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如何应对高考问题(苏州陈兆华)


如何应对---------高考问题
一、填空题: 1(复数)

1 ? 2i ,则 | z | ? . 3 ? 4i 1?1 已知 i 是虚数单位,复数 z 的共轭复数为 ? z ,若 2z ? ? z ? 3 ? 4 i ,则 z ?
1.已知 i 是虚数单位,复数 z ? 2(双曲线与抛物线)
x2 y 2 ? ? 1 的渐近

线方程为 8 4 2?1 在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y2 ? ? 4x 的焦点到准线的距离为



2.在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线

. .

3(统计) 3.某班有学生 48 人,现用系统抽样的方法,抽取一个容量为 4 的样本,已知座位号分 别为 6,30,42 的同学都在样本中,那么样本中还有一位同学的座位号应该是 .

1 3?1 已知一组正数 x1,x2,x3,x4 的方差为 s 2 ? ( x12 ? x22 ? x32 ? x42 ? 16) ,则数据 x1, 4 x2,x3,x4 的平均数为 .
4(充要条件) 4.不等式 ( x ? 1) x ? 2 ? 0 成立的充要条件是 4?1 函数 f ( x) ? a sin( x ? 4?2 若函数 f ( x) ? .

π π ) ? 3sin( x ? ) 是偶函数的充要条件是 a ? ________. 4 4

a ? x ? x ? a 2 ? 2 是偶函数,则实数 a 的值为 ________.

5(概率) 5.4 名学生 A,B,C,D 平均分乘两辆车,则“A,B 两人恰好在同一辆车”的概率为 _______. 5 ? 1 在[0,1]中随机地取两个数 a,b,则恰有 a ? b ? 0.5 的概率为 . 6(流程图) 6.如图,程序执行后输出的结果为_________. 6?1 按如图所示的程序框图运算,若输出的 b ? 3,则输入的 a 的取值范围是________.

1

开始 输入 a b←1

a←3a+1 b←b?1 a ? 58 Y 输出 b 结束 (第 6?1 题) 7(数列) 7.已知等差数列{an}满足:a1 ? 2,a2 ? a3 ? 13,则 a4 ? a5 ? a6 ? ____. 7 ? 1 正项等比数列{an}的前 n 项积为 Tn, 且
T5 6 ? 32,则 a4 ? T35

N



7?2 在首项为 a,公比为 q 的等比数列中,设其前 n 项和为 sn ,若 x ? sn ? s2n ,

2

2

y ? s n (s 2 n ? s3n ) ,则 x ? y ? _________.
7?3 等差数列{an}的公差为 1,若 Sn ≥S8 对一切 n ? N? 恒成立,则首项 a1 的取值范围 是 .

7?4 设 a1,d 为实数,首项为 a1,公差为 d 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 S5S6 ? 15 ? 0,则 d 的取值范围是____________. 7?5 已知数列{an}为等差数列,若
a5 ? ?1 ,则数列{|an|}的最小项是第_____项. a6

7?6 等比数列{an}的前 n 项的和为 Sn ,且 S2009,2S2010,3S2011 成等差数列,则{an}的公 比为______.
2

7?7 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 2, an ?1 ?

1 ? an (n ? N? ) ,则 a1a2 a3 ?a2010 的值为_______. 1 ? an

7?8 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn,若 (a2 ?1)3 ? 2010(a2 ?1) ? 1 ,

(a2009 ?1)3 ? 2010(a2009 ?1) ? ?1,下列为真命题的序号为
① S2009 ? 2009 ;② S2010 ? 2010 ;③ a2009 ? a2 ;④ S2009 ? S2 .



8 (函数) 说明:函数的重点主要是性质,如定义域,值域,奇偶性乃至对称性,单调性,零点等. 8.函数 y ? | log 1 2 x | ? | log 1 x | 的值域为___________.
2 2

8?1 已知函数 f ( x) ? a ln x ? x2 ,若对区间(0,1)内任取两个实数 p,q,且 p≠q,不 等式
f ( p ? 1) ? f (q ? 1) ? 1 恒成立,则实数 a 的取值范围是 p?q



8?2 函数 y ?

