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2015年人教版高一升高二暑期数学衔接班讲义 专题二 数列


专题二 数列

一、知识梳理
数列的定义 数列的有关概念 数列的通项 数列与函数的关系 项 项数 通项

数列

等差数列的定义 等差数列的通项 等差数列的性质 等差数列的前 n 项和 等比数列

等比数列的定义 等比数列的通项 等比数列的性质 等比数列的前 n 项和

等差数列

1. ⑴等差、等比数列: 等差数列 定义 递推公 式 通项公 式 中项
a n ?1 ? a n ? d a n ? a n ?1 ? d ; a n ? a m ? n ? md a n ? a1 ? (n ? 1)d

等比数列
a n ?1 ? q ( q ? 0) an
a n ? a n ?1 q ; a n ? a m q n?m

a n ? a1 q n?1 ( a1 , q ? 0 )

A?

a n?k ? a n? k 2

G ? ? an?k an?k (an?k an?k ? 0)

( n, k ? N * , n ? k ? 0 ) 前 n 项 和
Sn ? n (a1 ? a n ) 2

( n, k ? N * , n ? k ? 0 )
?na1 (q ? 1) ? S n ? ? a1 1 ? q n a ?a q ? 1 n (q ? 2) ? 1? q ? 1? q

n(n ? 1) S n ? na1 ? d 2

?

?

重要性 质

am ? an ? a p ? aq (m, n, p, q ? N * , m ? n ? p ? q)

am ? an ? a p ? aq (m, n, p, q ? N * , m ? n ? p ? q)

等差数列 定义

等比数列

{an }为A ? P ? an?1 ? an ? d (常数)

{an }为G ? P ?

an?1 an

? q(常数)

通项公 式 求和公 式

(n-1) d= ak + (n-k) d= dn + a1 -d an = a1 +

an ? a1q n?1 ? ak q n?k
(q ? 1) ?na1 ? s n ? ? a1 (1 ? q n ) a1 ? a n q (q ? 1) ? 1? q ? 1? q ?

n(a1 ? a n ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2 d d ? n 2 ? (a1 ? )n 2 2 sn ?
A=

中项公 式 性 1 质 2

a?b 2

推广:2 an = an?m ? an?m

G 2 ? ab 。推广: an ? an?m ? an?m
若 m+n=p+q,则 am an ? a p aq 。 若 {k n } 成等比数列 (其中 k n ? N ) ,则

2

若 m+n=p+q 则 am ? an ? a p ? aq 若 {k n } 成 A.P (其中 k n ? N ) 则 {a kn } 也为 A.P。

{a kn } 成等比数列。

3 4

. sn , s2n ? sn , s3n ? s2n 成等差数列。 sn , s2n ? sn , s3n ? s2n 成等比数列。

d?
5

a n ? a1 a m ? a n ? ( m ? n) n ?1 m?n

q n?1 ?

an , a1

q n?m ?

an (m ? n) am

⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法: ① an ? an?1 ? d (n ? 2, d为常数) ②2 a n ? a n ?1 ? a n ?1 ( n ? 2 ) ③ a n ? kn ? b ( n, k 为常数). ⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法: ① a n ? a n?1q(n ? 2, q为常数, 且 ? 0)
2 ② an ? a n?1 ? a n?1 ( n ? 2 , a n a n ?1 a n ?1 ? 0 )


注①:i. b ? ac ,是 a、b、c 成等比的双非条件,即 b ? ac ii. b ? ac (ac>0)→为 a、b、c 等比数列的充分不必要. iii. b ? ? ac →为 a、b、c 等比数列的必要不充分.

a、b、c 等比数列.

iv. b ? ? ac 且 ac ? 0 →为 a、b、c 等比数列的充要. 注意:任意两数 a、c 不一定有等比中项,除非有 ac>0,则等比中项一定有两个. ③ a n ? cq n ( c, q 为非零常数). ④正数列{ a n }成等比的充要条件是数列{ logx a n }( x ? 1 )成等比数列. ⑷数列{ a n }的前 n 项和 S n 与通项 a n 的关系: a n ? ?

