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2016年 黄浦二模(文理)

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2016 年黄浦区二模(文理)
2016.04.13 一、填空题(共 56 分) 1、已知集合 A ? {?1,3,2m ? 1} ,集合 B ? {3, m2 },若 B ? A ,则实数 m ? ____

2、计算: lim

3n ? 1 ? ____ n ?? 3n ?1 ? 2 n

3、函数 f

( x) ? 3 x ? 1 的反函数 f ?1 ( x) ? _____ 4、函数 f ( x) ? (sin x ? cos x) 的最小正周期为_________
2

5、 (理) 在极坐标系中, 直线 ? (cos? ? 2 sin ? ) ? 1 与直线 ? sin ? ? 1 的夹角大小为________ (结果用反三角函数值表示) (文)直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 与直线 y ? 1 的夹角为_________(结果用反三角函数值表示) 6、已知菱形 ABCD ,若 | AB |? 1, A ?
?

?
3

,则向量 AC 在 AB 上的投影为________

?

?

7、已知一个凸多面体的平面展开图由两个正六边形和六个正方形构成, 如右图所示,若该凸多面体所有棱长均为 1,则其体积 V ? _____ 8、已知函数 f ( x) ? x 3 ? lg( x 2 ? 1 ? x) ,若 f ( x) 的定义域中的 a , b 满足

f (?a) ? f (?b) ? 3 ? f (a) ? f (b) ? 3 ,则 f (a) ? f (b) ? ____
9、 (理)在代数式 (4 x 2 ? 2 x ? 5)?1 ?

? ?

1? ? 的展开式中,常数等于_______ x2 ?
*

5

(文)数列 {an } 中,若 a1 ? 3 , an?1 ? an (n ? N ) ,则 {an } 的通项公式 an ? _________ 10、 (理)若椭圆上的点到其一个焦点的距离的最小值为 5 ,最大值为 15 ,则该椭圆的短轴 长为________

1? ? (文)在代数式 (4 x ? 2 x ? 5)?1 ? 2 ? 的展开式中,常数等于_______ ? x ?
2

5

11、 (理)有红、黄、蓝三种颜色,大小相同的小球各 3 个,在每种颜色的 3 个小球上分别 标上号码 1,2,3 ;现任取出 3 个,它们的颜色与号码均不相同的概率是________(结果用最 简分数表示)
1 DSZ

(文)若椭圆上的点到其一个焦点的距离的最小值为 5 ,最大值为 15 ,则该椭圆的短轴长 为________ 12、 (理)设离散型随机变量 ? 可能取的值为 1,2,3 , P(? ? k ) ? ak ? b, (k ? 1,2,3) ,若 ? 的 数学期望 E ? ?

7 ,则 a ? b ? _____ 3

(文)满足约束条件 | x | ?2 | y | ? 2 的目标函数 z ? y ? x 的最大值是________ 13、 (理)正整数 a , b 满足 1 ? a ? b ,若关于 x, y 的方程组 ? 且只有一组解,则 a 的最大值为________ (文)有红、黄、蓝三种颜色,大小相同的小球各 3 个,在每种颜色的 3 个小球上分别标上 号码 1,2,3 ;现任取出 3 个,它们的颜色与号码均不相同的概率是________(结果用最简分 数表示) 14、 (理)数列 {an } 中,若 a1 ? 0, ai ? k 2 (i ? N * ,2k ? i ? 2k ?1 , k ? 1,2,3,...),则满足

y ? ?2 x ? 4033 有 ? y ?| x ? 1 | ? | x ? a | ? | x ? b | ?

ai ? a2i ? 100的 i 的最小值为_______
(文)正整数 a , b 满足 1 ? a ? b ,若关于 x, y 的方程组 ? 只有一组解,则 a 的最大值为________ 二、选择题(共 20 分) 15、 已知直角坐标平面上两条直线的方程分别为 l1 : a1 x ? b1 y ? c1 ? 0, l2 : a2 x ? b2 y ? c2 ? 0 那么“

y ? ?2 x ? 4033 有且 ? y ?| x ? 1 | ? | x ? a | ? | x ? b | ?

a1 b1 ? 0 ”是“两直线 l1 , l2 平行”的 a2 b2
B. 必要非充分条件



) D. 既非充分又非必要条件 ( )

