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平面向量练习题(有答案) 老师版

时间:2012-05-09


平面向量
一 、选择题 1、已知向量 OM = (3,?2), ON = (?5,?1), 则 MN等于 ( A. (8,1) B. (?8,1) C. (4,? )
1 2

1 2

) D. (?4, ) ) D. (7,?1) ) D. ?
1 3

10、已知点 C 在线段 AB

的延长线上,且 2 BC = AB , BC = λ CA, 则λ 等于(
1 2

)

A.3

B.

1 3

C. ? 3

D. ?

1 3

2、已知向量 a = (3,?1), b = (?1,2), 则 ? 3a ? 2b 的坐标是( A. (7,1) B. (?7,?1) C. (?7,1)

11、已知平面内三点 A(2,2), B(1,3), C (7, x)满足 BA ⊥ AC ,则 x 的值为( ) A.3 B.6 C.7
3 2

D.9

3、已知 a = (?1,3), b = ( x,?1), 且 a ∥ b ,则 x 等于( A.3 B. ? 3 C.
1 3

12、已知 ?ABC 的三个顶点分别是 A(1, ),B(4, 2),C(1,y) ? ,重心 G ( x,?1) ,则 x、y 的值分别是( ) B. x = 1, y = ?
5 2

4、若 a = (3,4), b = (5,12), 则 a 与 b 的夹角的余弦值为( ) A.
63 65

B.

33 65

C. ?

33 65

D. ?

63 65

A. x = 2, y = 5

C. x = 1, y = ?1

D. x = 2, y = ?

5 2

5、若 m = 4, n = 6 , m 与 n 的夹角是135 ,则 m ? n 等于( ) A.12 B.12 2 C. ? 12 2 ) D. (3,? )
1 2

16、设两个非零向量 a, b 不共线,且 k a + b与a + k b 共线,则 k 的值为( ) A.1 B. ? 1
2 3

C. ± 1

D.0

D. ? 12

17、已知 A(2,1), B(?3,?2), AM = AB ,则点 M 的坐标是( ) A. (? ,? )
1 2 1 2

6、点 (?3,4) 关于点 B(?6,5) 的对称点是( A. (?3,5) B. (0, )
9 2

B. (? ,?1)
π
6

C. (?9,6)

4 3

C. ( ,0)

1 3

D. (0,? )

1 5

18、将向量 y = sin 2 x 按向量 a = (? ,1) 平移后的函数解析式是( ) A. y = sin(2 x + ) + 1
π
3

7、下列向量中,与 (3,2) 垂直的向量是( ) A. (3,?2) B. (2,3) C. (?4,6) D. (?3,2) 二、填空题
BC 所成的比是(
3 A. ? 8

B. y = sin(2 x ? ) + 1
3

π

C. y = sin(2 x + ) + 1
6

π

D. y = sin(2 x ? ) + 1
6

π

8、已知 A、B、C 三点共线,且 A、B、C 三点的纵坐标分别为 2、5、10,则点 A 分 )
3 B. 8 8 C. ? 3 8 D. 3

20、已知 a ⊥ b, a = 2, b = 3, 且3a + 2b与λ a ? b 垂直,则 λ 等于 21、已知等边三角形 ABC 的边长为 1,则 AB ? BC = 22、设 e1、2 是两个单位向量,它们的夹角是 60 ,则 (2e1 ? e2 ) ? (?3e1 + 2e2 ) = e

9、在平行四边形 ABCD 中,若 AB + AD = AB ? AD ,则必有( A. AD = 0 B. AB = 0 或 AD = 0 C.ABCD 是矩形

) D.ABCD 是正方形 23、已知 A(?3,4)、B(5,?2), 则 AB =

三、解答题 24、已知 A( ? 3, AB = 8, ,求线段 AB 的中点 C 的坐标。 2), ( 0)

A.C 可能是线段 AB 的中点 B.D 可能是线段 AB 的中点 C.C,D 可能同时在线段 AB 上 D.C,D 不可能同时在线段 AB 的延长线上 【答案】D 3.已知 a,b 均为单位向量,其夹角为 θ ,有下列四个命题 ,

