nbhkdz.com冰点文库

2014高中数学复习讲义11:统计与概率


2014 高中数学复习讲义 第十一章 统计与概率
【知识图解】 统计 总体 抽样

分析

估计

简 单 随 机 抽 样

系 统 抽 样

分 层 抽 样

样 本 分 布

样 本 特 征 数

相 关 系



总 体 分 布

总 体 特 征 数

相 关 系 数

概率分布 独立性 必然事件 概 率 随机事件 不可能事件 随机变量 数字特征 随机现象

条件概率 事件独立性 数学期望 方 差

古典概型 概 率 应 用 几何概型 概率 等可能事件

互斥、对立事件

【方法点拨】 1、 准确理解公式和区分各种不同的概念 正确使用概率的加法公式与乘法公式、随机变量的数学期望与方差的计算公式 .注意事 件的独立性与互斥性是两个不同的概念,古典概型与几何概型都是等可能事件,对立事 件一定是互斥事件,反之却未必成立. 2、 掌握抽象的方法 抽象分为简单的随机抽样、系统抽样、分层抽样.系统抽样适用于总体较多情况,分层 抽样适用于总体由几个差异明显的部分组成的情况. 3、 学会利用样本和样本的特征数去估计总体 会列频率分布表,会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图,并体会它们各自特点, 特别注意频率分布直方图的纵坐标为频率/组距;会计算样本数据平均数、方差(标准 差) ,利用样本的平均数可以估计总体的平均数,利用样本的方差估计总体的稳定程度. 4、 关于线性回归方程的学习 在线性相关程度进行校验的基础上,建立线性回归分析的基本算法步骤.学会利用线性 回归的方法和最小二乘法研究回归现象,得到的线性回归方程(不要求记忆系数公式) 可用于预测和估计,为决策提供依据.

第 1 课 抽样方法
【考点导读】 1. 抽样方法分为简单随机抽样、系统抽样、分层抽样. 2 .系统抽样适用于总体个数较多情况,分层抽样适用于总体由几个差异明显的部分组成的 情况. 【基础练习】 1.为了了解全校 900 名高一学生的身高情况,从中抽取 90 名学生进行测量,下列说法正确 的是 ④ . ①总体是 900 ②个体是每个学生 ③样本是 90 名学生 ④样本容量是 90 2.对总数为 N 的一批零件抽取一个容量为 30 的样本,若每个零件被抽到的概率为 0.25, 则 N 的值为 120 . 3.高三年级有 12 个班,每班 50 人按 1—50 排学号,为了交流学习经验,要求每班学号为 18 的同学留下进行交流,这里运用的是 系统 抽样法. 4.某校有学生 2000 人,其中高三学生 500 人.为了解学生身体情况,采用按年级分层抽样 的方法,从该校学生中抽取一个 200 人的样本,则样本中高三学生的人数为 50 5.将参加数学竞赛的 1000 名学生编号如下:0001,0002,0003,?,1000,打算从中抽取 一个容量为 50 的样本, 按系统抽样的方法分成 50 个部分, 如果第一部分编号为 0001, 0002, 0003,?,0020,第一部分随机抽取一个号码为 0015,则抽取的第 40 个号码为 【范例解析】 0795 .

例 1:某车间工人加工一种轴 100 件,为了了解这种轴的直径,要从中抽取 10 件轴在同一 条件下测量,如何采用简单随机抽样的方法抽取样本? 分析 简单随机抽样一般采用两种方法:抽签法和随机数表法. 解法 1: (抽签法)将 100 件轴编号为 1,2,?,100,并做好大小、形状相同的号签,分别 写上这 100 个数,将这些号签放在一起,进行均匀搅拌,接着连续抽取 10 个号签,然后测 量这个 10 个号签对应的轴的直径. 解法 2: (随机数表法)将 100 件轴编号为 00,01,?99,在随机数表中选定一个起始位置, 如取第 21 行第 1 个数开始,选取 10 个为 68,34,30,13,70,55,74,77,40,44,这 10 件即为所要抽取的样本. 点评 从以上两种方法可以看出,当总体个数较少时用两种方法都可以,当样本总数较多 时,方法 2 优于方法 1. 例 2、某校高中三年级的 295 名学生已经编号为 1,2,??,295,为了了解学生的学习情 况,要按 1:5 的比例抽取一个样本,用系统抽样的方法进行抽取,并写出过程. 分析 按 1:5 分段,每段 5 人,共分 59 段,每段抽取一人,关键是确定第 1 段的编号. 解:按照 1:5 的比例,应该抽取的样本容量为 295÷5=59,我们把 259 名同学分成 59 组, 每组 5 人,第一组是编号为 1~5 的 5 名学生,第 2 组是编号为 6~10 的 5 名学生,依次下 去,59 组是编号为 291~295 的 5 名学生.采用简单随机抽样的方法,从第一组 5 名学生中 抽出一名学生, 不妨设编号为 k(1≤k≤5), 那么抽取的学生编号为 k+5L(L=0,1,2,??, 58), 得到 59 个个体作为样本,如当 k=3 时的样本编号为 3,8,13,??,288,293. 点评 系统抽样可按事先规定的规则抽取样本 . 本题采用的规则是第一组随机抽取的学生

编号为 k,那么第 m 组抽取的学生编号为 k+5(m-1). 例 3:一个地区共有 5 个乡镇,人口 3 万人,其中人口比例为 3:2:5:2:3,从 3 万人中 抽取一个 300 人的样本, 分析某种疾病的发病率, 已知这种疾病与不同的地理位置及水土有 关,问应采取什么样的方法?并写出具体过程. 分析 采用分层抽样的方法. 解:因为疾病与地理位置和水土均有关系,所以不同乡镇的发病情况差异明显,因而采用分 层抽样的方法,具体过程如下: (1)将 3 万人分为 5 层,其中一个乡镇为一层. (2)按照样本容量的比例随机抽取各乡镇应抽取的样本. 300×3/15=60(人) ,300×2/15=40(人) ,300×5/15=100(人) ,300×2/15=40(人) ,300 ×3/15=60(人) ,因此各乡镇抽取人数分别为 60 人、40 人、100 人、40 人、60 人. (3)将 300 人组到一起,即得到一个样本. 点评 分层抽样在日常生活中应用广泛, 其抽取样本的步骤尤为重要, 应牢记按照相应的比 例去抽取. 【反馈演练】 1. 一个总体中共有 200 个个体, 用简单随机抽样的方法从中抽取一个容量为 20 的样本, 则 某一特定个体被抽到的可能性是 0.1 . 2.为了了解参加运动会的 2000 名运动员的年龄情况,从中抽取 100 名运动员;就这个问 题,下列说法中正确的有 2 个. ①2000 名运动员是总体;②每个运动员是个体;③所抽取的 100 名运动员是一个样本; ④样本容量为 100;⑤这个抽样方法可采用按年龄进行分层抽样;⑥每个运动员被抽到的概