A. 充分非必要条件 16、 (理)复数 z ? A. 第一象限

C. 充要条件

m?i ( m ? R, i 为虚数单位 ) 在复平面上的点不可能位于 1? i
C. 第三象限
2

B. 第二象限

D. 第四象限 )

(文)若 1 ? 2i ( i 为虚数单位)是实系数方程 x ? bx ? c ? 0 的一个复数根,则( A. b ? 2 , c ? ?3 C. b ? ?2 , c ? ?3 B. b ? 2 , c ? 5 D. b ? ?2 , c ? 5

2

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17、若 ?ABC 的三条边 a , b, c 满足 (a ? b) : (b ? c) : (c ? a) ? 7 : 9 : 10 ,则 ?ABC A. 一定是锐角三角形 C. 一定是钝角三角形 B. 一定是直角三角形 D. 可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形





18、 (理)若函数 f ( x) ? lg?sin(?x) ? sin(2?x) ? sin(3?x) ? sin(4?x)? 的定义域与区间 [0,1] 的交 集由 n 个开区间组成,则 n 的值为 A. 2 B. 3 C. 4 ( ) D. 5

(文)全集 U ={( x, y) | x ? R, y ? R} ,集合 S ? U ,若 S 中的点在直角坐标平面内形成的 图形关于原点、坐标轴、直线 y ? x 均对称,且 (2,3) ? S ,则 S 中元素个数至少有( A. 4 个 B. 6 个 C. 8 个 D. 10 个 )

三、解答题(共 74 分) 19、 (共 12 分) 如图,小凳凳面为圆形,凳脚为三根细钢管,考虑到钢管的受力等因素,设计的 小凳应满足:三根细钢管相交处的节点 P 与凳面圆形的圆心 O 的连线垂直于凳面 和地面,且 P 分细钢管上下两段的比值为 0.618 ,三只凳脚与地面所成的角均为

60 ? ,若 A, B, C 是凳面圆周的三等分点, AB ? 18 厘米,求凳子的高度 h 及三根
细钢管的总长度(精确到 0.01 ) ;

3

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20、 (第 1 小题 6 分,第 2 小题 7 分,共 13 分) 已知函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x ,其中 a , b 为非零实常数; (1)若 f ?

?? ? ? ? 2 , f ( x) 的最大值为 10 ,求 a , b 的值; ?4?

(2)若 a ? 1, x ?

?
6

是 f ( x) 图像的一条对称轴,求 x 0 的值,使其满足 f ( x0 ) ? 3 ,且

x0 ?[0,2? ] ;

21、 (第 1 小题 6 分,第 2 小题 7 分,共 13 分) 已知函数 f ( x ) ? a ?
x

x?2 ,其中 a ? 1 ; x ?1

(1)证明:函数 f ( x) 在 (?1,??) 上为增函数; (2)证明:不存在负实数 x 0 使得 f ( x0 ) ? 0 ;

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22、 (第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 8 分,共 18 分) (理)已知数列 {an } 的通项公式为 an ? (n ? k1 )(n ? k2 ) ,其中 n ? N * , k1 , k2 ? Z ; (1)试写出一组 k1 , k 2 的值,使得数列 {an } 中的各项均为正数; (2) 若 k1 ? 1, k ? N * , 数列 {bn } 满足 bn ? 写出所有满足条件的 k 2 的值; (3)若 k1 ? k2 ,数列 {cn } 满足 cn ? an ? | an | ,其前 n 项和为 Sn ,且使 ci ? c j ? 0 ,

an , 且对任意的 m ? N * (m ? 3) , 均有 b3 ? bm , n

(i, j ? N * , i ? j ) 的 i 和 j 有且仅有 4 组, S1 , S2 ,...,Sn 中有至少 3 个连续项的值相等,其它
项的值均不相等,求 k1 , k 2 的最小值;

5

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x0 2 y0 2 x2 y 2 (文) 对于双曲线 C( a ,b ) : 2 ? 2 ? 1 (a, b ? 0) , 若点 P( x0 , y0 ) 满足 2 ? 2 ? 1 , 则称 P a b a b x0 2 y0 2 在的 C( a ,b ) 外部;若点 P( x0 , y0 ) 满足 2 ? 2 ? 1,则称 P 在 C( a ,b ) 的内部; a b
(1)证明:直线 3x ? y ? 1 ? 0 上的点都在 C(1,1) 的外部; (2)若点 M 的坐标为 (0, ?1) ,点 N 在 C(1,1) 的内部或 C(1,1) 上,求 | MN | 的最小值; (3)若 C( a, b) 过点 (2,1) ,圆 x2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 在 C( a ,b ) 内部及 C( a ,b ) 上的点构成的圆弧长 等于该圆周长的一半,求 b 、 r 满足的关系式及 r 的取值范围;

???? ?

