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[原创]高一数学必修四3.1两角和与差的正弦余弦正切公式课件


制作者:李红辉老师

一、课题导入
某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上。如图3.1-1所 示,小山高BC约为30米,在地平面上有一点A,测得A,C两点 间距离约为67米,从A观测电视发射塔的视角( CAD ) ? ? D 约为 45 。求这座电视发射塔的高度。 解:设电视塔高CD= x 米,?CAB = ? 则 sin ? = 30 在 Rt?

ABD 中,
67

tan( 45

?

x ? 30 ??) ? 60

x

能否用 sin ? 把 tan( 45 ? ? )
?

45 67
A

?

表示出来呢?

?

3.1-1

C 30 B

? 一般地说,对于任意角 ? , ,能不能 ? ? 用 , 的三角函数值把 ? ? 或者 ? ? ?

?

的三角函数值表示出来呢?

下面我们来研究如何用任意角 ,? 的正弦、余弦值来表示 cos?? ? ? ? 的问 题。

?

二、新课讲解

cos(? ? ? ) ? cos? ? cos ?

吗?

很明显:cos(60 ? cos30 ) ? cos60 ? cos30
? ? ?

?

? 所以对任意的 ? 、 , cos(? ? ? ) ? cos? ? cos ?
不成立。
思考:

? ? ) ? ? ? s oc (

证法一、用单位圆上的三角函数线证明

? 的终边与 如右图:设角 ? 1 单位圆的交点为 p1 , pop ? ?
则 ?pox ? ? ? ? 过点P作PM垂直于x轴,垂 足为M,那么OM是角? ? ?

y
p1

A
?

?

C
? ??

p
x

O

B M

? 思考:如何用角 ? , 弦线来表示OM?

的余弦线。

的正弦线、余

过点P作PA垂直于O p1 ,垂足为A,过点A作AB垂 直于x轴,垂足为B,过点P作PC垂直于AB,垂足为 C。则OA= cos? ,AP= sin ? 并且?pac ? ?p1ox ? ?

于是

OM=OB+BM
=OB+CP =OAcos? +AP sin ? = cos ? cos? ? sin ? sin ?

即 cos(? ? ? ) ? cos ? cos? ? sin ? sin ?

y A O
?

证法二、用向量的方法证明
如右图:则

B
?

1

OA ? (cos?, ? ),OB ? (cos? , sin ? ) sin
由向量数量积的定义,有

OA ? OB ? OA ? OB cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )
由向量数量积的坐标表示,有

(1)

OA ? OB ? (cos? , sin ? ) ? (cos? , sin ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?
(2)

由(1)和(2)得

cos(? ? ? ) ? cos ? cos? ? sin ? sin ?
由向量数量积概念知: ? ? 0

?? ??

? 但 ? ? 都是任意角, ? ? 也是任意角, 那么证法二正确吗?

当 ? ? ? 是任意角时,由诱导公式, 总可以找到一个角 ? ? ?0,2? ? ,使

cos? ? cos(? ? ? ) 则

当??

?0, ? ?

时,则 OA?OB ? cos?

? cos(? ? ? )

当? ? ?? ,2? ? 时,则 2? ? ? ? ?0, ? ? 且

OA?OB ? cos(2? ?? ) ? cos? ? cos(? ? ? )
(一)两角差的余弦公式
对于任意角 ? ,? 都有

?

cos(? ? ? ) ? cos ? cos? ? sin ? sin ?



c?

( ? ? ))

sin 作用:知 cos? , ? ,sin ? , ? 的值可 cos 求 cos( ? ? ) ?

例1 利用差角余弦公式求 cos15 的值。
想一想: 有几种拆 分方法?

?

解法一:

cos15 ? cos(45 ? 30 ) ? ? ? ? ? cos45 cos30 ? sin 45 sin 30 2 3 2 1 ? ? ? ? 2 2 2 2
? ? ?

6? 2 ? 4

解法二:

cos15 ? cos(60 ? 45 )
? ? ?

? cos60 cos45 ? sin 60 sin 45
? ? ?

?

1 2 3 2 ? ? ? ? 2 2 2 2 2? 6 ? 4

思考:你会求 sin 75? 的值吗?

sin 75 ? sin(90 ?15 ) ? cos15
? ? ?

?

4 5 ?? ? 例2、已知 sin ? ? , ? ? ? , ? ?, cos ? ? ? , ? 5 13 ?2 ? 是第三象限角,求cos(? ? ? ) 的值。

联系公式 (? ? ? ) 和本题的条 件,要计算 cos(? ? ? ) ,应作 哪些准备?

c

4 ?? ? 解:由 sin ? ? 5 , ? ? ? 2 , ? ?, 得 ? ?

cos? ? ? 1? sin ?
2

?cos?? ? ? ? ? cos? cos? ? sin ? sin ?
33 ?? 65

5 又由cos ? ? ? , ? 是第三象限角,得 13 2 12 ? 5? 2 sin ? ? ? 1 ? cos ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? 13 ? 13 ?

3 ?4? ? 1? ? ? ? ? 5 ?5?

2

? 3 ? ? 5 ? 4 ? 12 ? ? ?? ???? ? ? ??? ? ? 5 ? ? 13 ? 5 ? 13 ?

(二)练习:P142 1、2、3、4
(三)总结:

两角差的余弦公式
对于任意角 ? ,? 都有

cos(? ? ? ) ? cos ? cos? ? sin ? sin ?



c?

( ? ? ))

sin 作用:知 cos? , ? ,sin ? , ? 的值可 cos 求 cos( ? ? ) ?

(四)作业:P152

2、3


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