率相等. 3.对于简单随机抽样,下列说法中正确的命题为 ①②③④ . ①它要求被抽取样本的总体的个数有限,以便对其中各个个体被抽取的概率进行分析;② 它是从总体中逐个地进行抽取,以便在抽取实践中进行操作;③它是一种不放回抽样;④ 它是一种等概率抽样,不仅每次从总体中抽取一个个体时,各个个体被抽取的概率相等, 而且在整个抽样过程中,各个个体被抽取的概率也相等,从而保证了这种方法抽样的公平 性. 4.某公司甲、乙、丙、丁四个地区分别有 150 个、120 个、180 个、150 个销售点.公司为 了调查销售的情况, 需从这 600 个销售点中抽取一个容量为 100 的样本, 记这项调查为①; 在丙地区中有 20 个特大型销售点, 要从中抽取 7 个调查其收入和售后服务等情况, 记这项 调查为②.则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是 分层抽样法,简单随机 抽样法 . 5.下列抽样中不是系统抽样的是 ③ . ①.从标有 1~15 号的 15 个球中,任选三个作样本,按从小号到大号排序,随机选起点 i0 , 以后 i0 ? 5 , i0 ? 10 (超过 15 则从 1 再数起)号入样; ②.工厂生产的产品,用传送带将产品送入包装车间前,检验人员从传送带上每隔五分钟抽 一件产品进行检验; ③.搞某一市场调查,规定在商场门口随机抽一个人进行询问调查,直到调查到事先规定的 人数为止; ④.电影院调查观众的某一指标,通知每排(每排人数相同)座位号为 14 的观众留下座谈. 6. 为了解初一学生的身体发育情况, 打算在初一年级 10 个班的某两个班按男女生比例抽取 样本,正确的 抽样方法是 ③ . ①随机抽样 ②分层抽样 ③先用抽签法,再用分层抽样 ④先用分层抽样,再用随机 数表法 7.写出下列各题的抽样过程 (1)请从拥有 500 个分数的总体中用简单随机抽样方法抽取一个容量为 30 的样本. (2)某车间有 189 名职工,现在要按 1:21 的比例选派质量检查员,采用系统抽样的方式进 行. (3)一个电视台在因特网上就观众对某一节目喜爱的程度进行调查,参加调查的总人数为 12000 人,其中持各种态度的人数如下: 很喜爱 喜爱 一般 不喜爱 2435 4567 3926 1072 打算从中抽取 60 人进行详细调查,如何抽取? 解:(1)①将总体的 500 个分数从 001 开始编号,一直到 500 号; ②从随机数表第 1 页第 0 行第 2 至第 4 列的 758 号开始使用该表; ③抄录入样号码如下:335、044、386、446、027、420、045、094、382、5215、342、148、 407、349、322、027、002、323、141、052、177、001、456、491、261、036、240、115、 143、402 ④按以上编号从总体至将相应的分数提取出来组成样本,抽样完毕 (2)采取系统抽样 189÷21=9,所以将 189 人分成 9 组,每组 21 人,在每一组中随机抽 取 1 人,这 9 人组成样本 (3)采取分层抽样 总人数为 12000 人,12000÷60=200,
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

2345 4567 3926 1072 ? 11?145人, =22?167人, = 19?余126, =5?余72人 200 200 200 200 所以从很喜爱的人中剔除 145 人,再抽取 11 人;从喜爱的人中剔除 167 人,再抽取 22 人; 从一般喜爱 的人中剔除 126 人,再抽取 19 人;从不喜爱的人中剔除 72 人,再抽取 5 人
王新敞
奎屯 新疆

第 2 课 总体分布的估计
【考点导读】 1.掌握频率分布直方图、折线图表与茎叶图的做法,体会它们各自的特点. 2.会用频率分布直方图、折线图表与茎叶图对总体分布规律进行估计. 【基础练习】 1.一个容量为 n 的样本,分成若干组,已知某组的频数和频率分别为 60,0.25,则 n 的 值是 240 2.用样本频率分布估计总体频率分布的过程中,下列说法正确的是 ①总体容量越大,估计越精确 ③样本容量越大,估计越精确 3. 已知某工厂工人加工的零件个数的茎叶图如右图所示 (以零件个数的前两位为茎,后一位为叶) ,那么工人生产 零件的平均个数及生产的零件个数超过 130 的比例分别是 120.5 与 10% . ③

②总体容量越小,估计越精确 ④样本容量越小,估计越精确

10 11 12 13

78 02223666778 0012234466788 0234

4.容量为 100 的样本数据,按从小到大的顺序分为 8 组,如下表: 组号 1 2 3 4 5 6 频数 10 13 x 14 15 13 第三组的频数和频率分别是 14 和 0.14 . 频率 5. 200 辆汽车通过某一段公路时的时速频率 0.4 分布直方图如图所示,则时速在 ? 50, 60 ? 的汽 车大约有 60 辆. 0.2 0.1 0 40 50 60

7 12

8 9

70

80

时速

【范例解析】 例 1.如图,从参加环保知识竞赛的学生中抽出 60 名,将其成绩(均为整数)整理后画出 的频率分布直方图如下:观察图形,回答下列问题:

(1) 79.5 ~ 89.5 这一组的频数、频率分别是多少? (2)估计这次环保知识竞赛的及格率( 60 分及以上为及格). 解: (1)频率为: 0.025 ?10 ? 0.25 ,频数: 60 ? 0.25 ? 15 (2) 0.015 ?10 ? 0.025 ?10 ? 0.03 ?10 ? 0.005 ?10 ? 0.75 . 例 2.在参加世界杯足球赛的 32 支球队中, 随机抽取 20 名队员, 调查其年龄为 25,21, 23, 25,27,29,25,28,30,29,26,24,25,27,26,22,24,25,26,28.填写下面的频 率分布表, 据此估计全体队员在哪个年龄段的人数最多?占总数的百分之几?并画出频率分 布直方图.

解: (1) 分组 [20.5,22.5) [22.5,24.5) [24.5,26.5) [26.5,28.5) [28.5,30.5] 合计 (2) 0.2 频数 2 3 8 4 3 20 频率 0.1 0.15 0.4 0.2 0.15 1

频率 组距

分组 [20.5,22.5) [22.5,24.5 [24.5,26.5) [26.5,28.5)

频数

频率 0.1 0.075 0.05

20.5 22.5 24.5

26.5 28.5 30.5

年龄

[28.5,30.5] 合计

(3)估计全体队员在 24.5~26.5 处人数最多,占总数的百分之四十. 【反馈演练】 1.对于样本频率直方图与总体密度曲线的关系,下列说法正确的是 ④ ①频率分布直方图与总体密度曲线无关 ②频率分布直方图就是 总体密度曲线 ③样本容量很大的频率分布直方图就是总体密度曲线 ④如果样本容量无限增大,分组的组距无限的减小,那么频率分布直方图就会无限接近于总 体密度曲线 2. 在某餐厅内抽取 100 人,其中有 30 人在 15 岁以下,35 人在 16 至 25 岁,25 人在 26 至 45 岁,10 人在 46 岁 以上,则数 0.35 是 16 到 25 岁人员占总体分布的 ② ① 概率 ②频率 ③ 累计频率 ④ 频数 3.10 名工人某天生产同一零件,生产的件数是 15 ,17 , 14 , 10 , 15 , 17 ,17 , 16, 14 , 12. 设其平均数为 a,中位数为 b,众数为 c,则 a, b, c 的大小关系为 c ? b ? a

4.已知样本:10,8,6,10,13,8,10,12,11,7,8,9,11,9,12,9,10,11,12,12 则频率为 0.3 的范围是 (2)

?1? ?5.5, 7.5? ? 4 ? ? 1 1 . 5 , 1?3 . 5

? 2?? 7 . 5 , 9 ?.5

? 3? ?9.5,11.5?

