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江苏专用2018版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4.6正弦定理余弦定理教师用书理

时间:2017-10-13


第四章 三角函数、解三角形 4.6 正弦定理、余弦定理教师用书 理 苏教版

1.正弦定理、余弦定理 在△ABC 中,若角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,R 为△ABC 外接圆半径,则 定理 正弦定理 余弦定理

a2=b2+c2-2bccos A;
内容 = = =2R sin A sin B sin C (1)a=2

Rsin A,

a

b

c

b2=c2+a2-2cacos B; c2=a2+b2-2abcos C

b=2Rsin B, c=2Rsin C; a b c
变形 cos A=

b2+c2-a2 ; 2bc

(2)sin A= ,sin B= ,sin C= ; c2+a2-b2 2R 2R 2R cos B= ; 2ca (3)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C; a2+b2-c2 cos C= (4)asin B=bsin A, 2ab

bsin C=csin B, asin C=csin A

2.在△ABC 中,已知 a、b 和 A 时,解的情况如下

A 为锐角
图形 关系式 解的个数

A 为钝角或直角

a=bsin A
一解

bsin A<a<b
两解

a≥b
一解

a>b
一解

3.三角形常用面积公式

1

1 (1)S= a·ha(ha 表示边 a 上的高); 2 1 1 1 (2)S= absin C= acsin B= bcsin A; 2 2 2 1 (3)S= r(a+b+c)(r 为三角形内切圆半径). 2 【知识拓展】 1.三角形内角和定理 在△ABC 中,A+B+C=π ; 变形:

A+B π
2

= - . 2 2

C

2.三角形中的三角函数关系 (1)sin(A+B)=sin C; (3)sin (2)cos(A+B)=-cos C; (4)cos

A+B
2

=cos ; 2

C

A+B
2

=sin . 2

C

3.三角形中的射影定理 在△ABC 中,a=bcos C+ccos B;

b=acos C+ccos A; c=bcos A+acos B.
【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.( × (2)在△ABC 中,若 sin A>sin B,则 A>B.( √ ) (3)在△ABC 的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素.( × ) (4)当 b +c -a >0 时,三角形 ABC 为锐角三角形.( × )
2 2 2

)

a a+b-c (5)在△ABC 中, = .( √ ) sin A sin A+sin B-sin C
(6)在三角形中,已知两边和一角就能求三角形的面积.( √ )

1.(教材改编)在△ABC 中,a=2,A=30°,C=45°,则△ABC 的面积 S△ABC= 答案 3+1

.

解析 ∵b=

asin B 2×sin 105° = = 6+ 2, sin A sin 30°

2

1 2 ∴S△ABC= absin C=( 6+ 2)× = 3+1. 2 2 2.(教材改编)在△ABC 中,A=60°,B=75°,a=10,则 c= 答案 10 6 3 .

解析 由 A+B+C=180°,知 C=45°,

a c 10 c 由正弦定理得 = ,即 = , sin A sin C 3 2 2 2
10 6 ∴c= . 3 3.(教材改编)在△ABC 中,A=60°,AC=2,BC= 3,则 AB= 答案 1 解析 方法一 在△ABC 中, 根据余弦定理, 即 BC =AB +AC -2·AB·AC·cos 60°, 得( 3) =AB +2 -2AB×2×cos 60°,整理得 AB -2AB+1=0,解得 AB=1. 方法二 在△ABC 中,根据正弦定理, 得
2 2 2 2 2 2 2

.

AC BC 2 3 = ,即 = ,解得 sin B=1, sin B sin A sin B sin 60°

因为 B∈(0°,180°),所以 B=90°, 所以 AB= 2 -? 3? =1. 2 3 4.在△ABC 中, 角 A, B, C 对应的边分别为 a, b, c, 若 A=120°, a=2, b= , 则 B= 3 答案 π 6 .
2 2

2 3 解析 ∵A=120°,a=2,b= , 3 ∴由正弦定理 = 可得, sin A sin B 2 3 3 b 3 1 sin B= sin A= × = . a 2 2 2 π ∵A=120°,∴B=30°,即 B= . 6 5.(教材改编)在△ABC 中,已知 CB=7,AC=8,AB=9,则 AC 边上的中线长为 答案 7 .

a

b

AB2+AC2-BC2 解析 由条件知 cos A= 2AB·AC
3



9 +8 -7 2 = , 2×9×8 3

2

2

2

设 AC 边上的中线长为 x,由余弦定理知

AC AC x2=( )2+AB2-2× ×ABcos A
2 2 2 2 2 =4 +9 -2×4×9× =49, 3 ∴x=7,故所求中线长为 7.