6

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23、 (第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 8 分,共 18 分) (理)对于双曲线 C( a ,b ) :
2 2 x0 y0 x2 y 2 ? ? 1 ,则 ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) ,若点 满足 P ( x , y ) 0 0 a 2 b2 a 2 b2 2 2 x0 y0 ? ? 1 ,则称 P 在 C( a ,b ) 的内部; a 2 b2

称 P 在 C( a ,b ) 的外部;若点 P( x0 , y0 ) 满足

(1)若直线 y ? kx ? 1 上的点都在 C(1,1) 的外部,求 k 的取值范围; (2)若 C( a ,b ) 过点 (2,1) ,圆 x 2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 在 C( a ,b ) 内部及 C( a ,b ) 上的点构成的圆弧长 等于该圆周长的一半,求 b, r 满足的关系式及 r 的取值范围; (3)若曲线 | xy |? mx2 ? 1(m ? 0) 上的点都在 C( a ,b ) 的外部,求 m 的取值范围;

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(文)已知数列 {an } 的通项公式为 an ? (n ? k1 )(n ? k2 ) ,其中 k1 , k2 ? Z ; (1)试写出一组 k1 , k2 ? Z 的值,使得数列 {an } 中的各项均为正数; (2) 若 k1 ? 1 、k2 ? N * , 数列 {bn } 满足 bn ? 写出所有满足条件的 k 2 的值; ( 3 ) 若 0 ? k1 ? k2 , 数 列 {cn } 满 足 cn ? an ? | an | , 其 前 n 项 和 为 Sn , 且 使

an * , 且对任意 m ? N ( m ? 3) , 均有 b3 ? bm , n

ci ? c j ? 0 (i, j ? N * , i ? j ) 的 i 和 j 有且仅有 4 组, S1 、 S2 、…、 Sn 中至少 3 个连续项的
值相等,其它项的值均不相等,求 k1 , k2 的最小值;

8

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黄浦区 2016 年高考模拟考 数学试卷(文理)参考答案
一、填空题(本大题满分 56 分) 1. 1 6.

3 2

1 3 3 3 7. 2
2.

3. ( x ? 1)3 , x ? R 8.?3

4. ?

5. arccos
n ?1

2 5 5

9. (理)15(文)32

10. (理)10 3

(文) 15

1 (文) 10 3 14 1 13. (理) 2016 (文) 14
11. (理)

12. (理)

1 (文) 2 6

14. (理) 128 (文) 2016

二、选择题(本大题满分 20 分) 15.B 16.D 17.C

18.C

三、解答题(本大题满分 74 分) 19.(本题满分 12 分) [解] 联结 PO , AO ,由题意, PO ? 平面 ABC ,因为凳面与地面平行, 所以 ?PAO 就是 PA 与平面 ABC 所成的角,即 ?PAO ? 60? . (2 分) 在等边三角形 ABC 中, AB ? 18 ,得 AO ? 6 3 , (4 分) 在直角三角形 PAO 中, OP ? 3 AO ? 18 , (6 分)

OP (9 分) ? 0.618 ,解得 h ? 47.13 厘米. h ? OP 3h 三根细钢管的总长度 (12 分) ? 163.25 厘米. sin 60?
由 20.(本题满分 13 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 7 分. b [ 解 ] ( 1 ) 因 为 f ( x) ? a sin x ? b cos x ? a2 ? b2 sin( x ? ? ) ( 其 中 sin ? ? , 2 a ? b2 a cos ? ? ) , 2 a ? b2 所以 f ( x) 的最大值为 a2 ? b2 . 由 a2 ? b2 ? 10 , (2 分)

2 2 ??? a? b? 2, 及 f ? ?? (4 分) 2 ?4? 2 解得 a ? ?1 , b ? 3 或 a ? 3 , b ? ?1 . (6 分)