5.已知 10 个数据如下:63,65,67,69,66,64,66, 64, 65,68.根据这些数据制作频 率直方图,其 中[64.5, 66.5)这组所对应矩形的高为 0.2 6.某中学高一年级有 400 人,高二年级有 320 人,高三有 280 人,以每人被抽取的频 率为 0.2,向该 中学抽取一个样本容量为 n 的样本,则 n=
7. 一个容量为 20 的样本数据 , 分组后 , 组距与频数如下 : ?10, 20 ? ,2; 200

?30, 40 ? ,

4 ;

? 40,50 ? ,

5 ; ? 50, 60 ? , 4 ;

? 60, 70? ,

2

? 20,30 ? , 3 ; .则样本在区间 ? ??,50 ? 上的

频率为__ 0.7 ___ 8.观察新生婴儿的体重,其频率分布直方图如图所示,则新生婴儿体重在 (2700,3000] 的频 率为 0.3
人数(人) 20 15 10 5 0 0.5 1.0 1.5 2.0

频率/组距
0 001
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

0

2400

2700

3000

3300

3600

3900

体重

(第 8 题) 9.某校为了了解学生的课外阅读情况,随机调查了 50 名学生,得到他们在某一天各自课 外阅读所用时间的数据, 结果用右上面的条形图表示. 根据条形图可得这 50 名学生这一天 平均每人的课外阅读时间为 0.9 小时 10.从甲、乙两台机器生产的零件中随机抽取 15 个进行检验,相关指标的检验结果为: 甲:534,517,528,522,513,516,527,526,520,508,533,524,518,522, 512; 乙:512,520,523,516,530,510,518,521,528,532,507,516,524,526, 514. (1).画出上述数据茎叶图; (2).试比较分析甲、乙两台机器生产零件的情况. 8 50 7 解(1)用指标的两位数作茎,然后作茎叶图: 87632 51 024668 (2)从图中可以看出,甲机器生产零件的指标 8764220 52 013468 分布大致对称,指标平均在 520 左右,中位数 0 43 53 02 和众数均为 522;乙机器生产零件的指标分布为 大致对称,指标平均在 520 左右,中位数和众数 分别为 520 和 516,总的来看,甲机器生产的零 件的指标略大些.. 点评 注意作茎叶图时,茎可以放两位数.

第 3 课 总体特征数的估计
【考点导读】 理解样本数据的方差、标准差的意义并且会计算数据的方差、标准差,使学生掌握通过合理 抽样对总体稳定性作出科学的估计的思想. 【基础练习】
?,xn 的平均数为 x ? 5 ,则数据 3 x1 ? 7 , 3 x2 ? 7 ,?, 3 xn ? 7 的平均数 1.已知数据 x1,x2,



22

.
MX ? NY M ?N

2. 若 M 个 数 的 平 均 数 是 X, N 个 数 的 平 均 数 是 Y, 则 这 M+N 个 数 的 平 均 数 是
2

3.数据 a1,a2,a3,?,an 的方差为σ ,则数据 2a1,2a2,2a3,?,2an 的方差为 . 4.已知同一总体的两个样本,甲的样本方差为 则下列说法正确的是 ④ .
1 2 ?1



2

,乙的样本方差为 3 ? 2 ,

①甲的样本容量小 动较小

②乙的样本容量小

③甲的波动较小

④乙的波

【范例解析】 例 1.下面是一个班在一次测验时的成绩,分别计算男生和女生的成绩平均值、中位数以及 众数.试分析一下该班级学习情况. 男生:55,55,61,65,68,68,71,72,73,74,75,78,80,81,82,87,94; 女生:53,66,70,71,73,73,75,80,80,82,82,83,84,85,87,88,90,93,94, 97. 解:17 名男生成绩的平均值是 72.9 分,中位数是 73 分,众数为 55 和 68. 20 名女生成绩的平均值是 80.3 分,中位数是 82 分,众数为 73,80 和 82. 从上述情况来看,这个班女生成绩明显好于男生成绩. 例 2.为了比较甲,乙两位射击运动员的成绩,在相同的条件下对他们进行了 10 次测验,测 得他们的环数如下: 环数 10 9 8 7 6 5 甲(次) 3 2 1 2 0 2 乙(次) 2 2 2 2 2 0 试根据以上数据,判断他们谁更优秀. 解: x甲 =8, x乙 =8,
S甲 2 =3.4, S 乙 2 =2,

所以乙更优秀

例 3.某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料,在自动包装传送带上每隔 30 分钟抽取一包产品, 称其重量,分别记录抽查数据如下: 甲:102,101,99,98,103,98,99; 乙:110,115,90,85,75,115,110. (1)这种抽样方法是哪一种方法? (2)计算甲、乙两个车间产品的平均数与方差,并说明哪个车间产品较稳定? 解: (1)采用的方法是:系统抽样;

1 (2) x甲 ? ( 102 ? 101 ? 99 ? 98 ? 103 ? 98 ? 99 ) ? 100 ; 7 1 x乙 ? ( 110 ? 115 ? 90 ? 85 ? 75 ? 115 ? 110 ) ? 100 ; 7 1 S 2甲 ? ( 4 ?1?1? 4 ? 9 ? 4 ?1 ) ? 3.42857 ; 7 1 S 2乙 ? ( 100 ? 225 ? 100 ? 225 ? 625 ? 225 ? 100 ) ? 228.57 7
∴ S 2甲 ? S 2乙 故甲车间产品比较稳定.

点评 以样本估计总体,在生产生活经常用到,发现问题,解决问题,从而更好地指导实践. 【反馈演练】 1. 下列说法中,正确的是 ④ .

