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广东省惠州市2013届高三第二次调研考试数学试题(理科)2013.4

时间:2013-04-24


广东省惠州市 2013 届高三第二次调研考试数学试题 (理科) 2013.4
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是 符合题目要求的. 1、设函数 y ? A. ?
x? 2

的定义域为集合 M,集合 N= ? y | y ? x 2 , x ? R ? ,则 M ? N ? ( C. ?

0 , ? ? ? D.M
开始

) .

B.N

2、已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍,则椭圆的离心率等于(
1 2
2 2 3 2

) .
k=1

A.

B.

C. 2

D.

S ? 0

3、如果执行的程序框图(右图所示) ,那么输出的 S ? ( A.2450 B.2500
2

) .
k ? 50?



C.2550

D.2652

4、若曲线 y ? 2 x 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,则切线 l 的方程为( ) .

S ? S ? 2k

输出S

A、 4 x ? y ? 2 ? 0 C、 4 x ? y ? 3 ? 0
2

B、 x ? 4 y ? 9 ? 0 D、 x ? 4 y ? 3 ? 0
) .
3 4

k ? k ?1

结束

5、方程 x ? x ? n ? 0 ( n ? ( 0 ,1 )) 有实根的概率为(

A、

1 2

B、

1 3

C、

1 4

D、

6、已知 ? , ? 是平面, m , n 是直线,则下列命题中不正确的是(

) .

A、若 m ∥ n , m C、若 m

? ? ,则 n ? ?

B、若 m ∥ ? , ? D、若 m

? ? ? n ,则 m ∥ n

? ? , m ? ? ,则 ? ∥ ?

? ? , m ? ? ,则 ? ? ?

7、一张正方形的纸片,剪去两个一样的小矩形得到一个“ E ”图案, 如图所示,设小矩形的长、宽分别为 x 、 y ,剪去部分的面积为 2 0 , 若 2 ? x ? 1 0 ,记 y ? f ( x ) ,则 y ? f ( x ) 的图象是(
y

12
x

?y
12

) 新-课-标 .

-第- 一-网

y
5
5

1
O

2
A

10

1

x
O

2

B

10

x

y

y
10

10

2
O 10 C
x

2
O

2

2
D

10

x

8、将函数 y ? s in ( 2 x ?

?
3

) 的图象先向左平移

?
6

,然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的 ) .
?
6 )

,则所得到的图象对应的函数解析式为( 2 倍(纵坐标不变) A. y ? ? co s x B. y ? s in 4 x C.
y ? s in ( x ?

D. y ? s in x

第Ⅱ卷(非选择题,共 110 分)
二、填空题:本大题共7小题,其中13~15题是选做题,考生只能选做两题,三题全答的,只计 算前两题得分.每小题5分,满分30分.
? ?

?

?

9、已知向量 c ? ( 2 x ? 1 , 4 ) , d ? ( 2 ? x , 3 ) ,若 c // d ,则实数 x 的值等于 10、已知 ? ? ?
?? 3 ? , ? ? , s in ? ? ,则 ta n ? = 5 ? 2 ?





1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 11、 i 是虚数单位,则 1 ? C 6 i ? C 6 i ? C 6 i ? C 6 i ? C 6 i ? C 6 i ?



12、函数 f ( x ) 由下表定义:X|k |B| 1 . c|O |m
x

2 1

5

3

1 4

4
5

f (x)

2

3

若 a 0 ? 5 , a n ? 1 ? f ( a n ) , n ? 0 ,1, 2 , ? ,则 a 2 0 0 7 ? 13 、 ( 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ) 曲 线 C 1 : ?
? ? x ? 1 ? cos ? y ? sin ?



(? 为参数 ) 上 的 点 到 曲 线 C 2 :

1 ? x ? ?2 2 ? t ? ? 2 ( t 为 参 数 )上的点的最短距离为 ? 1 ?y ?1? t ? ? 2



14、(不等式选讲选做题)已知实数 a 、 b、 x、 y 满足 a ? b
2

2

? 1, x

2

? y

2

? 3 ,则 ax ? by 的最大

值为 . 15、(几何证明选讲选做题)如图,平行四边形 A B C D 中,
AE : EB ? 1 : 2 ,若 ? A E F 的面积等于 1cm ,
2

D

C

则 ? C D F 的面积等于

cm 2 .
A

F

E

B

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
12 16、 (本小题满分 12 分)设正项等比数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n , 已知 a 3 ? 4 , a 4 a 5 a 6 ? 2 .