?s1 ? a1 (n ? 1) ?s n ? s n ?1 (n ? 2)

[注]: ① a n ?a1 ??n ? 1?d ? nd ? ?a1 ?d ? ( d 可为零也可不为零→为等差数列充要条件(即常数 列也是等差数列)→若 d 不为 0,则是等差数列充分条件). d? d ?d ? ? ②等差{ a n }前 n 项和 S n ? An 2 ? Bn ? ? ?n 2 ?? a 1 ? ?n → 可以为零也可不为零→为等差的 2? 2 ?2? ? 充要条件→若 d 为零,则是等差数列的充分条件;若 d 不为零,则是等差数列的充分条件. ③非零 常数列既可为等比数列,也可为等差数列.(不是非零,即不可能有等比数列) .. 2. ① 等 差 数 列 依 次 每 k 项 的 和 仍 成 等 差 数 列 , 其 公 差 为 原 公 差 的 k2 倍 S k , S 2k ? S k , S 3k ? S 2k ... ; ②若等差数列的项数为 2 n n ?N ? ,则 S 偶? S 奇 ?

?

?

nd,

S奇 S偶

?

an a n ?1 ;
S偶 ? n n ?1

③若等差数列的项数为 2n ? 1 n ?N ? ,则 S 2n ?1? ?2n ? 1?a n ,且 S 奇 ? S 偶 ?a n , S 奇
? 代入n到2n ? 1得到所求项数 .

?

?

3. 常用公式:①1+2+3 ?+n = ② 12 ?2 2 ?32 ? ?n 2 ?

n?n ? 1? 2

n?n ? 1??2n ? 1? 6
2

? n?n ? 1?? ③ 1 ?2 ?3 ?n ? ? ? ? 2 ?
3 3 3 3

[注]:熟悉常用通项:9,99,999,… ? a n ? 10n ?1 ; 5,55,555,… ? a n ?

5 n 10 ? 1 . 9

?

?

4. 等比数列的前 n 项和公式的常见应用题: ⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如,第一年产量为 a ,年增长率为 r ,则每年的产 量成等比数列,公比为 1 ? r . 其中第 n 年产量为 a(1 ? r ) n?1 ,且过 n 年后总产量为:
a ? a(1 ? r ) ? a(1 ? r ) 2 ? ... ? a(1 ? r ) n ?1 ? a[a ? (1 ? r ) n ] . 1 ? (1 ? r )

⑵银行部门中按复利计算问题. 例如:一年中每月初到银行存 a 元,利息为 r ,每月利息按 复利计算,则每月的 a 元过 n 个月后便成为 a(1 ? r ) n 元. 因此,第二年年初可存款:

a(1 ? r )12 ? a(1 ? r )11 ? a(1 ? r )10 ? ... ? a(1 ? r ) =

a(1 ? r )[1 ? (1 ? r )12 ] . 1 ? (1 ? r )

⑶分期付款应用题:a 为分期付款方式贷款为 a 元; m 为 m 个月将款全部付清;r 为年利率.
a?1 ? r ?m ? x?1 ? r ?m ?1 ? x?1 ? r ?m? 2 ? ...... x?1 ? r ? ? x ? a?1 ? r ?m ? x?1 ? r ?m ? 1 ar?1 ? r ?m ?x? r ?1 ? r ?m ? 1

5. 数列常见的几种形式: ⑴ a n ? 2 ? pa n ?1 ?qa n (p、q 为二阶常数) ? 用特证根方法求解. 具体步骤:①写出特征方程 x 2 ? Px ? q ( x 2 对应 a n? 2 ,x 对应 a n ?1 ) ,并设二根 x1 , x 2 ②若
n x 1 ? x 2 可设 a n. ?c1 x n ,若 x 1 ? x 2 可设 a n ? (c1 ?c 2 n) x n 1 ;③由初始值 a 1 ,a 2 确定 c 1 ,c 2 . 1 ?c 2 x 2