25、已知 a = 4, b = 5, a与b 的夹角为 60 ,求 3a ? b

p1 :| a + b |> 1 ? θ ∈ [0,

2π ) 3

p2 :| a + b |> 1 ? θ ∈ (

2π ,π ] 3

p13 :| a ? b |> 1 ? θ ∈ [0, ) 3

π

p4 :| a ? b |> 1 ? θ ∈ ( , π ] 3
(C) p2 , p3 (D) p2 , p4

π

26、平面向量 a = (3, ,?4), b = (2, x), c = (2, y ), 已知 a ∥ b , a ⊥ c ,求 b、及 b与c 夹角。 c
题 号 答 案 D B C A C C C A C D C D B C C C B A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

其中真命题是 (A) p1 , p4 【答案】A (B) p1 , p3

1 a = b =1, aib = ? 2 , a ? c, b ? c = 600 ,则 c 的最大值等于[来源:状元源] 4.设向量 a,b,c 满足
A.2 【答案】A (A) 2 ? 1 【答案】B 6.已知向量 a=(x+z,3),b=(2,y-z) ,且 a⊥ b.若 x,y 满足不等式 A.[-2,2] B.[-2,3] C.[-3,2] 【答案】D 7.若向量a,b,c满足a∥b且a⊥b,则 c ? ( a + 2b ) = A.4 B.3 C.2 【答案】D B. 3 C. 2 D.1

二、19、 1

3 20、 2

1 21、 ? 2

9 22、 ? 2

23、10

5.若 a , b , c 均为单位向量,且 a ? b = 0 , (a ? c) ? (b ? c) ≤ 0 ,则 | a + b ? c | 的最大值为 (B)1 (C) 2 (D)2

三、24、设 B ( x, y ), AB = ( x, y ) ? (?3,2) = (8,0).

∴ ?x + 3 = 8 ? ?x = 5 ?y ? 2 = 0 ?y = 2 ? ?
2

∴ B (5,2), xC = 1, y C = 2 ? C (1,2)
2

x + y ≤ 1 ,则 z 的取值范围为
D.[-3,3]

25、 (3a ? b) = 9a ? 6a ? b + b = 109 ? 3a ? b = 109 26、 a = (3,?4), b = (2, x), a ∥ b ?

3 4 =? 2 x

8 3 ∴ x = ? , c = (2, y )a ⊥ c ? y = 3 2

D.0

8 3 ∴ b = (2,? ), c = (2, ), b ? c = 0 3 2

∴< b, c >= 90

?0 ≤ x ≤ 2 ? ?y ≤ 2 ? 8.已知在平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组 ? x ≤ 2 y 给定。若 M ( x, y ) 为 D 上的动点,点 A 的坐标

第一部分

三年高考荟萃

为 ( 2,1) ,则 z = OM ? OA 的最大值为 C A. 4 2 【答案】 B. 3 2 C.4 D.3

2011 2011 年高考题
一、选择题 1.如图,正六边形 ABCDEF 中, BA + CD + EF = A.0 【答案】D B. BE C. AD D. CF

?x + y ≥ 2 ? ?x ≤ 1 ?y ≤ 2 9.已知 O 是坐标原点,点 A(-1,1)若点 M(x,y)为平面区域 ? ,上的一个动点,则 OA · OM 的取值
范围是 A.[-1.0] 【答案】C 二、填空题 B.[0.1] C.[0.2] D.[-1.2]

【解析】 BA + CD + EF = BA + AF + EF = BF + EF = CE + EF = CF 2.设 A1 , A2 , A3 , A4 是平面直角坐标系中两两不同的四点,若 A1 A3 = λ A1 A2 (λ∈R) A1 A4 = ? A1 A2 (?∈R) , ,

1
且λ

+

1

?

