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反函数的基本知识点


反函数的基本知识点 一. 定义: 设式子 y ? f ( x) 表示 y 是 x 的函数, 定义域为 A, 值域为 C, 从式子 y ? f ( x) 中解出 x , 得到式子 x ? ? ( y ) ,如果对于 y 在 C 中的任何一个值,通过式子 x ? ? ( y ) , x 在 A 中都有唯一确 定的值和它对应,那么式子 x ? ? ( y ) 就表示 x 是 y 的函数

( y 是自变量) ,这样的函数,叫做

y ? f ( x) 的反函数 ,记作 x ? f ?1 ( y) ,即 x ? ? ( y) ? f ?1 ? y ? ,一般习惯上对调 x ? f ?1 ? y ? 中的
字母 x, y ,把它改写成 y ? f
?1

( x) 。

(1) .反函数存在的条件:从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数; (2) .原函数的定义域、值域分别是反函数的值域、定义域,

f (a) ? b ? f 几何语言:

?1

(b) ? a

点P(a, b)在y ? f ? x ?图象上 ? 点P ?(b, a)在y ? f ?1 ( x)图象
(3) . y ? f ( x) 与 y ? f ?1 ( x) 的图象关于 y ? x 对称. 二.求反函数的一般步骤 (1) 确定原函数的值域,也就是反函数的定义域 (2) 由 y ? f ( x) 的解析式求出 x ? ? ( y ) (3) 将 x, y 对换,得反函数的一般表达式 y ? f 义域不能由反函数的解析式求得) 分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数后再合成。 三.掌握下列一些结论 (1) 单调函数 ? 一一对应 ? 有反函数 (2) 周期函数不存在反函数 (3) 若一个奇函数有反函数,则反函数也必为奇函数 (4) 证明 y ? f ( x) 的图象关于直线 y ? x 对称,只需证 y ? f ( x) 的反函数和 y ? f ( x) 相同。
?1

( x) ,标上反函数的定义域(反函数的定


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