① 频率分布直方图中各小长方形的面积不等于相应各组的频率 ②一组数据的标准差是这组数据的方差的平方

③数据 2,3,4,5 的方差是数据 4,6,8,10 的方差的一半 ④一组数据的方差越大,说明这组数据的波动越大 2.从甲、乙两班分别任意抽出 10 名学生进行英语口语测验,其测验成绩的方差分别为 S1 = 2 13.2,S2 =26.26,则 ① . ①甲班 10 名学生的成绩比乙班 10 名学生的成绩整齐 ②乙班 10 名学生的成绩比甲班 10 名学生的成绩整齐 ③甲、乙两班 10 名学生的成绩一样整齐 ④不能比较甲、乙两班 10 名学生成绩的整齐程度 3 .已知样本为 101 ,98, 102, 100, 99,则样本标准差为
2

2

4 .某班 45 人,一次数学考试,班级均分 72 分.已知不及格人数为 5 人,他们的平均成绩是 52 分,则及格学生的平均分为 74 .5 分 . 5.高三年级 1000 名学生进行数学其中测试.高三年级组随机调阅了 100 名学生的试卷(满 分为 150 分) ,成绩记录如下: 成绩 3 4 5 6 7 8 9 10 (分) 人数 6 8 10 15 15 35 8 3 求样本平均数和样本方差. 解: x ?

6 ? 3 ? 8 ? 4 ? 10 ? 5 ? 15 ? 6 ? 15 ? 7 ? 35 ? 8 ? 8 ? 9 ? 3 ?10 =6.77 100

s2 ?

1 [6 ? (3 ? x )2 ? 8 ? (4 ? x )2 ? 10 ? (5 ? x ) 2 ? 15 ? (6 ? x ) 2 60

?15 ? (7 ? x )2 ? 35 ? (8 ? x )2 ? 8 ? (9 ? x ) 2 ? 3 ? (10 ? x ) 2 ] =3.1171
6.两台机床同时生产直径为 10 的零件,为了检验产品质量,质量质检员从两台机床的产品 中各抽取 4 件进行测量,结果如下: 机床甲 10 9.8 10 10.2 机床乙 10.1 10 9.9 10 如果你是质量检测员, 在收集到上述数据后, 你将通过怎样的运算来判断哪台机床生产的零 件质量更符合要求. 解:先考虑各自的平均数:设机床甲的平均数、方差分别为 x1、s1 ;机床乙的平均数、方差 分别为 x2、s2 .
2 2

x1 ?

10 ? 9.8 ? 10 ? 10.2 10.1 ? 10 ? 9.9 ? 10 ? 10 , x2 ? ? 10 4 4

∴两者平均数相同,再考虑各自的方差:

1 s12 ? [(10 ? 10)2 ? (9.8 ? 10)2 ? (10 ? 10)2 ? (10.2 ? 10)2 ] ? 0.02 4 1 2 s2 ? [(10 ? 10)2 ? (10.1 ? 10)2 ? (10 ? 10)2 ? (9.9 ? 10)2 ] ? 0.005 4
∵ s1 ? s2 ,∴机床乙的零件质量更符合要求.
2 2

第 4 课 案例分析

【考点导读】 1.会作两个有关联变量数据的散点图,并利用散点图直观认识变量间的相关关系. 2.知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程. 3.了解独立性检验的基本思想、方法及其初步应用,了解回归与分析的基本思想、方法及其 初步应用.

【基础练习】

? ? 0.7 x ? 0.1 1.根据下表中的数据:可求出与的线性回归方程是 y
x y -1 -1 0 0 1 1 2 1
( x , y)

? ? bx ? a 表示的直线必经过的一个定点是 2.线性回归方程 y

3.设有一个直线回归方程为 y ? 2 ? 1.5 x ,则变量 x 增加一个单位时 ③ . ① y 平均增加 1.5 个单位 ② y 平均增加 2 个单位 ③ y 平均减少 1.5 个单位 ④ y 平均减少 2 个单位 4.对于给定的两个变量的统计数据,下列说法正确的是 ③ . ①都可以分析出两个变量的关系 ②都可以用一条直线近似地表示两者的关系 ③都可以作出散点图 ④都可以用确定的表达式表示两者的关系 5.对于两个变量之间的相关系数,下列说法中正确的是 ③ . ①|r|越大,相关程度越大 ②|r| ? ? 0, ?? ? ,|r|越大,相关程度越小,|r|越小,相关程度越大 ③|r| ? 1 且|r|越接近于 1,相关程度越大;|r|越接近于 0,相关程度越小 【范例解析】 例 1. 在对人们的休闲方式的一次调查中, 共调查了 124 人, 其中女性 70 人, 男性 54 人. 女 性中有 43 人主要的休闲方式是看电视,另外 27 人主要的休闲方式是运动;男性中有 21 人 主要的休闲方式是看电视,另外 33 人主要的休闲方式是运动. (1)根据以上数据建立一个 2× 2 的列联表; (2)判断性别与休闲方式是否有关系. 解: (1)2× 2 的列联表 性别 休闲方式 女 男 总计 看电视 43 21 64 运动 27 33 60 总计 70 54 124

?

?

(2)假设“休闲方式与性别无关” 计算 ? 2 ?

124 ? (43 ? 33 ? 27 ? 21)2 ? 6.201 70 ? 54 ? 64 ? 60

因为 ? 2 ? 5.024 ,所以有理由认为假设“休闲方式与性别无关”是不合理的, 即有 97.5%的把握认为“休闲方式与性别有关”. 点评 对两个变量相关性的研究,可先计算 ? 的值,并根据临界表进行估计与判断.
2

例 3. 一个车间为了为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了 10

次实验,测得如下数据: 零件数 x (个) 加工时间 y(分) 10 62 20 68 30 75 40 81 50 89 60 95 70 102 80 108 90 115 100 122

(1) y 与 x 是否具有线性相关关系? (2) 如果 y 与 x 具有线性相关关系,求回归直线方程; (3) 据此估计加工 200 个零件所用时间为多少? 解: (1) r ? 0.998. 查表可得 0.05 和 n-2 相关系数临界 r0.05 ? 0.632 , 由 r ? r0.05 知 y 与 x 具有线性相关关系.

y ? 0.668 x ? 54.96 (2)回归直线方程为 ?
(3)估计加工 200 个零件所用时间 189 分. 【反馈演练】 1.下列两个变量之间的关系不是函数关系的是 ④ . ①角度与它的余弦值 ②正方形的边长与面积 ③正 n 边形的边数和顶点角度之和 ④人的年龄与身高 2.为了考察两个变量 x 和 y 之间的线性相关性,甲、乙两个同学各自独立的做 10 次和 15 次试验,并且 利用线性回归方法,求得回归直线分布为 l1 和 l 2 ,已知在两人的试验中发现对变量 x 的观察 数据的平均值 恰好相等都为 s,对变量 y 的观察数据的平均值恰好相等都为 t,那么下列说法正确的是 ① . ①直线 l1 和 l 2 有交点(s,t) ②直线 l1 和 l 2 相交,但是交点未必是(s,t) ③ 直线 l1 和 l 2 平行 ④ 直线 l1 和 l 2 必定重合 3.下列两个变量之间的关系是相关关系的是 ④ . ①正方体的棱长和体积 ②单位圆中角的度数和所对弧长 ③单产为常数时,土地面积和总产量 ④日照时间与水稻的亩产量 4.对于回归方程 y=4.75x+257,当 x=28 时,y 的估计值为 390 . 5.某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况,具体数据如下表: 非统计专业 性别 男 女 专业 13 7 10 20 统计专业

为了判断主修统计专业是否与性别有关系,根据 表中的数据,得到 ? 2 ?
50 ? (13 ? 20 ? 10 ? 7)2 ? 4.844 ,因为 ? 2 ? 3.841 ,所以判定主修统计专 23 ? 27 ? 20 ? 30

业与性别有关系,那么这种判断出错的可能性为

5%

.

