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浦东新区2013学年度第一学期期末质量测试高二数学


浦东新区 2013 学年度第一学期期末质量测试 高二数学
(答题时间:90 分钟
一 题 号 1~12 得 分 13~16 17 18 19 20 21 二

试卷满分:100 分)
三 总分

得分

评卷人

一、填空题(本大题满分 36 分)本大题共有 12 题,只

要求直接填写结 果,每个空格填对得 3 分,否则一律得零分.

1. 1 和 4 的等比中项是

.

2.向量 a ? ? ?2, k ? , b ? ?1, 3? ,若 a ⊥ b ,则实数 k ? 3. 已知 AB ? ? ?2, 4 ? ,则 AB ?

?

?

?

?

.

??? ? ?

??? ?

. .

4.向量 a ? ? 3, ? 4 ? ,则与 a 同向的单位向量是

?

3
5.三阶行列式 1

5 ?2 3 中,元素 1 的代数余子式的值是 7
?

4 ?6 0

.

6.数列 ?an ? 中,若 Sn ? n2 ? 2 , n ? N ,则 an ? 7.根据右图所示的程序框图,输出结果 i ? .

.

?a1 ? 1 , ? 8.数列 ?an ? 中, ? 则 an ? an ?1 a ? , n ? 2 . ? ? n ? an ?1 ? 1 ?
9.非零向量 a ? ? x1 ,

.

?

? ? ? x y y1 ?, b ? ? x2 , y2 ? ,则“ 1 ? 1 ”是“ a ∥ b ”的 x2 y2

条件.

— 1 —

10.2013 年 12 月初,上海遭遇最严重的雾霾天气,空气质量持续重度污染.某教室安装新型 空气净化器,每小时可将 PM 2.5 含量降低 12% .该净化器连续工作 (结果保留整数) PM 2.5 从 337 降到 170 以下. 11.对任意的实数 x , y ,矩阵运算 ? ? 小时,可将

? a b ?? x ? ? y ? ?a b ? ? ? ? ? 都成立,则 ? ?? ? ? ? ? ? ?c d ? ?? ? c d ?? y ? ? x ? ? ?

.

12.若数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an ? an?1 ? ? ? ,设 Sn ? a1 ? 4a2 ? 42 a3 ???? ? 4n?1 an ,

?1? ? 4?

n

? n ? N ? ,类比课本中推导等比数列前 n 项和公式的方法,可求得 5S
?

n

? 4n an ?

.

得分

评卷人

二、选择题(本大题满分 16 分)本大题共有 4 题,每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,每题答对 得 4 分,否则一律得零分.

13.等边 ?ABC 中,向量 AB, AC 的夹角为?????????????????( A.

??? ?

??? ?



? 6

B.

? 3

C.

? 2

D.

2? 3

14.已知等比数列 ?an ? ,它的前 3 项为 1, 2, 4 ,前 n 项和为 Sn ,则使得 Sn ? 127 的 n 的值 是????????????????????????????????? ( A. 7 B. 6 C. 5
n



D. 4

15.用数学归纳法证明“ ? n ?1?? n ? 2? ? ...... ? ? n ? n ?1?? n ? n? ? 2 ?1? 3 ? 5 ? ..... ? ? 2n ?1? ,

? n ? N ? ”时,从“ n ? k ”到“ n ? k ? 1 ”左边需要添加的代数式为??????(
?



A.

2k ? 1 k ?1

B.

2k ? 3 k ?1

C. 2 k ? 1

D. 2 ? 2k ?1? )

16. 下列命题正确的是??????????????????????????? ( A. 0 ? a ? 0 C.若 a ? b ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0

?

B.若 a ? b ,则 a ?b ? a ?b

?

?

? ?

? ?

? ?

?

?

? ?

D.若 a ? b ,则 a ? b 或 a ? ?b

?

?

?

?

?

?

— 2 —

三、解答题(本大题满分 48 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须写出必要的步骤.

得分

评卷人

17. (本题满分 8 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 4 分)

? ? ? ? 2? b ? 4, a , b 的夹角为 . 3 ? ? ? ? ? (1)求 a ? b 的值; (2)求 2 a ? b 的大小.
已知向量 a ? 2,

? ?

