此得,当 cos( ? ? 24、解: (1)

?
6

) ? ? 1 时,d 取得最小值,且最小值为 2

? ? 3, ? f ( x ) ? | x ? 2 | ? | x ? 5 |? ? 2 x ? 7 , ? 3, ?

x ? 2, 2 ? x ? 5, x ? 5.

当 2 ? x ? 5时,- 3 ? 2 x ? 7 ? 3

所以 ? 3 ? f ( x ) ? 3
2

(2)由(1)可知, 当 x ? 2 时 , f ( x ) ? x ? 8 x ? 15 的解集为空集;
2 当 2 ? x ? 5 时 , f ( x ) ? x ? 8 x ? 1 5的 解 集 为 { x | 5 ?

3 ? x ? 5}





x ? 5时 , f ( x ) ? x

2

? 8 x ? 1 5的 解 集 为 { x | 5 ? x ? 6}
2

综上,不等式

f (x) ? x

? 8 x ? 1 5的 解 集 为 { x | 5 ?

3 ? x ? 6} .


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