? 时,取得最大值 b2 ? 1 或最小值 ? b2 ? 1 , 6 3 ??? 1 b ? ? b 2 ? 1 ,解得 b ? 3 . 于是 f ? ? ? ? (8 分) ?6? 2 2 ? 于是 f ( x) ? sin x ? 3 cos x ? 2sin( x ? ) , (10 分) 3 ? 当 f ( x) ? 3 时,解得 x ? 2k ? 或 x ? 2k ? ? ( k ? Z ) . (12 分) 3 ? 因为 x0 ?[0,2?] ,故所求 x 0 的值为 0 , , 2 ? . (13 分) 3
(2)易知,当 x ?
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21.(本题满分 13 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 7 分. x ?2 x ?2 ? a x2 ? 2 [证明](1)任取 ?1 ? x1 ? x2 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? a x1 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1

? x ? 2 x2 ? 2 ? 3( x1 ? x2 ) x1 x2 . (3 分) ? (a x1 ? a x2 ) ? ? 1 ? ? ? (a ? a ) ? ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? x1 ? 1 x2 ? 1 ? 因为 ?1 ? x1 ? x2 , a ? 1 ,所以 a x1 ? a x2 , x1 ? 1 ? 0 , x2 ? 1 ? 0 , x1 ? x2 ? 0 , 3( x1 ? x2 ) ? 0 ,得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) . 于是 a x1 ? a x2 ? 0 , ( x1 ? 1)( x2 ? 1) 因此,函数 f ( x) 在 (?1, ??) 上为增函数. (6 分) x?2 (2) (反证法)若存在负实数 x 0 ( x0 ? ?1 ) ,使得 f ( x0 ) ? 0 ,即方程 a x ? ? 0 有负实 x ?1 数根. (8 分) x?2 ? 1? ?1 ? 对于 a x ? ? ,当 x0 ? 0 且 x0 ? ?1 时,因为 a ? 1 ,所以 a x0 ? ? 0, ? ? ? ,1? , (10 分) x ?1 ? a? ?a ? x ?2 3 ? ?1 ? ? (??, ?1) ? (2, ??) . 而? 0 (13 分) x0 ? 1 x0 ? 1
因此,不存在负实数 x 0 使得 a x ? ?

x?2 ,得证. x ?1

22.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 8 分. (理)[解](1) k1 ? ?1 、 k2 ? ?2 (答案不唯一) . (4 分)

an k (6 分) ? n ? 2 ? (1 ? k2 ) . n n k 当 k2 ? 1 , 2 时, f (n) ? n ? 2 均单调递增,不合题意,因此, k2 ≥ 3 . n k 当 k2 ≥ 3 时,对于 f (n) ? n ? 2 ,当 n ≤ k2 时, f ( n) 单调递减;当 n ≥ k2 时, f ( n) 单 n
(2)由题设, bn ? 调递增. 由题设,有 b1 ? b2 ? b3 , b3 ? b4 ? ? . (8 分) 于是由 b2 ? b3 及 b4 ? b3 ,可解得 6 ? k2 ? 12 . 因此, k 2 的值为 7,8,9,10,11. (10 分)

?2an , an ? 0, (3) cn ? an ? | an |? ? an ≤ 0. ?0, 其中 an ? (n ? k1 )(n ? k2 ) ? n2 ? (k1 ? k2 )n ? k1k2 ,且 k1 ? k2 .
当 k1 ? k2 ≤ 0 时, {an } 各项均为正数,且单调递增, cn ? 2an ,也单调递增,不合题意;

?2an , n ? k2 , 当 k1 ≤ 0 ? k2 时, cn ? ? 不合题意; (12 分) n ≤ k2 . ?0, ?2an , n ? k1 or n ? k2 , 于是,有 0 ? k1 ? k2 ,此时 cn ? ? (14 分) k1 ≤ n ≤ k2 . ?0, 因为 ci ? c j ? 0 ( i 、 j ? N* , i ? j ) ,所以 i 、 j ? (k1 , k2 ) .
于是由 cn ? 2an ? 2(n ? k1 )(n ? k2 ) ? 2[n2 ? (k1 ? k2 )n ? k1k2 ] ,可得