1 ? 2ln x 的单调减区间为 x



8?3 已知函数 f ( x) ? 且 f(1) ?

bx ? c 1 (a,b,c ? R ,a ? 0)是奇函数,若 f(x)的最小值为 ? , 2 2 ax ? 1


2 ,则 b 的取值范围是 5

8?4 在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 是第一象限内曲线 y ? ??x3 ? 1 上的一个动点,以 点 P 为切点作切线与两个坐标轴交于 A,B 两点,则△AOB 的面积的最小值为 .

9(三角) 9.在锐角△ABC 中, tan A = t ? 1, tan B = t ? 1,则 t 的取值范围是 . 9 ? 1 在△ABC 中,设 AD 为 BC 边上的高,且 AD ? BC,b,c 分别表示角 B,C 所对的

b c 边长,则 ? 的取值范围是____________. c b
9?2 在△ABC 中,b ? 2c,设角 A 的平分线长为 m,m ? kc, 则 k 的取值范围是______. 10(立体几何) 10.如图,在透明塑料制成的长方体 ABCD ? A1B1C1D1 容器内灌进一些水,将容器底面 一边 BC 固定于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下列三个说法:① 水的 形状始终呈棱柱形状;② 水面四边形 EFGH 的面积不改变;③ 当 E∈AA1 时,AE ? BF 是 定值.其中正确说法是 .
3

10 ? 1 在矩形 ABCD 中, AB = 4, BC = 3, 沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角 B ? AC ? D,则折后 BD ? . 10?2 已知正三棱锥的底面边长为 6,侧棱长为 5,则此三棱锥的体积为 . 10?3 已知正四棱锥 S ? ABCD 中,SA = 1,则该棱锥体积的最大值为 . 11(向量)

uuu r uu u r uuu r 11.已知 O 为△ABC 的外心,AB = AC = 2,x + 2y = 1,若 AO ? x ? AB ? y ? AC (xy ? 0) ,
. ???? ???? ??? ? 5 ??? ? 11 ? 2 如图,AB⊥AC, BD ? BC ,AC = 2,则 AC ? AD = 3 A
D M B E N A

则△ABC 的面积等于



B

C

D

C

11 ? 3 在正△ABC 中,点 D 在边 AB 上,AD ? 1,点 E 在边 BC 上,CE ? 2,点 M,N 分别为线段 DE,AC 的中点,则 MN ? _____. ??? ? ??? ? 11?4 点 P 为单位圆 O 外的一点,PA,PB 为圆 O 的两条切线,则 PA ? PB 的最小值 为 . .

??? ? ???? 11?5 在△ABC 中,已知 BC ? 2, AB ? AC = 1,则△ABC 面积的最大值为

12(直线与圆,椭圆) 12.已知圆 C:x2 ? y2 ? 1,点 P(x0,y0)在直线 x ? y ? 2 ? 0 上,O 为坐标原点,若圆 C 上存在点 Q,使∠OPQ ? 30?,则 x0 的取值范围是 . 12?1 已知实数 a,b,c 成等差数列,点 P( ? 1,0)在动 直线 ax ? by ? c ? 0 上的射影为 M,点 N(2,1) ,则线 y 段 MN 长的取值范围是____________.

1 2 2 12?2 过点 P ( ,1) 的直线 l 与圆 C : ( x ?1) ? y ? 4 交 2
于 A , B 两 点 , 当 ∠ ACB 最 小 时 , 直 线 l 的 方 程 为 . 12?3 点 M 是椭圆
x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 上的点,以 M a 2 b2

P

M Q O

F

x

为圆心的圆与 x 轴相切于椭圆的焦点 F,圆 M 与 y 轴相 交于 P,Q,若△PQM 是钝角三角形,则椭圆离心率的取值范围是________.
4

13(不等式) 13.已知 a ? 0,b ? 0,且 h ? min{a, 数,则 h 的最大值=

b } ,其中 min {a,b}表示数 a,b 中较小的 a ? 4b2
2

. x 2 13?1 设 F ( x, y ) ? ( x ? y ) 2 ? ( ? ) 2 ,对于一切 x,y∈ R ,y≠0, F ? x, y ? 的最小值为 2 y ________. 13?2 已知正实数 x,y,z 满足 2 x( x ?
1 1 1 1 ? ) ? yz ,则 ( x ? )( x ? ) 的最小值为____. y z y z