(Ⅰ)求首项 a 1 和公比 q 的值;
10 (Ⅱ)若 S n ? 2 ? 1 ,求 n 的值.

17、 (本小题满分 12 分)设函数 f ( x ) ? 2 c o s x ? s in 2 x ? a ( a ? R ) .
2

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期和单调递增区间; (Ⅱ)当 x ? [ 0 ,
?
6 ] 时, f ( x ) 的最大值为 2,求 a 的值,并求出 y ? f ( x )( x ? R ) 的对称轴方程.

18、 (本小题满分 14 分)一个口袋中装有大小相同的 2 个白球和 4 个黑球. (Ⅰ)采取放回抽样方式,从中摸出两个球,求两球恰好颜色不同的概率; (Ⅱ)采取不放回抽样方式,从中摸出两个球,求摸得白球的个数的期望和方差.
n

(方差: D ? ?

?
i ?1

p i ? (? i ? E ? ) )
2

19、 (本小题满分 14 分)如图,已知四棱锥 P ? A B C D 的

P

底面 A B C D 是菱形; P A ? 平面 ABC D , P A ? A D ? A C , 点 F 为 P C 的中点.w
W w .x K b 1. c o M
A
B

F
D

(Ⅰ)求证: P A // 平面 B F D ; (Ⅱ)求二面角 C ? B F ? D 的正切值.

C

20、 (本小题满分 14 分)给定圆 P: x ? y
2 2

2

? 2 x 及抛物

y
A

线 S: y ? 4 x ,过圆心 P 作直线 l ,此直线与上述两曲线 的四个交点,自上而下顺次记为 A、 B 、 C 、 D ,如果线 段 A B 、 B C 、 C D 的长按此顺序构成一个等差数列,求直 线 l 的方程.
B P
o

C

x

D

21、 (本小题满分 14 分)设 M 是由满足下列条件的函数 f ( x ) 构成的集合: “①方程 f ( x ) ? x ? 0 有实数根;②函数 f ( x ) 的导数 f ? ( x ) 满足 0 ? f ? ( x ) ? 1 ” . (Ⅰ)判断函数 f ( x ) ?
x 2 ? sin x 4

是否是集合 M 中的元素,并说明理由;

(Ⅱ)集合 M 中的元素 f ( x ) 具有下面的性质:若 f ( x ) 的定义域为 D,则对于任意[m,n] ? D, 都存在 x 0 ? [m,n],使得等式 f ( n ) ? f ( m ) ? ( n ? m ) f ? ( x 0 ) 成立” ,试用这一性质证明:方程
f ( x ) ? x ? 0 只有一个实数根;

( Ⅲ ) 设 x 1 是 方 程 f ( x ) ? x ? 0 的 实 数 根 , 求 证 : 对 于 f ( x ) 定 义 域 中 任 意 的 x 2、 x 3 , 当
| x 2 ? x 1 |? 1 ,且 | x 3 ? x 1 |? 1 时, | f ( x 3 ) ? f ( x 2 ) |? 2 .

广东省惠州市 2013 届高三第二次调研考试 数学试题(理科)参考答案2007.11
一、选择题: 题号 答案
1
D

2
B

3

4
A

5

6

7

8

C

C

B

A

D

1、解析: M ? { x x ? 2} ,N= ? y | y ? x 2 , x ? R ? ? { y y ? x 2 ? 0} , 即 M ? N ? M ? N ? M .答案: D . 2、解析:由题意得 2 a ? 2 2 b ? a ? 答案: B . 3、解析:程序的运行结果是 s ? 2 ? 4 ? 6 ? ? ? ? ? 100 ? 2550 .答案: C . 4、解析:与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直的切线 l 的斜率必为4,而 y ? 4 x ,所以,切点为 (1, 2 ) .切
'

2 b ,又 a

2

? b ? c
2

2

? b ? c ? a ?

2c ? e ?

2 2



线为 y ? 2 ? 4 ( x ? 1) ,即 4 x ? y ? 2 ? 0 ,答案: A . 5、解析:由一元二次方程有实根的条件 ? ? 1 ? 4 n ? 0 ? n ? 实根的概率为
1 4 1 4

,而 n ? ( 0 ,1 ) ,由几何概率得有

.答案: C .

6、解析:如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面,所以 A 正 确;如果两个平面与同一条直线垂直,则这两个平面平行,所以 C 正确; 如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线,则这两个平面平行,所以 D 也正确; 只有 B 选项错误.答案: B . 7、解析:由题意,得 y ? 8、解析: y ? s in ( 2 x ?
?
3 10 x ) 的图象先向左平移 1 2 ( 2 ? x ? 1 0 ) ,答案: A .

