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03【数学】广东省广州市2010年高考前查漏补缺题(文科数学A组)


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2010 年广州市高考数学考前查漏补缺题
(文科) 月 21、22、23、26、30 日分次练习) (5
说明: ⒈本训练题由广州市中学数学教学研究会高三中心组组织编写,共 28 题,分为 A,B 两组,其中 B 组题较难. ⒉本训练题仅供本市高三学生考前查漏补缺用,

希望在 5 月 31 日之前完成. 3. 本训练题与市高三质量抽测、 一模、 二模等数学试题在内容上相互配套, 互为补充. 四 套试题覆盖了高中数学的主要知识和方法. 因此, 希望同学们在 5 月 31 日至 6 月 6 日之间, 安排一段时间,对这四套试题进行一次全面的回顾总结,同时,将高中数学课本中的基本知 识(如概念、定理、公式等)再复习一遍. 希望同学们保持良好的心态,在高考中稳定发挥,考取理想的成绩!

A
1、已知函数 y ?



1 ? ?? sin ? 2 x ? ? , x ?R. 2 ? 6?

(1)求它的振幅、周期、初相; (2)用五点法作出它的简图; (3)该函数的图象可由 y ? sin x ( x ?R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?

2、 已知两个向量 m ? (cos ? ,sin ? ) , ? (2 2 ? sin ? , 2 2 ? cos? ) , 其中 ? ? (? n 且满足 m ? n ? 1 . (1)求 sin(? ?

3? ,?? ) , 2

?
4

) 的值

(2)求 cos( ? ?

7? ) 的值. 12

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3、在△ ABC 中,内角 A , B , C 对边的边长分别是 a, b, c ,已知 c ? 2, C ? (1)若△ ABC 的面积等于 3 ,求 a , b ; (2)若 sin C ? sin(B ? A) ? 2 sin 2 A ,求△ ABC 的面积.

?
3



4、一缉私艇发现在方位角(从正北方向顺时针转到目标 方向线的水平角) 45°方向, 距离 15 海里的海面上有一走 私船正以 25 海里/小时的速度沿方位角为 105°的方向逃 窜. 若缉私艇的速度为 35 海里/小时, 缉私艇沿方位角为 45°+α 的方向追去,若要在最短时间内追上该走私船. (1)求角 α 的正弦值; (2)求缉私艇追上走私船所需的时间.

x1 C o 45 α

x2 o 105 B

A

5、 奇瑞公司生产的“奇瑞”轿车是我国民族品牌. 该公司 2009 年生产的“旗云”、 “风云”、 QQ ” “ 三类经济型轿车中,每类轿车均有舒适和标准两种型号.某周产量如下表: QQ 车型 旗云 风云 x 100 150 舒适 y 300 600 标准 若按分层抽样的方法在这一周生产的轿车中抽取 50 辆进行检测,则必须抽取“旗云”轿 车 10 辆,“风云”轿车 15 辆. (1)求 x 、 y 的值; (2)在年终促销活动中,奇瑞公司奖给了某优秀销售公司 2 辆舒适型和 3 辆标准型“ QQ ” 轿车, 该销售公司又从中随机抽取了 2 辆作为奖品回馈消费者. 求至少有一辆是舒适型 轿车的概率.

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6、设 AB ? 6 ,在线段 AB 上任取两点(端点 A, B 除外) ,将线段 AB 分成了三条线段. (1)若分成的三条线段的长度均为正整数,求这三条线段可以构成三角形的概率; (2)若分成的三条线段的长度均为正实数,求这三条线段可以构成三角形的概率.

7、某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究,他 们分别记录了 3 月 1 日至 3 月 5 日的每天昼夜温差与实验室每天每 100 颗种子浸泡后的发芽 数,得到如下资料: 日 期 3月1日 10 23 3月2日 11 25 3月3日 13 30 3月4日 12 26 3月5日 8 16

温差 x (°C) 发芽数 y (颗)

(1) 3 月 1 日至 3 月 5 日中任选 2 天, 从 记发芽的种子数分别为 m, n , 求事件“ ? 的概率;

?25 ? m ? 30 ” ?25 ? n ? 30

(2)甲,乙两位同学都发现种子的发芽率与昼夜温差近似成线性关系,给出的拟合直线分 别为 y ? 2.2 x 与 y ? 2.5 x ? 3 ,试利用“最小平方法(也称最小二乘法)的思想”,判断 哪条直线拟合程度更好.

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8、甲乙两人进行围棋比赛,约定每局胜者得 1 分,负者得 0 分, 比赛进行到有一人比对方多 2 分或打满 6 局时停止. 设甲在每局中 开始

1 ) ,且各局胜负相互独立.已知第二局比 2 5 赛结束时比赛停止的概率为 . 9
获胜的概率为 p ( p ?

n ? 0, S ? 0, T ? 0
输入 a, b

T 若右图为统计这次比赛的局数 n 和甲、 乙的总得分数 S 、 的
程序框图.其中如果甲获胜,输入 a ? 1 , b ? 0 ;如果乙获胜, 则输入 a ? 0, b ? 1 . (1)在右图中,第一、第二两个判断框应分别填写什么条件? (2)求 p 的值.