13?3 已知实数 x,y,z 满足 x + y ? z = 1,x2 + y2 ? z2 = 3,则 xyz 的最大值为______. 14(杂题) ? ) 14 . 已 知 函 数 f ( x) 与 g ( x) 在 R 上 有 定 义 , 且 f ( x? y) ? f ( x) g( y f (1) ? f (2) ? 0 ,则 g (1) ? g (?1) ?________.

g( x) f (, y)

14 ? 1 已知等差数列{an}的公差 d 不为 0, 等比数列{bn}的公比 q 是小于 1 的正有理数. 若 a1 = d,b1 = d 2,且
2 2 2 a1 ? a2 ? a3 是正整数,则 q 等于________. b1 ? b2 ? b3

二、解答题 15(三角题) 15.在△ ABC 中,C ? A ? (1)求 sin A 的值; (2)设 AC ? 6 ,求△ ABC 的面积.

π 1 , sin B ? . 2 3

5

15 ? 1 设△ABC 的内角 A, B, C 所对的边长分别为 a, b, c, 且2 ( b? 3) s o cc

3c A s o ?a

C



(1)求角 A 的大小; π (2)若角 B ? , BC 边上的中线 AM 的长为 7 ,求 ?ABC 的面积. 6

16(立体几何) 16.如图,在三棱锥 P ? ABC 中,PC⊥平面 ABC,△ ABC 为正三角形,D,E,F 分别 是 BC,PB,CA 的中点. (1)证明平面 PBF⊥ 平面 PAC; P (2)判断 AE 是否平行平面 PFD?并说明理由; (3)若 PC = AB = 2,求三棱锥 P ? DEF 的体积.

E A C D B

F

16 ? 1 如图,在三棱锥 P ? ABC 中,∠CAB ? 90?,PA ? PB,D 为 AB 中点,PD⊥ 平面 ABC,PD ? AB ? 2,AC ? 1. (1)求证:平面 PAB⊥平面 PAC; (2)点 M 是棱 PB 上的一个动点,求△MAC 周长的 最小值; P

M A D B
6

C

17(应用题) 17.已知矩形纸片 ABCD 中,AB = 6,AD = 12,将矩形纸片的右下角折起,使该角的顶 点 B 落在矩形的边 AD 上,记该点为 E,且折痕 MN 的两端点 M、N 分别位于边 AB、 BC 上,设∠MNB = ?,MN = l,△EMN 的面积为 S. (1)将 l 表示成? 的函数,并确定? 的取值范围; (2)问当为?何值时,△EMN 的面积 S 取得最小值?并求出这个最小值.
D C

N θ

E A B

M

17 ? 1 某地发生地质灾害,使当地的自来水受到了污染,某部门对水质检测后,决定往 水中投放一种药剂来净化水质.已知每投放质量为 m 的药剂后,经过 x 天该药剂在水中
? x2 ?2 ? ?16 释放的浓度 y (毫克/升) 满足 y ? m f ? x ? ,其中 f ? x ? ? ? ? x ? 14 ? ? 2x ? 2

? 0 ? x ? 4? ? x ? 4?

,当药剂在水

中释放的浓度不低于 4 (毫克/升) 时称为有效净化;当药剂在水中释放的浓度不低于 4 (毫克/升) 且不高于 10(毫克/升)时称为最佳净化. (1)如果投放的药剂质量为 m ? 4 ,试问自来水达到有效净化一共可持续几天? (2)如果投放的药剂质量为 m ,为了使在 7 天(从投放药剂算起包括 7 天)之内 的自来水达到最佳净化,试确定应该投放的药剂质量 m 的取值范围.

7

18.已知椭圆 G:

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 过点 A(0,5) , a 2 b2 B (?8, ?3) , C, D 在椭圆 G 上, 直线 CD 过坐标原点 O, 且在线段 AB 的右下侧. 求: (1)椭圆 G 的方程; (2)四边形 ABCD 的面积的最大值.

x2 y 2 ? ? 1 的上顶点 A 作两条直线分别交椭圆于点 B,C(不同于点 A) , 16 4 且它们的斜率分别为 k1,k2,若 k1k2 ? ? 4,求证:直线 BC 恒过一个定点.

18 ? 1 过椭圆

18 ? 3 椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左,右顶点为 A,B,点 P 在直线 x ? t(t 为常 a 2 b2

数)上,线段 AP 与椭圆 C 交于点 Q(异于点 A) ,设以 PQ 为直径的圆交直线 BQ 于点 M(异于点 Q) ,问直线 PM 是否恒过一个定点?

