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高中数学选修2-1同步练习 模块质量检测A(含答案)


模块质量检测(A)
(考试时间 120 分钟,满分 150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1.命题“若 a>-1,则 a>-2”及其逆命题、否命题、逆否命题 4 个命题中,真命题的个数是( A.0 C.2 B.1 D.4 )

解析: 原命题为真命题,故逆

否命题为真命题;逆命题为“若 a>-2,则 a>-1”为假命题,故否 命题为假命题.故 4 个命题中有 2 个真命题.故选 C. 答案: C 2.命题“任意的 x∈R,2x -x +1<0”的否定是( A.不存在 x∈R,2x -x +1<0 C.存在 x∈R,2x -x +1≥0 解析: 全称命题的否定是特称命题, 所以该命题的否定是:存在 x∈R,2x -x +1≥0. 答案: C 3.椭圆 x +my =1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则 m 的值为( A. 1 4 B. 1 2
2 2 4 2 4 2 4 2 4 2

)
4 2

B.存在 x∈R,2x -x +1<0 D.对任意的 x∈R,2x -x +1≥0
4 2

)

C.2 解析: 由 x +my =1,得 x + =1, 1
2 2 2

D.4

y2 m

又∵椭圆的焦点在 y 轴上,且长轴长是短轴长的 2 倍, 1 1 ∴ =4,即 m= . m 4 答案: A 4.平面内有两定点 A、B 及动点 P,设命题甲是:“|PA|+|PB|是定值”,命题乙是:“点 P 的轨迹是 以 A、B 为焦点的椭圆”,那么( ) B.甲是乙成立的必要不充分条件 D.甲是乙成立的非充分非必要条件

A.甲是乙成立的充分不必要条件 C.甲是乙成立的充要条件 解析: ∵甲? /乙,乙? 甲 ∴甲是乙的必要不充分条件,故选 B. 答案: B 5.下列结论正确的个数是( )

①命题“所有的四边形都是矩形”是特称命题; ②命题“? x∈R,x +2<0”是全称命题; ③若 p:? x∈R,x +4x+4≤0,则 q:? x∈R,x +4x+4≤0 是全称命题. A.0 C.2 解析: 只有命题①正确. 答案: B 6.设 θ ∈? B.1 D.3
2 2 2

?3π ,π ?,则关于 x,y 的方程 x - y =1 所表示的曲线为( ? sin θ cos θ ? 4 ?
B.实轴在 x 轴上的双曲线 D.长轴在 x 轴上的椭圆

2

2

)

A.实轴在 y 轴上的双曲线 C.长轴在 y 轴上的椭圆 解析: ∵θ ∈?

?3π ,π ?, ? ? 4 ?
x2 y2

∴cos θ <0,且|cos θ |>sin θ >0, ∴原方程可化为 + =1, sin θ -cos θ 即

x2
sin θ



=1,它表示长轴在 y 轴上的椭圆. |cos θ |

y2

答案: C 7.已知直线 l 过点 P(1,0,-1),平行于向量 a=(2,1,1),平面 α 过直线 l 与点 M(1,2,3),则平面 α 的法向量不可能是( A.(1,-4,2) 1? ? 1 C.?- ,1,- ? 2? ? 4 ) 1? ?1 B.? ,-1, ? 2? ?4 D.(0,-1,1)

→ 解析: PM=(0,2,4),直线 l 的方向向量为 a=(2,1,1), 设平面 α 的法向量 n=(x,y,z), 则?

?n?→ PM=0 ?n?a=0,

经检验,A,B,C 都是平面 α 的法向量.故选 D.

