nbhkdz.com冰点文库

2015年高中数学作业第8篇 第4讲直线与圆,圆与圆的位置关系

时间:


第4讲

直线与圆、圆与圆的位置关系

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择题 1.直线 y=x+1 与圆 x2+y2=1 的位置关系是 A.相切 C.直线过圆心 解析 法一 B.相交但直线不过圆心 D.相离 ( ).

?y=x+1, 由? 2 2 消去 y, 整理得 x2+x=0, 因为 Δ=12-4×1

×0 ?x +y =1,

=1>0,所以直线与圆相交. 又圆 x2+y2=1 的圆心坐标为(0,0),且 0≠0+1,所以直线不过圆心. 法二 圆 x2+y2=1 的圆心坐标为(0,0),半径长为 1,则圆心到直线 y=x+1 1 2 =2. 2

距离 d=

2 又 0< 2 <1 所以直线 y=x+1 与圆 x2+y2=1 相交但直线不过圆心. 答案 B ( ).

2.圆(x+2)2+y2=4 与圆(x-2)2+(y-1)2=9 的位置关系为 A.内切 C.外切 解析 B.相交 D.相离

两圆圆心分别为(-2,0)和(2,1),半径分别为 2 和 3,圆心距 d= 42+1

= 17.∵3-2<d<3+2,∴两圆相交. 答案 B

3.若直线 x-y+1=0 与圆(x-a)2+y2=2 有公共点,则实数 a 的取值范围是 ( ). B.[-1,3] D.(-∞,-3]∪[1,+∞)

A.[-3,-1] C.[-3,1] 解析

由题意可得,圆的圆心为(a,0),半径为 2,



|a-0+1| ≤ 2,即|a+1|≤2,解得-3≤a≤1. 12+?-1?2 C

答案

4.(2013· 安徽卷)直线 x+2y-5+ 5=0 被圆 x2+y2-2x-4y=0 截得的弦长为 ( A.1 C.4 解析 ). B.2 D.4 6 圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=5, 则圆心(1,2)到直线 x+2y-5+ 5 |1+4-5+ 5| =1, 5

=0 的距离 d=

∴直线 x+2y-5+ 5=0 被圆 x2+y2-2x-4y=0 截得的弦长为 2 ? 5?2-12 =4. 答案 C

5. (2014· 威海期末考试)若直线 y=kx 与圆(x-2)2+y2=1 的两个交点关于直线 2x +y+b=0 对称,则 k,b 的值分别为( 1 A.k=2,b=-4 1 C.k=2,b=4 解析 ). 1 B.k=-2,b=4 1 D.k=-2,b=-4

因为直线 y=kx 与圆(x-2)2+y2=1 的两个交点关于直线 2x+y+b=0

对称,则 y=kx 与直线 2x+y+b=0 垂直,且 2x+y+b=0 过圆心,所以解得 1 k=2,b=-4. 答案 A

二、填空题 6.过点 A(2,4)向圆 x2+y2=4 所引切线的方程为________. 解析 显然 x=2 为所求切线之一;另设直线方程为 y-4=k(x-2),即 kx-y |4-2k| 3 =2,解得 k=4,即 3x-4y+10=0. 2 k +1

+4-2k=0,那么 答案

x=2 或 3x-4y+10=0

?1 ? 7.过点 M?2,1?的直线 l 与圆 C:(x-1)2+y2=4 交于 A,B 两点,C 为圆心, ? ?

当∠ACB 最小时,直线 l 的方程为________. 解析 由题意得,当 CM⊥AB 时,∠ACB 最小, 1 1-2 ? 1? ?x- ?,即 2x-4y+3=0. 0-1? 2?

从而直线方程 y-1=- 答案 2x-4y+3=0

8.(2014· 三门峡二模)两圆相交于两点(1,3)和(m,-1),两圆圆心都在直线 x-y +c=0 上,且 m、c 均为实数,则 m+c=________. 解析 ?1+m ? 根据两圆相交的性质可知,两点(1,3)和(m,-1)的中点? ,1?在直 ? 2 ?

线 x-y+c=0 上,并且过两点的直线与 x-y+c=0 垂直,故有 1+m ? ? 2 -1+c=0, ?3-?-1? ? ? 1-m ×1=-1, 答案 3

∴m=5,c=-2,∴m+c=3.