得分

评卷人

18. (本题满分 8 分)

用行列式解关于 x、 y 的方程组: ?

?ax ? y ? a ? 1, ? x ? ay ? 2a.

? a ? R? ,并对解的情况进行讨论.

— 3 —

得分

评卷人

19. (本题满分 8 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 4 分)

已知直角坐标平面中, O 为坐标原点, A? ?1, 1? ,

B ?3, 4? .

(1)求 ?AOB 的大小(结果用反三角函数值表示) ; (2)设点 P 为 x 轴上一点,求 AP ? PB 的最大值及取得最大值时点 P 的坐标.

??? ? ??? ?

— 4 —

得分

评卷人

20. (本题满分 10 分,第 1 小题 5 分,第 2 小题 5 分)

已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , S n ? 1 ? t an (1)求证:数列 ?an ? 是等比数列; (2)若 lim S n ? 1 ,求实数 t 的取值范围.
n ??

? t ? 1且 t ? 0,

n? N?? .

— 5 —

得分

评卷人

21. (本题满分 14 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 5 分,第 3 小题 5 分)

平面直角坐标系中, O 为原点,射线 OA 与 x 轴正半轴重合,射线 OB 是第一象限角平分 线. 在 OA 上有点列 A 在 OB 上有点列 B1 , B2 , B3 , ??? , 已 Bn , ??? , ??? . 1, A 2, A 3 , ???, An , 知 OAn ?1 ?

??????

? ???? 4 ???? OAn , A1 ?5, 0? , OB1 ? 2, 5

?????? ???? ? OBn?1 ? OBn ? 2 .

(1)求点 A2 , B1 的坐标; (2)求 OAn , OBn 的坐标; (3)求 ?AnOBn 面积的最大值,并说明理由.

???? ?

???? ?

— 6 —

浦东新区 2013 学年度第一学期期末质量抽测 高二数学答案(2014 年 1 月)
一、填空题(每题 3 分,满分 36 分) 1. ?2 ; 2.

2 ; 3. 2 5 ; 3

4. ?

4? ?3 , ? ? ; 5. ?35 ; 5? ?4

6. ?

? ?1, n ? 1, ; ?2n ? 1, n ? 2.

7. 8 ;

8.

?0 1? 1 , ? n ? N ? ? ; 9.充分不必要; 10. 12 ; 11. ? ? ; 12. n . n ?1 0?

二、选择题(每题 4 分,共 16 分) 13.D; 14.C; 15.B; 16.B.

三、解答题(满分 48 分) 17. (本题满分 8 分) 解: (1) a ? b ? 2 ? 4 ? ? ? (2) 2 a ? b

? ?

? 1? ? ? ?4 . ? 2?

????????4 分

? ? ?

2

? ? ? 2a ? b

?

?

2

?2 ? ? ?2 ? 4a ? 4 a ? b ? b

????????6 分 ????????7 分 ????????8 分

? 4 ? 4 ? 4 ? ? ?4? ?16 ? 48 ,


? ? ? 2a ? b ? 4 3 .

18. (本题满分 8 分) 解: D ?

a 1 a ?1 1 ? a 2 ? 1 ? ? a ? 1?? a ? 1? , Dx ? ? a 2 ? a ? a ? a ? 1? , 1 a 2a a a a ?1 ? 2a 2 ? a ? 1 ? ? 2a ? 1?? a ? 1? , 1 2a
????????3 分

Dy ?

a ? x? , ? ? a ?1 (1)当 a ? ?1 时, D ? 0 ,方程组有唯一解, ? ? y ? 2a ? 1 . ? a ?1 ?

????????5 分

— 7 —

(2)当 a ? ?1 时, D ? 0, Dx ? 0 ,方程组无解; (3)当 a ? 1 时, D ? Dx ? Dy ? 0 ,方程组有无穷多组解, ? 19. (本题满分 8 分) 解: (1) OA ? ? ?1, 1? , OB ? ? 3, 4 ? ,

????????6 分

? x ? t, ? t ? R ? .?8 分 ? y ? 2 ? t.

??? ?

??? ?