?
6

? y ? s in [ 2 ( x ?

?
6

)?

?
3

] ? s in 2 x ,横坐标变为

原来的 2 倍 ? y ? s in 2 ( 二、填空题: 题号 答案
9
1 2

x ) ? s in x .答案: D .

10
? 3 4

11
? 8i

12

13

14

15

4

1

3

9

?

?

9、解析:若 c // d ,则 3( 2 x ? 1) ? 4 ( 2 ? x ) ? 0 ,解得 x ? 10、解析:由题意 cos ? ? ?
4 5 ? tan ? ? sin ? cos ? ? ? 3 4

1 2



.http://ww w.xkb 1.com

1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 6 2 3 3 11、解析: 1 ? C 6 i ? C 6 i ? C 6 i ? C 6 i ? C 6 i ? C 6 i ? (1 ? i ) ? [( 1 ? i ) ] ? ( 2 i ) ? ? 8 i

12、解析:令 n ? 0 ,则 a 1 ? f ( a 0 ) ? 5 ,令 n ? 1 ,则 a 2 ? f ( a 1 ) ? f ( 5 ) ? 2 , 令 n ? 2 ,则 a 3 ? f ( a 2 ) ? f ( 2 ) ? 1 ,令 n ? 3 ,则 a 4 ? f ( a 3 ) ? f (1) ? 4 , 令 n ? 4 ,则 a 5 ? f ( a 4 ) ? f ( 4 ) ? 5 ,令 n ? 5 ,则 a 6 ? f ( a 5 ) ? f (5 ) ? 2 , ?,所以 a 2 0 0 7 ? a 5 0 1 ?4 ?3 ? a 3 ? 4 . 13、解析: C 1 : ?
? ? x ? 1 ? cos ? y ? sin ? ? ( x ? 1)
2

? y

2

? 1 ;则圆心坐标为 (1 , 0 ) .

C2

1 ? x ? ?2 2 ? t ? 2 ? x ? y ? 2 :? 1 ? y ?1? t 2 ?
1? 2 2 ?1

2 ? 1 ? 0 由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离为

d ? 2

? 2 ,所以要求的最短距离为 d ? 1 ? 1 .

2 2 2 2 2 14、解析:由柯西不等式 ( a ? b )( x ? y ) ? ( ax ? by ) ,答案: 3 .

15、解析:显然 ? A E F 与 ? C D F 为相似三角形,又 AE : CD ? 1 : 3 ,所以 ? C D F 的面积等于 9cm .
2

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
3 12 4 16、解: (Ⅰ)? a 4 a 5 a 6 ? a 5 ? 2 ? a 5 ? 2 ? 1 6 ( a 5 ? 0 ) ,

????????? 2 分



a5 a3

? q

2

? 4 ? q ? 2 ,??????????????????? 4 分

解得 a 1 ? 1 .????????????????????????? 6 分
10 (Ⅱ)由 S n ? 2 ? 1 ,得: S n ?

a1 ( q

n

? 1)

q ?1

? 2 ?1,
n

????????? 8 分

∴2 ?1 ? 2
n

10

?1? 2

n

? 2

10

????????????? 10 分

∴ n ? 1 0 .??????????????????????? 12 分

17、解: (1) f ( x ) ? 2 c o s x ? s in 2 x ? a ? 1 ? c o s 2 x ? s in 2 x ? a ?
2

2 s in ( 2 x ?

?
4

) ?1? a ? 2 分

则 f ( x ) 的最小正周期 T ? 且当 2 k ? ?
?
2 ? 2x ?

2?

?

? ? ,

?????????????4 分

?
4

? 2k? ?

?
2

( k ? Z ) 时 f ( x ) 单调递增.

即 x ? [k? ?

3? 8

, k? ?

?
8

.???6 分 ]( k ? Z ) 为 f ( x ) 的单调递增区间(写成开区间不扣分)
?
4 ? 2x ?

(2)当 x ? [ 0 , 所以 f ( x ) m a x ?
2x ?

?
6

] 时?

?
4

?

7? 12

,当 2 x ?
2 .

?
4

?

?
2

,即 x ?

?
8

时 s in ( 2 x ?

?
4

) ?1.

2 ?1? a ? 2 ? a ?1?

??????????9 分 ???????12 分

?
4

? k? ?

?
2

? x ?

k? 2

?

