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《等差数列》课件(1)


引例一

请你说出本月的星期天依次 是几号?

得到的数列: 1, 8, 15, 22, 29

引例二

姚明刚进NBA一周训练罚球的个数:
第一天:6000, 第二天:6500, 第三天:7000, 第四天:7500, 第五天:8000, 第六天:8500, 第七天:9000.

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得到数列: 6000,6500,7000,7500, 8000,8500,9000

观察归纳 六月的星期天对应日期的数列: 发现? 1, 8, 15, 22 ,29 姚明罚球个数的数列: 6000,6500,7000,7500,8000,8500,9000

观察:以上数列有什么共同特点?
对于每个数列而言,从第 2项起,每一项与前一 项的差都等于同一常数。

等差数列定义
一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它 的前一项的 差 等于 叫做等差数列。

同一个常数

,那么这个数列就

这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示。
(1)1, 8, 15, 22, 29

公差d=7 公差d=500

(2) 6000,6500,7000,7500,8000,8500,9000

符号语言叙述:an+1-an=d

(d是常数,n≥1,n∈N+)

想一想
公差d=7 ①1, 8, 15, 22, 29; 1、若将数列①中各项的次序作一次颠倒所得的数列 29,22,15,8,1;是否为等差数列?若是,是否与原数列相 同?公差是多少?若不是,说明理由 公差d=-7
2、常数列a,a,a,…是否为等差数列?若是,则公差是多
少?若不是,说明理由

公差d=0 不是

3、数列0,1,0,1,0,1是否为等差数列?若是,则公差是 多少?若不是,说明理由

公差d是每一项(第2项起)与它的前一项的差, 防止把被减数与减数弄颠倒,而且公差可以是正数, 负数,也可以为0

引例二

姚明刚进NBA一周训练罚球的个数:
第一天:6000, 第二天:6500, 第三天:7000, 第四天:7500, 第五天:8000, 第六天:8500, 第七天:9000.

得到数列: 6000,6500,7000,7500, 8000,8500,9000

想一想:姚明第十五天训练罚球的个数是多少呢?

通项公式的推导

an+1-an=d
不完全 归纳法

已知等差数列{an}的首项是a1,公差是d

a2-a1=d
a3-a2=d

a2=a1+d
a3=a2+d =(a1+d)+d =a1+2d

a4-a3=d
a5呢? …… a9呢?

a4=a3+d =(a1+2d)+d =a1+3d

由此得到

an= a1+(n-1)d , n∈N+,d是常数

例题讲解

等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d

例1 已知等差数列的首项 a1=3 ,公差 d =2,求它 的通项公式an。
分析:知道a1,d ,求an ;代入通项公式。

解: ∵ a1=3 , d=2 ∴ an=a1+(n-1)d
=3+(n-1) ×2 =2n+1

等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d

想一想
1、①1,8,15, 22, 29;

公差d=7

an=1+(n-1).7=7n-6

2、若将数列①中各项的次序作一次颠倒所得的数列
29,22,15,8,1;是否为等差数列?若是,是否与原数列相 同?公差是多少?若不是,说明理由

公差d=-7

an=29+(n-1).(-7)=-7n+36

等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d

3、6000,6500,7000,7500,8000,8500,9000
公差d=500

an=6000+500(n-1)=500n+5500

4、常数列a,a,a,…是否为等差数列?若是,则公差是多 少?若不是,说明理由

公差d=0

an=a+0.(n-1)=a

例题讲解 例2 求等差数列 8 ,5 , 2 ,…的第20项。

分析: 根据a1=8,d= -3,先求出通项公式 an ,再求出a20
解: ∵ a1=8, d=5-8= -3, n=20

由an=a1+(n-1)d 得
∴ a20 =a1+(n-1)d =8+(20-1)×(-3) = -49

例题讲解

例2 求等差数列 8 ,5 , 2 ,…的第20项。
想一想

(1)-49是这个数列的第几项?

(2)-99是不是这个数列的项?如果是,是
第几项?如果不是,请说明理由.

例题讲解
例3 在等差数列{an}中 ,已知a5=10 ,a12=31 ,求a1, d,an。
分析: 此题已知a5=10,n=5 ;a12=31 , n=12分别代入通项, 公式an = a1+(n-1)d 中 ,可得两个方程,都含a1与d两个未知 数组成方程组,可解出a1与d 。 ******** 解:设an=a1+(n-1)d,则有

a1+4d=10 a1+11d=31

(1) (2)

解得 a1 = -2 ,d = 3 an=-2+(n-1).3 =3n-5

题后点评

求通项公式的关键步骤: 求基本量a1和d :根据已知条件列方程, 由此解出a1和d ,再代入通项公式。 像这样根据已知量和未知量之间的关系, 列出方程求解的思想方法,称方程思想。 这是数学中的常用思想方法之一。

试一试

1.在等差数列{an}中,已知a3=21 ,a8=36 ,求 通项公式an
解:设an=a1+(n-1)d,则有

a1+2d=21 a1+7d=36 ∴a1 =15,d = 3, ∴an =15+(n-1) ×3 = 3n+12

接轨生活 第一届现代奥运会 于1896年在希腊雅典 举行,此后每4年举行一 次,奥运会如因故不能 举行,届数照算.
(1)试写出由举行奥运 会年份构成的数列的 通项公式; (2)2008年北京奥运 会是第几届? (3)2050年举行奥运会 吗?

要点扫描

本节课主要学习:
一个定义: an+1-an=d (d是常数,n≥1,n∈N+) 一个公式:an=a1+(n-1)d 一种思想:方程思想

一种方法: 不完全归纳法

课后作业

1+2+3+· · · +100=?

高斯,(1777— 1855) 德国著 名数学家。 预习:等差数列的前n项和


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