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29、数学百题练—概率大题(基础篇)


掌门 1 对 1 教育 高中数学

高中数学百题练
————概率 (基础篇)

适用学员: ? 考试成绩在 60—120 分 ? 练习概率选择、填空和解答的基础综合小题 ? 主要练习古典概型和几何概型。

概率
评卷人 得分 一、单选题(注释)

1、在区间[0, A.

>
]上随机取一个数 x,则事件“ B. C.

”发生的概率为( ) D.

2、在面积为 S 的△ ABC 的边 AB 上任取一点 P,则△ PBC 的面积大于 A. B. C. D.

的概率是(

)

3、一个袋中装有 2 个红球和 2 个白球,现从袋中取出 1 球,然后放回袋中再取出一球,则 取出的两个球同色的概率是( ) A. B. C. D.

4、在平面直角坐标系中,记抛物线 直线 y= (k>0)所围成的平面区域为 ,则 k 的值为( B. )

与 x 轴所围成的平面区域为 ,向区域 内随机抛掷一点

,该抛物线与 落在区域

,若点

内的概率为 A.

C.

D.

5、在区域 D: 是( ) A. B.

内随机取一个点,则此点到点 A(1,2)的距离大于 2 的概率

C.

D.

6、在圆

内任取一点,则该点恰好在区域

内的概率为

( ) A. B. C. D.

7、投掷红、蓝两个骰子,事件 A=“红骰子出现 4 点”,事件 B=“蓝骰子出现的点数是偶数”,

则 P(A|B)=( ) A. B. C. D.

8、已知 A.

,若 B.

,则 C.

等于(

) D.

9、在集合{1,2,3,4}中任取一个偶数 a 和一个奇数 b 构成以原点为起点的向量 α=(a,b).从 所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作三角形,事件“所得三角形的面积 等于 1”的概率为 ( ) A. B. C. D.

10、 已知



所在平面内一点, 内的概率是( ) B. C.

, 现将一粒红豆随机撒在

内,则红豆落在 A.

D.

评卷人

得分

二、填空题(注释)

11、有一个底面半径为 1、高为 2 的圆柱,点 为这个圆柱底面圆的圆心,在这个圆柱内随 机取一点 ,则点 到点 的距离大于 1 的概率为 . 12 、设矩形区域 、 豆子落在区域 由直线 及 的概率是 和 所围成的平面图形,区域 是由余弦函数

所围成的平面图形.在区域 .

内随机的抛掷一粒豆子,则该

13、一个袋子中装有 3 个红球和 2 个白球,假设每一个球被摸到的可能性是相等的.现从袋 子中摸出 2 个球,则摸出的球为 1 个红球和 1 个白球的概率是___________. 14、将 1,2,3,4,5 五个数字任意排成一排,且要求 1 和 2 相邻,则能排成五位偶数的概 率 为 . 评卷人 得分

三、解答题(注释)

15、在某次测验中,有 6 位同学的平均成绩为 75 分.用 xn 表示编号为 n(n=1,2,…,6)的 同学所得成绩,且前 5 位同学的成绩如下:1,2,3,4,5

编号 n

1

2

3

4

5

成绩 xn

70

76

72

70

72

(1)求第 6 位同学的成绩 x6,及这 6 位同学成绩的标准差 s; (2)从前 5 位同学中,随机地选 2 位同学,求恰有 1 位同学成绩在区间(68,75)中的概率. (注:方差 s2= [(x1- )2+(x2- )2+…+(xn- )2],其中 为 x1,x2,…,xn 的平均数)

16、某品牌汽车的 4 店,对最近 100 位采用分期付款的购车者进行了统计,统计结果如下 表所示:已知分 3 期付款的频率为 0.2,且 4 店经销一辆该品牌的汽车,顾客若一次付款, 其利润为 1 万元; 若分 2 期付款或 3 期付款, 其利润为 1.5 万元; 若分 4 期付款或 5 期付款, 其利润为 2 万元.用 表示经销一辆该品牌汽车的利润. 付款方式 频数 一次 40 分2期 20 分3期 a 分4期 10 分5期 b

(1)若以频率作为概率,求事件 期付款”的概率 ;

:“购买该品牌汽车的 3 位顾客中,至多有 1 位采用分 3

(2)求 的分布列及其数学期望

.

