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云南师大附中2016届高考适应性月考卷(四)理数-答案


云南师大附中 2016 届高考适应性月考卷(四) 理科数学参考答案
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 【解析】
∴M ? N ? (0, 2] ,故选 C. 1. M ? [?2,2],N ? (0,2],

1 C

2 D

>
3 B

4 C

5 A

6 D

7 B

8 A

9 C

10 D

11 B

12 A

2.

a ? i (a ? i)(2 ? i) (2a ? 1) ? (a ? 2)i 1 是纯虚数,∴2a ? 1 ? 0 ,∴a ? ,故选 D. ? ? 2?i 5 5 2

3.抽样间隔为

50 ? 5 ,由系统抽样的特点,可得所抽编号成等差数列,由等差数列性质知 10

a7 ? a3 ? 4 ? 5 ? 33 ,故选 B.

??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ????2 ???? 2 ??? ? 2 ??? ?2 ??? ? ??? ? 4.∵AB ? AC ? 2 AD, ∴ ( AB ? AC)2 ? 4 AD ,即 4 AD ? AB ? AC ? 2 AB ? AC ?
?2 ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ???? ( AB ? AC)2 ? 4 AB ? AC ? CB ? 4 AB?AC ? 100 ,∴| AD |? 5 ,故选 C.
π? T 3π 1 ? | x1 ? x2 | 的 最 小 值 为 ? 5.因 为 f ( x) ? 2sin ? ? x ? ?, , 所 以 T ? 6π , 所 以 ? ? , 故 3 4 2 3 ? ?

选 A.
1) 时, 6.作出可行域如图 1 中阴影部分,目标函数过点 (0,

最小值为 1,故选 D. 7.由程序框图知,输出的结果为 s ? log 2 3 ? log3 4 ? …? log k (k ? 1)
? log2 (k ? 1) ,当 k ? 7 时, s ? 3 ,故选 B.
图1

8 .该几何体为一个正方体截去三棱台 AEF ? A1 B1 D1 ,如图 2 所示,截面图形为等腰梯形
理科数学参考答案·第 1 页(共 10 页)

B1 D1 FE , EF ? 2, B1D1 ? 2 2, B1E ? 5 ,梯形的高
h ? 5?
1 3 2 9 1 3 2 ? , ? ,所以 S梯形B1D1FE ? ? ( 2 ? 2 2) ? 2 2 2 2 2

所以该几何体的表面积为 20,故选 A.
图2

a 9.∵数列 {an } 的前 n 项和有最大值,∴数列 {an } 为递减数列,又 9 ? ?1 , ∴a8 ? 0,a9 ? 0 且 a8

a8 ? a9 ? 0 ,又 S15 ?

15( a1 ? a15) 16( a 1 ?a 16) ? 15 a S ?8( a 0 ,故当 n ? 15 时, 8 ?0, 16 ? 8 ?a 9) ? 2 2

Sn 取得最小正值,故选 C.

10.圆 C: ( x ? 1)2 ? y 2 ? 2 ,圆心 (1,0) ,半径 r ? 2 ,因为圆心到直线的距离是 3,所以圆 上到直线距离小于 2 的点构成的弧所对弦的弦心距是 1,设此弧所对圆心角为 ? ,则

cos

?
2

?

1 2

?

π 2 2 ? π π π ,所以所求概 ,所以 ? ,即 ? ? , ? 所对的弧长为 ? 2 ? 2 2 2 2 4 2

2π 1 2 率为 ? ,故选 D. 2π ? 2 4

11.当直线 l 的倾斜角为 90 ? 时, | AB |? 6 ;当直线 l 的倾斜角为 0? 时, | AB |? 2 ? 6 .故当直 线 l 适当倾斜时,还可作出两条直线使得 | AB |? 6 ,故选 B. 12.当直线 y ? ax 与曲线 y ? ln x 相切时,设切点为 ( x0,ln x0 ) ,切线斜率为 k ?
1 ,则切线方 x0

程为 y ? ln x0 ?

1 1 ( x ? x0 ) ,切线过点 (0,0) ,∴? ln x0 ? ?1,x0 ? e > 2 ,此时 a ? ;当直 x0 e

ln 2) 时, a ? 线 y ? ax 过点 (2,

ln 2 ? ln 2 1 ? , ? ,故选 A. .结合图象知 a ? ? 2 ? 2 e?