题型一 利用正弦定理、余弦定理解三角形 例1 (1)(2016·南京、盐城调研)在△ABC 中,设 a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,若 a .

π 3 =5,A= ,cos B= ,则 c= 4 5 答案 7

3 π 解析 因为 cos B= ,所以 B∈(0, ), 5 2 4 2 3 2 4 7 2 从而 sin B= ,所以 sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B= × + × = , 5 2 5 2 5 10 又由正弦定理得

c 5 c = ,即 = ,解得 c=7. sin A sin C 2 7 2 2 10 a b c

a

cos A cos B sin C (2)(2016·四川)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且 + = . ①证明:sin Asin B=sin C; 6 2 2 2 ②若 b +c -a = bc,求 tan B. 5 ①证明 根据正弦定理,可设 =k(k>0), sin A sin B sin C = = 则 a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C, cos A cos B sin C 代入 + = 中,有

a

b

c

a

b

c

cos A cos B sin C + = ,变形可得 ksin A ksin B ksin C sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B).

4

在△ABC 中,由 A+B+C=π ,有 sin(A+B)=sin(π -C)=sin C.所以 sin Asin B=sin C. 6 2 2 2 ②解 由已知,b +c -a = bc,根据余弦定理,有 5 cos A=

b2+c2-a2 3 = . 2bc 5

4 2 所以 sin A= 1-cos A= . 5 由①知,sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B, 4 4 3 所以 sin B= cos B+ sin B. 5 5 5 sin B 故 tan B= =4. cos B 思维升华 应用正弦、余弦定理的解题技巧 (1)求边:利用公式 a=

bsin A asin B asin C ,b= ,c= 或其他相应变形公式求解. sin B sin A sin A asin B bsin A csin A , sin B= , sin C= b a a

(2)求角: 先求出正弦值, 再求角, 即利用公式 sin A= 或其他相应变形公式求解. (3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解.

(4)灵活利用式子的特点转化:如出现 a +b -c =λ ab 形式用余弦定理,等式两边是关于边 或角的正弦的齐次式用正弦定理. (1)△ABC 的三个内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,asin Asin B+bcos A = 2a,则 =
2

2

2

2

b a

.
2 2

(2)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边长分别为 a,b,c,已知 a -c =b,且 sin(A-C)=2cos

Asin C,则 b=
答案 (1) 2 (2)2

.

解析 (1)(边化角) 由 asin Asin B+bcos A= 2a 及正弦定理,得 sin Asin Asin B+sin Bcos A= 2sin A,
2 2

b sin B 即 sin B= 2sin A,所以 = = 2. a sin A
(2)(角化边) 由题意,得 sin Acos C-cos Asin C=2cos Asin C, 即 sin Acos C=3cos Asin C, 由正弦、余弦定理,得

5

a2+b2-c2 b2+c2-a2 a· =3c· , 2ab 2bc
整理得 2(a -c )=b , 又 a -c =b, 联立①②得 b=2. 题型二 和三角形面积有关的问题 例 2 (2016·南通模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,(a+b-c)(a+b +c)=ab. (1)求角 C 的大小; (2)若 c=2acos B,b=2,求△ABC 的面积. 解 (1)在△ABC 中,由(a+b-c)(a+b+c)=ab,
2 2 2 2 2

① ②

a2+b2-c2 1 1 得 =- ,即 cos C=- . 2ab 2 2
2π 因为 0<C<π ,所以 C= . 3 (2) 方法一 因为 c=2acos B,由正弦定理,得 sin C=2sin Acos B. 因为 A+B+C=π ,所以 sin C=sin(A+B), 所以 sin(A+B)=2sin Acos B, 即 sin Acos B-cos Asin B=0,即 sin(A-B)=0, π π 又- <A-B< , 3 3 所以 A-B=0,即 A=B,所以 a=b=2. 所以△ABC 的面积为

