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浙江省名校新高考研究联盟2013届高三上学期第一次联考数学理试题


浙江省名校新高考研究联盟 2013 届第一次联考

数学(理科)试题卷
本试题卷分选择题和非选择题两部分.满分 150 分,考试时间 120 分钟. 参考公式:
如果事件 A , B 互斥,那么 P ? A ? B ? ? P ? A? ? P ? B ? V ? Sh 如果事件 A , B 相互独立,那么 P ? A ? B ? ? P

? A? ? P ? B ? 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ,那么
n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
k Pn ? k ? ? Cn pk ?1 ? k ? n?k

棱柱的体积公式 其中 S 表示棱柱的底面积, h 表示棱柱的高 棱锥的体积公式
1 V ? Sh 3 其中 S 表示棱锥的底面积, h 表示棱锥的高

, ? k ? 0,1,2,?, n ?

棱台的体积公式

1 球的表面积公式 S ? 4? R 2 V ? h S1 ? S1S2 ? S2 3 4 3 球的体积公式 V ? ? R 3 其中 R 表示球的半径

?

?
其中 S1 , S2 分别表示棱台的上底、下底面积,

h 表示棱台的高

第 I 卷(选择题

共 50 分)

一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符 合题目要求.请将你认为正确的选项答在指定的位置上。 ) 1.已知 i 是虚数单位,且复数 z1 ? 3 ? bi, z 2 ? 1 ? 2i, 若 B. ? 6 C.0

z1 是实数,则实数 b 的值为() z2

A. 6

D.

1 6

2 x 2.已知集合 A ? {x | y ? ? 2 x ? x }, B ? { y | y ? 2 , x ? 0} , R 是实数集,则( C R B )

∩A= A.R 3.一次函数 y ? ? B. ?1,2? C. ?0,1? D. ? ()

m 1 x ? 的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是 n n
C. m ? 0, 且n ? 0 D. m ? 0, 且n ? 0

()

A. m ? 1, 且n ? 1 B. mn ? 0 4. x ? 当

?
4

时, 函数 f ( x) ? A sin( x ? ? )( A ? 0) 取得最小值, 则函数 y ? f (

A.奇函数且图像关于点 (

?
2

3? ? x) 是 () 4

, 0) 对称

B.偶函数且图像关于点 (? ,0) 对称 D.偶函数且图像关于点 (

C.奇函数且图像关于直线 x ?

?
2

对称

?
2

, 0) 对称

5.已知每项均大于零的数列 {an } 中,首项 a1 ? 1 且前 n 项的和 Sn 满足

Sn Sn?1 ? Sn?1 Sn ? 2 Sn Sn?1 (n ? N * , 且 n ? 2) ,则 a81 ? ()
A.638 6.已知 P 为双曲线 C : B.639 C.640 D.641

???? ???? ? ? ???? ? x2 y 2 ? ? 1 上的点,点 M 满足 OM ? 1 ,且 OM ? PM ? 0 ,则 9 16

当 PM 取得最小值时的点 P 到双曲线 C 的渐近线的距离为() A.

???? ?
9 5

B.

12 5

C. 4

D. 5

7.在平面斜坐标系 xoy 中 ?xoy ? 450 ,点 P 的斜坐标定义为: OP ? x0 e1 ? y 0 e2 (其 “若 中 e1 ,e2 分 别 为 与 斜 坐 标 系 的 系中的轨迹方程为 () A. x ? 2 y ? 0 B. x ? 2 y ? 0 C. 2 x ? y ? 0 D. 2 x ? y ? 0

???? ???? .若 ( x0 , y0 ) ” F1 (?1,0), F2 (1,0), 且动点 M ( x, y) 满足 MF 1 ? MF 2 ,则点 M 在斜坐标

, x 轴, y 轴同方向的单位向量) 则点 P 的坐标为

8.在正方体 ABCD? A B C D 中, E 是棱 CC1 的中点, F 是侧面 1 1 1 1 且 则 BCC1B1 内的动点, A1F / / 平面 D1 AE , A1F 与平面 BCC1B1 所 A1 成角的正切值构成的集合是() A. ?t

D1

C1 B1

.F
B

E

? 2 5 ? ? ? ? t ? 2 3? ? 5 ? ? ?