S ? S ? a, T ? T ? b

M ? S ?T
n ? n ?1
Y

?
N N

?
Y
输出 n, S , T 结束

CD ?ABC ? 60? , 9、 如图, 在梯形 ABCD 中,AB ∥ ,AD ? DC ? CB ? a , 平面 ACFE ?
平面 ABCD ,四边形 ACFE 是矩形, AE ? a ,点 M 在线段 EF 上. (1)求证: BC ? 平面 ACFE ; (2)当 EM 为何值时, AM ∥ 平面 BDF ?证明你的结论; E M F

D A

C B

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10、 如图,平行四边形 ABCD 中, ?DAB ? 60? , AB ? 2 , AD ? 4 .将 ?CBD 沿 BD 折起 到 ?EBD 的位置,使平面 EBD ? 平面 ABD . E (1)求证: AB ? DE ; (2)求三棱锥 E ? ABD 的侧面积. D C

A

B

11、一个多面体的直观图,正(主)视图,侧(左)视图如下所示,其中正(主)视图、侧 (左)视图为边长为 a 的正方形. (1)请在指定的框内画出多面体的俯视图; (2)若多面体底面对角线 AC , BD 交于点 O , E 为线段 AA1 的中点,求证: OE // 平面

AC1C ; 1
(3)求该多面体的表面积.
C1 D1 A1 B1 a 2 a 2

a D A B C 正(主)视图 侧(左)视图

直观图

俯视图

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12、如图,已知△ ABC 内接于圆 O,AB 是圆 O 的直径,四边形 DCBE 为 平 行 四 边 形 , DC ? 平 面 ABC , AB ? 2 ,

tan ?EAB ?

3 . 2

(1)证明:平面 ACD ? 平面 ADE ; (2)记 AC ? x , V ( x) 表示三棱锥 A-CBE 的体积, 求 V ( x) 的表达式.

13、已知直线 x ? ky ? 3 ? 0 所经过的定点 F 恰好是椭圆 C 的一个焦点,且椭圆 C 上的点到 点 F 的最大距离为 8. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)已知圆 O : x 2 ? y 2 ? 1 , ,直线 l : m x ? ny ? 1 .试证明:当点 P(m, n) 在椭圆 C 上运 动时,直线 l 与圆 O 恒相交,并求直线 l 被圆 O 所截得弦长 L 的取值范围.

14、已知抛物线 C1 的方程是 y ? ax (a ? 0) ,圆 C 2 的方程是 x ? ( y ? 1) ? 5 ,直线
2 2 2

l : y ? 2 x ? m(m ? 0) 是 C1 ,C2 的公切线,F 是 C1 的焦点.
(1)求 m 与 a 的值; (2)设 A 是抛物线 C1 上的一动点,以 A 为切点作 C1 的切线交 y 轴 于点 B,若 FM ? FA ? FB ,则点 M 在一定直线上,试证明之.

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x2 y 2 15、如图,抛物线 C1 : y ? 8x 与双曲线 C2 : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 有公共焦点 F2 ,点 A a b
2

是曲线 C1 , C2 在第一象限的交点,且 AF2 ? 5 . (1)求双曲线 C2 的方程; (2)以 F 为圆心的圆 M 与双曲线的一条渐近线相切,圆 N : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1 .已知点 1 过点 P 作互相垂直且分别与圆 M 、 N 相交的直线 l1 和 l2 , l1 被圆 M 截 圆 设 P(1, 3) , s 得的弦长为 s , l2 被圆 N 截得的弦长为 t . 是否为定值?请说明理由. t

16、舰 A 在舰 B 的正东 6 千米处,舰 C 在舰 B 的北偏西 30°且与 B 相距 4 千米,它们准备捕海洋动物,某时刻 A 发现动物信号, 4 秒后 B、 同时发现这种信号, 发射麻醉炮弹 设舰与动物均 C A 为静止的,动物信号的传播速度为 1 千米/秒,若不计空气阻力 与舰高,问舰 A 发射炮弹的方位角应是多少?

y C
300

P

B

o

A

x

17、数列 {an } 的前 n 项和记为 Sn , a1 ? t , an?1 ? 2Sn ?1(n ?N? ) . (1)当 t 为何值时,数列 {an } 是等比数列? (2)在(1)的条件下,若等差数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 有最大值,且 T3 ? 15 ,又 a1 ? b1 ,

a2 ? b2 , a3 ? b3 成等比数列,求 Tn .

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18、已知数列 ?an ? 满足 a1 ? a , an?1 ?

(4n ? 6)an ? 4n ? 10 ( n ? N? ) . 2n ? 1



?a ? 2? (1)判断数列 ? n ? 是否为等比数列?若不是,请说明理由;若是,试求出通项 an ; ? 2n ? 1 ?
(2)如果 a ? 1 时,数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,试求出 Sn .



19、已知函数 F ? x ? ?

3x ? 2 ? 1? , ? x ? ?. 2x ?1 ? 2?

(1)求 F ?

? 1 ? ? 2 ? ? 2008 ? ?? F? ? ?? ? F ? ?; ? 2009 ? ? 2009 ? ? 2009 ?

(2)已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 2 , an?1 ? F ? an ? ,求数列 ?an ? 的通项公式; (3)求证: a1a2a3...an ? 2n ?1 .

20、 Pn ( xn , y n ) 是函数 y ? x 2 ( x ? 0) 图象上的动点,以 Pn 为圆心的⊙ n 与 x 轴都相切,且 P ⊙ n 与⊙ n ?1 又彼此外切,若 x1 ? 1 , xn?1 ? xn . P P (1) 求证:数列 ?

?1? ? 是等差数列; ? xn ?

(2) 设⊙ n 的面积为 S n ,求证: S1 ? P

S2 ? ? ? Sn ?

3 ? . 2

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21、某企业自 2009 年 1 月 1 日正式投产,环保监测部门从该企业投产之日起对它向某湖区 排放污水进行了四个月的跟踪监测,检测的数据如下表.并预测,如果不加以治理,该企 业每月向湖区排放污水的量将成等比数列. 1月 2月 4月 3月 月份 该企业向湖区排放的污 1万 2万 4万 8万 水(单位:立方米) (1)如果不加以治理,求从 2009 年 1 月起, m 个月后,该企业总计向某湖区排放了多少 立方米的污水? (2)为保护环境,当地政府和企业决定从 7 月份开始投资安装污水处理设备,预计 7 月份 的污水排放量比 6 月份减少 4 万立方米, 以后每月的污水排放量均比上月减少 4 万立方 米,当企业停止排放污水后,再以每月 16 万立方米的速度处理湖区中的污水,请问什 么时候可以使湖区中的污水不多于 50 万立方米?