S△ABC= absin C= ×2×2×sin

1 2

1 2

2π = 3. 3

方法二 由 c=2acos B 及余弦定理,得

a2+c2-b2 c=2a× , 2ac
化简得 a=b, 所以△ABC 的面积为

S△ABC= absin C= ×2×2×sin

1 2

1 2

2π = 3. 3

1 1 1 思维升华 (1)对于面积公式 S= absin C= acsin B= bcsin A,一般是已知哪一个角就使 2 2 2 用哪一个公式.

6

(2)与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化. 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.若 c =(a-b) +6,C= 则△ABC 的面积是 答案 3 3 2
2 2 2 2

π , 3

.

解析 ∵c =(a-b) +6, ∴c =a +b -2ab+6. π ∵C= , 3 ∴c =a +b -2abcos
2 2 2 2 2 2



π 2 2 =a +b -ab. 3



由①②得-ab+6=0,即 ab=6. 1 1 3 3 3 ∴S△ABC= absin C= ×6× = . 2 2 2 2 题型三 正弦定理、余弦定理的简单应用 命题点 1 判断三角形的形状 例 3 (1)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 <cos A,则△ABC 的形状为 三角形. (2)设 ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c.若 b+c=2a,3sin A=5sin B,则△ABC 的形状为 三角形.

c b

答案 (1)钝角 (2)钝角

c sin C 解析 (1)由 <cos A,得 <cos A, b sin B
所以 sin C<sin Bcos A, 即 sin(A+B)<sin Bcos A, 所以 sin Acos B<0, 因为在三角形中 sin A>0,所以 cos B<0, 即 B 为钝角,所以△ABC 为钝角三角形. (2)由 3sin A=5sin B 及正弦定理得 3a=5b, 5 7 故 a= b,c= b. 3 3 所以 cos C=

a2+b2-c2 1 2 =- ,即 C= π . 2ab 2 3

从而△ABC 为钝角三角形.

7

引申探究 1.例 3(2)中,若将条件变为 2sin Acos B=sin C,判断△ABC 的形状. 解 ∵2sin Acos B=sin C=sin(A+B), ∴2sin Acos B=sin Acos B+cos Bsin A, ∴sin(A-B)=0, 又 A,B 为△ABC 的内角. ∴A=B,∴△ABC 为等腰三角形. 2.例 3(2)中,若将条件变为 a +b -c =ab,且 2cos Asin B=sin C,判断△ABC 的形状. 解 ∵a +b -c =ab,∴cos C= π 又 0<C<π ,∴C= , 3 又由 2cos Asin B=sin C 得 sin(B-A)=0,∴A=B, 故△ABC 为等边三角形. 命题点 2 求解几何计算问题 例4 (2016·连云港调研)如图,在梯形 ABCD 中,已知 AD∥BC,AD=1,BD=2 10,∠CAD
2 2 2 2 2 2

a2+b2-c2 1 = , 2ab 2

π = ,tan∠ADC=-2. 4

(1)求 CD 的长; (2)求△BCD 的面积. 解 (1)因为 tan∠ADC=-2,且∠ADC∈(0,π ), 2 5 5 所以 sin∠ADC= ,cos∠ADC=- . 5 5 π 所以 sin∠ACD=sin(π -∠ADC- ) 4 π =sin(∠ADC+ ) 4 =sin∠ADC·cos = 10 , 10 π π +cos∠ADC·sin 4 4

在△ADC 中,由正弦定理得

AD·sin∠DAC CD= = 5. sin∠ACD

8

(2)因为 AD∥BC,所以 cos∠BCD=-cos∠ADC= 在△BDC 中,由余弦定理得

5 2 5 ,sin∠BCD=sin∠ADC= . 5 5

BD2=BC2+CD2-2BC·CD·cos∠BCD,
得 BC -2BC-35=0,解得 BC=7, 1 1 2 5 所以 S△BCD= BC·CD·sin∠BCD= ×7× 5× =7. 2 2 5 思维升华 (1)判断三角形形状的方法 ①化边:通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状. ②化角:通过三角恒等变换,得出内角的关系,从而判断三角形的形状,此时要注意应用 A +B+C=π 这个结论. (2)求解几何计算问题要注意 ①根据已知的边角画出图形并在图中标示; ②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理. (1)如图,在△ABC 中,D 是 BC 上的一点,已知∠B=60°,AD=2,AC= 10,
2

DC= 2,则 AB=

.