⑵ a n ? Pa n ?1 ?r (P、r 为常数) ? 用①转化等差,等比数列;②逐项选代;③消去常数 n 转化为 a n ? 2 ? Pa n ?1 ? qa n 的形式,再用特征根方法求 a n ;④ a n ?c1 ?c 2 P n?1 (公式法) , c 1 ,c 2 由 a 1 ,a 2 确定. ①转化等差,等比: a n?1 ? x ? P(a n ? x) ?a n?1 ? Pan ? Px ? x ? x ? ②选代法: a n ? Pa n?1 ?r ? P( Pa n?2 ?r ) ? r ? ? ?a n ? (a1 ?
?P n?1a1 ? P n?2 ?r ? ? ? Pr? r .

r . P ?1

r r ) P n?1 ? ? (a1 ? x) P n?1 ? x P ?1 P ?1

③用特征方程求解:

a n ?1 ? Pa n ? r ? (P ? 1 )a n ? Pa n ?1 . ? a n ?1 ?a n ? Pa n ? Pa n ?1 ?a n ?1 ? ?相减, a n ? Pa n ?1 ? r ?

④由选代法推导结果: c1 ?

r r r r . ,c 2 ?a1 ? ,a n ?c 2 P n?1 ?c1 ? (a1 ? )P n?1 ? 1? P P ?1 P ?1 1? P

6. 几种常见的数列的思想方法: ⑴等差数列的前 n 项和为 S n ,在 d ? 0 时,有最大值. 如何确定使 S n 取最大值时的 n 值,有 两种方法: 一是求使 a n ? 0, a n ?1 ? 0 , 成立的 n 值; 二是由 S n ?
d 2 d n ? (a1 ? )n 利用二次函数的性质求 n 2 2

的值. ⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积, 求此数列前 n 项和可依 1 1 1 照等比数列前 n 项和的推倒导方法:错位相减求和. 例如: 1? ,3 ,...( 2n ? 1) n ,... 2 4 2 ⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列, 此等差数列的首项就是原两个数列的第 一个相同项,公差是两个数列公差 d1,d 2 的最小公倍数. 2. 判断和证明数列是等差(等比)数列常有三种方法:(1)定义法:对于 n≥2 的任意自然数, 验 证 a n ? a n ?1 (

an ) 为 同 一 常 数 。 (2) 通 项 公 式 法 。 (3) 中 项 公 式 法 : 验 证 an?1

2 2an?1 ? an ? an?2 (an ?1 ? an an? 2 )n ? N 都成立。

3. 在等差数列{ an }中,有关 Sn 的最值问题:(1)当 a1 >0,d<0 时,满足 ?

?am ? 0 的项数 m ?am?1 ? 0

使得 s m 取最大值. (2)当 a1 <0,d>0 时,满足 ?

?am ? 0 的项数 m 使得 s m 取最小值。在解含绝 ?am?1 ? 0

对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 (三) 、数列求和的常用方法 1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。 2.裂项相消法:适用于 ?

?

c ? ? 其中{ an }是各项不为 0 的等差数列,c 为常数;部分 ? an an?1 ?

无理数列、含阶乘的数列等。 3.错位相减法:适用于 ?an bn ?其中{ an }是等差数列, ?bn ? 是各项不为 0 的等比数列。 4.倒序相加法: 类似于等差数列前 n 项和公式的推导方法. 5.常用结论 1): 1+2+3+...+n =

n( n ? 1) 2
2

2) 1+3+5+...+(2n-1) = n

3) 13 ? 2 3 ? ? ? n 3 ? ? n(n ? 1)? ?2 ? 4) 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?
2 2 2 2

?1

?

