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数列综合测试(一)


数列综合测试(一)
一.选择题 1 在各项都为正数的等比数列{an}中,首项 a1=3 ,前三项和为 21,则 a3+ a4+ a5=( A.33 B.72 C.84 D .189
S 2.已知 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 a3 ? 9a1 ,则 5 =( S3

)



A.3

B.5 C.

D.

3.已知等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 S2 ? 6, S4 ? 30 ,则 S6 ? ( ) A.115 B.116 C.125 D.126 4. Sn 为等比数列 {an } 的前 n 项和, 3S3 ? a4 ? 2 , 3S2 ? a3 ? 2 ,则公比 q ? ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 5.已知 ?an ? 是等比数列, a2 ? 2, a5 ? A.

1 ,则 a1a2 ? a2a3 ? ? ? an an?1 ? ( 4
C. 16 1 ? 2 ? n



32 1 ? 2? n ? ? 3

B. 16 1 ? 4 ? n

?

?

?

?

D.

32 1 ? 4? n ? ? 3

6.已知数列 ?an ? 中, a1 ? 则数列 ?an ? 的通项为 ( A. an ?

1 1 , an ?1 ? an ? 2 n? N?? , ? 2 n ? 3n ? 2


1 n ?1

B. an ?

n n ?1

C. an ?

1 n ?1 ? 2 2 n ?n?2

D. an ?

n ?1 n?2

7. 若a ? b, 两个等差数列 a, x1 , x2 , b 与 a, y1 , y2 , y3 , b 的公差分别为 d1 , d 2 , 则

d1 等于 ( d2



A.3/2 B.2/3 C.4/3 D.3/4 45 8. 已知由正数组成的等比数列{an}中,公比 q=2, a1·a2·a3·…·a30=2 , 则 ) a1 ? a4 ? a7 ? ? ? a28 ? ( 5 A 2 B 210 C 215 D 220
1 ? 2 a n , (0 ? a n ? ) 3 ? 2 ,若 a1 ? ,则 a 2015 ? ( ?? ? 5 ?2a ? 1, ( 1 ? a ? 1) n n ? 2 ?

9.数列 {an } 满足 an?1



A.

2 3 4 1 B. C. D. 5 5 5 5
)

10.在等比数列{an}中, a1<0, 若对正整数 n 都有 an<an+1, 那么公比 q 的取值范围是 ( A q>1 B 0<q<1 C q<0 D q<1

11.已知数列 ?an ? , ?bn ? 满足:
1

a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? ? ? anbn ? (n ? 1) ? 2n ?1 ? 2(n ? N ? ) ,
若 ?bn ? 是首项为 1,公比为 2 的等比数列,则数列 ?an ? 的通项公式是( ) A. an ? 2n ?1 B. an ? 2n C. an ? 2n D. an ? 2n ? 1
2

12.设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项之积为 Tn ,若 Tn ? 2n ( A.7 ) . B.8 C. 4 3

?n

,则

an ? 12 的最小值为 2n

D. 2 3

已知数列 ?an ? 为等差数列, 若 13. 的最大值为( A. ) B. 19

a11 则使 Sn ? 0 成立的 n ? ?1 且它的前 n 项和有最大值, a10
D. 21

11

C. 20

14. 已知 {an } 是首项为 32 的等比数列,S n 是其前 n 项和, 且 前 10 项和为( (A) 58 ) (B) 56 (C) 50

S 6 65 ? , 则数列 {| log2 an |} S 3 64
(D) 45

15. 已知等差数列 {an } 的等差 d ? 0 , 且 a1 ,a3 ,a13 成等比数列, 若 a1 ? 1 ,Sn 为数列 {an } 的前 n 项和,则

2 S n ? 16 的最小值为( an ? 3
B. 3



A.4

C. 2 3 ? 2

D.

9 2

二.填空题 8 27 16.在 和 之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为______ 3 2 17. 设数列{an}的前 n 项和为 Sn, Sn= a1 (3 ? 1) (对于所有 n≥1), 且 a4=54, 则 a1 的数值是_____.
n

18. 等差数列{an}的前 m 项和为 30, 前 2m 项和为 100, 则它的前 3m 项和为 1 1 19.数列 ?a n ?满足 ,则称数列 ?a n ?为调和数列,记数 ? ? d (n ? N ? , d 为常数) an ?1 an

2

列?

?1 ? ? 为调和数列,且 x1 ? x2 ? ? ? x20 ? 200, 则 x5 ? x16 ? ______. ? xn ?

20.设等比数列 {an } 的公比为 q,前 n 项和为 Sn,若 Sn+1,Sn,Sn+2 成等差数列,则 q 的值为 _________

0 a ? b) 21.若关于 x 的方程 x ? x ? a ? 0和x ? x ? b ? ( 的四个根可以组成首项为
2 2

1 的等 4

差数列,则 a ? b 的值为______ 22.若 a1 , a2 , a3 ,......,a2n?1 成等差数列,奇数项的和 75,偶数项的和 60,则该数列的项数为 _____

23.若一个等差数列的前 3 项的和为 34,最后 3 项的和为 146,且所有项的和为 390,则这 个数列有_______13

24.若 ?an ? 是等差数列,首项 a1 ? 0, a2003 ? a2004 ? 0, a2003 ? a2004 ? 0 ,则使前 n 项和 S n ? 0 成立的最大自然数 n 是______4006 25.设数列 ?an ? 的通项公式 an ? ?2n ? 10 ,则 a1 ? a2 ? a3 ? ... ? an ? ________

26.已知正项等比数列 ?a n ? ,满足

,则

的最小值为________

27.在等比数列 ?a n ? 中,若 a1 ? a 2 ? a3 ? a 4 ? ,则

15 9 , a 2 a3 ? ? 8 8

1 1 1 1 ? ? ? ? _________ a1 a2 a3 a4

三.解答题 28.已知数列 {an } 满足: a1 ? 3a2 ? 32 a3 ? ?? 3n?1 an ? n , n ? N .
*

3

(1)求数列 {an } 的通项; (2)设数列 {bn } 满足 3 n ?
b

b 3 ,求数列 { n } 的前 n 项和 Sn . an an

29.已知各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项 S n 满足 2 S n ? an ? 1 . (1)求数列 ?an ? 通项公式; (2)设 Tn 为数列 ? 值.