三、解答题 9.求过两圆 x2+y2+4x+y=-1,x2+y2+2x+2y+1=0 的交点的圆中面积最小 的圆的方程. 解
2 2 ?x +y +4x+y=-1, 由? 2 2 ?x +y +2x+2y+1=0,

① ②

1 ①-②得 2x-y=0 代入①得 x=-5或-1, 2? ? 1 ∴两圆两个交点为?-5,-5?,(-1,-2). ? ? 2? ? 1 过两交点圆中,以?-5,-5?,(-1,-2)为端点的线段为直径的圆时,面积 ? ? 最小. 6? ? 3 ∴该圆圆心为?-5,-5?,半径为 ? ? ? 1 ? ? 2 ? ?-5+1?2+?-5+2?2 ? ? ? ? 2 5 = 5 , 2

? 3? ? 6? 4 圆方程为?x+5?2+?y+5?2=5. ? ? ? ? 10.已知:圆 C:x2+y2-8y+12=0,直线 l:ax+y+2a=0. (1)当 a 为何值时,直线 l 与圆 C 相切; (2)当直线 l 与圆 C 相交于 A,B 两点,且|AB|=2 2时,求直线 l 的方程. 解 将圆 C 的方程 x2+y2-8y+12=0 化成标准方程为 x2+(y-4)2=4,则此

圆的圆心为(0,4),半径为 2. (1)若直线 l 与圆 C 相切,则有 3 解得 a=-4. (2)过圆心 C 作 CD⊥AB,则根据题意和圆的性质, |CD|= , ? a +1 ? 得?|CD| +|DA| =|AC| =2 , 1 ? ?|DA|=2|AB|= 2. |4+2a|
2 2 2 2 2

|4+2a| =2, a2+1

解得 a=-7 或-1. 故所求直线方程为 7x-y+14=0 或 x-y+2=0. 能力提升题组 (建议用时:25 分钟) 一、选择题 1.(2014· 安徽宣城六校联考)已知点 P(x0,y0),圆 O:x2+y2=r2(r>0),直线 l: x0x+y0y=r2,有以下几个结论:①若点 P 在圆 O 上,则直线 l 与圆 O 相切; ②若点 P 在圆 O 外,则直线 l 与圆 O 相离;③若点 P 在圆 O 内,则直线 l 与圆 O 相交;④无论点 P 在何处,直线 l 与圆 O 恒相切,其中正确的个数是 ( A.1 C.3 解析 ). B.2 D.4 根据点到直线的距离公式有 d= r2 2 ,若点 P 在圆 O 上,则 x0 +y2 0 2 x0 +y2 0

2 2 =r2,d=r,相切;若点 P 在圆 O 外,则 x2 0+y0>r ,d<r,相交;若点 P 在

2 2 圆 O 内,则 x2 0+y0<r ,d>r,相离,故只有①正确.

答案

A

2. (2014· 长沙模拟)若圆 C: x2+y2+2x-4y+3=0 关于直线 2ax+by+6=0 对称, 则由点(a,b)向圆所作的切线长的最小值是 A.2 C.4 解析 B.3 D.6 圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=2,所以圆心为(-1,2),半径为 2. ( ).

因为圆关于直线 2ax+by+6=0 对称,所以圆心在直线 2ax+by+6=0 上, 所以-2a+2b+6=0,即 b=a-3,点(a,b)到圆心的距离为 d= ?a+1?2+?b-2?2= ?a+1?2+?a-3-2?2 = 2a2-8a+26= 2?a-2?2+18. 所以当 a=2 时,d 有最小值 18=3 2,此时切线长最小,为 ?3 2?2-? 2?2 = 16=4. 答案 C

二、填空题 π 3.(2013· 湖北卷)已知圆 O:x2+y2=5,直线 l:xcos θ+ysin θ=1(0<θ<2).设圆 O 上到直线 l 的距离等于 1 的点的个数为 k,则 k=________. 解析 圆 O 的圆心(0,0)到直线 l: xcos θ+ysin θ=1 的距离 d=1.而圆的半径 r

= 5,且 r-d= 5-1>1,∴圆 O 上在直线 l 的两侧各有两点到直线 l 的距 离等于 1. 答案 4

三、解答题 4.已知圆 M:x2+(y-2)2=1,Q 是 x 轴上的动点,QA,QB 分别切圆 M 于 A, B 两点. (1)若 Q(1,0),求切线 QA,QB 的方程; (2)求四边形 QAMB 面积的最小值; 4 2 (3)若|AB|= 3 ,求直线 MQ 的方程. 解 (1)设过点 Q 的圆 M 的切线方程为 x=my+1,

则圆心 M 到切线的距离为 1, ∴ |2m+1| 4 =1,∴m=-3或 0, 2 m +1

∴QA,QB 的方程分别为 3x+4y-3=0 和 x=1. (2)∵MA⊥AQ,∴S ≥ |MO|2-1= 3. ∴四边形 QAMB 面积的最小值为 3. (3)设 AB 与 MQ 交于 P, 则 MP⊥AB,MB⊥BQ,∴|MP|= ?2 2?2 1 ?= . 1-? ? 3 ? 3
四边形

|QA|=|QA|= MAQB=|MA|·

|MQ|2-|MA|2= |MQ|2-1

1 在 Rt△MBQ 中,|MB|2=|MP||MQ|,即 1=3|MQ|, ∴|MQ|=3,∴x2+(y-2)2=9.设 Q(x,0), 则 x2+22=9,∴x=± 5,∴Q(± 5,0), ∴MQ 的方程为 2x+ 5y-2 5=0 或 2x- 5y+2 5=0.