2

1 n(n ? 1)( 2n ? 1) 6

5)

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

1 1 1 1 ? ( ? ) n(n ? 2) 2 n n ? 2

6)

1 1 1 1 ? ( ? ) ( p ? q) pq q ? p p q

二、经典习题 1、若等差数列{ an }的前三项和 S 3 ? 9 且 a1 ? 1 ,则 a2 等于( A.3 B.4 C.5 D.6 ) )

2、等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S x 若 a2 ? 1, a3 ? 3, 则S 4=( A.12 B.10 C.8 D.6

3、等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S x 若 a2 ? 1, a3 ? 3, 则S 4=(



A.12

B.10

C.8

D.6 )

4、等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S x 若 a2 ? 1, a3 ? 3, 则S 4=( A.12 B.10 C.8 D.6

5、已知数列{ an }的前 n 项和 Sn ? n2 ? 9n ,第 k 项满足 5 ? ak ? 8 ,则 k ? ( A. 9 B. 8 C. 7 D. 6



6、在等比数列 {an } ( n ? N * )中,若 a1 ? 1 , a4 ? ( A. 2 ? )
1 24

1 ,则该数列的前 10 项和为 8 1 211

B. 2 ?

1 22

C. 2 ?

1 210

D. 2 ?

7、已知两个等差数列 {an } 和 {bn } 的前 n 项和分别为 A n 和 Bn ,且
an 为整数的正整数 n 的个数是( bn

An 7n ? 45 , ? Bn n?3

则使得 A.2



B.3

C.4

D.5

8、已知 a,b,c,d 成等比数列,且曲线 y ? x2 ? 2x ? 3 的顶点是 (b,c) ,则 ad 等 于( A.3 ) B.2 C.1 D. ?2 )

9、已知 ?an ? 是等差数列, a10 ? 10 ,其前 10 项和 S10 ? 70 ,则其公差 d ? ( A. ?
2 3

B. ?

1 3

C.

1 3

D.

2 3

10、等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S2 ? 2, S4 ? 10, 则S6等于 ( A.12 B.18 C.24 D.42



11、等差数列{an}中,a1=1,a3+a5=14,其前 n 项和 Sn=100,则 n=(



A.9

B.10

C.11

D.12

12、各项均为正数的等比数列 ?a n ? 的前 n 项和为 Sn,若 Sn=2,S30=14,则 S40 等于 ( A.80 ) B.30 C.26 D.16

13、 设等差数列 ?an ? 的公差 d 不为 0, 若 ak 是 a1 与 a2 k 的等比中项, 则k ? a1 ? 9d . ( A.2 ) B.4 C.6 D.8

14、设{ an }为公比 q>1 的等比数列,若 a2004 和 a2005 是方程 4 x 2 8 x ? 3 ? 0 的两根, 则 a2006 ? a2007 ? _____. 15、已知数列的通项 an ? ?5n ? 2 ,则其前 n 项和 Sn ? .

16、等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 S1 , 2 S 2 , 3S3 成等差数列,则 ?an ? 的 公比为 . .

17、 已知 ?an ? 是等差数列, 其前 5 项和 S5 ? 10 , 则其公差 d ? a4 ? a6 ? 6 , 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S12 ? 21 ,则 a2 ? a5 ? a8 ? a11 ? . 18、已知数列{ an }的前 n 项和 Sn ? n2 ? 9n ,则其通项 an ? 项满足 5 ? ak ? 8 ,则 k ? .

;若它的第 k

19、若数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n2 ?10n(n ? 1 , 2, 3, ?) ,则此数列的通项公式为 ;数列 ?nan ? 中数值最小的项是第 20 、 已 知 数 列 项.

?an ?

