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上海市静安区2015届高三第一学期期末教学质量检测数学(理)试卷


静安区 2015 届高三第一学期期末教学质量检测 数学(理)试卷
(试卷满分 150 分 考试时间 120 分钟) 2014.12 一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结 果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.已知集合 M ? y y ? 2 x, x ? 0 , N ? x y ? lg(2 x ?

x 2 ) ,则 M ? N ? 答案: (0,2) 考点:集合的描述法 备考建议:强调,对集合描述法要区分集合的代表元。 2.设 (1 ? x) 8 ? a0 ? a1 x ? ? ? a7 x 7 ? a8 x 8 ,则 a0 ? a1 ? ? ? a7 ? a8 ? 答案: 2 8 ? 256 考点:二项式定理 解法:将 x ? ?1 代入式子中 备考建议:让学生理解,二项式题型中的赋值法,并补充一些通过某一项系数判断二项式次数的题 型。 3.不等式 1 ? 答案: ( ,4) 考点:分式不等式的解法 备考建议:分式不等式建议通分后再解不等式,易错点是:不等式性质中,若要两边同乘除,要注 意所乘所除数的正负性。 4.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,已知 PA ? 底面 ABCD , PA ? 1 ,底面 ABCD 是正方形, PC 与底面 ABCD 所成角的大小为 .

?

?

?

?

.

7 ? 0 的解集是 2x ? 1

.

1 2

? ,则该四棱锥的体积是 6

.

答案:

1 2

P A B C D 式。

考点:锥体体积的求法 备考建议:让学生熟练掌握各简单几何体面积与体积的公 5.已 知 数 列 ?an ? 的 通 项 公 式 an ? 2 2?n ? 2 n?1 ( 其 中

n? N *) ,则该数列的前 n 项和 S n ?
n 答案: 4(2 ?

.

1 ) 2n
·1 ·

考点:数列分组求和,等比数列求和。

备考建议:此类题型要让学生观察数列通项公式的结构,从而选择正确的求和方法。同时,也可带 领回忆一下倒序相加、错位相减、裂项相消的常用求和方法及其适用情况。 6.已知两个向量 a , b 的夹角为 30°, a ? 3 , b 为单位向量, c ? t a ? (1 ? t )b , 若 b ? c =0, 则t = . 答案:?2 考点:向量的数量积: 解法:由于 b 与 c 、 a 、 b 的数量积都有联系,故等式两边同乘上一个 b 。 7.已知 f ( x) ? x x ? 1 ? 1 , f (2 x ) ?

5 (其中 x ? 0) ,则 x ? 4

.

1? 2 2 考点:绝对值方程的解法。
答案: x ? log 2 解法:先解出方程 t t ? 1 ? 1 ?

5 x ,之后再解 2 ? t 4

备考建议:带领学生回忆遇到绝对值的几种处理方法:分段讨论、数形结合、绝对值不等式解法。 同时,不要忘记圈划题目中特殊的范围信息“(其中 x ? 0) ”

B(7,1) 、 8.已知△ ABC 的顶点 A(2,6) 、 则△ ABC 的内角 ?BAC 的大小是 C (?1,?3) ,
(结果用反三角函数值表示) 答案: arccos

.

5 5

考点:向量数量积求夹角。 备考建议:回忆向量数量积求夹角公式,以及斜率求夹角公式,并分析它们的缺陷及适用情形。
2 9.若 ? 、 ? 是一元二次方程 2 x ? x ? 3 ? 0 的两根,则

1

?

?

1

?

=

.

答案: ?

1 3

考点:韦达定理的应用 注意:方程判别式小于 0,但不影响这道题的解答,韦达定理对一元二次方程均适用。 10.已知 tan ? 、 tan ? 是方程 x 2 ? 3 3x ? 4 ? 0 的两根,? 、 ? ? (? 答案: ?

? ?

, ) ,则 ? ? ? = 2 2

.