理科数学参考答案·第 2 页(共 10 页)

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 题号 答案 【解析】
3 ?5? ?5 ? ? 1? ?1? 1 13. f ? ? ? f ? ? 3 ? ? f ? ? ? ? f ? ? ? ? 1 ? . 2 2 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ?

13

14
2 2

15

16
3 ?1 2

3 2

8 17

14.如图 3,设 PQ 与 AD 交于点 M,则△DPM∽△CPQ,
DP PM 1 ? ? ,∴PQ ? 2 PM ,又△DPM∽△DCA, CP PQ 2



DP PM 1 1 ? ? , ∴PM ? CA ? 2 ,∴PQ ? 2 2 . DC CA 3 3

图3

15.由余弦定理 cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 , ∴b2 ? c2 ? a2 ? 2bc cos A , 2bc

1 ∵S ? (b ? c)2 ? a2 ? b2 ? c2 ? a2 ? 2bc ? 2bc(cos A ? 1) ,又 S ? bc sin A , 2 1 1 ∴2bc(cos A ? 1) ? bc sin A ,∴cos A ? 1 ? sin A , 2 4
1 8 ?1 ? ∴sin 2 A ? ? sin A ? 1? ? 1, ∴sin A ? . 即 cos A ? sin A ? 1, 4 4 17 ? ?
2

16.由题意得: | OF2 |?| F2 M |? c, ?OF2 M ? 120?, ∴| OM |? 3c ,设左焦点为 F1 ,连接 PF1 ,
? 2c, 由 双 曲 线 定 义 , 得 则 OM 为 △PF1 F2 的 中 位 线 , ∴| PF1 |? 2 3c , 又 | P F 2 |

| PF1 | ? | PF2 |? 2a, ∴( 3 ? 1)c ? a, ∴e ?

c 1 3 ?1 ? ? . a 2 3 ?1

三、解答题(共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由已知可得
? ? ?x π? ? f ( x) ? a ?b ? 3 ? 6cos 2 ? 3 sin ? x ? 3 ? 3cos ? x ? 3 sin ? x ? 2 3 sin ? ? x ? ? , 2 3? ?
理科数学参考答案·第 3 页(共 10 页)

由正三角形 ABC 的高为 2 3 ,可得 BC ? 4 , 所以函数 f ( x) 的最小正周期 T ? 4 ? 2 ? 8 ,即



?

?8,

得? ?

π , 4

????????????????????????????(4 分)

? πx π ? 故 f ( x) ? 2 3 sin ? ? ? , ? 4 3?

所以函数 f ( x) 的值域为 [?2 3, 2 3] . (Ⅱ)因为 f ( x0 ) ?
8 3 , 5

????????????????(6 分)

π? π? 4 ? πx ? πx 由(Ⅰ)有 f ( x0 ) ? 2 3 sin ? 0 ? ? ,即 sin ? 0 ? ? ? , 4 3 4 3? 5 ? ? ? πx π ? π π? ? 10 2 ? 由 x0 ? ? ? , ? ,得 0 ? ? ? ? , ? , 4 3 ? 2 2? ? 3 3?

3 ? πx π ? ? 4? 所以 cos ? 0 ? ? ? 1 ? ? ? ? , 3? 5 ?5? ? 4
?? πx π π? π ? π? ? πx 故 f ( x0 ? 1) ? 2 3 sin ? 0 ? ? ? ? 2 3 sin ?? 0 ? ? ? ? 4 3? 3 ? 4? ? 4 ?? 4 ? 2 3? 2 ? ? πx0 π ? π ?? ? πx sin ? ? ? ? cos ? 0 ? ? ? ? 2 ? ? 4 3? 3 ?? ? 4

2

? 4 3? 7 6 ? 6 ?? ? ? ? . 5 ?5 5?

??????????????????????(12 分)

18. (本小题满分 12 分)
23 ,, 解: (Ⅰ)设事件 Ai 表示“该生第 i 个项目测试过关” , i ? 1,

4 依题意, P( A1 ) ? ,P( A2 ) ? x, P( A3 ) ? y , 5
1 ? P(? ? 0) ? (1 ? x)(1 ? y ), ? ? 5 因为 ? 4 ? P(? ? 3) ? xy, ? 5 ?