中 的 相 邻 两 项 a2k ?1,a2k 是 关 于 x 的 方 程

x2 ? ( 3 k?

k

的两个根,且 a2k ?1 ≤ a2k (k ? 1 , 2, 3, ?) . 2x ?) k ? k 3? 2 0

(I)求 a1 , a2 , a3 , a7 ; (II)求数列 ?an ? 的前 2n 项和 S 2 n ;

21 、 已 知 数 列 { an } 中 的 相 邻 两 项 a2k ?1 、 a2 k 是 关 于 x 的 方 程

a2k ?1 ≤ a2 k x2 ? ( 3 k ? k2 x ? ) k ? 3 k ? 2 的两个根,且 0
(I)求 a1 , a3 , a5 , a7 及 a2 n (n≥4)(不必证明); (Ⅱ)求数列{ an }的前 2n 项和 S2n.

(k =1,2,3,?).

22、

在数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , an?1 ? 4an ? 3n ? 1, n ? N* .

(Ⅰ)证明数列 ?an ? n? 是等比数列; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ; (Ⅲ)证明不等式 Sn?1 ≤ 4Sn ,对任意 n ? N* 皆成立.

23、 若有穷数列 a1 , a2 ...an ( n 是正整数) , 满足 a1 ? an , a2 ? an?1 ....an ? a1 即 ai ? an?i ?1 ( i 是正整数,且 1 ? i ? n ) ,就称该数列为“对称数列” 。 ( 1 ) 已 知 数 列 ?bn ? 是 项 数 为 7 的 对 称 数 列 , 且 b1 , b2 , b3 , b4 成 等 差 数 列 ,

b1 ? 2, b4 ? 11,试写出 ?bn ? 的每一项
(2)已知 ?cn ? 是项数为 2k ? 1? k ? 1? 的对称数列,且 ck , ck ?1 ...c2k ?1 构成首项为 50,

公差为 ?4 的等差数列,数列 ?cn ? 的前 2k ? 1 项和为 S2k ?1 ,则当 k 为何值时, S2k ?1 取到最大值?最大值为多少? ( 3 )对于给定的正整数 m ? 1 ,试写出所有项数不超过 2 m 的对称数列,使得

1, 2, 22...2m?1 成为数列中的连续项;当 m ? 1500 时,试求其中一个数列的前 2008
项和 S2008

24、已知实数列 {an }是 等比数列,其中 a 7 ? 1, 且a4 ,45 ? 1, a5 成等差数列. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)数列 {an } 的前 n 项和记为 S n , 证明: S n , <128 (n ? 1,2,3, ?).

25、设数列 ?an ? 满足 a1 ? 3a2 ? 32 a3 ? … ? 3n ?1 an ? (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项; (Ⅱ)设 bn ?
n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn . an

n , a ? N* . 3

26、设 {an } 是公比大于 1 的等比数列, Sn 为数列 {an } 的前 n 项和.已知 S3 ? 7 , 且 a1 ? 3, 3a2,a3 ? 4 构成等差数列. (1)求数列 {an } 的等差数列. (2)令 bn ? ln a3n?1,n ? 1 求数列 {bn } 的前 n 项和 T . , 2, ?,

27、设等比数列 {an } 的公比 q ? 1 ,前 n 项和为 Sn .已知 a3 ? 2,S4 ? 5S2 ,求 {an } 的通项公式. 设 {an } 是等差数列,{bn } 是各项都为正数的等比数列,且 a1 ? b1 ? 1 ,a3 ? b5 ? 21 ,

a5 ? b3 ? 13
(Ⅰ)求 {an } , {bn } 的通项公式;

?a ? (Ⅱ)求数列 ? n ? 的前 n 项和 Sn . ? bn ?

28、数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 , an?1 ? 2Sn (n ? N* ) . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项 an ; (Ⅱ)求数列 ?nan ? 的前 n 项和 Tn .
2, 3, ?) 数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , an?1 ? an ? cn ( c 是常数, n ? 1, ,且 a1,a2,a3 成公

比不为 1 的等比数列. (I)求 c 的值; (II)求 ?an ? 的通项公式.


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