8

18 ? 4 如图, 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0) 的左, 右焦点为 F1 , F2 , 点 P 为椭圆上动点, a 2 b2

弦 PA,PB 分别过点 F1 , F2 . (1)若 F1 (?3,0) ,当 PF1 ? F1 F2 时,点 O 到 PF2 的距离为

24 ,求椭圆的方程; 17

(2)设 PF1 ? ?1 F1 A , PF2 ? ?2 F2 B ,求证: ?1 ? ?2 为定值.
y P

????

????

???? ?

???? ?

F1 A

O

F2 B

x

轨迹的一般问题:距离和为定值;距离差为定值;距离平方和为定值;距离平方 差为定值;距离积为定值;距离比为定值; 18 ? 5 已知圆 O 的方程为 x2 ? y2 ? r2(r 为正的常数) ,设 P(m,n)为平面内的一个定 点,求证:存在定点 Q,使得对圆 O 上的任意一点 M,均有
MP 为定值. MQ

9

19.已知各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn,数列{an2}的前 n 项和为 Tn,满足 a1 ?1, Tn ?

4 1 ? ( p ? Sn ) 2 . 3 3

(1)求 p 的值及数列{an}的通项公式; (2)① 问是否存在正整数 n,m,k(n ? m ? k) ,使得 an,am,ak 成等差数列?若 存在,指出 n,m,k 的关系,若不存在,请说明理由. ② 若 an,2xan?1,2yan?2 成等差数列,求正整数 x,y 的值.

19?1 已知数列 ?an ? 是各项均不为 0 的等差数列,公差为 d , Sn 为其前 n 项和,且满
2 足 an ? S2n?1 , n ? N* .数列 ?bn ? 满足 bn ?

1 , Tn 为数列 {bn } 的前 n 项和. an an ?1

(1)求 a1 、 d 和 Tn ; (2)若对任意的 n ? N* ,不等式 ?Tn ? n ? 8 ? (?1)n 恒成立,求实数 ? 的取值范围; (3)是否存在正整数 m, n (1 ? m ? n) ,使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列?若存在,求出所 有 m, n 的值;若不存在,请说明理由.

10

19?2 已知数列{dm}的通项公式为 dm ? 2m ? 1.将数列{dm}分组如下:(d1),(d2,d3,d4), (d5 , d6 , d7 , d8 , d9) ,?( 每组数的个数构成等差数列 ) .设前 m 组中所有数之和为 (cm)4(cm>0) . (1)求数列 {2Cndn} 的前 n 项和 Sn; (2)设 N 是不超过 20 的正整数,当 n > N 时,对于(1)中的 Sn,求使得不等式

1 (Sn-6) > dn 成立的所有 N 取值的个数. 50

19?3 已知数列{an},{bn}满足 bn ? an+1 ? an,其中 n ? 1,2,3,?. (1)若 a1 ? 1,bn ? n,求数列{an}的通项公式; (2)若 bn+1bn-1 ? bn (n≥2),且 b1 ? 1,b2 ? 2.记 cn ? a6n-1(n≥1), 求证:数列{cn}为等差数列.

11

19?4 已知数列 {an} 的通项公式为 an ? 2n ?1 ( n ? N? ) ,设数列 {bn} 的通项公式为
bn ? an ,问:是否存在正整数 t,使得 b1,b2,bm( m≥3, m ? N? )成等差数列?若 an ? t

存在,求出 t 和 m 的值;若不存在,请说明理由.

? ? pan ? n ? 1,(n为奇数), 19?5 已知数列{an}满足 a1 ? 2,前 n 项和为 Sn, an ?1 ? ? ? ?? an ? 2n, (n为偶数).

(1)若数列{bn}满足 bn ? a2n ? a2n?1,试求数列{bn}的前 n 项和 Tn; (2)若数列{cn}满足 cn ? a2n,试判断数列{cn}是否为等比数列,并说明理由; (3)当 p ?

1 ,问是否存在 n ? N? ,使得 (S2n?1 ? 10) ? c2n ? 1 ,若存在,求出所有的 n 值; 2

若不存在,请说明理由.