(2)(2015·课标全国Ⅰ)在平面四边形 ABCD 中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则 AB 的取值 范围是 2 6 答案 (1) 3 . (2)( 6- 2, 6+ 2)

AD2+CD2-AC2 解析 (1)由题意得 cos∠ADC= 2AD·CD
= 4+2-10 2×2× 2 =- 2 , 2

∴sin∠ADC=

2 2 ,∴sin∠ADB=sin(π -∠ADC)= . 2 2

由正弦定理可得, = , sin 60° sin∠ADB ∴AB= 2 2 2 6 · = . 2 3 3 2

AD

AB

(2)如图所示,延长 BA 与 CD 相交于点 E,过点 C 作 CF∥AD 交 AB 于点 F,则 BF<AB<BE.

9

在等腰三角形 CBF 中,∠FCB=30°,CF=BC=2, ∴BF= 2 +2 -2×2×2cos 30°= 6- 2. 在等腰三角形 ECB 中,∠CEB=30°,∠ECB=75°,
2 2

BE=CE,BC=2,

BE

sin 75°



2 , sin 30°

2 6+ 2 ∴BE= × = 6+ 2. 1 4 2 ∴ 6- 2<AB< 6+ 2.

二审结论会转换

典例 (14 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 a-c= = 6sin C. (1)求 cos A 的值; π? ? (2)求 cos?2A- ?的值. 6? ?

6 b,sin B 6

(1) 求cos A

根据余弦定理 ― ― ― ― ― → 求三边a,b,c的长或长度问题

6 已有a-c= b 6 ― ― ― ― ― ― → 利用正弦定理将sin B= 6sin C化为b= 6c π? ? (2) 求cos?2A- ? ― → 求cos 2A,sin 2A ― → 6? ? 求sin A,cos A 规范解答 解 (1)在△ABC 中,由 = 及 sin B= 6sin C, sin B sin C 可得 b= 6c, [2 分] 第?1?问已求 ― ― ― ― → 根据同角关系求sin A 出 cos A

b

c

10

又由 a-c=

6 b,有 a=2c, 6

[4 分] [7 分]

b2+c2-a2 6c2+c2-4c2 6 所以 cos A= = = . 2 2bc 4 2 6c
(2)在△ABC 中,由 cos A= 可得 sin A= 10 . 4 6 , 4

[9 分] [10 分] [11 分]

1 2 于是,cos 2A=2cos A-1=- , 4 sin 2A=2sin A·cos A= 15 . 4

π? π π ? 所以 cos?2A- ?=cos 2Acos +sin 2Asin 6? 6 6 ? 3 15 1 15- 3 ? 1? =?- ?× + × = . 4 2 8 ? 4? 2 [14 分]

1 1.(教材改编)若△ABC 中,a=1,b=2,cos C= ,则 S△ABC= 4 答案 15 4

.

1 15 解析 由 cos C= ,得 sin C= , 4 4 1 15 ∴S△ABC= absin C= . 2 4 2.(2016·全国乙卷改编)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 a= 5,c=2, 2 cos A= ,则 b= 3 答案 3 1 2 ? ? 2 2 解析 由余弦定理,得 5=b +2 -2×b×2× ,解得 b=3?b=- 舍去?. 3 3 ? ? 3.(2016·盐城模拟)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcos C+ccos B =asin A,且 sin B=sin C,则△ABC 的形状为 答案 等腰直角 解析 由 bcos C+ccos B=asin A,
2 2

.

三角形.