2? 3

考点:韦达定理,两角和与差的正切公式,任意角的三角比。 注意:由两根的和与积可以判断出 ? 、 ? 都是负角 11.直线 l 经过点 P ( ?2,1) 且点 A(?2,?1) 到直线 l 的距离等于 1,则直线 l 的方程是
·2 ·

.

答案: 3x ? y ? 1 ? 2 3 ? 0 或 ? 3x ? y ? 1 ? 2 3 ? 0 考点:点到直线距离公式。 备考建议:此类题型若只解出一条直线时,注意判断斜率不存在的情况。 12.已知实数 x 、 y 满足 x ? y ? 1,则 答案: [ ?2,2] 考点:利用函数性质作图,数形结合。 备考建议:画带有绝对值的函数的图像,注意利用绝对值得对称性,如本题只要画出函数在第一象 限的图像,然后利用绝对值的对称性,即可得到函数其他象限的图像。 同时,

y?2 的取值范围是 x

.

y?2 也可以数形结合,理解成斜率去求范围。 x
.

13.一个无穷等比数列的首项为 2,公比为负数,各项和为 S ,则 S 的取值范围是 答案: 1 ? S ? 2 。

考点:无穷等比数列各项和。 备考建议:带领学生回忆一下,无穷等比数列需要满足各条件是,其公比分别需要满足的不同范围, 以及强调在某些等比数列极限题型中,不要忘记排除 q ? 0 的情况。 14.两名高一年级的学生被允许参加高二年级的学生象棋比赛,每两名参赛选手之间都比赛一次, 胜者得 1 分,和棋各得 0.5 分,输者得 0 分,即每场比赛双方的得分之和是 1 分. 两名高一年级的学生共得 8 分,且每名高二年级的学生都得相同分数,则有 名高二年级 的学生参加比赛.(结果用数值作答) 答案:7 或者 14 考点:排列组合 解法:通过所有人的总分和为联系来列等式。 设高二年级学生共有 n 人,高二年级每人获得 于是所有人的总分和为: 8 ? n ?
2

k 分( k ? N ) 2

k 2
2

由于共有 Cn?2 场比赛,所以所有人的总分和也可表示为 Cn?2 故 Cn ? 2 ? 8 ? n ?
2

k 14 ?3(k ? N ) ,得 k ? n ? ,故 n ? 7 or 14 2 n

备考建议:此类较新颖的题型,建议学生要仔细审题,抓住题中的关键点作为突破口入手。 二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的 相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.在下列幂函数中,是偶函数且在 (0,?? ) 上是增函数的是 ( ) A. y ? x ?2 ; B. y ? x
? 1 2 1 2



C. y ? x 3 ;
·3 ·

D. y ? x 3

答案:D 考点:幂函数的图像及其性质 备考建议:带领学生回忆考纲中涉及到的几类幂函数的性质及其图像。 16 . 已 知 直 线 l1 : 3x ? (k ? 2) y ? 6 ? 0 与 直 线 y 1 3 N 1 2 1 1 1 M 1 2 3 A 1

l 2 : kx ? (2k ? 3) y ? 2 ? 0 ,记 D ?
两条直线 l1 与直线 l 2 平行的(

3 ? (k ? 2) . D ?0是 k 2k ? 3
)

A.充分不必要条件; B.必要不充分条件 ; C.充要条件; D.既不充分也不必要条件 答案:B 考点:行列式判断两直线位置关系 备考建议:带领学生回忆,判断直线位置关系的先后步骤,并指出二元一次方程组的解与直线位置 关系之间的联系。 17.已知 i 为虚数单位,图中复平面内的点 A 表示复数 z ,则表示复数 A. M 答案:D 考点:复平面,复数的运算 备考建议:学生要理解复数与复平面坐标之间的互相联系与转化。 18.到空间不共面的四点距离相等的平面个数为( A.1 个; 答案:C 考点:立体几何,排列组合 解法:分两种情形进行讨论 1.一个点在平面的一侧,而另外三个点在平面的另一侧,故有 C4 ? 4 种情况。
1

-4 -3 -2 -1 -1 P -2 1 -3

Q 1

4

x 1

z 的点是 ( 1? i

)