12

19?6 在数列{an}中,a1 ? 1,且对任意的 k ? N? ,a2k?1,a2k,a2k?1 成等比数列,其公比 为 qk 。 (1)若 qk ? 2( k ? N? ) ,求 a1 ? a3 ? a5 ? … ? a2k?1 ; 1 (2)若对任意的 k ? N? ,a2k,a2k?1,a2k?2 成等差数列,其公差为 dk,设 bk ? 。 qk ? 1 ① 求证:{bk}成等差数列,并指出其公差; ② 若 d1 ? 2,试求数列{dn}的前 n 项的和 Dk 。

一些高考题的回顾: 2005 年江苏省高考数列题
( n 8 )? 设数列{ an }的前 n 项和为 Sn, 已知 a1 = 1, a2 = 6, a3 = 11, 且5 S 5 (n?1 2 ) ? n? Sn =

An + B,n = 1,2,3,?,其中 A、B 为常数. (Ⅰ)求 A 与 B 的值; (Ⅱ)证明数列{ an } 为等差数列; (Ⅲ)证明不等式 5 amn ? am an ?1对任何正整数 m、n 都成立.

13

2011 年江苏省高考数列题: 设 M 为部分正整数组成的集合,数列 {an } 的首项 a1 ? 1 ,前 n 项和为 Sn ,已知对任 意整数 k∈M,当 n > k 时, Sn?k ? Sn ?k ? 2(Sn ? Sk ) 都成立. (1)设 M = {1}, a2 ? 2 ,求 a5 的值; (2)设 M = {3,4},求数列 {an } 的通项公式.

2011 年江苏省高考数列题的背景(辗转相除思想)与本质(递推数列问题) : 引例:an?3≥an?3,an?2≤an?2,a1?1,求证:an ? n.

2010 年江苏省高考数列题: 设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,已知 2a2 ? a1 ? a3 ,数列 公差为 d 的等差数列. (1)求数列 ?an ? 的通项公式(用 n, d 表示) ; ( 2 )设 c 为实数,对满足 m + n = 3k 且 m ≠ n 的任意正整数 m, n, k ,不等式

? S ?是
n

9 S m ? S n ? cSk 都成立.求证: c 的最大值为 . 2

14

?( x 2 ? 2ax)e x , x ? 0, ? 20.已知函数 f ( x) ? ? 1 当 x ? 1 时 y ? f(x)取得极值. x ≤0. ? x, ?b

(1)求实数 a 的值; (2)若 y ? f ( x) ? m 有两个零点,求实数 m 的取值范围; (3)设 g ( x ) ?
ln x 3 1 ? b ,若对于 ? x1∈(0, ],总 ? x2∈ [ ,e] ( e 为自然对数的 f (? x) 2 e

底数),使得 f(x1)≥g(x2),求实数 b 的取值范围.

20 ? 1 在区间 D 上, 如果函数 f ( x) 为增函数, 而函数 “弱增函数” .已知函数 f ( x) = 1?
1

1 则称函数 f ( x) 为 f ( x) 为减函数, x

. 1? x (1)判断函数 f ( x) 在区间 (0 , 1] 上是否为“弱增函数” ;

1 (2)设 x1 , x 2 ∈[0, ?? ) ,且 x1 ≠ x 2 ,证明: f ( x2 ) ? f ( x1 ) < | x1 ? x2 | ; 2 1 (3)当 x∈[0,1]时,不等式 1 ? ax≤ ≤1 ? bx 恒成立,求实数 a,b 的取值 1? x
范围.

15

20?2 已知 a ? R ,函数 f ( x) ? x2 | x ? a | . (1)当 a ? 2 时,求使 f ( x) ? x 成立的 x 的集合; (2)求函数 y ? f ( x) 在区间[1,2]上的最小值. 对第(2)问,1.会画示意图吗?2.对 a 分类还是对 x 分类?3.分类中的分类— —二级分类问题.

20?3(2011 沈阳)已知函数 f ( x) 满足 2 f ( x ? 2) ? f ( x) ,当 x∈(0,2)时,

1 f ( x) ? ln x ? ax (a ? ? ) ,当 x∈(?4,?2)时, f ( x) 的最大值为 ? 4. 2 (1)求实数 a 的值; 1 (2)设 b≠0,函数 g ( x) ? bx3 ? bx ,x∈(1,2) .若对任意 x1∈(1,2) ,总存 3 在 x2∈(1,2) ,使 f(x1) ? g(x2) ? 0,求实数 b 的取值范围.

16


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