理科数学参考答案·第 4 页(共 10 页)

6 ?1 (1 ? x)(1 ? y ) ? , ? x ? y ? 1, ? ?5 ? 125 所以 ? 即? 6 且x? y, xy ? ? 4 xy ? 24 , ? 25 ? ? 125 ?5

3 ? x? , ? ? 5 解得 ? ? y ? 2, ? 5 ?

??????????????????????????(4 分)

于是, a ? P(? ? 1) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 )

4 2 3 1 3 3 1 2 2 37 , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 5 5 5 5 5 5 5 5 125 b ? 1 ? P(? ? 0) ? P(? ? 1) ? P(? ? 3) ? 1 ? 6 37 24 58 , ? ? ? 125 125 125 125

故该生至少有 2 个项目测试过关的概率:

P(? ? 2或? ? 3) ?

58 24 82 . ? ? 125 125 125

?????????????????(8 分)

(Ⅱ) E(? ) ? 0 ? P(? ? 0) ? 1? P(? ? 1) ? 2 ? P(? ? 2) ? 3 ? P(? ? 3) ?

9 . 5

????????????????????????????(12 分) 19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)如图 4,取 AB 的中点 E,连接 SE,ED,过 F 作 FG∥SE 交 ED 于 G, 因为平面 SAB ? 平面ABCD ,并且 SA ? SB ? AB ? 2,
∴SE ? 平面ABCD ,∴FG ? 平面ACD ,

又 ABCD 是菱形, ?BAD ? 60? , SE ? 3 , 且 FG ?
1 3 1 SE ? , S△ACD ? ?2 ?2sin120? ? 3 , 2 2 2
图4

∴三棱锥 S?FAC 的体积 V三棱锥S ? FAC ? V三棱锥S ? ACD ? V三棱锥F ? ACD

1 1 1 1 ? V三棱锥S ? ACD ? ? ? 3 ? 3 ? . 2 2 3 2

????????????????(6 分)

理科数学参考答案·第 5 页(共 10 页)

(Ⅱ)连接 AC,BD 交于点 O,取 AB 的中点 E,连接 SE,则 BD ? AC , SE ? AB ,以 O 为原点,AC,BD 为轴建系如图 5 所示,设直线 BD 与平面 FAC 所成角为 ? ,
0) , 则 A(? 3, 0, 0) , C( 3, 0, 0) , B(0,? 1,

? ? ? 3 1 3 1 3? D(0,, 1 0) , S ? ? , , ? 2 ,? 2 , 3 ? ? F? ? ? 4 ,4 , 2 ? ? ? ? ? ?
??? ? ?3 3 1 3 ? ???? 所以, AF ? ? 0, 0) , ? 4 ,4 , 2 ? ? , AC ? (2 3, ? ? ? 设平面 FAC 的法向量为 n ? ( x,y, 1) ,

图5

???? ? 3 3 ???? ? 1 3 AF ? n ? x? y? ? 0 , AC ?n ? 2 3x ? 0 , 4 4 2 ? 得 n ? (0, ???????????????????????(8 分) ? 2 3, 1) ,

??? ? 又 BD ? (0, 2, 0) ,

????????????????????????(10 分)

? ??? ? 4 3 2 39 ? 所以 sin ? ?| cos? n, BD? |? , 13 2 13

故直线 BD 与平面 FAC 所成角的正弦值为

2 39 . 13

??????????(12 分)

(说明:以 E 点为原点,AB,ED,ES 为 x,y,z 轴建系,可参照给分. ) 20. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由已知得 b ? 2 ,点 ( 2, 1) 在椭圆上, 所以

2 1 ? ? 1 ,解得 a ? 2 , a 2 b2

所以椭圆 ? 的方程为

x2 y 2 ? ?1. 4 2

????????????????(4 分)

???? ? ???? ???? ? ??? ? (Ⅱ)当直线 l 平行于 x 轴时,则存在 y 轴上的点 B,使 | BM | ?| AN |?| AM | ?| BN | ,设
B(0,y0 ) ;

当直线 l 垂直于 x 轴时, M (0, 2),N(0, ? 2) ,
???? ? ???? ? ???? ? ???? ???? ? ??? ? | BM | | AM | 若使 | BM | ?| AN |?| AM | ?| BN | ,则 ???? ? ???? , | BN | | AN |

理科数学参考答案·第 6 页(共 10 页)



| y0 ? 2 | | y0 ? 2 |

?