B. N

C. P

D. Q

) D.8 个

B.4 个;

C.7 个;

2.两个点在平面的一侧,而另外两个点在平面的另一侧,故有 C4 ? 2 ? 3 种情况。 (注意此处为平均
2

分组问题,故要除以 2,以以防重复。 ) 备考建议:遇到此类,直接思考会比较复杂的题型,建议利用分类的思想,简化情况,可能会取得 比较好的效果。 三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域
·4 ·

内写出必要的步骤. 19.(本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 在锐角 ?ABC 中,a、b、c 分别为内角 A、B、C 所对的边长,且满足 (1)求?B 的大小; (2)若 b ? 7 , ?ABC 的面积 S ?ABC ?

sin A 3 ? . a 2b

3 3 ,求 a ? c 的值. 4

考点:正弦定理、余弦定理。 答案: (1)根据正弦定理 又由角 B 为锐角,得 B ? (2) S ?ABC ?

sin A 3 sin B 3 a b ? ? ,得 ,所以 sin B ? ,???(4 分) ? a 2b b 2 sin A sin B

?
3

;??????????(6 分)

3 1 3 ,所以 ac ? 3 ,??????????(8 分) ac sin B ,又 S ?ABC ? 4 2

根据余弦定理 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ,得

a 2 ? c 2 ? b 2 ? 2ac cos B ? 7 ? 3 ? 10 ,??????????(12 分)
所以 (a ? c) 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac =16,从而 a ? c =4.??????????(14 分) 备考建议:带领学生回忆正弦定理与余弦定理的适用情形(如对边对角同时出现,一般选择使用正 弦定理;三边一角同时涉及时,一般选择使用余弦定理,等等) ,以及正、余弦定理的一些变形形式, 特别是出现两边之和的形式 a ? c 往往和余弦定理的变形式有关。

20.(本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 10 分. 某地的出租车价格规定:起步费 a 元,可行 3 公里,3 公里以后按每公里 b 元计算,可再行 7 公里; 超过 10 公里按每公里 c 元计算(这里 a 、 b 、 c 规定为正的常数,且 c ? b ) ,假设不考虑堵车和红绿 灯等所引起的费用,也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况,即每一次乘车的车费 由行车里程唯一确定. (1)若取 a ? 14 , b ? 2.4 , c ? 3.6 ,小明乘出租车从学校到家,共 8 公里,请问他应付出租车费多 少元?(本小题只需要回答最后结果) (2)求车费 y (元)与行车里程 x (公里)之间的函数关系式 y ? f ( x) . 考点:函数关系的建立,分段函数 答案: (1)他应付出租车费 26 元;???????????( 4 分)
·5 ·

(0 ? x ? 3) ?a, ? (2) y ? ?bx ? a ? 3b (3 ? x ? 10) ?cx ? a ? 7b ? 10c ( x ? 10) ?

, 

??????( 6 分) ??????( 10 分) ??????(1 4 分)

备考建议:遇到应用题,要提醒学生仔细审题,对涉及参量范围及特性的语句要养成圈划习惯。同 时,求出函数对应关系时,切记要留意函数的定义域。

21.(本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 如图,长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? AD ? 2 , AA1 ? 4 ,点 P 为面 ADD1 A1 的对角线 AD1 上的 动点(不包括端点). PM ? 平面 ABCD 交 AD 于点 M , MN ? BD 于点 N . (1)设 AP ? x ,将 PN 长表示为 x 的函数; (2)当 PN 最小时,求异面直线 PN 与 A1C1 所成角的大小. (结果用反三角函数值表示) A1 B1 C1 D1

考点:建立函数关系,异面直线所成角 答案:

2 5x 5x (1)在△ APM 中, PM ? , AM ? ; 5 5
其中 0 ? x ? 2 5 ; ?????????( 3 分)

?????????( 2 分)

2 5 (2 ? x ) , ??????????( 4 分) 在△ MND 中, MN ? 2 5
在△ PMN 中, PN ?