17、某企业招聘工作人员,设置





三组测试项目供参考人员选择,甲、乙、丙、 组测试,丙、丁两人各自独立参加 ,丙、丁两人各自通过测试的概率均

丁、戊五人参加招聘,其中甲、乙两人各自独立参加 组测试.已知甲、乙两人各自通过测试的概率均为 为 .戊参加 组测试,

组共有 6 道试题,戊会其中 4 题.戊只能且必须选择 4 题作答,

答对 3 题则竞聘成功. (Ⅰ)求戊竞聘成功的概率; (Ⅱ)求参加 组测试通过的人数多于参加 (Ⅲ)记 、

组测试通过的人数的概率;

组测试通过的总人数为 ,求 的分布列和期望.

18、某网站用“10 分制”调查一社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取 16 名,以下茎叶 图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶) :

(1)若幸福度不低于 9.5 分,则称该人的幸福度为“极幸福”,求从这 16 人随机选取 3 人, 至多有 1 人是“极幸福”的概率; (2)以这 16 人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选 3 人,记 表示抽到“极幸福”的人数,求 的分布列及数学期望. 19、一个袋中装有 10 个大小相同的小球.其中白球 5 个、黑球 4 个、红球 1 个. (1)从袋中任意摸出 2 个球,求至少得到 1 个白球的概率; (2)从袋中任意摸出 3 个球,记得到白球的个数为 ,求随机变量 的数学期望 .

20、在某次测验中,有 6 位同学的平均成绩为 76 分,用 的同学所得成绩,且前 5 位同学的成绩如下:

表示编号为 n(n=1,2,3, 、6)

(1)求第 6 位同学的成绩

及这 6 位同学成绩的标准差 s;

(2)从 6 位同学中随机地选 2 位同学,求恰有 1 位同学成绩在区间(70,75)中的概率. 21、 在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是:每场投 6 个球,至少投进 4 个球且最后 2 个球都 投进者获奖;否则不获奖.已知教师甲投进每个球的概率都是 .

(Ⅰ)记教师甲在每场的 6 次投球中投进球的个数为 X,求 X 的分布列及数学期望; (Ⅱ)求教师甲在一场比赛中获奖的概率. 22、将一颗骰子先后抛掷 2 次,观察向上的点数,求: (Ⅰ)两数之和为 5 的概率; (Ⅱ)两数中至少有一个为奇数的概率. 23、一个袋中装有大小相同的球 10 个,其中红球 8 个,黑球 2 个,现从袋中有放回地取球, 每次随机取 1 个. 求: (Ⅰ)连续取两次都是红球的概率; (Ⅱ)如果取出黑球,则取球终止,否则继续取球,直到取出黑球,取球次数最多不超过 4 次,求取球次数 的概率分布列及期望.

24、电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了 100 名观众进行调查,其中女性有 55 名。右图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目 时间的频率分布直方图。将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育迷”, 已知“体育迷”中有 10 名女性。 (Ⅰ)根据已知条件完成下面的 2× 2 列联表,并据此资料判断你是否有 95%以上的把握认 为“体育迷”与性别有关? 非体育迷 男 女 合计 (Ⅱ)将日均收看该体育项目不低于 50 分钟的观众称为“超级体育迷”,已知“超级体育迷” 中有 2 名女性,若从“超级体育迷”中任意选取 2 人,求至少有 1 名女性观众的概率。 体育迷 合计

25、一个袋子中装有 6 个红球和 4 个白球,假设每一个球被摸到的可能性是相等的. (Ⅰ)从袋子中摸出 3 个球,求摸出的球为 2 个红球和 1 个白球的概率; (Ⅱ)从袋子中摸出两个球,其中白球的个数为 ,求 的分布列和数学期望.