11

得 sin Bcos C+sin Ccos B=sin A, ∴sin(B+C)=sin A, 即 sin A=sin A,在三角形中 sin A≠0, ∴sin A=1,∴A=90°, 由 sin B=sin C,知 b=c, 综上可知,△ABC 为等腰直角三角形. 4.在△ABC 中,已知 b=40,c=20,C=60°,则此三角形的解的情况是有 0,1,2) 答案 0 解析 由正弦定理得 = , sin B sin C 3 40× 2 bsin C ∴sin B= = = 3>1. c 20 ∴角 B 不存在,即满足条件的三角形不存在. 解.(填
2 2 2 2

2

b

c

b+c 2A 5.在△ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 且 cos = , 则△ABC 的形状是 2 2c
角形. 答案 直角



b+c 2A 解析 在△ABC 中,∵cos = , 2 2c
∴ 1+cos A b 1 b = + ,∴cos A= , 2 2c 2 c

∴由余弦定理知 cos A= ∴

b2+c2-a2 , 2bc

b2+c2-a2 b 2 2 2 2 = ,∴b +c -a =2b . 2bc c
2 2 2

即 a +b =c .故△ABC 是直角三角形. π 6.(2016·连云港模拟)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 b=2,B= ,C 6 π = ,则△ABC 的面积为 4 答案 3+1 .

π π 解析 ∵b=2,B= ,C= . 6 4 由正弦定理 = , sin B sin C

b

c

12

bsin C 得 c= = sin B
π 6

2× 1 2

2 2

=2 2 ,

A=π -( + )= π ,
π π π π π π ∴sin A=sin( + )=sin cos +cos sin 4 3 4 3 4 3 = 2+ 6 . 4

π 4

7 12

1 1 6+ 2 则 S△ABC= bc·sin A= ×2×2 2× = 3+1. 2 2 4 4 5 7.(2016·全国甲卷)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 cos A= ,cos C= , 5 13

a=1,则 b=
答案 21 13

.

4 5 3 12 解析 在△ABC 中,由 cos A= ,cos C= ,可得 sin A= ,sin C= ,sin B=sin(A+ 5 13 5 13

C)=sin Acos C+cos A·sin C= ,由正弦定理得 b=

63 65

asin B 21 = . sin A 13
.

8.如图, 正方形 ABCD 的边长为 1, 延长 BA 至 E, 使 AE=1, 连结 EC, ED, 则 sin∠CED=

答案

10 10
2 2

解析 由题意得 EB=EA+AB=2,则在 Rt△EBC 中,EC= EB +BC = 4+1= 5. π π 3π 在△EDC 中,∠EDC=∠EDA+∠ADC= + = , 4 2 4 sin∠CED DC 1 5 由正弦定理得 = = = , sin∠EDC EC 5 5 所以 sin∠CED= 5 5 3π 10 ·sin∠EDC= ·sin = . 5 5 4 10

9.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知△ABC 的面积为 3 15,b-c=2, 1 cos A=- ,则 a 的值为 4 答案 8
13

.

1 15 解析 ∵cos A=- ,0<A<π ,∴sin A= , 4 4

S△ABC= bcsin A= bc×
2

1 2

1 2

15 =3 15,∴bc=24, 4
2 2 2

又 b-c=2,∴b -2bc+c =4,b +c =52, 由余弦定理得 a =b +c -2bccos A
2 2 2

? 1? =52-2×24×?- ?=64, ? 4?
∴a=8. *10.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 asin B= 3bcos A.若 a=4, 则△ABC 周长的最大值为 答案 12 解析 由正弦定理 = , sin A sin B 可将 asin B= 3bcos A 转化为 sin Asin B= 3sin Bcos A. 又在△ABC 中,sin B>0,∴sin A= 3cos A, 即 tan A= 3. π ∵0<A<π ,∴A= . 3 由余弦定理得 a =16=b +c -2bccos A =(b+c) -3bc≥(b+c) -3(
2 2 2 2 2 2

.

a

b

b+c
2

),

2

则(b+c) ≤64,即 b+c≤8(当且仅当 b=c=4 时等号成立), ∴△ABC 周长=a+b+c=4+b+c≤12,即最大值为 12. 11.(2016·苏锡常镇一调)若一个钝角三角形的三内角成等差数列, 且最大边与最小边之比为

m,则实数 m 的取值范围是
答案 (2,+∞)

.