????????1 分 ????????3 分

??? ? ??? ? OA? OB 1 2 , cos ?AOB ? ??? ? ? ??? ? ? 2 ? 5 10 OA OB

?AOB ? arccos
(2)设 P ? x, 0? ,

2 . 10 ??? ? ??? ? AP? PB ? ? x ? 1, ? 1? ? ? 3 ? x, 4 ?
2

????????4 分

? ? x ? 1?? 3 ? x ? ? 4 ? ? x 2 ? 2 x ? 1 ? ? ? x ? 1? ,
∴ x ? 1 时, AP ? PB 的最大值为 0 , 此时,点 P 的坐标为 ?1, 0? .

????????6 分 ????????7 分 ????????8 分

??? ? ??? ?

20. (本题满分 10 分) 解: (1)当 n ? 1 时, S1 ? 1 ? t a1 , ?1 ? t ? a1 ? 1 , ∵ t ? 1, ∴ a1 ?

1 ; 1? t

????????1 分

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? ?1 ? tan ? ? ?1? tan?1 ? ? tan ? tan?1 ,

? ?1 ? t ? an ? ?tan ?1 , ? an ?
∵ t ? 0,

t an ?1 , t ?1

????????4 分 ????????5 分 ????????7 分

∴ 数列 ?an ? 是等比数列;

(2)∵ lim S n ? 1 , ∴ 公比 0 ? q ? 1 ,
n ??

— 8 —

?0?

1 t ? 1, t ? t ?1 ? t ? , 2 t ?1

????????9 分

∴ 实数 t 的取值范围是 ? ??, 0 ? ? ? 0,

? ?

1? ?. 2?

????????10 分

21. (本题满分 14 分) 解: (1) OA2 ?

4 ???? 4 OA1 ? ? 5, 0 ? ? ? 4, 0 ? , A2 ? 4, 0? , ????????2 分 5 5 ???? 2 2 设 B1 ? x, x ? , x ? 0 ,由 OB1 ? 2, ? x ? x ? 2 ,

???? ?

? x ?1,

∴ B1 ?1, 1? ;

????????4 分

(2)设 OAn ? ? xn , 0 ? ,则 ? xn ?1 , 0 ? ?

???? ?

4 4 ? xn , 0 ? , ? xn ?1 ? xn , 5 5
????????5 分

? ?xn ? 成等比数列,
4 ?4? x1 ? 5, q ? , xn ? 5 ? ? ? 5 ?5?
n ?1

???? ? ? ? 4 ? n ?1 ? ,∴ OAn ? ? 5 ? ? ? , 0 ? ; ???? 6 分 ? ?5? ? ? ? ???? ? ???? ? 设 OBn ? ? yn , yn ? , yn ? 0 , OBn ? 2 yn , ????????7 分
由 OBn ?1 ? OBn ? 2 ? yn ?1 ? yn ? 1 , ∴

??????

???? ?

? yn ? 是等差数列,
∴ OBn ? ? n, n ? .

????????8 分

yn ? 1? ? n ?1? ? n ,
(3) S?AnOBn ?

???? ?

????????9 分

n ?1 n ? ???? ? 1 ???? ? 1 ?4? 2 25n ? 4 ? OAn OBn sin ? ? 5 ? ? ? ? 2 n ? ? ? ? ? ,??11 分 2 4 2 ?5? 2 8 ?5?

— 9 —

25n ? 4 ? 设 tn ? ?? ? , 8 ?5?
当 n ? 2 时, tn ? tn?1 ?

n

25n ? 4 ? 25 ? n ? 1? ? 4 ? ?? ? ? ?? ? 8 ?5? 8 ?5?
n

n ?1

?

125 ? 4 ? ? ? ? ?5 ? n? , 128 ? 5 ?

n

????????12 分

∴ 1 ? n ? 4 时, ?tn ? 是递增数列, n ? 6 时, ?tn ? 是递减数列,

t1 ? t2 ? t3 ? t4 ? t5 ? t6 ? t7 ? ...... ? tn ? ...... ,


????????13 分 ????????14 分

?S

?An OBn

?

max

? t 4 ? t5 ?

128 . 25

— 10 —


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