答案: D 8.顶点在原点,且过点(-4,4)的抛物线的标准方程是( A.y =-4x C.y =-4x 或 x =4y 解析: 采用排除法,选 C. 答案: C
2 2 2

)

B.x =4y D.y =4x 或 x =-4y
2 2

2

→ → 9.正四面体 ABCD 中,点 E,F,G 分别是 AB,AD,DC 的中点,给出向量的数量积如下:①AB?CD;② →

AC?EF;③EF?FG;④EG?CD.其中等于 0 的个数是(
A.1 C.3 解析: ①②③④均为 0. 答案: D B.2 D.4



→ →





)

10.过双曲线 - =1 的焦点作弦 MN,若|MN|=48,则此弦的倾斜角为( 9 18 A.30° C.30°或 150°
2

x2

y2

)

B.60° D.60°或 120°

解析: 用弦长公式 1+k |x1-x2|求解,显然直线 MN 的斜率存在,设直线斜率为 k,则直线方程为 y =k(x-3 3), 与双曲线方程联立,得(2-k )x +6 3k x-27k -18=0, 所以|MN|= 1+k
2 2 2 2 2 2

?6 3k2?2 27k +18 ? 2 =48, 2 ? +4 2-k ? 2- k ?
2

解得 k =3.即 k=± 3,故选 D. 答案: D → 11.如图所示,正方体 ABCD-A′B′C′D 中,M 是 AB 的中点,则 sin〈DB′,CM〉的值为( A. 1 2 2 3 B. 210 15 11 15 )

C.

D.

解析: 以 D 为原点,DA,DC,DD′为 x,y,z 轴建系, → 设正方体的棱长为 1,则DB′=(1,1,1),C(0,1,0),

? ? → ? ? M?1, ,0?,CM=?1,- ,0?, ?
1 2

?

?

1 2

?

15 210 → → → → 故 cos〈DB′,CM〉= ,则 sin〈DB′,CM〉= . 15 15 答案: B

x2 y 2 x2 y2 12.已知 a>0,b>0,且双曲线 C1: 2- 2=1 与椭圆 C2: 2+ 2=2 有共同的焦点,则双曲线 C1 的离 a b a b
心率为( A. 2 ) B.2

C.

2 3 3
?a +b =c , ? ? ?2a -2b =c ,
2 2 2 2 2 2

D.

4 3 3

解析: 由已知?

所以 4a =3c ,所以 e= = 2 3 ,故选 C. 3

2

2

c a

解析: C 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.请把正确答案填在题中横线上) 13.设命题 p:|4x-3|≤1,命题 q:x -(2a+1)x+a(a+1)≤0,若綈 p 是綈 q 的必要而不充分条件, 则实数 a 的取值范围是________. 1 解析: 綈 p: x>1 或 x< ;綈 q:x>a+1 或 x<a, 2 1 ? ?a≤ , 若綈 p?綈 q,綈 p? / 綈 q,则? 2 ? ?a+1≥1, 1 答案: 0≤a≤ 2 → → 14.正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a,点 M 在AC1 上且AM= 1→ → MC1,N 为 B1B 的中点,则|MN|为________. 2 解析: 1 所以 0≤a≤ . 2
2

以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz,则 A(a,0,0),

a? ? C1(0,a,a),N?a,a, ?.

?

2?

设 M(x,y,z) → → 1→ ∵点 M 在AC1 上且AM= MC1, 2 1 ∴(x-a,y,z)= (-x,a-y,a-z) 2

2 a a ∴x= a,y= ,z= 3 3 3

?2a a a? 得 M? , , ?, ? 3 3 3?
→ ∴|MN|= = 21 a. 6 21 a 6 1→ → OD + x OB + 2

?a-2a?2+?a-a?2+?a-a?2 ? 3 ? ? 3? ?2 3? ? ? ? ? ? ?

答案:

→ 15.如图, 设 O 为?ABCD 所在平面外任意一点, E 为 OC 的中点. 若AE=

yOA,则 x=________,y=________.
→ → → 1→ → 解析: AE=OE-OA= OC-OA 2 1 → → → 1 → → → = (OB+BC)-OA= (OB+AD)-OA 2 2 1 → → → → = (OB+OD-OA)-OA 2 3→ 1→ 1→ =- OA+ OB+ OD. 2 2 2 1 3 ∴x= ,y=- . 2 2 答案: 1 2 3 - 2