0 ? i ? k1 ? k2 ? j ,此时, i 的四个值为 1 , 2 , 3 , 4 ,因此, k1 的最小值为 5 . (16 分)
10

k1 ? k2 i ? j ,进一步得 ? 2 2

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又 S1 、 S2 、…、 Sn 中有至少 3 个连续项的值相等,其它项的值均不相等, 不妨设 Sm ? Sm +1 =Sm +2 =? ,于是有 cm +1 =cm +2 =? ? 0 , 因为当 k1 ≤ n ≤ k2 时, cn ? 0 ,所以 5 ? k1 ≤ m ? 1 ? m ? 2 ? ?≤ k2 , 因此, k2 ≥ 6 ,即 k 2 的最小值为 6 . (18 分) (文)[解](1)设直线 3x ? y ? 1 ? 0 上点的坐标为 ( x0 ,3x0 ? 1) ,代入 x 2 ? y 2 ,
2 得 x2 ? y 2 ? x0 (2 分) ? (3x0 ? 1)2 ? ?8( x0 ? )2 ? ,

3 8

1 8

1 8 2 2 (2)设点 N 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,由题设 x0 (6 分) ? y0 ≥1. ???? ? ???? ? 12 3 2 2 2 2 ? ( y0 ? 1)2 ? 2( y ,得 | MN |≥ 1 ? y0 , (8 ≥1 ? y0 | MN |? x0 ? ( y0 ? 1)2 ,由 x0 0 ? ) ? 2 2
对于 x ? R , x2 ? y 2 ≤ ? 1 ,因此,直线 y ? 3 x ? 1 上的点都在 C(1,1) 的外部. (4 分) 分)

???? ? 6 1 3 6 对于 y0 ? R ,有 2( y0 ? ) 2 ? ≥ ,于是 | MN |≥ , (10 分) 2 2 2 2
6 . 2 (3)因为圆 x2 ? y 2 ? r 2 和双曲线 C( a ,b ) 均关于坐标轴和原点对称,所以只需考虑这两个曲
因此, | MN | 的最小值为 线在第一象限及 x 、 y 轴正半轴的情况. 由题设,圆与双曲线的交点平分该圆在第一象限内的圆弧,它们交点的坐标为

???? ?

? 2r 2 r ? . (12 分) ? ? 2 , 2 ? ? ? ? r2 r2 2r 2r 将x? ,y? 代入双曲线 C( a ,b ) 方程,得 2 ? 2 ? 1 (*) , (13 分) 2a 2b 2 2 4 1 又因为 C( a ,b ) 过点 (2,1) ,所以 2 ? 2 ? 1 , (15 分) a b 4b 2 8b 2 将 a2 ? 2 代入(*)式,得 r 2 ? 2 . (17 分) b ?1 b ?3 3r 2 ? 0 ,解得 r 2 ? 8 .因此, r 的取值范围为 (2 2, ??) . 由 b2 ? 2 (18 分) r ?8 23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 8 分. (理) [ 解 ] ( 1 )由题意,直线 y ? kx ? 1 上点 ( x0 , kx0 ? 1) 满足 x2 ? y 2 ? 1 ,即求不等式
2 (1 分) x0 ? (kx0 ? 1)2 ? 1的解为一切实数时 k 的取值范围. 2 对于不等式 (1 ? k 2 ) x0 ? 2kx0 ? 2 ? 0 , 当 k ? ?1 时,不等式的解集不为一切实数, (2 分)

于是有 ?

2 ? ?1 ? k ? 0, 解得 | k |? 2 . 2 2 ? ?? ? 4k ? 8(1 ? k ) ? 0,

故 k 的取值范围为 (??, ? 2) ? ( 2, ??) . (4 分) (2)因为圆 x2 ? y 2 ? r 2 和双曲线 C( a ,b ) 均关于坐标轴和原点对称,所以只需考虑这两个曲 线在第一象限及 x 、 y 轴正半轴的情况. 由题设, 圆与双曲线的交点平分该圆在第一象限内的圆弧, 它们交点的坐标为 ?