26、为了更好地开展社团活动,丰富同学们的课余生活,现用分层抽样的方法从“模拟联合 国”,“街舞”,“动漫”,“话剧”四个社团中抽取若干人组成社团指导小组,有关数据见下表: (单位:人)

(1)求

的值;

(2)若从“动漫”与“话剧”社团已抽取的人中选 2 人担任指导小组组长,求这 2 人分别来自 这两个社团的概率. 27、已知 A,B,C,D 四个城市,它们各自有一个著名的旅游点,依次记为 A,b,C,D,把 A,B,C,D 和 A,b,C,D 分别写成左、 右两列.现在一名旅游爱好者随机用 4 条线把城市与旅游点全部连接起 来, 构成“一一对应”.规定某城市与自身的旅游点相连称为“连对”,否则称为“连错”,连对一条 得 2 分,连错一条得 0 分. (Ⅰ)求该旅游爱好者得 2 分的概率. (Ⅱ)求所得分数 的分布列和数学期望.

28、为预防 H7N9 病毒爆发,某生物技术公司研制出一种 H7N9 病毒疫苗,为测试该疫苗的 有效性(若疫苗有效的概率小于 90%,则认为测试没有通过) ,公司选定 2000 个样本分成 三组,测试结果如下表: 分组 疫苗有效 疫苗无效 A组 673 77 90 B组 C组

已知在全体样本中随机抽取 1 个,抽到 B 组疫苗有效的概率是 0.33. (1)现用分层抽样的方法在全体样本中抽取 360 个测试结果,应在 C 组抽取样本多少个? (2)已知 求通过测试的概率.

29、一个口袋中有红球 3 个,白球 4 个. (Ⅰ)从中不放回地摸球,每次摸 2 个,摸到的 2 个球中至少有 1 个红球则中奖,求摸 2 次恰好第 2 次中奖的概率; (Ⅱ)每次同时摸 2 个,并放回,摸到的 2 个球中至少有 1 个红球则中奖,连续摸 4 次,求 中奖次数 X 的数学期望 E(X). 30、某旅游公司提供甲、乙、丙三处旅游景点,游客选择游玩哪个景点互不影响,已知某游 客选择游甲地而不选择游乙地和丙地的概率为 0.08, 选择游甲地和乙地而不选择游丙地的概 率为 0.12,在甲、乙、丙三处旅游景点中至少选择游一个景点 0.88,用 表示游客在甲、乙、 丙三处旅游景点中选择游玩的景点数和没有选择游玩的景点数的乘积.

(Ⅰ)记“函数

是 R 上的偶函数”为事件 A,求事件 A 的概率;

(Ⅱ)求 的概率分布列及数学期望.

31、某地区因干旱缺水,政府向市民宣传节约用水,并进行广泛动员 三个月后,统计部门 在一个小区随机抽取了 户家庭, 分别调查了他们在政府动员前后三个月的月平均用水量 (单位:吨) ,将所得数据分组,画出频率分布直方图(如图所示)

动员前

动员后 户,在政府进行节水动员前平均每月用水量是

(Ⅰ)已知该小区共有居民

吨,请估计该小区在政府动员后比动员前平均每月节约用水多少吨; (Ⅱ)为了解动员前后市民的节水情况,媒体计划在上述家庭中,从政府动员前月均用水量 在 内的家庭中选出 户作为采访对象,其中甲、乙两家在备选之列,求恰好选中他