? 1 ? ? ? 的前 n 项和,若 Tn ? ? an ?1 对 ?n ? N 恒成立,求实数 ? 的最小 ? an an ?1 ?

30. 已知等比数列 {an} 的各项都是正数, Sn=80, S2n=6560, 且在前 n 项中, 最大的项为 54, 求 n 的值.

数列综合测试(一)
1-5 CADBD 6-10 BCABB 11-15 CABAA
4

16. 216 24.4006

17.1

18. 210

19.20

20.-2 26.36

21.

2 ? ?? n ? 9n, n ? ?1,5? 25. S n ? ? 2 ? ?n ? 9n ? 40, n ? 6

31 72

22.9
5 3

23.13

27. ?

10.在等比数列{an}中, a1<0, 若对正整数 n 都有 an<an+1, 则 an<anq 即 an(1-q)<0 若 q<0,则数列{an}为正负交错数列,上式显然不成立; 若 q>0,则 an<0,故 1 -q>0,因此 0<q<1 28 解: (1)当 n≥2 时,

a1 ? 3a2 ? 32 a3 ? … ? 3n?1 an ? n ,① a1 ? 3a2 ? 32 a3 ? … ? 3n?2 an?1 ? n ? 1 ,②
由①?②得: 3n ?1 an ? 1 ,∴an ?
1 . 3
n ?1

当 n ? 1 时, a1 ? 1 也满足上式,∴an ? (2)由(1)及 3bn ?

1 (n ? N * ) . 3
n ?1

b 3 得, 3bn ? 3n ,∴ bn ? n , ∴ n ? n3n ?1 , an an

∴Sn ? 1 ? 30 ? 2 ? 31 ? 3 ? 32 ? … ? n ? 3n?1 , 3Sn ? 1 ? 31 ? 2 ? 32 ? 3 ? 33 ? … ? n ? 3n .
以上两式相减得:

?2Sn ? 1 ? 3 ? 32 ? … ? 3n?1 ? n ? 3n ?
29(1)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ?

1 ? 3n n 1 1 ? n ? 3n , ∴Sn ? ? 3n ? ? 3n ? . 2 4 4 1? 3
1

?a1 ? 4?2 ,解得 a
4

? 1.



n?2





an ? S n ? S n ?1

2 2 ? an ? 4? ?an?1 ? 4? ? ?

4

4









?an ?1?2 ? ?an?1 ?1?2 ? 0 ,??an ? an?1 ??an ? an?1 ? 2? ? 0
? an ? 0 , an ? an?1 ? 0 ,? an ? an?1 ? 2 ,
??an ? 是首项为 1,公差为 2 的等差数列.? an ? 2n ? 1
(2)

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? an ? an?1 ?2n ? 1??2n ? 1? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

5

Tn ? ?

1 1 1 ? ?? ? a1a2 a2 a3 an an ?1

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ? 1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? . ? 2 ?? 3 ? ? 3 5 ? ? 2n ? 1 2n ? 1 ? ?

1? 1 ? n ? ?1 ? ?? 2 ? 2n ? 1 ? 2n ? 1
由题意知

n n ? ? ?2n ? 1? 对 ?n ? N ? 恒成立,即 ? ? 对 ?n ? N ? 恒成立, 2 2n ? 1 ?2n ? 1?
2

令 bn ?

n n ?1 n ? ?2n ? 1? ? 2 ,则 bn?1 ? bn ? , ? ? 2 2 2 ?2n ? 1? ?2n ? 3? ?2n ? 1? ?2n ? 3?2 ?2n ? 1?2
?

因为对于 ?n ? N , 2 n ? 1 ? 3 所以 ? ?2n ? 1? ? 2 ? 0 , bn?1 ? bn ? 0 可得 bn?1 ? bn .
2

即数列 ?bn ?是单调递减数列,即数列 ?bn ?的最大值是 b1 ?

1 1 1 ,? ? ? ,即 ? 的最小值为 9 9 9

30. 解: 由已知 an>0, 得 q>0, 若 q=1, 则有 Sn=na1=80, S2n=2na1=160 与 S2n=6560 矛盾, 故 q≠

? a1 (1 ? q n ) ? 80 (1) ? ? 1? q 1. ∵ ? , 由(2)÷(1)得 qn=81 2n ? a1 (1 ? q ) ? 6560 (2) ? ? 1? q
a1 n 54 2 q =54, 且 qn=81, ∴a1= q. 即 a1= q. 3 81 q 2 2 将 a1= q 代入(1)得 q(1-qn)=80(1-q), 3 3 2 即 q(1-81)=80(1-q), 解得 q=3. 又 qn=81, ∴n=4. 3
又 an=a1qn-1=

(3).

∴q>1, 此数列为一递增数列, 在前 n 项中, 最大一项是 an, 即 an=54.

6


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