B. ?t

? 2 5 ? ? ? ? t ? 2? ? 5 ? ? ?

D

C

A
(第 8 题图)

C. t 2 ? t ? 2 3

?

?

D. t 2 ? t ? 2 2

?

?

9.如果正整数 a 的各位数字之和等于 6,那么称 a 为“好数” (如:6,24,2013 等均为“好 数”,将所有“好数”从小到大排成一列 a1 , a2 , a3 , ??????, 若 an ? 2013 ,则 n ? () ) A.50 B.51
3 2

C.52

D.53

10.设函数 ht ( x) ? 3tx ? 2t ,若有且仅有一个正实数 x0 ,使得 h7 ( x0 ) ? ht ( x0 ) 对任意的正 数t都 成立, x0 = 则 A.5 B. 5 C.3 D. 7 ()

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题: (本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。 ) 11.在各项均为正数的等比数列 {an } 中,若公比为 3 2 ,且满足 a3 ? a11 =16,则 log2 a16 ? ▲.

12.二项式 (4x ? 2? x )6 ( x? R )展开式中的常数项是▲. 13.执行如下图的程序框图,输出 s 和 n ,则 s ? n 的值为▲. 14.已知一个棱长为 2 的正方体,被一个平面截后所得几何体的三视图如下图所示,则该几 何体的体积是▲.

正视图

侧视图

俯视图 (第 13 题图) (第 14 题图)

图图图

15.设圆 C : ( x ? 3)2 ? ( y ? 5)2 ? 5 ,过圆心 C 作直线 l 交圆于 A 、 B 两点,与 y 轴交于点

P ,若 A 恰好为线段 BP 的中点,则直线 l 的方程为▲. 1 x 1 , A0 为坐标原点, An 为函数 y ? f ( x) 图象上横坐标为 16.设函数 f ( x) ? x( ) ? 2 x ?1

? ?? ? ?? ? n ??????? ? 向量 设 n(n ? N * ) 的点, an ? ? Ak ?1 Ak ,向量 i ? (1,0) , ?n 为向量 an 与向量 i 的夹角,
k ?1

则满足

? tan ?
k ?1

n

k

?

21 的最大整数 n 是▲. 11
x 4x ? k ? 2 ? 1 . 若 对 任 意 的 实 数 x1 , x2 , x3 , 不 等 式 4x ? 2x ? 1

17 . 已 知 函 数 f ( x) ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) 恒成立,则实数 k 的取值范围是▲ .

三、解答题: (本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 18.在 ? ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c .已知

cos A ? 3cos C 3c ? a ? . cos B b

sin C 的值; sin A (Ⅱ)若 B 为钝角, b ? 10 ,求 a 的取值范围.
(Ⅰ)求 19.甲乙两支球队进行总决赛,比赛采用七场四胜制,即若有一队先胜四场,则此队为总冠

军,比赛就此结束.因两队实力相当,每场比赛两队获胜的可能性均为二分之一.据以 往资料统计,第一场比赛可获得门票收入 40 万元,以后每场比赛门票收入比上一场增 加 10 万元. (Ⅰ)求总决赛中获得门票总收入恰好为 300 万元的概率; (Ⅱ)设总决赛中获得的门票总收入为 X ,求 X 的均值 E ( X ) .

F 20. 如图,AB 为圆 O 的直径, E 、 在圆 O 上,AB // EF , 点 矩形 ABCD 所在的平面与圆 O 所在的平面互相垂直.已知 AB ? 2 , EF ? 1 . (Ⅰ)求证:平面 DAF ? 平面 CBF ; (Ⅱ)求直线 AB 与平面 CBF 所成角的大小;
(Ⅲ)当 AD 的长为何值时,平面 DFC 与平面 FCB 所成的 锐二面角的大小为 60 ? 21.已知中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆 ? ,它的离心率为
?