22、已知函数 f(x)=2x3-3ax2+1. (1)若 x=1 为函数 f(x)的一个极值点,试确定实数 a 的值,并求此时函数 f(x)的极值; (2)求函数 f(x)的单调区间.

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23、已知函数 f ( x) ? ln x ?

2a , a?R . x

(1)若函数 f ( x ) 在 [2, ??) 上是增函数,求实数 a 的取值范围; (2)若函数 f ( x ) 在 [1, e] 上的最小值为 3,求实数 a 的值.

24、已知 a?R,函数 f(x)=x2| x-a |. (1)当 a=2 时,求使 f(x)=x 成立的 x 的集合;
2] (2)求函数 y=f(x)在区间 [1, 上的最小值.

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2010年广州市高考数学考前查漏补缺(文科)参考答案 A组
1、解: (1)函数 y ? (2)列表:

1 ? 1 ? ?? sin ? 2 x ? ? 的振幅为 ,周期为 ? ,初相为 . 2 6 2 ? 6?

x
2x ?

?

? 6

? 12

0
0

? 6 ? 2
1 2
y

5? 12

?
0

2? 3 3? 2 ? 1 2

11? 12
2?
0

1 ? ?? y ? sin ? 2 x ? ? 2 ? 6?

画简图:

1 2 ?

(3)解法 1: 向左平移 函数 y ? sin x 的图象 各点的横坐标缩短到原来的

?O ? 12 6 1 ? 2

5? 12

2? 11? 3 12

x

? 个单位 6

函数 y ? sin( x ?

?
6

) 的图象,

1 (纵坐标不变) 2
函数 y ? sin( 2 x ?

?
6

) 的图象,

各点的纵坐标缩短到原来的

1 (横坐标不变) 2
函数 y ?

1 ? sin( 2 x ? ) 的图. 2 6

各点的横坐标缩短到原来的 解法 2:函数 y ? sin x 的图象 向左平移 函数 y ? sin 2 x 的图像 各点的纵坐标缩短到原来的

1 (纵坐标不变) 2

? 个单位 12

函数 y ? sin( 2 x ?

?
6

) 的图象

1 (横坐标不变) 2
函数 y ?

1 ? sin( 2 x ? ) 的图象. 2 6

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2、解: (1) m ? n ? cos? (2 2 ? sin ? ) ? sin ? (2 2 ? cos? ) ,

? 2 2(sin ? ? cos ? ) ? 4sin(? ? ) ? 1 , 4 ? 1 所以 sin(? ? ) ? . 4 4 3? ? 5? 3? ,?? ) ,所以 ? ? ? (? ,? ) , (2)因为 ? ? (? 2 4 4 4
结合 sin(? ?

?

?
4

)?

1 ? 15 ,可得 cos(? ? ) ? ? . 4 4 4

于是, cos( ? ?

7? ? ? ? ? ? ? ) ? cos[( ? ? ) ? ] ? cos( ? ? ) cos ? sin(? ? ) sin 12 4 3 4 3 4 3

? (?

3 ? 15 15 1 1 3 . ?? )? ? ? 8 4 2 4 2

3、解: (1)由余弦定理及已知条件,得 a ? b ? ab ? 4 .
2 2

又因为△ ABC 的面积等于 3 ,所以 联立方程组 ?

1 ab sin C ? 3 ,得 ab ? 4 . 2

?a 2 ? b 2 ? ab ? 4, ?a ? 2, 解得 ? ?b ? 2. ?ab ? 4,

(2)由题意,得 sin(B ? A) ? sin(B ? A) ? 4 sin A cos A ,即 sin B cos A ? 2 sin A cos A . 当 cos A ? 0 ,即 A ?

?
2

时, B ?

?
6

,a ?

4 3 2 3 ,b ? , 3 3

此时△ ABC 的面积 S ?

1 2 3 . bc ? 2 3

当 cos A ? 0 时,得 sin B ? 2 sin A ,由正弦定理,得 b ? 2a .

? 2 3 , ?a ? ?a ? b ? ab ? 4, ? 3 联系方程组 ? 解得 ? ?b ? 2a, ?b ? 4 3 . ? 3 ?
2 2

此时△ ABC 的面积 S ?

1 2 3 absin C ? . 2 3 1 2 3 absin C ? . 2 3

所以△ ABC 的面积 S ?

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4、解: (1)设缉私艇追上走私船所需的时间为 t 小时, 则有|BC|=25t,|AB|=35t, 且∠ CAB=α,∠ ACB=120°, 根据正弦定理得:

| BC | | AB | 25t 35t ? ? ,即 , 0 sin ? sin120 sin ? 3 2

∴ sinα=

5 3 . 14

(Ⅱ )在△ ABC 中由余弦定理得: |AB|2=|AC|2+|BC|2-2|AC||BC|cos∠ ACB, 2 2 2 即 (35t) =15 +(25t) -2· 25t· 15· cos120°, 2 即 24t ―15t―9=0, 解之得:t=1 或 t=-

9 (舍) 24

故缉私艇追上走私船需要 1 个小时的时间.

5、解: (1)由题意有

10 15 25 ? ? ,解得 x ? 400 , y ? 450 . 400 y ? 150 x ? 600

(2)方法 1:由题设知奖品中有两辆舒适型轿车记为 A , B ,三辆标准型轿车记为 1,2, 3,随机抽取两辆轿车共有以下情形: AB , A1 , A 2 , A3 , B1 , B 2 , B 3 ,12,13, 23 共 10 种.其中至少有一辆是舒适型轿车的情形有: AB , A1 , A 2 , A3 , B1 , B 2 , B 3 ,共 7 种. 则至少有一辆是舒适型轿车的概率为

7 . 10

方法 2:由题设知奖品中有两辆舒适型轿车记为 A , B ,三辆标准型轿车记为 1,2,3, 随机抽取两辆轿车共有以下情形: AB , A1 , A 2 , A3 , B1 , B 2 , B 3 ,12,13,23 共 10 种.其中不含有舒适型轿车的情形有:12,13,23 共 3 种. 则至少有一辆是舒适型轿车的概率为 p ? 1 ?