2 ?1 2 ?1

,解得 y0 ? 1 或 y0 ? 2 .

所以,若存在与点 A 不同的定点 B 满足条件,则点 B 的坐标只可能是 (0,2) . ??????????????????????????????(6 分)
???? ? ???? ? ???? ? ???? ???? ? ??? ? | BM | | AM | 下面证明:对任意直线 l,都有 | BM | ?| AN |?| AM | ?| BN | ,即 ???? ? ???? . | BN | | AN |

当直线 l 的斜率不存在时,由上可知,结论成立; 当直线 l 的斜率存在时,可设直线 l 的方程为 y ? kx ? 1 .
( x2,y2 ) , 设 M,N 的坐标分别为 ( x1,y1 ),
? x2 y 2 ? 1, ? ? 由? 4 得 (2k 2 ? 1) x2 ? 4kx ? 2 ? 0 , 2 ? y ? kx ? 1 ?

其判别式 ? ? (4k )2 ? 8(2k 2 ? 1) ? 0 , 所以, x1 ? x2 ? ?

4k 2 , ,x1 x2 ? ? 2 2 2k ? 1 2k ? 1

因此,

1 1 x1 ? x2 ? ? ? 2k . x1 x2 x1 x2

易知点 N 关于 y 轴对称的点 N ? 的坐标为 (? x2,y2 ), 又 k BM ?
y1 ? 2 kx1 ? 1 1 ? ?k? , x1 x1 x1

k BN ? ?

y2 ? 2 kx2 ? 1 1 1 ? ? ?k ? ?k? , ? x2 ? x2 x2 x1

所以 k BM ? k BN ? ,即 B,M,N ? 三点共线,
???? ? ???? ? ???? ? | BM | | BM | | x1 | | AM | ? ? ? ???? . 所以 ???? ? ???? | BN | | BN ? | | x2 | | AN |

???? ? ???? ???? ? ??? ? 故存在与点 A 不同的定点 B (0,2) ,使得 | BM | ?| AN |?| AM | ?| BN | .
????????????????????????????(12 分)

理科数学参考答案·第 7 页(共 10 页)

21. (本小题满分 12 分)
1 ( x ? 1) ? ln x a 1 ? x ? 2? 解: (Ⅰ) g ?( x) ? f ?( x) ? , 2 ( x ? 1) 2x 2 x 2 x 1

依题意, g ?(1) ? 0 ,
1 ? (1 ? 1) ? ln1 a 1 ? ? ? 0 ,解得 a ? 2 . 据此, 1 (1 ? 1)2 2 ? 12 2 1

??????????(4 分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 f ( x) ? 由 f ( x) ? 于是 n ?

ln x 1 ? , x ?1 x

ln x n ln x 1 ln x n ? ,得 ? ? ? , x ?1 x x ?1 x x ?1 x

x ln x x ln x 1 ?1? ? (2x ln x ? x2 ? 1) 对 x ? 0 且 x ? 1 恒成立, 2 x ?1 x ?1 1 ? x 2 ?2?0, x

令 h( x) ? 2x ln x ? x2 ? 1 ,则 h?( x) ? 2ln x ? 2 ? 2 x ,再次求导 h??( x) ?
? ?) 上递减,有 h?( x) ? h?(1) ? 0 , ①若 x ? 1 ,可知 h?( x) 在区间 (1, ? ?) 上递减,有 h( x) ? h(1) ? 0 , 可知 h( x) 在区间 (1,



1 ? 0, 1 ? x2
1 h( x) ? 0 , 1 ? x2 1 (2 x ln x ? x2 ? 1) ? 0 ; 1 ? x2





1) 上递增,有 h?( x) ? h?(1) ? 0 , ②若 0 ? x ? 1 ,可知 h?( x) 在区间 (0, 1) 上递减,有 h( x) ? h(1) ? 0 ,而 可知 h( x) 在区间 (0,

1 ? 0, 1 ? x2



1 1 h( x) ? 0 ,即 (2 x ln x ? x2 ? 1) ? 0 . 2 1? x 1 ? x2 1 (2 x ln x ? x2 ? 1) 恒成立时,只需 n ? (??,0] ,又 n 为整数, 2 1? x
?????????????????????(12 分)
理科数学参考答案·第 8 页(共 10 页)

故当 n ?