=2

10.已知单位向量 e1 , e2 的夹角为 60°,则

2e1 ? e2 = __________

,则称 A3 , A4 调和分割 A1 , A2 ,已知平面上的点 C,D 调和分割点 A,B 则下面说法正确的是

【答案】 3 11.若平面向量α,β满足|α|=1,|β|≤1,且以向量α,β为邻边的

1 平行四边形的面积为 2 ,则α与β的夹角 θ 的取值范围是 π 5π [ , ] 【答案】 6 6

【命题意图】本试题主要考查向量的基本运算,考查角平分线定理. 。 【 解 析 】 因 为 CD 平 分 ∠ACB , 由 角 平 分 线 定 理 得

AD DB

=

CA CB

=

2 , 所 以 D 为 AB 的 三 等 分 点 , 且 1

PA + 3PB 0 12.已知直角梯形 ABCD 中, AD // BC , ∠ADC = 90 , AD = 2, BC = 1 , P 是腰 DC 上的动点,则 的 最小值为____________. 【答案】5
13.在正三角形 ABC 中, D 是 BC 上的点, AB = 3, BD = 1 ,则 AB ? AD = 。

AD =

2 2 2 1 2 1 AB = (CB ? CA) ,所以 CD = CA+AD = CB + CA = a + b ,故选 B. 3 3 3 3 3 3

3.( 辽宁文) 3.(2010 辽宁文)平面上 O, A, B 三点不共线,设 OA = a, OB = b ,则 ?OAB 的面积等于 (A) (C)

15 【答案】 2 2 → → → → → → → → → → π e1 , e2 是夹角为 3 的两个单位向量, a = e1 ? 2 e2 , b = k e1 + e2 , 若 a ? b = 0 ,则 k 的值为 14.已知 5 【答案】 4
15.已知向量 a , b 满足 ( a + 2b ) ? ( a ? b ) = ?6 ,且 则 a 与 b 的夹角为 . .

a b ? (a ? b)2

2

2

(B) (D)

a b + ( a ? b) 2

2

2

1 2

a b ? ( a ? b) 2

2

2

1 2

a b + (a ? b) 2

2

2

【答案】C 解析:

a = 1, b = 2,

S?OAB =

π 【答案】 3
16.已知向量 a=( 3 ,1) ,b=(0,-1) ,c=(k, 3 ) 。若 a-2b 与 c 共线,则 k=__________。 【答案】1 17.在边长为 1 的正三角形 ABC 中, 设 BC = 2 BD,CA = 3CE , 则 AD ? BE = __________________.

1 1 1 ( a ? b) 2 | a || b | sin < a, b >= | a || b | 1 ? cos 2 < a, b > = | a || b | 1 ? 2 2 2 2 2 |a| |b|

=

1 2

a b ? (a ? b) 2

2

2

4.( 辽宁理) 4.(2010 辽宁理)平面上 O,A,B 三点不共线,设 OA=a, OB = b ,则△OAB 的面积等于 (A) |a | | b | ?( a ib)
2 2 2

1 【答案】 4
?
18.已知

(B) (D)

|a |2 | b |2 + (a ib) 2

(C)

a = b = 2 ( a + 2b) ( ) , · a ? b =-2,则 a 与 b 的夹角为

1 |a |2 | b |2 ?(a ib) 2 2

1 |a |2 | b |2 + (a ib) 2 2

π 【答案】 3

【 答案】C 【命题立意】本题考查了三角形面积的向量表示,考查了向量的内积以及同角三角函数的基本关系。

2010 2010 年高考题
一、选择题 1.( 湖南文) 1.(2010 湖南文)若非零向量 a,b 满足| a |=| b |,(2a + b) ? b = 0 ,则 a 与 b 的夹角为 A. 30
0

【解析】三角形的面积 S=

B. 60

0

C. 120

0

D. 150

0

1 |a||b|sin<a,b>,而 2 1 1 | a |2 | b |2 ?(ab) 2 = | a |2 | b |2 ?(ab) 2 cos 2 < a, b > 2 2 1 1 | a || b | 1 ? cos 2 < a, b > = | a || b | sin < a, b > 2 2