3 7 ? . 10 10

6、 (1) 解: 若分成的三条线段的长度均为正整数, 则三条线段的长度的所有可能为:1, 1, 4 ;

1, 2, 3 , 2, 2, 2 共 3 种情况,其中只有三条线段为 2, 2, 2 时能构成三角形,则构成三角形
的概率 P ?

1 . 3

(2)设其中两条线段长度分别为 x, y ,则第三条线段长度为 6 ? x ? y ,则全部结果所构成 的区域为: 0 ? x ? 6 , 0 ? y ? 6 , 0 ? 6? x ? y ? 6 ,即为 0 ? x ? 6 , 0 ? y ? 6 ,

0 ? x ? y ? 6 ,所表示的平面区域为三角形 OAB ;

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?x ? y ? 6 ? x ? y ?x ? y ? 3 ? ? 若三条线段 x, y , ? x ? y 能构成三角形, 则还要满足 ? x ? 6 ? x ? y ? y , 即为 ? y ? 3 , 6 ?x ? 3 ?y ? 6? x ? y ? x ? ?
所表示的平面区域为三角形 DEF , 由几何概型知,所求的概率为 P ?

S?DEF 1 ? . S?AOB 4

7、 (1) , n 的取值情况有 (23, 25),(23,30),(23, 26),(23,16),(25,30),(25, 26),(25,16) , 解: m

(30, 26) , (30,16), (26,16) .基本事件总数为 10.
设“ ?

?25 ? m ? 30 ”为事件 A ,则事件 A 包含的基本事件为 (25,30), (25, 26), (30, 26) ?25 ? n ? 30
3 , 10

所以 P ( A) ? 故事件“ ?

?25 ? m ? 30 3 ”的概率为 . 10 ?25 ? n ? 30

(2)将甲,乙所作拟合直线分别计算 y 的值得到下表:

x
y

10 23 22 22

11 25 24.2 24.5

13 30 28.6 29.5

12 26 26.4 27

8 16 17.6 17

y ? 2.2 x
y ? 2.5 x ? 3

用 y ? 2.2 x 作为拟合直线时,所得到的 y 值与 y 的实际值的差的平方和为

S1 ? (22 ? 23)2 ? (24.2 ? 25)2 ? (28.6 ? 30)2 ? (26.2 ? 26)2 ? (17.6 ?16)2 ? 6.32
用 y ? 2.5 x ? 3 作为拟合直线时,所得到的 y 值与 y 的实际值的差的平方和为

S2 ? (22 ? 23)2 ? (24.5 ? 25)2 ? (29.5 ? 30)2 ? (27 ? 26)2 ? (17 ?16)2 ? 3.5
由于 S1 ? S2 ,故用直线 y ? 2.5 x ? 3 的拟合效果好. 8、解: (1)程序框图中的第一个条件框应填 M ? 2 ,第二个应填 n ? 6 . (注意:答案不唯 一.如:第一个条件框填 M ? 1 ,第二个条件框填 n ? 5 ,或者第一、第二条件互换.都可

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以. ) (2)依题意,当甲连胜 2 局或乙连胜 2 局时,第二局比赛结束时比赛结束.

? 有 p 2 ? (1 ? p ) 2 ?
解得 p ?

5 . 9

2 1 或p? . 3 3 1 2 ?p? , ?p? . 2 3
9、解: (1)在梯形 ABCD 中,? AB // CD , AD ? DC ? CB ? a, ?ABC ? 60? ,

? 四边形 ABCD 是等腰梯形,
??ADC ? 1800 ? 600 ? 1200 ,? DC ? AC,? ACD为等腰三角形. ? ?DCA ? ?DAC ? 30? , ?DCB ? 120? ,
? ?ACB ? ?DCB ? ?DCA ? 90? ? AC ? BC .
又? 平面 ACFE ? 平面 ABCD ,交线为 AC ,? BC ? 平面 ACFE . (2)当 EM ?

3 a 时, AM // 平面 BDF , 3
F M E

? 在梯形 ABCD 中, AC ? BD ? N , 设 连接 FN , AC ? BC ,

?BAC ? 30 ,? AB ? 2a.
0

? CD / / AB,?

CN CD a 1 ? ? ? , NA AB 2a 2

D N

C

? EM ?

3 a ,而 EF ? AC ? 3a ,? EM : MF ? 1 : 2 . 3

A

B

? MF// AN ,? 四边形 ANFM 是平行四边形,? AM // NF .
又? NF ? 平面 BDF , AM ? 平面 BDF ? AM // 平面 BDF .

AB 10、解: (1)证明:在 ?ABD 中,∵ ? 2, AD ? 4, ?DAB ? 60? ,

? BD ? AB2 ? AD2 ? 2 AB ? AD ? cos?DAB ? 2 3 ,
AB ∴ 2 ? BD 2 ? AD 2 ,∴ ? BD . AB 又∵ 平面 EBD ? 平面 ABD ,平面 EBD ? 平面 ABD ? BD, AB ? 平面 ABD ,

∴ ? 平面 EBD .∵ ? 平面 EBD ,∴ ? DE . AB DE AB CD CD (2)由(1)知 AB ? BD .∵ / / AB ,∴ ? BD ,从而 DE ? BD .

1 S BD 在 Rt ?EBD 中,∵ ? 2 3, DE ? DC ? AB ? 2 ,∴ ?EBD ? BD ? DE ? 2 3 . 2
∵ ? 平面 EBD, BE ? 平面 EBD ,∴ ? BE . AB AB

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S BE ∵ ? BC ? AD ? 4 ,∴ ?EAB ? 1 AB ? BE ? 4 . 2
∵ ? BD ,平面 EBD ? 平面 ABD ,∴ ? 平面 ABD . DE ED

S ∵ ? 平面 ABD ,∴ ? AD ,∴ ?EAD AD ED
∴ 三棱锥 E ? ABD 的侧面积为 S?EAB

? 1 AD ? DE ? 4 . 2

? S?EAD ? S?EBD ? 8 ? 2 3 .