C

D

B

.
A

E

O
F

1 ,一个焦点和抛物线 2

切点分别是 A,B. y 2 ? ?4x 的焦点重合,过直线 l : x ? 4 上一点 M 引椭圆 ? 的两条切线, (Ⅰ)求椭圆 ? 的方程; (Ⅱ)若在椭圆

x2 y 2 ? ? 1?a ? b ? 0? 上 的 点 ?x0 , y0 ? 处 的 椭 圆 的 切 线 方 程 是 a 2 b2

x0 x y0 y ? 2 ? 1 . 求证:直线 AB 恒过定点 C ;并出求定点 C 的坐标. a2 b (Ⅲ)是否存在实数 ? ,使得 AC ? BC ? ? AC ? BC 恒成立?(点 C 为直线 AB 恒过
的定点) 若存在,求出 ? 的值;若不存在,请说明理由。 22. 已知函数 f ?x ? ? ln?2ax ? 1? ?

(I)若 x ? 2 为 f ?x ? 的极值点,求实数 a 的值;
3

x3 ? x 2 ? 2ax?a ? R ? 3

(II)若 y ? f ?x ? 在 ?3,??? 上为增函数,求实数 a 的取值范围;

1 ?1 ? x ? ? b 有实根,求实数 b 的最大值. (III)当 a ? ? 时,方程 f ?1 ? x ? ? 2 3 x

浙江省名校高考研究联盟 2013 届第一次联考 数学(理科)参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1 A 2 C 3 B 4 C 5 C 6 B 7 D 8 D 9 B 10 D

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11. 14. 5 12. 15 13. 10 13

17 15. 2 x ? y ? 1 ? 0 或 2 x ? y ? 11 ? 0 16. 3 1 17. ? ? k ? 4 2
18.(本小题满分 14 分) 解: (I)由正弦定理,设

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或解题步骤)

a b c ? ? ? k, sin A sin B sin C 3c ? a 3k sin C ? k sin A 3sin C ? sin A ? ? , 则 b k sin B sin B cos A ? 3cos C 3sin C ? sin A ? . ??????4 分 所以 cos B sin B
即 (cos A ? 3cos C )sin B ? (3sin C ? sin A) cos B , 化简可得 sin( A ? B) ? 3sin( B ? C ). ??????6 分

又 A? B ?C ?? , 所以 sin C ? 3sin A

sin C ? 3. ??????8 分 sin A sin C ? 3 得 c ? 3a. ??????9 分 (II)由 sin A
因此 由题意 ?

? a?c ?b ,??????12 分 2 2 2 ?a ? c ? b

5 ? ? a ? 10 ??????14 分 2
19.(本小题满分 14 分) 解: (I)依题意,每场比赛获得的门票收入组成首项为 40,公差为 10 的等差数列. 设此数列为 ?an ? ,则易知 a1 ? 40, an ? 10n ? 30 ,? S n ?

n(10n ? 70) ? 300, 2 1 2 1 ; 4

解得 n ? ?12 (舍去)或 n ? 5 ,所以此决赛共比赛了 5 场.????3 分
1 4 则前 4 场比赛的比分必为 1: 3 , 且第 5 场比赛为领先的球队获胜, 其概率为 C4 ( ) ?

????6 分 (II)随机变量 X 可取的值为 S4 , S5 , S6 , S7 ,即 220,300,390,490 ????7 分

1 1 1 1 , P( X ? 300) ? C4 ( ) 4 ? ????8 分 8 2 4 1 5 5 3 1 P( X ? 390) ? C52 ( )5 ? , P( X ? 490) ? C6 ( ) 6 ? ????12 分 2 16 2 16 所以, X 的分布列为 220 300 390 X 1 1 5 P 8 4 16
4 又 P( X ? 220) ? 2 ? ( ) ?

1 2

490

5 16

所以 X 的均值为 E ( X ) ? 377.5 万元????14 分 20.(本小题满分 14 分) (I)证明:? 平面 ABCD ? 平面 ABEF , CB ? AB , 平面 ABCD ? 平面 ABEF = AB ,

z

C

?CB ? 平面 ABEF .
? AF ? 平面 ABEF ,? AF ? CB ,????2 分 又? AB 为圆 O 的直径,? AF ? BF , ? AF ? 平面 CBF .????3 分 ? AF ? 平面 ADF ,? 平面 DAF ? 平面 CBF .
????4 分 (II)根据(Ⅰ)的证明,有 AF ? 平面 CBF , ? FB 为 AB 在平面 CBF 内的射影, 因此, ? ABF 为直线 AB 与平面 CBF 所成的角

D

B

H O

.

