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2013年高三一模文科数学试卷


衢州市 2013 年 1 月高三年级教学质量检测试卷

数学(文科)
命题者: 徐琴 周金元 叶秋平 李世杰
考生须知: 1.全卷分试卷Ⅰ、试卷Ⅱ和答题卷。考试结束后,将答题卡、答题卷上交。 2.试卷共 4 页,有三大题,22 小题。满分 150 分,考试时间 120 分钟。 3.请将答案做在答题卡、答题卷的相应位置上,写在试卷上无效。 参

考公式:
球的表面积公式 2 S=4πR 球的体积公式 V= 锥体的体积公式 V=

4 3 πR 3

1 Sh 3

其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高

其中 R 表示球的半径

试卷Ⅰ
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项 .... 是符合题目要求的。 1.设集合 A={4,5,6,7} ,B={1,3,4,7,9} ,全集 U=A∪B,则集合 CU ( A ? B ) 中 的元素共有( ▲ ) A. 3 个 B.
3

4个

C. 5 个

D. 6 个

2.若 i (a ? i) ? b ? i ,其中 a, b ? R , i 是虚数单位,则复数 a ? bi =( ▲ ) A. 1 ? i B. 1 ? i C. ?1 ? i D. - 1 - i

3. “ a ? b ? 0 ”是“

1 1 ? ”的( ▲ ) a b
B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 4. 将函数 y = sin ( 2 x +

?
4

) 的图像向左平移 ? 个单位长度, 所得图像关于 y 轴对称, 则? 的
3π 8
π 8

一个值可以是( ▲ ) A.

π 2

B.

π 4

C.

D.

5. 下列命题中,正确的命题是( ▲ ) A.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,则这条直线与这个平面垂直; B.垂直于同一平面的两个平面平行; C.空间中垂直于同一条直线的两条直线平行; D.如果平面 ? 不垂直平面 ? ,那么平面 ? 内一定不存在直线垂直于平面 ? .

高三数学(文科)试卷 第 1 页(共 4 页)

x2 ? y 2 ? 1 ( m ∈ R )的离心率为( ▲ ) 6. 已知 1, m ,9 成等比数列,则圆锥曲线 m
A.

6 3

B.2

C.

6 或2 3

D.

2 或2 3

7.设函数 f ( x ) ? 为

1 ,若如图的程序框图中输出的结果 x ?x
2

2012 ,则判断框中填入的条件可以是( ▲ ) 2013 A. n ? 2012 ? B. n ? 2013? C. n ? 2012 ? D. n ? 2013?

8. 定义在 R 上的偶函数 f ( x) 对任意 x ? R 都有

f ( x ? 2) ? f ( x) 成立,当 x ? [0,1] 时,有 f ( x) ? x ? 1 ,
设 x1 , x2 为函数 g ( x ) ? f ( x ) ? 的最小值为( ▲ )

5 的两个零点,则 x1 ? x2 4

1 1 C. D .1 4 2 9.已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上一点 C (1, m)(m ? 0) 到其焦点的距离为2,双曲线
A. B.

3 2

x2 ? y 2 ? 1(a ? 0) 的左顶点为 A ,若双曲线的一条渐近线与直线 AC 垂直,则实数 a 的 2 a
值是( ▲ ) A.2 B.

1 2

C.1

D.-2

10.若函数 f ( x) 满足:①在定义域 D 内是单调函数;②存在 [ a, b] 使得 f ( x) 在 [ a, b] 上的
x 值域为 ? , ? ,则称 f ( x) 为“成功函数”,若函数 f ( x) ? logc (c ? 2t ?1) ( c ? 0 且 2 2

c ? 1 )是“成功函数”,则实数 t 的取值范围为( ▲ ) 5? ?1 5? ?1 5? ?1 ? ? ? ?? A. ? , B. ? ??, ? C. ? , ? D. ? , ? 4? ?2 4? ?2 8? ?2 ? ?

?a b? ? ?

第 II 卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。把正确答案填在答题卡中的横线上。 11.某大学大四某专业学生中有男生 56 人,女生 42 人。现用分层抽样的方法抽取若干人, 若抽取的男生有 8 人,则抽取的女生有____▲____人.

高三数学(文科)试卷 第 2 页(共 4 页)

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 12.若实数 x, y 满足 ?3 x ? 2 y ? 3 ? 0 ,则 3x ? y 最大值是____▲____. ?x ? 3y ? 6 ? 0 ?
13.如图是一个几何体的三视图 (单位: cm ),其中正视图是腰 长为 4 的等腰三角形,俯视图是半径为 2 的圆,则该几何体 的体积是____▲____ cm . 14.等差数列 {an } 的前 6 项的和等于前 3 项的和,若 a1 ? 1 ,
3

ak ? a2 ? 0 ,则 k =____▲____.
15.若 AB ? ? x, y ? , x, y ??1, 2,3, 4? ,a=(1,-1),则 AB 与 a 的夹角为锐角的概率是 ____▲____. 16.已知向量 a,b 的夹角为 30 ,且 a =1, 2a - b = 2 7 ,则 b =____▲____. 17. 若当 x ? (?1,1) 时,均有
?

x 2 ? ax ? a ? 1 ? 0 成立,则实数 a 的取值范围是____▲____. x?a

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (Ⅰ)求 f ? x ? 的单调递增区间; (Ⅱ)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,若 f ( ?

18.(本题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ? sin 2x ? m cos 2x ( m ? R )的图象过点 P(0, 3 ) .

) ? 2cos A ,且 a ? 3 , 12

?

b ? 2 ,求 ?ABC 的面积. 19. (本题满分 14 分)已知 ?an ? 是各项为正数的等差数列, Sn 为其前 n 项和,数列 ?bn ? 是
等比数列,且满足 a1 ? 3 , b1 ? 1 , a3b2 ? 18 , S3 ? b2 ? 20 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)若 2Sn ? ? an ? 12 对任意 n ? N 恒成立,求实数 ? 的取值范围.
?

20. (本题满分 14 分)如图 , 四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 4 的菱形,

?ADC ? 60? ,直线 PA ⊥平面 ABCD ,且 PA =2, E , F 分别为边 PD, AD 的中点,

1 AC . 4 (Ⅰ)求证: AC ⊥平面 EFG ;(Ⅱ)求直线 PA 与平面 ACE 所成角的大小. AG ?
高三数学(文科)试卷 第 3 页(共 4 页)

P E A G B
21. (本题满分 15 分)已知函数 f ( x) ?

F C

D

1 2 x ? a ln x(a ? R ) . 2

(Ⅰ)若 a ? 1 ,求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若函数 f ( x) 在区间 [1, 2] 上的最小值为 g (a ) ,求 g (a ) 的取值范围. 22.(本题满分 15 分)已知抛物线 C1 : x ? y ,圆 C2 半径为 1,圆心为 P ? 0, t ? ( t 为常数
2

且 t ?1) , Q 为 y 轴非负半轴上异于 P 的点,过 Q 点作 C2 的切线交 C1 于 A, B 两点. (Ⅰ)求抛物线 C1 的焦点坐标和准线方程; (Ⅱ)若 Q 关于原点 O 的对称点为 M , (i)当点 Q 不与 O 重合时,证明:直线 MA 与 MB 关于 y 轴对称; (ii)设 ?MAB 的面积为 S ,求

2S 的最小值. | MQ |

高三数学(文科)试卷 第 4 页(共 4 页)


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