【答案】 C

5.( 5.(201 0 全国卷 2 文)△ABC 中,点 D 在边 AB 上,CD 平分∠ACB,若 CB = a , CA = b , 则 CD = (A)

a = 1 , b = 2,

uur uur 2.( 2.(2010 全国卷 2 理) V ABC 中,点 D 在 AB 上, CD 平方 ∠ACB .若 CB = a , CA = b , a = 1 , b = 2 , uuu r 则 CD =
(A) a + 【答案】B

1 3

2 b 3

(B)

2 1 a+ b 3 3

(C) a +

3 5

4 b 5

(D)

4 3 a+ b 5 5

1 2 a + b 3 3

(B)

2 1 a + b 3 3

(C)

3 4 a + b 5 5

(D)

4 3 a + b 5 5

【答案】 B 【解析】B:本题考查了平面向量的基础知识

∵ CD 为 角 平 分 线 , ∴

BD BC 1 2 2 2 = = AD = AB = a ? b AD AC 2 , ∵ AB = CB ? CA = a ? b , ∴ 3 3 3 ,∴

10.( 四川理) 10.(2010 四川理)设点 M 是线段 BC 的中点,点 A 在直线 BC 外,

BC = 16, AB + AC?=?AB ? AC?, 则?AM?= ?
(A)8 (B)4 (C) 2 (D)1 解析:由 BC =16,得|BC|=4
2

2

2 2 2 1 CD = CA + AD = b + a ? b = a + b 3 3 3 3
1 1 6.( 安徽文) 6.(2010 安徽文)设向量 a = (1, 0) , b = ( , ) ,则下列结论中正确的是 2 2
(A) a = b (C) a / / b 【答案】D 【解析】 a ? b = ( , ? ) , ( a ? b)ib = 0 ,所以 a ? b 与 b 垂直. 【规律总结】根据向量是坐标运算,直接代入求解,判断即可得出结论. 7.( 重庆文) 7.(2010 重庆文)若向量 a = (3, m) , b = (2, ?1) , a ib = 0 ,则实数 m 的值为 (A) ? (C)2 【答案】 D 解析: a ib = 6 ? m = 0 ,所以 m =6 8.(2010 重庆理)已知向量 a,b 满足 a ? b = 0, a = 1, b = 2, ,则 2a ? b = 8.( 重庆理) A. 0 【答案】 B 解析: 2a ? b = B. (B) a ib =

?AB + AC?=?AB ? AC?=| BC | =4
而?AB + AC?= 2?AM? 故?AM?= 2 【答案】C 11. 2010 天津文) ( 天津文) 如图, 在ΔABC 中,AD ⊥ AB ,BC = 3 BD , AD = 1 ,

2 2

(D) a ? b 与 b 垂直

1 2

1 2

则 AC ? AD =

(A) 2 3 【答案】D

(B)

3 2

(C)

3 3

(D) 3

3 2

(B)

3 2

(D)6

【解析】本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识,属于难题。

AC ? AD =| AC | ? | AD | cos∠DAC =| AC | ? cos∠DAC =| AC | sin ∠BAC = BC sin B = 3
【温馨提示】近几年天津卷中总可以看到平面向量的身影,且均属于中等题或难题,应加强平面向量的基本运算 的训练,尤其是与三角形综合的问题。 12.( 广东文) 12.(2010 广东文)

2 2

C. 4

D. 8

( 2 a ? b) 2 = 4 a 2 ? 4 a ? b + b 2 = 8 = 2 2

( 山东文) 定义平面向量之间的一种运算 ⊙ ” “ 如下: 对任意的 a = ( m, n) , = ( p, q ) , a ⊙ b = mq ? np , b 令 9. 2010 山东文) 下面说法错误的是 (A)若 a 与 b 共线,则 a ⊙ b = 0 (B) a ⊙ b = b ⊙ a (C)对任意的 λ ∈ R ,有 (λ a ) ⊙ b = λ ( a ⊙ b) (D) ( a ⊙ b) 2 + ( a ? b) 2 =| a |2 | b |2 【答案】B 13.(2010 福建文) 13.( 福建文)