11、解: (1)根据多面体的直观图、正(主)视图、侧(左)视图,得到俯视图如下(如果 俯视图形状正确,但未标明边长,适当扣 1 分)
a 2 a 2

a

C1 D1 A1
正(主)视图 a a 2 2 侧(左)视图

B1

a 2 a

E D O A
俯视图

C B

(2)证明:如上图,连接 AC , BD 交于 O 点,因为 E 为 AA1 的中点, O 为 AC 的中点,所 以在 ?AA1C 中,OE 为 ?AA1C 的中位线, 所以 OE // AC , 1

? OE ? 平面 AC1C , A1C1 ? 平面 AC1C , 1 1
所以 OE // 平面 AC1C . 1 (3)由三示图可知多面体表面共包括 10 个面, S ABCD ? a2 ,

S A1B1C1D1 ?

a2 a2 , S? A1 AB ? S? B1BC ? S? C1DC ? S? D1 AD ? , 2 2

S?AA1D1 ? S? BB1 A1 ? S? CB1C1 ? S? DC1D1

1 2a 3 2a 3a 2 ? ? ? ? , 2 2 4 8

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所以表面积 S ? a ?
2

a2 a2 3a 2 ? 4? ? 4? ? 5a 2 . 2 2 8

BC 12、解: (1)证明:∵ 四边形 DCBE 为平行四边形 ∴ // DE . DC ? BC . ∵ ? 平面 ABC , BC ? 平面 ABC, ∴ DC BC ∵ 是圆 O 的直径 ∴ ? AC 且 DC ? AC ? C , AB BC ? 平面 ADC. ∴ DE ? 平面 ADC. ∵ DE//BC ∴ DE ? 平面 ADE ∴ 又∵ 平面 ACD ? 平面 ADE .
BE (2)∵ ? 平面 ABC , CD//BE ∴ ? 平面 ABC. DC AB ∵ ? 平面 ABC ,
∴ ? AB, BE

在 Rt△ ABE 中,由 tan ?EAB ? 在 Rt△ ABC 中 ∵ AC ?

BE 3 , AB ? 2 得 BE ? 3 . ? AB 2

, AB2 ? BC2 ? 4 ? x2 ( 0 ? x ? 2 )

S ∴ ?ABC ?

1 1 AC ? BC ? x 4 ? x 2 , 2 2
1 3 S ?ABC ? BE ? . x 4 ? x2 ( 0 ? x ? 2 ) 3 6
x 2 (4 ? x 2 ) 取得最大值,

V ∴ ( x) ? VC ? ABE ? VE ? ABC ?

2 (3)由(2)知要 V ( x) 取得最大值,当且仅当 x 4 ? x ?

0 ∵ ?x?2
2

∴ x (4 ? x ) ?
2 2

x2 ? 4 ? x2 ?2. 2

D

∴ 当且仅当 x ? 4 ? x ,即 x ?
2

2 时,“=”成立,
C

E

即当 V ( x) 取得最大值时 AC ? 2 ,这时△ ACB 为等腰 直角三角形, 连结 DB , ∵ AC=BC,DC=DC,
A
O

B

Rt Rt ∴ ?DCA ≌ ?DCB . BD ∴ AD=BD 又四边形 BCDE 为矩形, ∴ ? CE .
∴ AD=CE. 13、解: (1)由 x ? ky ? 3 ? 0 得, ( x ? 3) ? ky ? 0 ,

0) 所以直线过定点(3,0) ,即 F(3, .
设椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a2 b2

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? c?3 ?a ? 5 x2 y2 ? ? ? ? 1. 则 ? a ? c ? 8 ,解得 ?b ? 4 所以椭圆 C 的方程为 25 16 2 2 2 ?a ? b ? c ?c ? 3 ? ? ,
(2)因为点 P(m, n) 在椭圆 C 上运动,所以 从而圆心 O 到直线 l : mx ? ny ? 1 的距离

m2 n2 ? ? 1, 25 16

d?

1 m2 ? n2

?

1 1 ? ? m2 ? 16 ?1 ? m2 ? ? 25 ?

?

1 9 2 m ? 16 25

? 1,

所以直线 l 与圆 O 恒相交. 又直线 l 被圆 O 截得的弦长 L ? 2 r ? d
2 2

? 2 1?

1 1 , ? 2 1? 2 9 2 m ?n m ? 16 25
2

9 2 15 4 6 m ? 16 ? 25 ,则 L ? [ , ], 25 2 5 15 4 6 即直线 l 被圆 O 截得的弦长的取值范围是 L ? [ , ]. 2 5
由于 0 ? m ? 25 ,所以 16 ?
2

14、解: (1)由已知,圆 C2 的圆心为 C2 (0,1) ,半径 r ? 5 , 由题设圆心到直 l : y ? 2 x ? m(m ? 0) 的距离 d ?

|1? m | 22 ? (?1)2





|1? m | 22 ? (?1)2

, ? 5, 解得 m ? ?6 ( m ? 4 舍去)

设 l 与抛物线相切的切点为 A0 ( x0 , y0 ), 又 y? ? 2ax, 得 2ax0 ? 2,? x0 ? 代入直线方程,得

1 1 , y0 ? , a a

1 2 1 1 ? ? ?6,? a ? ,所以 m ? ?6, a ? . a a 6 6 1 2 3 (2)由(1)知抛物线 C1 的方程为 y ? x , 焦点 F (0, ) , 6 2 1 2 1 1 2 设 A( x1 , x1 ) ,由(Ⅰ )知以 A 为切点的切线方程为 y ? x1 ( x ? x1 ) ? x1 , 6 3 6 1 2 令 x ? 0, 得点 B 的坐标为 (0, ? x1 ) , 6 ??? ? ? 3 1 2 3 ??? 1 2 3 因为 F (0, ), 所以 FA ? ( x1 , x1 ? ), FB ? (0, ? x1 ? ) , 2 6 2 6 2 ???? ??? ??? ? ? ? ? FM ? FA ? FB ? ( x1, ?3) ,

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设 M ( x, y ),? FM ? ( x, y ? ) ? ( x1 , ?3) ,

???? ?