6.为了研究失重情况下男女飞行员晕飞船的情况,抽取了 89 名被试者,他们的晕船情况汇 总如下表, 根据独立性假设检验的方法, 容易晕船(填能或不能) 男性 晕机 23 不晕机 32 合计 55 不能 认为在失重情况下男性比女性更

9 25 34 女性 32 57 89 合计 7.打鼾不仅影响别人休息, 而且可能与患某种疾病有关, 下表是一次调查所得的数据, 试问: 每一晚都打鼾与患心脏病有关吗? 患心脏病 未患心脏病 合计 30 224 254 每一晚都打鼾 24 1355 1379 不打鼾 54 1579 1633 合计 解:提出假设 H0:打鼾与患心脏病无关,根据数据得

1633 ? (30 ?1355 ? 24 ? 224) 2 ? ? ? 68.03. 当 H0 成立时,? 2 ? 6.635 的概率为 1%,而 54 ?1579 ? 254 ?1379
2

这时

? 2 ? 68.03 ? 6.635, 所以我们有 99%的把握认为打鼾与患心脏病有关.
第 5 课 古典概型
【考点导读】 1.在具体情境中, 了解随机事件发生的不确定性及频率的稳定性, 进一步了解概率的意义以 及概率与频率的区别. 2.正确理解古典概型的两大特点:1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;2)每个 基本事件出现的可能性相等. 【基础练习】 1. 某射手在同一条件下进行射击,结果如下表所示: 射击次数 n 击中靶心次数 m 击中靶心的频率 10 8 20 19 50 44 100 92 200 178 500 455

m n

(1)填写表中击中靶心的频率; (2)这个射手射击一次,击中靶心的概率约是什么? 分析:事件 A 出现的频数 nA 与试验次数 n 的比值即为事件 A 的频率,当事件 A 发生的频 率 fn(A)稳定在某个常数上时,这个常数即为事件 A 的概率. 解: (1)表中依次填入的数据为:0.80,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91. (2)由于频率稳定在常数 0.89,所以这个射手击一次,击中靶心的概率约是 0.89. 点评 概率实际上是频率的科学抽象,求某事件的概率可以通过求该事件的频率而得之. 2.将一枚硬币向上抛掷 10 次,其中正面向上恰有 5 次是 随机 事件 (必然、随机、不可 能) 3.下列说法正确的是 ③ . ①任一事件的概率总在(0.1)内 ②不可能事件的概率不一定为 0 ③必然事件的概率一定为 1 ④以上均不对 4.一枚硬币连掷 3 次,只有一次出现正面的概率是

3 8

5. 从分别写有 A、B、C、D、E 的 5 张卡片中,任取 2 张,这 2 张卡片上的字母恰好是按字

母顺序相邻的概率为 【范例解析】

2 5

例 1. 连续掷 3 枚硬币,观察落地后这 3 枚硬币出现正面还是反面. (1)写出这个试验的基本事件; (2)求这个试验的基本事件的总数; (3) “恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几个基本事件? 解: (1)这个试验的基本事件Ω ={(正,正,正) , (正,正,反) , (正,反,正) , (正, 反,反) , (反,正,正) , (反,正,反) , (反,反,正) , (反,反,反)}; (2)基本事件的总数是 8. (3) “恰有两枚正面向上”包含以下 3 个基本事件: (正,正,反) , (正,反,正) , (反, 正,正). 点评 一次试验中所有可能的结果都是随机事件,这类随机事件称为基本事件.

例 2. 抛掷两颗骰子,求: (1)点数之和出现 7 点的概率; (2)出现两个 4 点的概率. 解:作图,从下图中容易看出基本事件空间与点集 S={(x,y)|x∈N,y∈N,1≤x≤6,1 ≤y≤6}中的元 素一一对应.因为 S 中点的总数是 6×6=36(个) ,所以基本事件总数 n=36.
y 6 5 4 3 2 1 O 1 2 3 4 5 6 x

(1)记“点数之和出现 7 点”的事件为 A,从图中可看到事件 A 包含的基本事件数共 6 个: (6,1) , (5,2) , (4,3) , (3,4) , (2,5) , (1,6) ,所以 P(A)=

6 1 ? . 36 6

(2)记“出现两个 4 点”的事件为 B,则从图中可看到事件 B 包含的基本事件数只有 1 个: (4,4).所以 P(B)=

1 . 36

点评 在古典概型下求 P ( A ) ,关键要找出 A 所包含的基本事件个数然后套用公式

P( A) ?

事件A包含基本事件的个数m 基本事件的总数n

变题 .在一次口试中,考生要从 5 道题中随机抽取 3 道进行回答,答对其中 2 道题为优秀, 答对其中 1 道题为及格,某考生能答对 5 道题中的 2 道题,试求: (1)他获得优秀的概率为多少;

(2)他获得及格及及格以上的概率为多少; 点拨:这是一道古典概率问题,须用枚举法列出基本事件数. 解:设这 5 道题的题号分别为 1,2,3,4,5,则从这 5 道题中任取 3 道回答,有(1,2,3) , (1,2,4) , (1,2,5) , (1,3,4) , (1,3,5) , (1,4,5) , (2,3,4),(2,3,5) , (2,4,5) , (3,4,5)共 10 个基本事件.