?
8

( k ? Z ) 为 f ( x ) 的对称轴.

18、解: (Ⅰ)解法一: “有放回摸两次,颜色不同”指“先白再黑”或“先黑再白” , 记“有放回摸球两次,两球恰好颜色不同”为事件 A ,?????????2 分 ∵“两球恰好颜色不同”共 2 ? 4 + 4 ? 2 = 1 6 种可能,??????????5 分 ∴ P ( A) ?
16 6?6 ? 4 9

. ????????????????????7 分

解法二: “有放回摸取”可看作独立重复实验, ??????????2 分 ∵每次摸出一球得白球的概率为 P ?
2 6 ? 1 3
1

.????????????5 分
4 9

∴“有放回摸两次,颜色不同”的概率为 P2 (1) ? C 2 ? p ? (1 ? p ) ? 7分 (Ⅱ)设摸得白球的个数为 ? ,依题意得:
? P (? ? 0 ) ? 4 6 ? 3 5 8 15
2

. ???????????

?

2 5

, P ( ? ? 1) ?

4 6

?

2 5

?

2 6

?

4 5

?

8 15

,P ( ? ? 2 ) ?

2 6

?

1 5

?

1 15

.????10

分 ∴ E? ? 0 ?
D ? ? (0 ? 1 2 2 3
19、(Ⅰ)证明:
? ABCD ?

? 1? 2 5

? 2? 2 3

1 15

? 8

2 3

,??????????????12 分
2 3 ) ?
2

) ?

? (1 ?

) ?
2

? (2 ?

1 15

?

16 45

.????????14 分

15

连结 A C , B D 与 A C 交于点 O ,连结 O F .?????????1 分

是菱形, ∴ O 是 A C 的中点. ???????????????2 分 ?????????????3 分 ?????? 6 分

点 F 为 P C 的中点, ∴ O F // P A .

? O F ? 平面 B F D , P A ? 平面 B F D , ∴ P A // 平面 B F D .

(Ⅱ)解法一:
? PA ?

P

平面 A B C D , A C ? 平面 A B C D ,∴ P A ? A C . ??????????? 7 分
H A
O
B
C

? O F // P A ,∴ O F ? A C .
? A B C D 是菱形,

F
D

∴ AC ? BD .

? OF ? BD ? O ,

∴ A C ? 平面 B D F . ??????????????????????8 分 作 O H ? B F ,垂足为 H ,连接 C H ,则 C H ? B F , 所以 ? O H C 为二面角 C ? B F ? D 的平面角. ????????????? 10 分
? PA ? AD ? AC

,∴ O F ?

1 2

PA, BO ?

3 2

P A , BF ?

BO ? OF
2

2

? PA .

在 Rt△ F O B 中, O H =

OF · BO BF

?

3 4

PA

,??????????? 12 分

1

∴ ta n ? O H C ?

OC OH

PA ? PA

?

2 3 4

2 3

3

.??????????? 13 分

∴二面角 C ? B F ? D 的正切值是

2 3

3

. ?????????? 14 分 http://ww w.xkb 1.com

解法二:如图,以点 A 为坐标原点,线段 B C 的垂直平分线所在直线为 x 轴, A D 所在直线为 y 轴,
A P 所在直线为 z 轴,建立空间直角坐标系,令 P A ? A D ? A C ? 1 ,?????2 分

则 A ? 0 , 0 , 0 ? , P ? 0 , 0 ,1 ? , C ? ? ∴ B C ? ? 0 , 1, 0 ? , B F ? ? ? ?
? ???? ??? ? ?

?

3

,

1

? 2 3 4 ,

? ,0 ? ,B ? 2 ? ? ? . ? ?

? 3 ? 1 , ? , 0 ? , D ? 0 ,1, 0 ? , F ? ? 2 ? 2 ? ?

? 3 1 1 ? , , . ? ? 4 4 2 ? ? ? ?
z

3 1 , 4 2

?????4 分

设平面 B C F 的一个法向量为 n ? ? x , y , z ? ,
?y ? 0 ?y ? 0 ? ???? ? ??? ? ? ? ? ? 由 n ? B C , n ? B F ,得 ? 3 3 1 3 , ? x? y ? z ? 0 z ? x ? ? ? 4 4 2 ? 2

?

P

F A D
y

令 x ? 1 ,则 z ?
? PA ?

3 2

,∴ n ? ? 1, 0 , ?
?

?

?

3 ? ?. 2 ? ?