E y

x A

F

?????6 分

? AB // EF ,? 四边形 ABEF 为等腰梯形,
过点 F 作 FH ? AB ,交 AB 于 H .

AB ? 2 , EF ? 1 ,则 AH ?

AB ? EF 1 ? . 2 2
2

在 Rt ?AFB 中,根据射影定理 AF

? AH ? AB ,得 AF ? 1 .????8 分

sin ?ABF ?

AF 1 ? ,? ?ABF ? 30? . AB 2
????9 分

? 直线 AB 与平面 CBF 所成角的大小为 30? .

(Ⅲ)设 EF 中点为 G ,以 O 为坐标原点, OA 、 OG 、 AD 方向分别为 x 轴、 y 轴、

z 轴方向建立空间直角坐标系(如图).设 AD ? t (t ? 0) ,则点 D 的坐标为 (1, 0, t ) 则
1 3 C (?1, 0, t ) ,又 A(1, 0, 0), B(?1, 0, 0), F ( , , 0) 2 2 ??? ? ??? ? 1 3 ? CD ? (2, 0, 0), FD ? ( , ? , t ) ????10 分 2 2
设平面 DCF 的法向量为 n1 ? ( x, y, z) ,则 n1 ? CD ? 0 , n1 ? FD ? 0 .

?? ??? ?

?? ??? ?

?2 x ? 0, ? 即? 令 z ? 3 ,解得 x ? 0, y ? 2t 3 y ? tz ? 0. ?? ? 2

? n1 ? (0, 2t, 3) ??????12 分
由 (I) 可知 AF ? 平面 CFB , 取平面 CBF 的一个法向量为 n2 ? AF ? (? , 依题意 n1 与 n2 的夹角为 60
?

?? ?

??? ?

1 2

3 , 0) , 2

? cos60? ?

n1 ? n2 n1 ? n2

,即

6 1 3t ,解得 t ? ? 4 2 4t 2 ? 3 ?1

因此,当 AD 的长为

6 ? 时,平面与 DFC 平面 FCB 所成的锐二面角的大小为 60 . 4
???14 分

21.(本小题满分 15 分) 解: 设椭圆方程为 (I)

x2 y 2 2 ? ? 1?a ? b ? 0? 。 抛物线 y ? ?4x 的焦点是 ?? 1,0? , c ? 1 , 故 a 2 b2



c 1 ? ,所以 a ? 2, b ? a 2 ? c 2 ? 3 , a 2

所以所求的椭圆 ? 方程为

x2 y2 ? ? 1 ??????????4 分 4 3

(II)设切点坐标为 A?x1 , y1 ? , B?x2 , y2 ? ,直线 l 上一点 M 的坐标 ?4, t ? 。则切线方程分别

x1 x y1 y x x y y t t ? ? 1 , 2 ? 2 ? 1 。又两切线均过点 M,即 x1 ? y1 ? 1, x2 ? y2 ? 1 , 4 3 4 3 3 3 t 即点 A,B 的坐标都适合方程 x ? y ? 1 ,而两点之间确定唯一的一条直线,故直线 AB 3 t 的方程是 x ? y ? 1 ,显然对任意实数 t,点(1,0)都适合这个方程,故直线 AB 恒过 3 定点 C ?1,0? 。????????????????????????????9 分 t (III)将直线 AB 的方程 x ? ? y ? 1 ,代入椭圆方程,得 3


? t2 ? ? t ? 3? ? y ? 1? ? 4 y 2 ? 12 ? 0 ,即 ? ? 4 ? y 2 ? 2ty ? 9 ? 0 ?3 ? ? 3 ? ? ?
2

2

所以 y1 ? y2 ?

6t ? 27 , y1 y2 ? 2 t ? 12 t ? 12
2

不妨设 y1 ? 0, y2 ? 0

AC ?
分 所以

?x1 ? 1?2 ? y12

? t2 ? 2 t2 ? 9 t2 ? 9 ? ? 1? y1 ? ? ? y1 ,同理 BC ? ? y2 ???12 ? 3 3 ?9 ?