16.若方程 + =1 所表示的曲线为 C,给出下列四个命题: 4-t t-1 5 ①若 C 为椭圆,则 1<t<4,且 t≠ ; 2 ②若 C 为双曲线,则 t>4 或 t<1; ③曲线 C 不可能是圆; 3 ④若 C 表示椭圆,且长轴在 x 轴上,则 1<t< . 2 其中正确的命题是________.(把所有正确命题的序号都填在横线上) 4-t>0, ? ? 解析: 若为椭圆?t-1>0, ? ?4-t≠t-1, 5 即 1<t<4,且 t≠ , 2

x2

y2

若为双曲线,则(4-t)(t-1)<0,即 4<t 或 t<1;

5 5 当 t= 时,表示圆,若 C 表示长轴在 x 轴上的椭圆,则 1<t< ,故①②正确. 2 2 答案: ①② 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤). 17.(本小题满分 12 分)已知 p:方程 x +mx+1=0 有两个不等的负根;q:方程 4x +4(m-2)x+1=0 无实根.若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求 m 的取值范围. 解析: 若方程 x +mx+1=0 有两不等的负根,
?Δ =m -4>0, ? 则? ? ?m>0,
2 2 2 2 2

解得 m>2,即 p:m>2.

若方程 4x +4(m-2)x+1=0 无实根, 则 Δ =16(m-2) -16=16(m -4m+3)<0, 解得 1<m<3,即 q:1<m<3. 因 p 或 q 为真,所以 p,q 至少有一为真, 又 p 且 q 为假,所以 p、q 至少有一为假,因此,p、q 两命题应一真一假, 即 p 为真,q 为假或 p 为假,q 为真. ∴?
? ?m>2, ?m≤1或m≥3 ?
2 2

或?

? ?m≤2, ?1<m<3, ?

解得 m≥3 或 1<m≤2. 18.(本小题满分 12 分)已知拋物线的顶点在原点,它的准线过双曲线 2- 2=1 的一个焦点,并且这条

x2 y2 a b

?3 ? 准线与双曲线的两焦点的连线垂直,拋物线与双曲线交于点 P? , 6?,求拋物线方程和双曲线方程. ?2 ?
解析: 依题意,设拋物线方程为 y =2px(p>0), 3 ?3 ? ∵点? , 6?在拋物线上,∴6=2p? ,∴p=2, 2 2 ? ? ∴所求拋物线方程为 y =4x. ∵双曲线左焦点在拋物线的准线 x=-1 上,
2 2

?3 ? 2 2 ∴c=1,即 a +b =1,又点? , 6?在双曲线上, ?2 ? ?3? ? ? ?? 6 ?2? ∴? a - b ?a +b =1 ?
2 2 2 2 2 2

=1

1 ? ?a =4 ,解得? 3 ?b =4 ?
2 2



∴所求双曲线方程为 - =1. 1 3 4 4

x2 y2

19.(本小题满分 12 分)已知 p:2x -9x+a<0,
?x -4x+3<0, ? q:? 2 ?x -6x+8<0, ?
2 2

2

且綈 p 是綈 q 的充分条件,求实数 a 的取值范围.
? ?1<x<3, 解得? ?2<x<4, ?

解析:

? ?x -4x+3<0, 由 q:? 2 ?x -6x+8<0, ?

即 2<x<3,∴q:2<x<3. 设 A={x|2x -9x+a<0},B={x|2<x<3}, ∵綈 p? 綈 q,∴q? p,∴B? A, ∴2<x<3 满足不等式 2x -9x+a<0, 令 f(x)=2x -9x+a, 要使 2<x<3 满足不等式 2x -9x+a<0, 只需?
? ?f?2?≤0, ?f?3?≤0, ?
2 2 2 2

? ?8-18+a≤0, 即? ?18-27+a≤0, ?

∴a≤9,

故所求实数 a 的取值范围是{a|a≤9}. 20.(本小题满分 12 分)如图,已知四棱锥 P-ABCD 的底面为直角梯形,AB∥DC,∠DAB=90°,PA⊥底 1 面 ABCD,且 PA=AD=DC= AB=1,M 是 PB 的中点. 2

(1)证明:面 PAD⊥面 PCD. (2)求 AC 与 PB 所成角的余弦值. 解析: 建立如图所示的空间直角坐标系,

1? ? 则各点的坐标为 A(0,0,0)、B(0,2,0)、C(1,1,0)、D(1,0,0)、P(0,0,1)、M?0,1, ?. 2? ? → → → → (1)证明:∵AP=(0,0,1),DC=(0,1,0),AP?DC=0. ∴AP⊥DC, ∵AD⊥DC,∴DC⊥面 PAD.