3 2

3 3 ? y ? ? , 即 M 点在定直线 y ? ? 上. 2 2
15、解: (1)∵ 抛物线 C1 : y 2 ? 8x 的焦点为 F2 (2, 0) ,∴ 双曲线 C2 的焦点为 F1 (?2,0) 、

F2 (2,0) ,
设 A( x0 , y0 ) 在抛物线 C1 : y 2 ? 8x 上,且 AF2 ? 5 , 由抛物线的定义得, x0 ? 2 ? 5 ,∴ 0 ? 3 ,∴ 0 ? 8 ? 3 ,∴ 0 ? ?2 6 , x y2 y

| ∴ AF1 |?
a ∴ ? 1,

(3 ? 2) 2 ? (?2 6) 2 ? 7 , 点 A 在双曲线上, 2 又∵ 由双曲线定义得, a ?| 7 ? 5 |? 2 ,

∴ 双曲线的方程为: x ?
2

y2 ? 1. 3

(2)

s 为定值.下面给出说明. t

设圆 M 的方程为: ( x ? 2)2 ? y 2 ? r 2 ,双曲线的渐近线方程为: y ? ? 3x , ∵ M 与渐近线 y ? ? 3x 相切,∴ M 的半径为 r ? 圆 圆

2 3 1? ( 3 )
2

? 3,

故圆 M : ( x ? 2) ? y ? 3 ,
2 2

显然当直线 l1 的斜率不存在时不符合题意, 设 l1 的方程为 y ? 3 ? k ( x ?1) ,即 kx ? y ? 3 ? k ? 0 , 设 l2 的方程为 y ? 3 ? ?

1 ( x ? 1) ,即 x ? ky ? 3k ?1 ? 0 , k

∴ M 到直线 l1 的距离为 d1 ? 点

| 3k ? 3 | 1? k
2

,点 N 到直线 l2 的距离为 d 2 ?
2

| 3k ? 1| 1? k 2



? 3k ? 3 ? 6 3k ? 6k 2 ∴ 直线 l1 被圆 M 截得的弦长 s ? 2 3 ? ? , ? ?2 ? 1? k 2 ? 1? k 2 ? ? ? 3k ? 1 ? 2 3k ? 2k 2 N 截得的弦长 t ? 2 1 ? ? 直线 l2 被圆 , ? 1? k 2 ? ? 2 ? 1? k 2 ? ?
2

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∴ ?

s t

6 3k ? 6k 2 6( 3k ? k 2 ) ? ? 3, 2 3k ? 2k 2 2( 3k ? k 2 )



s 为定值 3 . t

16、解:对空间物体的定位,一般可利用声音传播的时间差来建立方程. 取 AB 所在直线 为 x 轴,以 AB 的中点为原点,建立如图所示的直角坐标系 由题意可知,A、B、C 舰的坐 标为(3,0)(-3,0)(-5,2 3 ) 、 、 ,由于 B、C 同时发现动物信号,记动物所在位置为 P,则|PB|=|PC| 于是 P 在线段 BC 的中垂线上,易求得其方程为 3 x-3y+7 3 =0.

又由 A、 两舰发现动物信号的时间差为 4 秒, B 知|PB|-|PA|=4, 故知 P 在双曲线

x2 y2 ? ?1 4 5

的右支上直线与双曲线的交点为(8,5 3 ) ,此即为动物 P 的位置,利用两点间距离公式, 可得|PA|=10, 据已知两点的斜率公式,得 kPA= 3 ,所以直线 PA 的倾斜角为 60°,于是舰 A 发射炮弹的方 位角应是北偏东 30°. 17、解: (1)由 an ?1 ? 2Sn ? 1 ,可得 an ?1 ? 2Sn ?1 ? 1 (n ? 2) , 两式相减得 an?1 ? an ? 2 an , 即an?1 ? 3an (n ? 2) ,∴ n ? 2 时, {an } 是等比数列, 当 要使 n ? 1 时, {an } 是等比数列,则只需

a2 2t ? 1 ? ? 3 ,从而 t ? 1 . a1 t

(2)设 {bn } 的公差为 d,由 T3 ? 15 得 b1 ? b2 ? b3 ? 15,于是 b2 ? 5 , 故可设 b1 ? 5 ? d , b3 ? 5 ? d ,又 a1 ? 1 , a2 ? 3 , a3 ? 9 , 由题意可得 (5 ? d ? 1)(5 ? d ? 9) ? (5 ? 3) ,解得 d1 ? 2 , d 2 ? ?10 ,
2

d ∵ 等差数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 有最大值,∴ ? 0 , d ? ?10 ,
T ∴ n ? 15n ? n( n ? 1) ? ( ?10 ) ? 20 n ? 5n 2 . 2

(4n ? 6)a n ? 4n ? 10 (4n ? 6)(a n ? 2) ?2 ? , 2n ? 1 2n ? 1 a ?2 (a ? 2) a ?2 a?2 ? n ?1 ? 2? n .令 bn ? n ,则 bn?1 ? 2bn ,且 b1 ? . 3 2n ? 3 2n ? 1 2n ? 1
18、解: (1)? a n ?1 ? 2 ?