P

B C 4 2 5 (2)当 x ? ? (0,2 5 ) 时, PN 最小,此时 PN ? .???????????(8 分) 9 3 因为在底面 ABCD 中,MN ? BD, AC ? BD , 所以 MN // AC , 又 A1C1 // AC , ? PNM 为异面直线 PN 与 A1C1 所成角的平面角,???????( 11 分)

A M D 9 2 2 5 x ? x ? 2 , x ? (0,2 5 ) ???????????( 6 分) N 10 5

2 2 ,所以 ?PNM ? arctan , 4 4 2 1 异面直线 PN 与 A1C1 所成角的大小 arctan (或 arcsin 等)?????( 14 分) 4 3 备考建议:此类题型,要注意帮学生理清各线段长度之间的对应关系,并加以表示出来。
在△ PMN 中,? PMN 为直角, tan ?PNM ? 22.(本题满分 16 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 4 分,第 3 小题满分 8 分.

·6 ·

已知函数 f ( x) ? loga ( x 2 ? 1 ? x) (其中 a ? 1 ). (1)判断函数 y ? f ( x) 的奇偶性,并说明理由; (2)判断

f (m) ? f (n) (其中 m, n ? R 且 m ? n ? 0 )的正负号,并说明理由; m?n

(3)若两个函数 F ( x) 与 G ( x) 在闭区间 [ p, q ] 上恒满足 F ( x) ? G( x) ? 2 ,则称函数 F ( x) 与 G ( x) 在闭 区间 [ p, q ] 上是分离的. 试判断 y ? f ( x) 的反函数 y ? f
?1

( x) 与 g ( x) ? a x 在闭区间 [1, 2 ] 上是否分离?若分离,求出实数 a 的

取值范围;若不分离,请说明理由. 考点:函数奇偶性,函数单调性,恒成立问题。 答 案 :( 1 ) 因 为

x 2 ? 1 ? x ? x ? x ? 0 , 所 以 函 数 y ? f ( x) 的 定 义 域 为 实 数 集

R ;??????????( 1 分)
又 f ( x) ? f (?x) ? loga ( x 2 ? 1 ? x) ? loga ( x 2 ? 1 ? x) ? loga ( x 2 ? 1 ? x 2 ) ? 0 , 所以函数 y ? f ( x) 是奇函数.??????????(4 分) (2)因为 a ? 1 ,所以 f ( x) ? loga ( x 2 ? 1 ? x) 在 [0,?? ) 上递增,以下给出证明:任取 0 ? x1 ? x 2 , 设 u1 ?

x1 ? 1 ? x1 , u 2 ? x 2 ? 1 ? x 2 ,则 u1 ? u 2 ?

2

2

x1 ? x 2
2

2

2 2

x1 ? 1 ? x 2 ? 1


? ( x1 ? x 2 )

=

( x1 ? x2 )(

x1 ? x2 x1 ? 1 ? x2 ? 1
2 2

? 1) ? 0





0 ? u1 ? u 2





0?

u1 ?1 u2



f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? log a

u1 ? 0 .????????( 6 分) u2

又 f ( x) ? loga ( x 2 ? 1 ? x) 为奇函数,所以 f (?n) ? ? f (n) 且 f ( x) ? loga ( x 2 ? 1 ? x) 在 (??,?? ) 上 递增. 所以 m ? n ? m ? (?n) 与 f (m) ? f (n) ? f (m) ? f (?n) 同号, 所以,当 a ? 1 时,

f (m) ? f (n) ?0. m?n

f (m) ? f (n) ? 0 .??( 8 分) m?n 1 1 (3) f ?1 ( x) ? a x ? , x ? R ??????????( 10 分) 2 2a x
1 x 1 1 1 a ? x ? a x ? 2 在区间 [1, 2 ] 上恒成立,即 a x ? x ? 2 , 2 2 2a a
·7 ·

或 ax ?