? 2r 2 r ? . ? 2 , 2 ? ? ? ?
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r2 r2 2r 2r ,y? 代入双曲线 C( a ,b ) 方程,得 2 ? 2 ? 1 (*) , (6 分) 2a 2b 2 2 4 1 又因为 C( a ,b ) 过点 (2,1) ,所以 2 ? 2 ? 1 , (7 分) a b 4b 2 8b 2 将 a2 ? 2 代入(*)式,得 r 2 ? 2 . (9 分) b ?1 b ?3 3r 2 ? 0 ,解得 r 2 ? 8 .因此, r 的取值范围为 (2 2, ??) . 由 b2 ? 2 (10 分) r ?8 x2 y2 1 1 (3)由 | xy |? mx 2 ? 1 ,得 | y |? m | x | ? .将 | y |? m | x | ? 代入 2 ? 2 ? 1 , a b | x| | x|
将x?

? 1 ? ?m| x|?| x|? 2 x ? ? ? 1 对任意非零实数 均成立. 由题设,不等式 2 ? (12 分) x 2 a b ? 1 ? ?m| x| ?| x|? 2 2 x ? ? ? 1 [(b 2 ? a 2 m 2 ) x 2 ? a ? 2a 2 m] . 其中 2 ? a b2 a 2b 2 x2 2 a ? 2a 2 m , 令 x 2 ? t ,设 f (t ) ? (b 2 ? a 2 m 2 )t ? (t ? 0 ) . t 当 b 2 ? a 2 m 2 ? 0 时,函数 f (t ) 在 (0, ??) 上单调递增, f (t ) ? 1 不恒成立; (14 分)
当 b 2 ? a 2 m 2 ? 0 时, (b 2 ? a 2 m 2 )t ?
2

2

a2 ≤ ?2 (a 2 m 2 ? b 2 )a 2 , t

函数 f (t ) 的最大值为 ?2 (a 2 m2 ? b2 )a 2 ? 2a 2 m ,

?2 (a 2 m2 ? b 2 )a 2 ? 2a 2 m ? 0 ?1 ; (16 分) a 2b 2 a2 当 b 2 ? a 2 m 2 ? 0 时, f (t ) ? ? ? 2a 2 m ? 0 ? 1 . (17 分) t b ?b ? 综上, b2 ? a 2 m2 ≤ 0 ,解得 m ≥ .因此, m 的取值范围为 ? , ?? ? . (18 分) a ?a ? (文) [解](1) k1 ? ?1 、 k2 ? ?2 (答案不唯一) . (4 分) a k (2)由题设, bn ? n ? n ? 2 ? (1 ? k2 ) . (6 分) n n k 当 k2 ? 1 , 2 时, f (n) ? n ? 2 均单调递增,不合题意,因此, k2 ≥ 3 . n k 当 k2 ≥ 3 时,对于 f (n) ? n ? 2 ,当 n ≤ k2 时, f ( n) 单调递减;当 n ≥ k2 时, f ( n) 单 n 调递增. 由题设,有 b1 ? b2 ? b3 , b3 ? b4 ? ? . (8 分) 于是由 b2 ? b3 及 b4 ? b3 ,可解得 6 ? k2 ? 12 . 因此, k 2 的值为 7,8,9,10,11. (10 分)
因为 m ? 0 ,所以 (3)因为 an ? (n ? k1 )(n ? k2 ) ? n2 ? (k1 ? k2 )n ? k1k2 ,且 0 ? k1 ? k2 ,

?2an , n ? k1 or n ? k2 , 所以 cn ? an ? | an |? ? (12 分) k1 ≤ n ≤ k2 . ?0, 因为 ci ? c j ? 0 ( i 、 j ? N* , i ? j ) ,所以 i 、 j ? (k1 , k2 ) . (14 分)

12

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k1 ? k2 i ? j ,进一步得 0 ? i ? k1 ? k2 ? j , ? 2 2 此时, i 的四个值为 1 , 2 , 3 , 4 ,因此, k1 的最小值为 5 . (16 分) 又 S 1 、 S2 、 … 、 Sn 中 有 至 少 3 个 连 续 项 的 值 相 等 , 其 它 项 的 值 均 不 相 等 , 不 妨 设 Sm ? Sm + 1=Sm + 2=? , 于 是 有 cm +1 =cm +2 =? ? 0 , 因 为 当 k1 ≤ n ≤ k2 时 , cn ? 0 , 所 以 5 ? k1 ≤ m ? 1 ? m ? 2 ? ?≤ k2 , 因此, k2 ≥ 6 ,即 k 2 的最小值为 6 . (18 分)
于是由 cn ? 2[n2 ? (k1 ? k2 )n ? k1k2 ] ,可得

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