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当 ∴ a ? ?2 时, b1 ? 0 ,则 bn ? 0 ,数列 { 当 a ? ?2 时, b1 ? 0 ,则数列 {

an ? 2 } 不是等比数列. 2n ? 1

an ? 2 } 是等比数列,且公比为 2. 2n ? 1 a ? 2 a ? 2 n ?1 (a ? 2)( 2n ? 1) n ?1 ?2 ?2. ? ? 2 .解得 a n ? ? bn ? b1 ? 2 n?1 ,即 n 3 2n ? 1 3 (2)由(1)知,当 a ? 1 时, an ? (2n ? 1) ? 2n?1 ? 2

S n ? 3 ? 5 ? 2 ? 7 ? 22 ? ? ? (2n ? 1) ? 2n?1 ? 2n .
由错位相减法,求得 Tn ? 3 ? 5 ? 2 ? 7 ? 22 ? ? ? (2n ? 1) ? 2n?1 ? (2n ? 1) ? 2n ? 1, ∴ n ? Tn ? 2n ? (2n ? 1)(2 n ? 1) . S

19、解: (1)因为 F ? x ? ? F ?1 ? x ? ?

3x ? 2 3 ?1 ? x ? ? 2 ? ?3 2 x ? 1 2 ?1 ? x ? ? 1


所以设 S= F ?

? 1 ? ? 2 ? ? 2008 ? ??F? ? ??? F ? ? ? 2009 ? ? 2009 ? ? 2009 ?

S= F ? ① 得: +②

? 2008 ? ? 2007 ? ? 1 ? ??F? ? ??? F ? ? ? 2009 ? ? 2009 ? ? 2009 ?



? ? 1 ? ? ? 2008 ? ? 2008 ?? ? ? 2 ? ? 2007 ?? ? 1 ?? 2S ? ? F ? ?? F? ?? ? ? F ? ?? F? ?? ? ... ? ? F ? ?? F? ?? ? 2009 ?? ? ? 2009 ? ? 2009 ?? ? 2009 ? ? ? ? 2009 ? ? ? 2009 ?
= 3 ? 2008 ? 6024 , 所以 S=3012.

(2)由 an?1 ? F ? an ? 两边同减去 1,得 an ?1 ? 1 ?

3an ? 2 a ?1 , ?1 ? n 2an ? 1 2an ? 1

所以

1 an?1 ? 1
1

?

2an ? 1 2 ? an ? 1? ? 1 1 , ? ? 2? an ? 1 an ? 1 an ? 1

所以

? 1 ? 1 1 ? 2,? ? 1 为首项的等差数列, ? 是以 2 为公差以 an?1 ? 1 an ? 1 a1 ? 1 ? an ? 1 ?

?

所以

1 2n 1 ? . ? 2 ? ? n ? 1? ? 2 ? 2n ? 1 ? an ? 1 ? 2n ? 1 2n ? 1 an ? 1
2 2

(3) 用放缩法证明. ∵ 2n ? ? ? 2n ? ? 1 ? ? 2n ? 1?? 2n ? 1? ,∴ ?

2n 2n ? 1 ? , 2n ? 1 2n

2n ? 1 ? 2n ? 2n ? 1 2n ∴ , ? ? ? ? ? 2n 2n ? 1 2n ? 1 ? 2n ? 1 ?
2

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则 an ?

2n 2n ? 1 , ? 2n ? 1 2n ? 1 3 5 7 2n ? 1 ? ? ?? ? ? 2n ? 1 . 1 3 5 2n ? 1
2

所以, a1a2 a3 ? an ?

20、解: (1) 证:由⊙ n 与 x 轴都相切,知⊙ n 的半径 rn ? yn ? xn ;又⊙ n 与⊙ n ?1 外切, P P P P 得:

Pn Pn ?1 ? rn ? rn ?1 ? ( x n ? x n ?1 ) 2 ? ( y n ? y n ?1 ) 2 ? y n ? y n ?1

? ( xn ? xn?1 )2 ? 4 yn yn?1 ? 4xn 2 xn?12 .
由 xn ? xn?1 ? 0 得: xn ? xn?1 ? 2 xn xn?1 ? 故{

1 xn?1

?

1 ?2, xn

1 } 是首项为 1,公差为 2 的等差数列. xn 1 1 (2) 由(1)得: ,则 ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? xn ? xn 2n ? 1 S n ? ?rn ? ?y n ? ?xn ?
2 2 4

?

(2n ? 1) 4



法一: Sn ?

?
(2n ? 1)
2

?

?
(2n ? 3)(2n ? 1)

?

?
2

(

1 1 ? ) (n ? 2) ,故 2n ? 3 2 n ? 1

S1 ? S2 ? ? ? Sn ? ? ?
. 法二:? Sn ?

1 1 1 1 3 ? [( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? ? ? 2 1 3 3 5 2n ? 3 2n ? 1 2

? 1 1

??

1 1 ? 1 1 ? ?? 2 ? ?( ? )(n ? 2) , 2 (2n ? 1) 4n ? 4n 4 n ?1 n

∴ S1 ? S2 ? S3 ? ? ? Sn

? ??

1 1 1 1 1 5 ? 3 ? . [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? ? ? ? 4 2 2 3 n ?1 n 4 2

?

21、解: (1) 由题意知:企业每月向湖区排放的污水量成等比数列,设第一个月污水排放 量为 a1 ,则 a1 ? 1 ,公比为 2 ,则第 m 个月的污水排放量为 am ? 2m?1 , 如果不治理, m 个月后的污水总量为:

1 ? 2m ? 2 m ? 1 (万立方米) . 1? 2 (2) 由(1)知 a6 ? 32 ,则 a7 ? 28 ,由 题意知,从 7 月份开始,企业每月向湖区排放的 污水量成等差数列,公差为 ? 4 ,记 7 月份企业向湖区排放的污水量为 b1 ,则 S m ? 1 ? 2 ? 2 2 ? ? ? 2 m?1 ?

bn ? 28 ? (n ? 1) ? (?4) ? 32 ? 4n ,令 bn ? 32 ? 4n ? 0, n ? 8 , 所以该企业 2010 年 2 月向湖区停止污水排放, 8 ? (28 ? 0) ? 63 ? 112 ? 175 (万立方米) 则该企业共排污水 S 6 ? . 2

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设 x 个月后污水不多于 50 万立方米,则 175 ? 16 x ? 50, x ? 因为 7 ?