所以,n 的最大值是 0.

22. (本小题满分 10 分) 【选修 4?1:几何证明选讲】 证明: (Ⅰ)∵∠ADE=∠ABD+∠BAD,∠DAE=∠DAC+∠EAC, 而∠ABD=∠EAC,∠BAD=∠DAC,∴∠ADE=∠DAE,

∴EA ? ED .

??????????????????????????(5 分)

??ABE ? ?CAE, (Ⅱ)∵? ??AEB ? ?CEA,
∴△ABE∽△CAE , ∵?ABE ? ?CAE ,



AB BE AB DB ,又∵ , ? ? AC AE AC DC DB BE ,即 DB ? AE ? DC ? BE , ? DC AE



由(Ⅰ)知 EA ? ED ,
∴DB ? DE ? DC ? BE .

??????????????????????(10 分)

23. (本小题满分 10 分) 【选修 4?4:坐标系与参数方程】

? ? x ? ?5 ? 2 cos t, 解: (Ⅰ)由 ? ? ? y ? 3 ? 2 sin t, ? x ? 5 ? 2 cos t, ? 得? ? ? y ? 3 ? 2 sin t,
消去参数 t,得 ( x ? 5)2 ? ( y ? 3)2 ? 2 , 所以圆 C 的普通方程为 ( x ? 5)2 ? ( y ? 3)2 ? 2 .
π? ? 由 ? cos ? ? ? ? ? ? 2 , 4? ?



2 2 ? cos ? ? ? sin ? ? ? 2 , 2 2

即 ? cos? ? ? sin ? ? ?2 , 换成直角坐标系为 x ? y ? 2 ? 0 , 所以直线 l 的直角坐标方程为 x ? y ? 2 ? 0 . ??????????????(5 分)

理科数学参考答案·第 9 页(共 10 页)

? π? 0) 在直线 l 上, (Ⅱ)∵A ? 2, ?,B (2,π) 化为直角坐标为 A(0,2),B(?2, ? 2?

并且 | AB |? 2 2 , 设 P 点的坐标为 (?5 ? 2 cos t, 3 ? 2 sin t ) ,

? π? ?6 ? 2cos ? t ? ? | ?5 ? 2 cos t ? 3 ? 2 sin t ? 2 | ? 4? 则 P 点到直线 l 的距离为 d ? , ? 2 2

∴dmin ?

4 2

?2 2 ,
1 ? 2 2 ?2 2 ? 4 . 2

所以 △PAB 面积的最小值是 S ?

??????????(10 分) ) ? 2 ? 2 2 也可参照给分.

(说明:用几何法和点到直线的距离公式求 d ? 24. (本小题满分 10 分) 【选修 4?5:不等式选讲】

| ?5 ? 3 ? 2 | 2

(Ⅰ)解: f ( x ? 1) ? f ( x ? 2) ? 4 ,即 | x ? 1| ? | x |? 4 ,

3 ①当 x≤0 时,不等式为 1 ? x ? x ? 4 ,即 x ? ? , 2
∴? 3 ? x≤0 是不等式的解; 2

②当 0 ? x≤1 时,不等式为 1 ? x ? x ? 4 ,即 1 ? 4 恒成立,
∴0 ? x≤1 是不等式的解;

③当 x ? 1 时,不等式为 x ? 1 ? x ? 4 ,即 x ?

5 , 2

∴1 ? x ?

5 是不等式的解. 2
????????????????(5 分)

? 3 5? 综上所述,不等式的解集为 ? ? , ? . ? 2 2?

(Ⅱ)证明:∵a ? 2 ,
∴f (ax) ? af ( x) ?| ax ? 2 | ?a | x ? 2 | ?| ax ? 2 | ? | ax ? 2a | ?| ax ? 2 | ? | 2a ? ax | ≥ | ax ? 2 ? 2a ? ax |?| 2a ? 2 |? 2 , ∴?x ? R,f (ax) ? af ( x) ? 2 恒成立.

????????????????(10 分)

理科数学参考答案·第 10 页(共 10 页)


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