1 ? 4 在区间 [1, 2 ] 上恒成立,??????????( 12 分) ax

令ax ? t 因为 a ? 1 , a x ? t ?[a, a 2 ] , t ? 在 t ?[a, a 2 ] 递增,所以 (t ? ) min ? a ? 所以, a ? (2 ? 3,??) .??????????( 16 分) 注意:第三小题中,关于 y ? f ?1 ? x ? 的解析式的求法,有以下补充: 由 ax ?

1 t

1 t

1 ? 4 ,解得 a ? 2 ? 3 ; a

? f ? x ??
?1

2

? 1 ? f ?1 ? x ? ,结合第一小题中,得到的函数为奇函数的结论
?1 2

可推得: a ? x ?

? ? f ? x ??

? 1 ? f ?1 ? x ?
( x) ? 1 x 1 a ? x , x?R 2 2a

于是,两式相减,即可得 f

?1

备考建议:带领学生回忆函数奇偶性的一些性质,以及函数单调性的一些等价形式。 同时,回顾一下“恒成立”与“有解”题型中,对问题向最值问题转化的方法。

23.(本题满分 16 分) 文:本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题 满分 7 分. 理:本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 3 分,第 3 小题满分 7 分. 在数列 ?a n ?中,已知 a 2 ? 1 ,前 n 项和为 S n ,且 S n ? (1)求数列 ?a n ?的通项公式; (2)求 lim

n(an ? a1 ) .(其中 n ? N * ) 2

Sn

n2 a ?1 (3)设 lg bn ? n n ,问是否存在正整数 p 、 q (其中 1 ? p ? q ) ,使得 b1 , b p , b q 成等比数列? 3 若存在,求出所有满足条件的数组 ( p , q ) ;否则,说明理由.
n???



考点:数列通向公式,求和公式,数列极限。

n(an ? a1 ) 2(a2 ? a1 ) ,令 n ? 2 ,得 a1 ? a2 ? ,所以 a1 ? 0 ; ( 2 分) 2 2 (a ? a1 ) (或者令 n ? 1 ,得 a1 ? 1 ? 0) 2 (n ? 1)(an?1 ? a1 ) (n ? 1)an?1 当 n ? 2 时, S n?1 ? ? 2 2
答案: (1)因为 S n ?

an?1 ? S n?1 ? S n ?

a a (n ? 1)an?1 nan n n , n ?1 ? ,推得 n ?1 ? ,????(5 分) ? an n ?1 a3 3 ?1 2 2
·8 ·

又 a 2 ? 1 , a3 ? 2a 2 ? 3 ,所以 an?1 ? n 当 n ? 1,2 时也成立,所以 a n ? n ? 1 , ( n ? N *) ( 6 分) (2) lim

Sn n
2

n???

=

1 ?????????( 9 分) 2

(3)文理相同:假设存在正整数 p 、 q ,使得 b1 , b p 、 b q 成等比数列,则 lg b1 , lg b p 、 lg bq 成等

2p 1 q , (**)?????????( 11 分) ? ? 3 p 3 3q 1 2p 1 p 1 由于右边大于 ,则 p ? ,即 p ? . 3 3 6 3 3
差数列,故

p ?1 p 1? 2p ? p? ? p? 考 查 数 列 ? p ? 的 单 调 性 , 因 为 p ?1 ? p ? p ?1 ? 0 , 所 以 数 列 ? p ? 为 单 调 递 减 数 ?3 ? ?3 ? 3 3 3
列.?????????( 14 分)

q 1 p 1 p 2 1 . ? ? ,代入(**)式得 q ? ,解得 q ? 3 ;当 p ? 3 时, p ? (舍) p 9 9 9 6 3 3 3 综上得:满足条件的正整数组 ( p , q ) 为 (2,3) .?????????( 16 分) 2p 1 q (说明:从不定方程 p ? ? q 以具体值代入求解也参照上面步骤给分) 3 3 3
当 p ? 2 时, 备考建议:对于第一小问,要让学生掌握数列中, an 与 Sn 之间互相转化的方法与转换方向的选择。 而第三问中,要带领学生感受,数列单调性与函数单调性之间的联系与不同。

·9 ·


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