3 (1)记“获得优秀”为事件 A,则随机事件 A 中包含的基本事件个数为 3,故 P( A) ? . 10 (2)记“获得及格及及格以上”为事件 B,则随机事件 B 中包含的基本事件个数为 9,故
9 . 10 点评:使用枚举法要注意排列的方法,做到不漏不重. 例 3. 从含有两件正品 a1,a2 和一件次品 b1 的三件产品中,每次任取一件,每次取出后不放 回,连续取两 次,求取出的两件产品中恰有一件次品的概率. 解:每次取出一个,取后不放回地连续取两次,其一切可能的结果组成的基本事件有 6 个, 即(a1,a2) , (a1,b2) , (a2,a1) , (a2,b1) , (b1,a1) , (b2,a2).其中小括号内左边的字母 表示第 1 次取出的产品, 右边的字母表示第 2 次取出的产用 A 表示“取出的两种中,恰好有一件次品”这一事件,则 A=[(a1,b1) , (a2,b1) , (b1,a1) , (b1,a2)] 事件 A 由 4 个基本事件组成,因而,P(A) P( B) ?
=

4 2 = 6 3

【反馈演练】 1.某人进行打靶练习,共射击 10 次,其中有 2 次中 10 环,有 3 次环中 9 环,有 4 次中 8 环, 有 1 次未中靶,试计算此人中靶的概率,假设此人射击 1 次,试问中靶的概率约为 0.9 中 10 环的概率约为 0.2 . 分析:中靶的频数为 9,试验次数为 10,所以中靶的频率为

9 =0.9,所以中靶的概率约为 10

0.9. 解:此人中靶的概率约为 0.9;此人射击 1 次,中靶的概率为 0.9;中 10 环的概率约为 0.2. 2.一栋楼房有 4 个单元, 甲乙两人被分配住进该楼, 则他们同住一单元的概率是 0.25 . 3. 在第 1,3,6,8,16 路公共汽车都要停靠的一个站(假定这个站只能停靠一辆汽车) ,有一 位乘客等候第 6 路或第 16 路汽车.假定当时各路汽车首先到站的可能性相等, 则首先到站正好是这位乘客所 需乘的汽车的 概率等于

2 5

4.把三枚硬币一起抛出,出现 2 枚正面向上,一枚反面向上的概率是

3 8 3 10

5.有 5 根细木棒,长度分别为 1,3 ,5 ,7 ,9,从中任取三根,能搭成三角形的概率是 6. 从 1,2,3,?,9 这 9 个数字中任取 2 个数字,

(1)2 个数字都是奇数的概率为 (2)2 个数字之和为偶数的概率为

5 18 4 9

7. 某小组共有 10 名学生,其中女生 3 名,现选举 2 名代表,至少有 1 名女生当选的概率为

8 15
8. A、B、C、D、E 排成一排,A 在 B 的右边(A、B 可以不相邻)的概率是

1 2

9.在大小相同的 5 个球中,2 个是红球,3 个是白球,若从中任取 2 个,则所取的 2 个球中 至少有一个红球的概率是

7 10

10. 用红、黄、蓝三种不同颜色给下图中 3 个矩形随机涂色,每个矩形只涂一种颜色,求:

(1)3 个矩形颜色都相同的概率; (2)3 个矩形颜色都不同的概率. 解:所有可能的基本事件共有 27 个,如图所示.
红 红黄 蓝 红 红 黄黄 蓝 红 蓝黄 蓝 红 红 红黄 红黄 蓝 蓝 红 红 黄 黄黄 蓝 黄黄 蓝 蓝 红 红 蓝黄 蓝黄 蓝 蓝

(1)记“3 个矩形都涂同一颜色”为事件 A,由图知,事件 A 的基本事件有 1×3=3 个,故 P(A)=

3 1 ? . 27 9 6 2 ? . 27 9

(2)记“3 个矩形颜色都不同”为事件 B,由图可知,事件 B 的基本事件有 2×3=6 个,故 P(B)=

11. 甲、乙两个均匀的正方体玩具,各个面上分别刻有 1,2,3,4,5,6 六个数字,将这 两个玩具同时 掷一次. (1)若甲上的数字为十位数,乙上的数字为个位数,问可以组成多少个不同的数,其中个 位数字与十位数字均相同的数字的概率是多少? (2)两个玩具的数字之和共有多少种不同结果?其中数字之和为 12 的有多少种情况?数字 之和为 6 的共有多少种情况?分别计算这两种情况的概率. 解: (1)甲有 6 种不同的结果,乙也有 6 种不同的结果,故基本事件总数为 6×6=36 个.其 中十位数字共有 6 种不同的结果,若十位数字与个位数字相同,十位数字确定后,个位数字 也即确定.故共有 6×1=6 种不同的结果,即概率为
6 1 ? . 36 6

(2)两个玩具的数字之和共有 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 共 11 种不同结果. 从中可以看出, 出现 12 的只有一种情况, 概率为
1 .出现数字之和为 6 的共有(1,5) , ( 2, 36

4) , (3,3) , (4,2) , (5,1)五种情况,所以其概率为

5 . 36

12.现有一批产品共有 10 件,其中 8 件为正品,2 件为次品: (1)如果从中取出一件,然后放回,再取一件,求连续 3 次取出的都是正品的概率; (2)如果从中一次取 3 件,求 3 件都是正品的概率. 解: (1)有放回地抽取 3 次,按抽取顺序(x,y,z)记录结果,则 x,y,z 都有 10 种可能,所 以试验结果有 3 3 10×10×10=10 种;设事件 A 为“连续 3 次都取正品” ,则包含的基本事件共有 8×8×8=8 种, 因此,P(A)=

83 =0.512. 10 3

(2)可以看作不放回抽样 3 次,顺序不同,基本事件不同,按抽取顺序记录(x,y,z) ,则 x 有 10 种可能,y 有 9 种可能,z 有 8 种可能,所以试验的所有结果为 10×9×8=720 种.设 事件 B 为“3 件都是正品” ,则事件 B 包含的基本事件总数为 8×7×6=336, 所以 P(B)=

336 7 ? . 720 15

第 6 课几何概型
【考点导读】 1.了解几何概型的基本特点. 2.会进行简单的几何概率的计算. 【基础练习】 1.在 500ml 的水中有一个草履虫,现从中随机取出 2ml 水样放到显微镜下观察,则发现草 履虫的概率是 0.004 2. 取一根长度为 3 m 的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不小于 1 m 的 1 概率是 3 3. 在 1 万 km 的海域中有 40 km 的大陆架贮藏着石油,假如在海域中任意一点钻探,钻到 油层面的概率 1 是 250 4. 如下图,在一个边长为 3 cm 的正方形内部画一个边长为 2 cm 的正方形,向大正方形内 4 随机投点,则所投的点落入小正方形内的概率是 . 9
y A T
2 2

O5 题) (第

x

2 cm

3 cm
(第 4 题) 5. 如下图,在直角坐标系内,射线 OT 落在 60°的终边上,任作一条射线 OA,则射线落在 1 ∠xOT 内的概率是 . 6 【范例解析】 例 1. 在等腰 Rt△ABC 中, (1)在斜边 AB 上任取一点 M,求 AM 的长小于 AC 的长的概率. (2)过直角顶点 C 在 ?ACB 内作一条射线 CM,与线段 AB 交于点 M,求 AM<AC 的概率. 解: (1)在 AB 上截取 AC′ =AC,于是 P( AM< AC) =P( AM< AC ? ) =
C

AC ? AC 2 . ? ? AB AB 2

C

B
A M C' B

A

M

(2)

(1) (2) 在 AB 上截取 AC′ =AC, ?ACC ?
'

1800 ? 450 ? 67.50 2

? 于是 P ( AM< AC)

67.50 3 ? 900 4

点评 (1)对于几何概型中的背景相同的问题,当等可能的角度不同时,其概率是不一样 的(2)在利用几何概率公式计算概率时,必须注意 d 与 D 的测度单位的统一. 例 2.平面上画了一些彼此相距 2a 的平行线,把一枚半径 r<a 的硬币任意掷在这个平面上, 求硬币不与任何一条平行线相碰的概率. 解:把“硬币不与任一条平行线相碰”的事件记为事件 A,为了确定硬币的位置,由硬币 中心 O 向靠得最近的平行线引垂线 OM,垂足为 M,如图所示,这样线段 OM 长度(记作 OM) 的取值范围就是[o,a], 只有当 r<OM≤a 时硬币不与平行线相碰, 所以所求事件 A 的概率就

( r , a ] 的长度
是 P(A)= =

[0, a ] 的长度

a?r a
2a r

M

o

例 3.将长为 l 的棒随机折成 3 段,求 3 段构成三角形的概率. 解:设 A=“3 段构成三角形” ,x,y 分别表示其中两段的长度,则第 3 段的长度为 l ? x ? y .