125 . 16

125 ? 8 ,所以 8 个月后即 2010 年10 月污水不多于 50 万立方米. 16

22、解: (1)∵(x)=2x3-3ax2+1,∴ f ?( x ) =6x2-6ax.依题意得 f ?(1) =6-6a=0,解得 a=1. f 所以 f(x)=2x3-3x2+1, f ?( x ) =6x(x-1) .令 f ?( x ) =0,解得 x=0 或 x=1.列表如下: x f′ (x) f(x) (-∞,0) + ↗ 0 0 极大值 (0,1) - ↘ 1 0 极小值 (1,+∞) + ↗

所以当 x=0 时,函数 f(x)取得极大值 f(0)=1; 当 x=1 时,函数 f(x)取得极小值 f(1)=0. (2)∵ f ?( x ) =6x2-6ax=6x(x-a) , ∴ 当 a=0 时, f ?( x ) =6x2≥0,函数 f(x)在(-?,+?)上单调递增; ① ② a>0 时, f ?( x ) =6x(x-a) f ?( x ) 、f(x)随 x 的变化情况如下表: 当 , x f′ (x) f(x) (-∞,0) + ↗ 0 0 极大值 (0,a) - ↘ a 0 极小值 (a,+∞) + ↗

由上表可知,函数 f(x)在(-?,0)上单调递增,在(0,a)上单调递减,在(a, +?)上单调递增; ③ 同理可得,当 a<0 时,函数 f(x)在(-?,a)上单调递增,在(a,0)上单调递减,在 (0,+?)上单调递增. 综上所述,当 a=0 时,函数 f(x)的单调递增区间是(-?,+?) ; 当 a>0 时,函数 f(x)的单调递增区间是(-?,0)和(a,+?) ,单调递减区间是(0,a) ; 当 a<0 时,函数 f(x)的单调递增区间是(-?,a)和(0,+?) ,单调递减区间是(a,0) .

23、解: (1)∵f ( x) ? ln x ?

2a 1 2a ,∴f ?( x) ? ? 2 . x x x

∵f ( x ) 在 [2, ??) 上是增函数,

1 2a x ? 2 ≥0 在 [2, ??) 上恒成立,即 a ≤ 在 [2, ??) 上恒成立. x x 2 x 令 g ( x ) ? ,则 a ≤ ? g ( x)?min , x?[2, ??) . 2
∴f ?( x) ?

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g ∵ ( x) ?
∴ ≤1. a 所以实数 a 的取值范围为 (??,1] . (2)由(1)得 f ?( x) ?

x 在 [2, ??) 上是增函数,∴ g ( x)?min ? g (2) ? 1. ? 2

x ? 2a , x ? [1, e] . x2

① 2a ? 1 ,则 x ? 2a ? 0 ,即 f ?( x) ? 0 在 [1, e] 上恒成立,此时 f ( x ) 在 [1, e] 上是增函数. 若 所以 ? f ? x ? ? min ? f (1) ? 2a ? 3 ,解得 a ? ? ?

3 (舍去) . 2

② 1≤ 2a ≤ e ,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 2a . 若 当 1 ? x ? 2a 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x ) 在 (1, 2a) 上是减函数, 当 2a ? x ? e 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x ) 在 (2a, e) 上是增函数.

e2 ? f ? x ? ? min ? f ? 2a ? ? ln(2a ) ? 1 ? 3 ,解得 a ? (舍去) 所以 ? . ? 2
③ 2a ? e ,则 x ? 2a ? 0 ,即 f ?( x) ? 0 在 [1, e] 上恒成立,此时 f ( x ) 在 [1, e] 上是减函数. 若

? 3 ,所以 a ? e . 所以 ? f ? x ? ? ? f ? e ? ? 1 ? ? ? min e 综上所述, a ? e .
24、解: (1)当 a=2 时,f(x)=x2| x-2 |. 当 x<2 时,由 f(x)=x2(2-x) =x,解得 x=0 或 x=1; 当 x≥2 时,由 f(x)=x2( x-2 )=x. ,解得 x=1+ 2 . 综上所述,使 f(x)=x 成立的 x 的集合为{0,1,1+ 2 }. (2)① a≤1 时,在区间[1,2]上,f(x)= x2(x-a)=x3-ax2. 当 2 因为当 1≤x≤2 时, f ?( x ) =3x2-2ax=3x(x-3 a)>0, 所以 f(x)在[1,2]上单调递增,所以 f ( x)min =f(1)=1-a. ② 1<a≤2 时,在区间[1,2]上,f(x)=x2 | x-a |≥0,由 f(a)=0 知, f ( x)min =f(a)=0. 当 ③ a>2 时,在区间[1,2]上,f(x)= x2(a-x)=ax2-x3. 当 2 因为 f ?( x ) = 2ax-3x2=3x(3 a-x) , 若 a≥3,则当 1<x<2 时, f ?( x ) >0,从而 f(x)在[1,2]上单调递增,

2a

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所以 f ( x)min =f(1)=a-1. 2 2 若 2<a<3,则当 1<x<3 a 时, f ?( x ) >0;当3 a <x<2 时, f ?( x ) <0. 2 2 从而 f(x)在[1, 3 a]上单调递增,在[3 a,2]上单调递减. 7 当 2<a≤3 时,f(1)= a-1≥f(2)=4(a-2) ,所以 f ( x)min =f(2)=4(a-2) . 7 当3 <a<3 时,f(1)= a-1<f(2)=4(a-2) ,所以 f ( x)min =f(1)=a-1.

2] 综上所述,函数 y=f(x)在区间 [1, 上的最小值为 f ( x) min

a ? 1, ?1 ? a, ?0, 1 ? a ? 2, ? ? ? ?4(a ? 2), 2 ? a ? 7 , 3 ? ? 7 a? . ?a ? 1, 3 ?

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01【数学】广东省广州市2010年高考前查漏补缺题(理科数学A组)

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