们两家作为采访对象的概率 32、某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别.公司准备了两种不同的饮料共 5 杯,其颜色完全相同,并且其中 3 杯为 饮料,另外 2 杯为 饮料,公司要求此员工一一 品尝后,从 5 杯饮料中选出 3 杯 饮料.若该员工 3 杯都选对,则评为优秀;若 3 杯选对 2 杯,则评为良好;否则评为及格.假设此人对 和 两种饮料没有鉴别能力. (Ⅰ)求此人被评为优秀的概率; (Ⅱ)求此人被评为良好及以上的概率. 33、我校社团联即将举行一届象棋比赛,规则如下:两名选手比赛时,每局胜者得 分,负 者得 分,比赛进行到有一人比对方多 分或打满 局时结束.假设选手甲与选手乙比赛时, 甲每局获胜的概率皆为 ,且各局比赛胜负互不影响.

(Ⅰ)求比赛进行 局结束,且乙比甲多得 分的概率; (Ⅱ)设 表示比赛停止时已比赛的局数,求随机变量 的分布列和数学期望.

34、某数学老师对本校 2013 届高三学生某次联考的数学成绩进行分析,按 1:50 进行分层抽 样抽取的 20 名学生的成绩进行分析,分数用茎叶图记录如图所示(部分数据丢失) ,得到频 率分布表如下:

(1)求表中

的值及分数在

范围内的学生数,并估计这次考试全校学生数学成

绩及格率(分数在

范围为及格) ;

(2) 从大于等于 110 分的学生中随机选 2 名学生得分, 求 2 名学生的平均得分大于等于 130 分的概率. 35、学校为了预防甲流感,每天上午都要对同学进行体温抽查。某一天,随机抽取甲、乙两 个班级各 10 名同学,测量他们的体温如图: (单位 0.1℃)

(1)哪个班所选取的这 10 名同学的平均体温高? (2)一般 ℃为低热, ℃为中等热,

℃为高热。按此规

定,记事件 A 为“从甲班发热的同学中任选两人,有中等热的同学”,记事件 B 为“从乙班发 热的同学中任选两人,有中等热的同学”,分别求事件 A 和事件 B 的概率. 36、一个盒子中装有分别标有数字 1、2、3、4 的 4 个大小、形状完全相同的小球,现从中 有放回地随机抽取 2 个小球,抽取的球的编号分别记为 (Ⅰ)求 取最大值的概率; (Ⅱ)求 的分布列及数学期望. 、 ,记 .

试卷答案
1.C 11. 12. 13. 14. 15.(1) s=7; (2) 16.(1) 1 0.4 . 17.(Ⅰ) 18.(1) 19.(1) 20.(1) ;(Ⅱ) . . ; (2) 的分布列为: 1.5 0.4 2 0.2 2.B 3.A 4.A 5.A 6.C 7.A 8.D 9.B 10.D

; (2)分布列详见解析, ; (2) , ; (2) .

21.(Ⅰ)X 的分布列 X P 数学期望 22.(Ⅰ) 23.(Ⅰ) 24.(Ⅰ) ;(Ⅱ) ; (Ⅱ) . . 0 1 2 3 4 5 6

; (Ⅱ)见解析. 列联表如下: 非体育迷 体育迷 15 10 合计 45 55

男 女

30 45

合计

75

25

100 .

没有 95%的把握认为“体育迷”与性别有关; (Ⅱ) 25.(Ⅰ) 26.(1) 27.(Ⅰ) ;(Ⅱ) 2. . , ;(Ⅱ)见解析. ; (2) .

28.(1) 90(个) ;(2) 29.(Ⅰ) ; (Ⅱ)

30.(Ⅰ)0.24; (Ⅱ) 的概率分布列为:

0 P 其数学期望是: 31.(Ⅰ) 32.(Ⅰ) 33.(Ⅰ) ; (Ⅱ) ; (Ⅱ) . 0.24

2 0.76

; (Ⅱ)随机变量 的分布列为

34.(1)



; (2)

. .

35.(1)甲班的平均体温高; (2) 36.(Ⅰ) ;

(Ⅱ)所以 的分布列:

0

1

2

3

4

5

数学期望

.


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