又 DC 在平面 PCD 上,故面 PAD⊥面 PCD. → → (2)∵AC=(1,1,0),PB=(0,2,-1), → → → → 故|AC|= 2,|PB|= 5,AC?PB=2, → → AC?PB 10 → → ∴cos〈AC,PB〉= = . → → 5 |AC||PB| 21.(本小题满分 12 分)已知椭圆 G: +y =1.过点(m,0)作圆 x +y =1 的切线 l 交椭圆 G 于 A,B 两 4 点. (1)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率; (2)将|AB|表示为 m 的函数,并求|AB|的最大值. 解析: (1)由已知得 a=2,b=1,所以 c= a -b = 3. 所以椭圆 G 的焦点坐标为(- 3,0),( 3,0). 离心率为 e= =
2 2

x2

2

2

2

c a

3 . 2

(2)由题意知,|m|≥1. 当 m=1 时,切线 l 的方程为 x=1,点 A,B 的坐标分别为?1, 此时|AB|= 3. 当 m=-1 时,同理可得|AB|= 3. 当|m|>1 时,设切线 l 的方程为 y=k(x-m).

? ?

3? ? 3? ?,?1,- ?. 2? ? 2?

y=k?x-m?, ? ? 2 由?x 2 +y =1 ? ?4

得(1+4k )x -8k mx+4k m -4=0.

2

2

2

2 2

设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则

x1+x2=

8k m 4k m -4 2,x1x2= 2 . 1+4k 1+4k
2 2

2

2 2

又由 l 与圆 x +y =1 相切,得
2

|km|
2

=1,即 m k =k +1. k +1
2

2 2

2

所以|AB|= ?x2-x1? +?y2-y1? = ?1+k ?[?x1+x2? -4x1x2] = =
2 2

4?? ? 64k m2 2-4?4k m - 2 ?1+k ?? 2 ? ?1+ 4 k ? 1 + 4 k ? ? 4 3|m| . m2+3

4 2

2 2

由于当 m=±1 时,|AB|= 3, 4 3|m| 所以|AB|= 2 ,m∈(-∞,-1]∪[1,+∞). m +3 4 3|m| 因为|AB|= 2 = m +3 4 3 3 ≤2,且当 m=± 3时,|AB|=2,

|m|+ |m|

所以|AB|的最大值为 2. 1 22.(本小题满分 14 分)如图,四边形 ABCD 为正方形,PD⊥平面 ABCD,PD∥QA,QA=AB= PD. 2

(1)证明:平面 PQC⊥平面 DCQ; (2)求二面角 Q-BP-C 的余弦值. 解析:

如图,以 D 为坐标原点,线段 DA 的长为单位长,射线 DA 为 x 轴的正半轴建立空间直角坐标系 D-xyz.

(1)依题意有 Q(1,1,0),C(0,0,1),P(0,2,0), → → → 则DQ=(1,1,0),DC=(0,0,1),PQ=(1,-1,0). → → → → 所以PQ?DQ=0,PQ?DC=0, 即 PQ⊥DQ,PQ⊥DC. 又 DQ∩DC=D, 所以 PQ⊥平面 DCQ. 又 PQ? 平面 PQC, 所以平面 PQC⊥平面 DCQ. → → (2)依题意有 B(1,0,1),CB=(1,0,0),BP=(-1,2,-1). 设 n=(x,y,z)是平面 PBC 的法向量,则 → ? ?n?CB=0, ? ?n?→ BP=0, ?
? ?x=0, ?-x+2y-z=0. ?

即?

因此可取 n=(0,-1,-2). → ? ?m?BP=0, 同理,设 m 是平面 PBQ 的法向量,则? ?m?→ PQ=0, ? 可取 m=(1,1,1).所以 cos(m,n)=- 故二面角 Q-BP-C 的余弦值为- 15 . 5 15 . 5


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