解析 由三角形的三个内角成等差数列, 得中间角为 60°.设最小角为 α , 则最大角为 120° sin?120°-α ? 3 1 1 3 1 -α , 其中 0°<α <30°.由正弦定理得 m= = · + > × 3+ sin α 2 tan α 2 2 2 =2. 12.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若∠B=∠C 且 7a +b +c =4 3,则 △ABC 的面积的最大值为 答案 5 5 .
2 2 2

14

解析 由∠B=∠C,得 b=c,代入 7a +b +c =4 3, 得 7a +2b =4 3,即 2b =4 3-7a , 由余弦定理,得 cos C=
2 2 2 2 2

2

2

2

a2+b2-c2 a = , 2ab 2b
4b -a 2b
2 2

所以 sin C= 1-cos C= 8 3-15a , 2b
2



则△ABC 的面积

S= absin C= ab×

1 2

1 2

8 3-15a 2b

2

1 1 2 2 2 = a 8 3-15a = a ?8 3-15a ? 4 4 1 1 = × 4 15 15a ?8 3-15a ?
2 2 2 2

1 1 15a +8 3-15a ≤ × × 4 2 15 1 1 5 = × ×4 3= , 4 5 15

4 3 2 2 2 当且仅当 15a =8 3-15a 时取等号,此时 a = . 15 所以△ABC 的面积的最大值为 5 . 5

13.四边形 ABCD 的内角 A 与 C 互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2. (1)求 C 和 BD; (2)求四边形 ABCD 的面积. 解 (1)由题设 A 与 C 互补及余弦定理得

BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos C=13-12cos C, BD2=AB2+DA2-2AB·DAcos A=5+4cos C.
1 由①②得 cos C= ,BD= 7, 2 因为 C 是三角形内角,故 C=60°. (2)四边形 ABCD 的面积

① ②

S= AB·DAsin A+ BC·CDsin C

1 2

1 2

15

1 ?1 ? =? ×1×2+ ×3×2?sin 60° 2 ?2 ? =2 3. 14.(2015·湖南)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a=btan A. (1)证明:sin B=cos A; 3 (2)若 sin C-sin Acos B= ,且 B 为钝角,求 A,B,C. 4 (1)证明 由正弦定理知 = = =2R, sin A sin B sin C ∴a=2Rsin A,b=2Rsin B,代入 a=btan A 得 sin A sin A=sin B· ,又∵A∈(0,π ),∴sin A>0, cos A sin B ∴1= ,即 sin B=cos A. cos A 3 (2)解 由 sin C-sin Acos B= 知, 4 3 3 sin(A+B)-sin Acos B= ,∴cos Asin B= . 4 4 3 2 由(1)知,sin B=cos A,∴cos A= ,由于 B 是钝角, 4 3 π ? π? 故 A∈?0, ?,∴cos A= ,A= . 2? 2 6 ? sin B= 3 2π π ,B= ,∴C=π -(A+B)= . 2 3 6

a

b

c

15.(2015·陕西)△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.向量 m=(a, 3b)与 n= (cos A,sin B)平行. (1)求 A; (2)若 a= 7,b=2,求△ABC 的面积. 解 (1)因为 m∥n,所以 asin B- 3bcos A=0, 由正弦定理,得 sin Asin B- 3sin Bcos A=0, 又 sin B≠0,从而 tan A= 3, π 由于 0<A<π ,所以 A= . 3 (2)方法一 由余弦定理,得 a =b +c -2bccos A, π 而由 a= 7,b=2,A= , 3 得 7=4+c -2c,即 c -2c-3=0,
16
2 2 2 2 2

因为 c>0,所以 c=3, 1 3 3 故△ABC 的面积为 S= bcsin A= . 2 2 方法二 由正弦定理,得 7 2 = , π sin B sin 3

从而 sin B=

21 , 7

2 7 又由 a>b,知 A>B,所以 cos B= , 7

? π? 故 sin C=sin(A+B)=sin?B+ ? 3? ?
=sin Bcos π π 3 21 +cos Bsin = . 3 3 14

1 3 3 所以△ABC 的面积为 S= absin C= . 2 2

17


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