PA ? PB =

(1 ? x )(1 ? 2 x ) = 2 x + 1 ? 3 ≥ 2
x x

2 ?3

【解析 3】建系:园的方程为 x 2 + y 2 = 1 ,设 A( x1 , y1 ), B ( x1 , ? y1 ), P ( x0 , 0) ,
2 PA ? PB = ( x1 ? x0 , y1 ) ? ( x1 ? x0 , ? y1 ) = x12 ? 2 x1 x0 + x0 ? y12

14.( 14.(2010 全国卷 1 文)已知圆 O 的半径为 1,PA、PB 为该圆的两条切线,A、B 为两切点,那么 PA ? PB 的最小 值为 (A) ?4 + 2 【答案】D 【命题意图】 本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理, 着重考查最值的求法——判别式法,同时也考 查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力. 【解析 1】如图所示:设 PA=PB= x ( x > 0) ,∠APO= α ,则∠APB= 2α , PO= 1 + x , sin α =
2

AO ⊥ PA ? ( x1 , y1 ) ? ( x1 ? x0 , y1 ) = 0 ? x12 ? x1 x0 + y12 = 0 ? x1 x0 = 1
2 2 2 PA ? PB = x12 ? 2 x1 x0 + x0 ? y12 = x12 ? 2 + x0 ? (1 ? x12 ) = 2 x12 + x0 ? 3 ≥ 2 2 ? 3

(B) ?3 + 2

(C) ?4 + 2 2

(D) ?3 + 2 2

15.( 四川文) 15.(2010 四川文)设点 M 是线段 BC 的中点,点 A 在直线 BC 外, BC = 16 , AB + AC = AB ? AC ,则

2

AM =
(A)8 【答案】C A , O P 解析:由 BC =16,得|BC|=4
2

(B)4

(C)2

(D)1

1 1 + x2

x ( x ? 1) x ? x PA ? PB =| PA | ? | PB | cos 2α = x (1 ? 2sin α ) = = 2 , 令 x2 + 1 x +1
2 2 4 2 2 2

?AB + AC?=?AB ? AC?=| BC | =4
而?AB + AC?= 2?AM? 故?AM?= 2 ( 湖北文) 已知 ?ABC 和点 M 满足 MA + MB + MC = 0 .若存在实 m 使得 AM + AC = m AM 成立, m = 则 16. 2010 湖北文)

PA ? PB = y ,则 y =
所以

x ?x 2 ,即 x 4 ? (1 + y ) x 2 ? y = 0 ,由 x 是实数, 2 x +1
4 2

B

? = [?(1 + y )]2 ? 4 × 1× (? y ) ≥ 0 ,

y2 + 6 y + 1 ≥ 0 , 解 得 2 ?1 .

y ≤ ?3 ? 2 2 或

y ≥ ?3 + 2 2

. 故

A.2

B.3

C.4

D.5

( PA ? PB )min = ?3 + 2 2 .此时 x =

θ? ? PA ? PB = ( PA)( PB ) cos θ = ? 1/ tan ? cos θ 【解析 2】设 ∠APB = θ , 0 < θ < π , 2? ?
2

? 2 θ ?? 2θ ? ? 1 ? sin ??1 ? 2sin ? 2 ?? 2? 2 ? ?1 ? 2sin 2 θ ? = ? = ? ? θ ? θ 2? sin 2 sin 2 2 2
cos 2

θ







x = sin

2

θ
2

如下,对任意的 a=(m,n) ,b = p,q) ,令 a ⊙ b=mq-np , ( 17.( 山东理) “ 17.(2010 山东理)定义平面向量之间的一种运算 ⊙ ”