则实验的全部结果可构成集合 ? ? ( x, y ) 0 ? x ? l , 0 ? y ? l , 0 ? x ? y ? l ,要使 3 段构 成三角形,当且仅当任意两段之和大于第三段,故所求结果构成的集合

?

?

? 1 l A ? ?? x, y ? x ? y ? , y ? , x ? 2 2 ?

l? ? 2?
2

l

1 ?l? ? ? SA 2 ? 1 2 ? ?2 ? ? 所求的概率为 P ( A) ? l S? 4 2

0

l

点评 用几何概型解题的一般步骤是: (1)适当选择观察角度; (2)把基本事件转化为与 之相应的区域; (3)把事件 A 转化为与之对应的区域; (4)利用概率公式计算. 【反馈演练】 1. 两根相距 6 m 的木杆上系一根绳子,并在绳子上挂一盏灯,则灯与两端距离都大于 2 m 1 的概率是 3 2.若 x 可以在 x ? 1 ? 3 的条件下任意取值,则 x 是负数的概率是 2/3 .

3.在区间 ? ?1, ?1? 上任取两实数 a,b,则二次方程 x2+2ax+b2=0 的两根都为实数的概率 1/2 . 4. 如下图,在一个边长为 a,b(a>b>0)的矩形内画一个梯形,梯形上、下底分别为 a 与

1 3

1 a ,高为 b,向该矩形内随机投一点,则所投的点落在梯形内部的概率为 2
1a 3

b 1a 2

5 12

a

8. 一个路口的红绿灯,红灯的时间为 30 秒,黄灯的时间为 5 秒,绿灯的时间为 40 秒,当你到达 路口时看见下列三种情况的概率各是多少? (1) 红灯 (2) 黄灯 (3) 不是红灯 解:总的时间长度为 30 ? 5 ? 40 ? 75 秒,设红灯为事件 A ,黄灯为事件 B , (1)出现红灯的概率 P( A) ?

构成事件A的时间长度 30 2 ? ? 总的时间长度 75 5 构成事件B的时间长度 5 1 ? ? 总的时间长度 75 15

(2)出现黄灯的概率 P( B) ?

(3)不是红灯的概率 P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ?

2 3 ? 5 5

9. 一海豚在水池中自由游弋,水池为长 30 m,宽 20 m 的长方形,求海豚嘴尖离岸边不超 过 2 m 的概率. 解:对于几何概型,关键是要构造出随机事件对应的几何图形,利用图形的几何度量来求 随机事件的概率.如下图,区域Ω 是长 30 m、宽 20 m 的长方形.图中阴影部分表示事件 A: “海豚嘴尖离岸边不超过 2 m” , 问题可以理解为求海豚嘴尖出现在下图中阴影部分的概率. 由于区域Ω 的面积为 30×20=600(m2) ,阴影 A 的面积为 30×20-26×16=184(m2) .∴P(A)=

184 23 . ? 600 75

3 0m

2 0m 2m

第 7 课 互斥事件及其概率
【考点导读】 1.了解互斥事件及对立事件的概念,能判断某两个事件是否是互斥事件,进而判断它们是否 是对立. 2.了解互斥事件概率的加法公式,了解对立事件概率之和为 1 的结论,会利用相关公式进行 简单的概率计算. 【基础练习】 1.两个事件互斥是这两个事件对立的 必要不充分 条件(充分不必要、必要不充分、充要 条件、既不充分 也不必要) 2.从装有 2 个红球和 2 个白球的口袋内任取 2 个球, 那么互斥而不对立的两个事件是 ③ . ①至少有 1 个白球,都是红球 ②至少有 1 个白球,至多有 1 个红球 ③恰有 1 个白球,恰有 2 个白球 ④至多有 1 个白球,都是红球 3. 从 12 个同类产品 (其中 10 个是正品,2 个是次品) 中任意抽取 3 个的必然事件是 ④ . ① 3 个都是正品 品 4.从一批羽毛球产品中任取一个,质量小于 4.8 g 的概率是 0.3,质量不小于 4.85 g 的概率是 0.32 , 那 么 质 量 在 [ 4.8 , 4.85 ) g 范 围 内 的 概 率 是 0.38 . 5.甲、乙两人下棋,甲获胜的概率是 40%,甲不输的概率为 90%,则甲、乙二人下成和棋的 概率为 50% . 【范例解析】 ②至少有 1 个是次品 ③ 3 个都是次品 ④至少有1 个是正

例 1.从一堆产品(其中正品与次品都多于 2 件)中任取 2 件,观察正品件数与次品件数, 判断下列每件事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件. (1)恰好有 1 件次品恰好有 2 件次品; (2)至少有 1 件次品和全是次品; (3)至少有 1 件正品和至少有 1 件次品; (4)至少有 1 件次品和全是正品. 解:依据互斥事件的定义,即事件 A 与事件 B 在一定试验中不会同时发生知: (1)恰好有 1 件次品和恰好有 2 件次品不可能同时发生,因此它们是互斥事件,但它们不是对立事件, 同理可以判断: (2) (3)中的 2 个事件不是互斥事件,也不是对立事件.(4)中的 2 个事件 既是互斥事件也是对立事件 点评 解决此类问题,应结合互斥事件和对立事件的定义. 例 2.某射手在一次射击训练中,射中 10 环、9 环、8 环、7 环的概率分别为 0.21,0.23, 0.25,0.28,计算该射手在一次射击中: (1)射中 10 环或 9 环的概率; (2)少于 7 环的概率. 解: (1)该射手射中 10 环与射中 9 环的概率是射中 10 环的概率与射中 9 环的概率的和, 即为 P=0.21+0.23=0.44. ( 2 )射中不少于 7 环的概率恰为射中 10 环、 9 环、 8 环、 7 环的概率的和,即为 0.21+0.23+0.25+0.28=0.97, 而射中少于 7 环的事件与射中不少于 7 环的事件为对立事件, 所 以射中少于 7 环的概率为 P=1-0.97=0.03. 例 3 一盒中装有各色小球共 12 只,其中 5 个红球、4 个黑球、2 个白球、1 个绿球.现从 中随机取出 1 球,求: (1) 取出 1 球是红球或黑球的概率; (2) 取出 1 球是红球或黑球或白球的概率. 解:记事件 A1={任取一球为红球},A2={任取一球为黑球},A3={任取一球为白球}, A4={任