?1 1 ? 1 1 3 3 y ?y 3 ? ? ?? ? ? ? ? 2 1 ?? ? ? ? AC BC t 2 ? 9 ? y1 y2 ? t 2 ? 9 y1 y2 t2 ? 9
2

? y2 ? y1 ?2
y1 y2

108 ? 6t ? ? 2 ? ? 2 3 1 144t 2 ? 9 ?144 4 ? t ? 12 ? t ? 12 ?? ? ? ? ? ? 27 9 3 t2 ? 9 t2 ? 9 2 t ? 12
4 AC ? BC 。 3 4 故存在实数 ? ? ,使得 AC ? BC ? ? AC ? BC 。 3
即 AC ? BC ? 22.(本小题满分 15 分) 解: (I) f ??x ? ?

???????????15 分

2a x 2ax2 ? ?1 ? 4a ?x ? 4a 2 ? 2 ? x 2 ? 2 x ? 2a ? 2ax ? 1 2ax ? 1

?

?

??

因为 x ? 2 为 f ?x ? 的极值点,所以 f ??2? ? 0 ,即

2a ? 2a ? 0 ,解得 a ? 0 。??4 4a ? 1

分 (II)因为函数 f ?x ? 在 ?3,??? 上为增函数,所以

f ??x ? ?

x 2ax2 ? ?1 ? 4a ?x ? 4a 2 ? 2 ? 0 在 ?3,??? 上恒成立。???6 分 2ax ? 1

?

?

??

?当 a ? 0 时, f ??x ? ? x?x ? 2? ? 0 在 ?3,??? 上恒成立, 所以 f ?x ? 在 ?3,??? 上为增函数,
故 a ? 0 符合题意。 ???7 分

?当 a ? 0 时, 由函数 f ?x ? 的定义域可知, 必须有 2ax ? 1 ? 0 对 x ? 3 恒成立, 故只能 a ? 0 ,
所以 2ax2 ? ?1 ? 4a ?x ? 4a 2 ? 2 ? 0 在 ?3,??? 上恒成立。

?

?

???8 分

令函数 g ?x? ? 2ax2 ? ?1 ? 4a ?x ? 4a 2 ? 2 ,其对称轴为 x ? 1?

?

?

1 ,因为 a ? 0 ,所以 4a

1?

1 ? 1 , 要 使 g ?x ? ? 0 在 ?3,??? 上 恒 成 立 , 只 要 g ?3? ? 0 即 可 , 即 4a

g ?3? ? ?4a 2 ? 6a ? 1 ? 0 , 所 以
3 ? 13 。 4

3 ? 13 3 ? 13 。 因 为 a?0 , 所 以 ?a? 4 4

0?a?

综上所述,a 的取值范围为 ? 0,

? 3 ? 13 ? ?。 4 ? ?
3

???10 分

(Ⅲ)当 a ? ?

1 ?1 ? x ? ? b 可化为 ln x ? ?1 ? x ?2 ? ?1 ? x ? ? b 。 时,方程 f ?1 ? x ? ? 2 x 3 x
2

问题转化为 b ? x ln x ? x?1 ? x? ? x?1 ? x? ? x ln x ? x2 ? x3 在 ?0,??? 上有解,即求函数

g ?x? ? x ln x ? x 2 ? x3 的值域。
因为函数 g ?x ? ? x ln x ? x ? x ,令函数 h?x ? ? ln x ? x ? x ?x ? 0? ,???12 分
2 3 2

则 h?? x ? ?

?2 x ? 1??1 ? x ? , 1 ?1? 2x ? x x

所以当 0 ? x ? 1 时, h??x ? ? 0 ,从而函数 h?x ? 在 ?0,1? 上为增函数, 当 x ? 1 时, h??x ? ? 0 ,从而函数 h?x ? 在 ?1,??? 上为减函数, 因此 h?x ? ? h?1? ? 0 。 而 x ? 0 ,所以 b ? x ? h?x ? ? 0 ,因此当 x ? 1 时,b 取得最大值 0. ???15 分


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