,0 < x ≤1

, 下面说法错误的是( ) B. a ⊙ b=b ⊙ a

A.若 a 与 b 共线,则 a ⊙ b=0

C.对任意的 λ ∈ R ,有 λ a) ⊙ b=λ ( a ⊙ b) ( 【答案】B

D. (a ⊙ b) +(ab) =|a| |b|

2

2

2

2

二、填空题 1.(2010 上海文)在平面直角坐标系中,双曲线 Γ 的中心在原点,它的一个焦点坐标为 ( 5, 0) , e1 = (2,1) 、 ( 上海文)

【解析】若 a 与 b 共线,则有 a ⊙ b=mq-np=0 ,故 A 正确;因为 b ⊙ a = pn-qm ,而

e 2 = (2, ?1) 分别是两条渐近线的方向向量。任取双曲线 Γ 上的点 P ,若 OP = ae1 + be2 ( a 、 b ∈ R ) ,则

a ⊙ b=mq-np ,所以有 a ⊙ b ≠ b ⊙ a ,故选项 B 错误,故选 B。
【命题意图】本题在平面向量的基础上,加以创新,属创新题型,考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决 问题的能力。

a 、 b 满足的一个等式是 4ab=1



解 析 : 因 为 e1 = (2,1) 、 e 2 = (2, ?1) 是 渐 进 线 方 向 向 量 , 所 以 双 曲 线 渐 近 线 方 程 为 y = ±

1 x ,又 2

c = 5 ,∴ a = 2, b = 1 x2 双曲线方程为 ? y 2 = 1 , OP = ae1 + be2 = (2a + 2b, a ? b) , 4
∴ (2a + 2b) 2 ? (a ? b) 2 = 1 ,化简得 4ab=1 4

18.( 湖南理) 18.(2010 湖南理)在 Rt ?ABC 中, ∠C =90°AC=4,则 AB ? AC 等于 A、-16 B、-8 C、8 D、16

uuu uuu r r

2.(2010 浙江理)已知平面向量 α , β (α ≠ 0, α ≠ β ) 满足 ( 浙江理) 围是__________________ .

β = 1 ,且 α 与 β ? α 的夹角为 120°,则 α 的取值范

解析:利用题设条件及其几何意义表示在三角形中,即可迎刃而解,本题主要考察了平面向量的四则运算及其几 何意义,突出考察了对问题的转化能力和数形结合的能力,属中档题。 3.( 陕西文) , , 3.(2010 陕西文)已知向量 a=(2,-1) b=(-1,m) c=(-1,2)若(a+b)∥c,则 19.(2010 安徽理) 19.(2010 年安徽理)

m=
【答案】-1

.

解析: a + b = (1, m ? 1),由(a + b) // c得1 × 2 ? (m ? 1) × (?1) = 0 ,所以 m=-1 4.( 江西理) 4.(2010 江西理)已知向量 a , b 满足 a = 1 , b = 2 , a 与 b 的夹角为 60°,则 a ? b = 【答案】

3

【解析】考查向量的夹角和向量的模长公式,以及向量三角形法则、余弦定理等知识,如图

a = OA, b = OB, a ? b = OA ? OB = BA ,由余弦定理得: a ? b = 3
20.( 湖北理) 20.(2010 湖北理)已知 ?ABC 和点 M 满足 MA + MB + MC = 0 .若存在实数 m 使得 AB+ AC = m AM 成立,则 m= A.2 B.3 C.4 D.5
??→ ??→ ??→ ??→ ??→ ??→

5.(2010 浙江文)在平行四边形 ABCD 中,O 是 AC 与 BD 的交点,P、Q、M、N 分别是线段 OA、OB、OC、 ( 浙江文) OD 的中点,在 APMC 中任取一点记为 E,在 B、Q、N、D 中任取一点记为 F,设 G 为满足向量 OG = OE +OF 的点,则在上述的点 G 组成的集合中的点,落在平行四边形 ABCD 外(不含边界)的概率为 。

答案:

3 4

6.(2010 浙江文) ( 浙江文) (13)已知平面向量 α , β , α = 1, 答案 : 10

β = 2, α ⊥ (α ? 2β ), 则 2a + β 的值是

7.( 天津理) (15)如图,在 △ ABC 中, AD ⊥ AB , BC = 3 BD , 7.(2010 天津理)

从而 5t = ?11, 所以 t = ?