5 4 2 1 , P( A2 ) ? , P( A3 ) ? , P( A4 ) ? 12 12 12 12 5 4 3 (1) P ? A1 ? A2 ? ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? ? ? 12 12 4 11 (2) P ? A1 ? A2 ? A3 ? ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? P( A3 ) ? 12 1 11 (或 P ? A1 ? A2 ? A3 ? ? 1 ? P( A4 ) ? 1 ? ? ) 12 12
取一球为绿球},则 P( A1 ) ? 点评 (1)解决此类问题,首先应结合互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件和 对立事件,再决定用哪一个公式 (2)要注意分类讨论和等价转化数学思想的运用. 【反馈演练】 1. 一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件?哪些是对立事件? 事件 A:命中环数大于 7 环; 事件 B:命中环数为 10 环; 事件 C:命中环数小于 6 环; 事件 D:命中环数为 6、7、8、9、10 环. 分析:要判断所给事件是对立还是互斥,首先将两个概念的联系与区别弄清楚,互斥事件 是指不可能同时发生的两事件,而对立事件是建立在互斥事件的基础上,两个事件中一个 不发生,另一个必发生. 解:A 与 C 互斥(不可能同时发生) ,B 与 C 互斥,C 与 D 互斥,C 与 D 是对立事件(至

少一个发生) 2.从三件正品、一件次品中随机取出两件,则取出的产品全是正品的概率是

1 2

3. 某产品分为甲、 乙、 丙三级, 其中乙、 丙两级均属次品, 若生产中出现乙级品的概率为 0.03 , 出现丙级品的概率为 0.01 ,则对产品抽查一次抽得正品的概率是 0.96 . 4.甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是

1 1 5 ,乙获胜的概率是 ,则 是 2 3 6
③甲胜的概率



.

①乙获胜的概率 ②乙不输的概率 5.如果事件 A,B 互斥,那么 ② . ① A ? B 是必然事件 ② A ? B 是必然事件

④甲不输的概率

③ A与B 互斥

④ A与B 独立

6. 在所有的两位数中,任取一个数,则这个数能被 2 或 3 整除的概率是

2 3

7.一个口袋内装有大小相同的红、蓝球各一个,采取有放回地每次摸出一个球并记下颜色为 一次实验,实验共进行 3 次,则至少摸到一次红球的概率是

7 8

8.已知盒子中有散落的棋子 15 粒,其中 6 粒是黑子,9 粒是白子,已知从中取出 2 粒都是 黑子的概率是

1 , 7
12 17 ,现从中任意取出 2 粒恰好是同一色的概率是 35 35

从中取出 2 粒都是白子的概率是

9.同室 4 人各写 1 张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿 1 张贺年卡.则至少一人拿到自 己所写贺年卡 的概率为

5 8

10.有三个人,每个人都以相同的可能性被分配到四个房间中的某一间,求: (1)三个人都分配到同一个房间的概率; (2)至少两个人分配到同一个房间的概率. 答案 (1)

1 5 ; (2) . 8 16

11. 袋中有 12 个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,得到红球的概率 为

1 ,得到黑 3 5 5 ,得到黄球或绿球的概率也是 ,试求得到黑球、得到黄球、得到绿 12 12

球或黄球的概率是 球的概率各是 多少?

分析:利用方程的思想及互斥事件、对立事件的概率公式求解. 解:从袋中任取一球,记事件“摸到红球” 、 “摸到黑球” 、 “摸到黄球” 、 “摸到绿球”为 A、 B 、 C 、 D , 则 有 P(B+C)=P(B)+P(C)= P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=1 解得 P(B)=

5 5 1 ; P(C+D)=P(C)+P(D)= ; 又 P(A)= , 3 12 12

1 1 1 ,P(C)= ,P(D)= 6 4 4
1 1 1 、 、 . 4 6 4

答:得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是


2014高中数学复习讲义11:统计与概率

2014高中数学复习讲义11:统计与概率_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 2014高中数学复习讲义11:统计与概率_数学_高中教育_教育专区。...

2012高中数学复习讲义(通用版全套)第十一章 统计与概率

2012 高中数学复习讲义十一统计与概率【知识...估计越精确 10 11 12 13 78 02223666778 ...2014一级建造师考试 一级建造师《建设工程项目管理》...

2014高中数学加强版专题专栏(新人教A版)第11章 统计与概率

2014高中数学加强版专题专栏(新人教A版)第11统计与概率_数学_高中教育_教育专区。2014年最新数学高考真题模拟题2014 高中数学精讲精练 第十一统计与概率 【...

2014高考数学(文)真题解析分类汇编 专题11-概率与统计(原卷版)

2014高考数学(文)真题解析分类汇编 专题11-概率与统计(原卷版)_数学_高中教育_教育专区。本资料来自于资源最齐全的21世纪教育网 www.21cnjy.com 2014 高考数学...

2014高考数学(文)真题解析分类汇编 专题11-概率与统计(解析版)

2014高考数学(文)真题解析分类汇编 专题11-概率与统计(解析版)_高考_高中教育_教育专区。本资料来自于资源最齐全的21世纪教育网 www.21cnjy.com 2014 高考数学(...

2014年高考文科数学试题分类汇编11:概率与统计

2014高考文科数学试题分类汇编11:概率与统计_高考_高中教育_教育专区。2014 年全国各地高考文科数学试题分类汇编 11:概率与统计 一、选择题 1 错误!未指定书签。...

2014年全国高考理科数学试题分类汇编11:概率与统计_有答案

2014年全国高考理科数学试题分类汇编11:概率与统计_有...根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布...2014高考数学一轮复习模... 293页 免费 2013年全国...

2014年各地经典题目高考数学专题训练11概率与统计(选择题)

2014年各地经典题目高考数学专题训练11概率与统计(选择题)_高考_高中教育_教育专区。2014年各地经典题目高考数学专题训练全国名校高考数学专题训练 11 概率与统计(选择...

2014高二专题复习概率统计

2014高二专题复习概率统计_高二数学_数学_高中教育_教育专区。专题复习:概率与统计...11 67 77 12 93 82 13 64 48 14 78 85 15 77 69 16 90 91 17 57 ...

2014高考数学总复习(人教新课标理科)课时作业82 第10章 统计与概率11 Word版含解析]

2014高考数学总复习(人教新课标理科)课时作业82 第10章 统计与概率11 Word版含解析]_高中教育_教育专区。2014高考数学总复习(人教新课标理科)课时作业82 第10章 ...