11 。 5

AD = 1 ,则 AC i AD =

.

2 或者: AB·OC = tOC , AB = (3, 5), t = AB ? OC = ? 11 5 | OC |2

【答案】D[来源:状元源 ZXX 状元 zyy100】本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识,属于难题。

AC ? AD =| AC | ? | AD | cos∠DAC =| AC | ? cos∠DAC =| AC | sin ∠BAC = BC sin B = 3
【解析】近几年天津卷中总可以看到平面向量的身影,且均属于中等题或难题,应加强平面向量的基本运算的训 练,尤其是与三角形综合的问题。 8.(2010 广东理)若向量 a =(1,1,x), b =(1,2,1), ( 广东理) 【答案】2

2009 年高考题
一、选择题 1.(2009 年广东卷文)已知平 面向量 a= x,1 ,b= ( ) (-x, x 2) 则向量 a + b ( , )

r

r

r r r r c =(1,1,1),满足条件 (c ? a) ? (2b) = -2,则 x =

.

A 平行于 x 轴 C.平行于 y 轴 答案 C 解析

B.平行于第一、三象限的角平分线 D.平行于第二、四象限的角平分线

c ? a = (0, 0,1 ? x) , (c ? a ) ? (2b) = 2(0, 0,1 ? x) ? (1, 2,1) = 2(1 ? x) = ?2 ,解得 x = 2 .
三、解答题 1.( 江苏卷) (本小题满分 14 分) 1.(2010 江苏卷) 在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(-1,-2)、B(2,3)、C(-2,-1)。 (1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长; (2)设实数 t 满足( AB ? t OC )· OC =0,求 t 的值。 [解析]本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积,考查运算求解能力。满分 14 分。 (1) 方法一)由题设知 AB = (3,5), AC = (?1,1) ,则 (方法一)

a + b = (0,1 + x 2 ) ,由 1 + x 2 ≠ 0 及向量的性质可知,C 正确.

2.( 2009 广 东 卷 理 ) 一质点受到平面上的三个力 F1 , F2 , F3 (单位:牛顿)的作用而处于平衡状态.已知 F1 ,

F2 成 600 角,且 F1 , F2 的大小分别为 2 和 4,则 F3 的大小为(
2 5
答案 解析 D D. 2 7

)

A. 6

B. 2

C.

F32 = F12 + F22 ? 2 F1 F2 cos(180 0 ? 60 0 ) = 28 ,所以 F3 = 2 7 ,选 D.

AB + AC = (2, 6), AB ? AC = (4, 4).
所以 | AB + AC |= 2 10,| AB ? AC |= 4 2. 故所求的两条对角线的长分别为 4 2 、 2 10 。 (方法二)设该平行四边形的第四个顶点为 D,两条对角线的交点为 E,则: 方法二) E 为 B、C 的中点,E(0,1) 又 E(0,1)为 A、D 的中点,所以 D(1,4) 故所求的两条对角线的长分别为 BC= 4 2 、AD= 2 10 ; (2)由题设知: OC =(-2,-1), AB ? tOC = (3 + 2t ,5 + t ) 。 由( AB ? t OC )· OC =0,得: (3 + 2t , 5 + t ) ? ( ?2, ?1) = 0 ,

3.(2009 浙江卷理)设向量 a , b 满足: | a |= 3 , | b |= 4 , a ? b = 0 .以 a , b , a ? b 的模为边长构成三角形, 则它的边与半径为 1 的圆的公共点个数最多为 A. 3 答案 C 解析 对于半径为 1 的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆,此时只有三个交点, 对于圆的位置稍一右移或其他的变化,能实现 4 个交点的情况,但 5 个以上的交点不能 实现. B.4 C. 5 ( ) w D. 6


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