???????7 分

平面 A B C D , A C ? 平面 A B C D ,

B
x

C

∴ P A ? A C . ????????????? 8 分
? O F // P A ,∴ O F ? A C .
? ABCD

是菱形,∴ A C ? B D .

? O F ? B D ? O ,∴ A C ? 平面 B F D .??????????? 9 分

∴ A C 是平面 B F D 的一个法向量, A C ?

????

????

? 3 1 , ,0 ? ? 2 2 ?

? ? ? ?

.??????? 10 分

???? ? ∴ cos A C , n

???? ? AC ?n ? ???? ? ? AC ? n

3 2 1?
2

? ?1

21 7



3 4

∴ s in

???? ? AC , n

?

? 1? ? ? ?
2 7 7 21 7 ?

21 ? ? 7 ? ?

?

2 7

7

, ???????? 12 分

∴ ta n

???? ? AC ,n

?

2 3

3

.?????????????? 13 分

∴二面角 C ? B F ? D 的正切值是
2 0、 解:圆 P 的方程为 ? x ? 1 ? ? y
2 2

2 3

3

. ????????? 14 分

? 1 ,则其直径长 B C ? 2 ,圆心为 P ? 1, 0? ,设 l 的方程为
2

k y ? x ? 1 ,即 x ? k y ? 1 ,代入抛物线方程得: y

? 4 k y ? 4 ,设 A ? x1 , y 1 ? , D ? x 2 , y 2 ? ,

有?

? y1 ? y 2 ? 4 k ? y1 y 2 ? ? 4

y

,

????????????2 分
A

2 2 2 则 ( y 1 ? y 2 ) ? ( y 1 ? y 2 ) ? 4 y 1 y 2 ? 1 6 ( k ? 1) . ????????4 分

故 | A D | ? ( y 1 ? y 2 ) ? ( x1 ? x 2 ) ? ( y 1 ? y 2 ) ? (
2 2 2 2

y1 ? y 2
2

2

)

2

?6 分
P
o

4

B

? ( y 1 ? y 2 ) [1 ? (
2

y1 ? y 2 4

) ] ? 16 ( k
2

2

? 1 ) , ???? 7 分
2

因此 | AD | ? 4 ( k

2

? 1) .

????????????? 8 分 , ????? 10 分
2 2 ,
2x ? y ? 2 ? 0.

C

x

据等差, 2 BC ? AB ? CD ? AD ? BC 所以 AD ? 3 BC ? 6 即 4(k ,
2

D

? 1) ? 6 , k ? ?

????? 12 分 ???????14 分

即: l 方程为 2 x ? y ? 21、解: (1)因为 f ? ( x ) ?
1 3 4 1 2 ? 1 4

2 ? 0或

cos x , ??????????2 分

所以 f ? ( x ) ? [ , ] ,满足条件 0 ? f ? ( x ) ? 1 .
4

???????3 分

又因为当 x ? 0 时, f ( 0 ) ? 0 ,所以方程 f ( x ) ? x ? 0 有实数根 0 . 所以函数 f ( x ) ?
x 2 ? sin x 4

是集合 M 中的元素. ??????????4 分

(2)假设方程 f ( x ) ? x ? 0 存在两个实数根 ? , ? (? ? ? ) , 则
f (? ) ? ? ? 0 , f ( ? ) ? ? ? 0

,??????????????5 分

不妨设 ? ? ? ,根据题意存在数 c ? (? , ? ), 使得等式 f ( ? ) ? f (? ) ? ( ? ? ? ) f ? ( c ) 成立, ?????????7 分 因为 f (? ) ? ? , f ( ? ) ? ? , 且 ? ? ? ,所以 f ? ( c ) ? 1 ,与已知 0 ? f ? ( x ) ? 1 矛盾, 所以方程 f ( x ) ? x ? 0 只有一个实数根;?????????10 分 (3)不妨设 x 2 ? x 3 ,因为 f ? ( x ) ? 0 , 所以 f ( x ) 为增函数,所以 f ( x 2 ) ? f ( x 3 ) , 又因为 f ? ( x ) ? 1 ? 0 ,所以函数 f ( x ) ? x 为减函数, ????????11 分 所以 f ( x 2 ) ? x 2 ? f ( x 3 ) ? x 3 , ????????????12 分 所以 0 ? f ( x 3 ) ? f ( x 2 ) ? x 3 ? x 2 ,即 | f ( x 3 ) ? f ( x 2 ) |? | x 3 ? x 2 | , ????13 分 所以 | f ( x 3 ) ? f ( x 2 ) |? | x 3 ? x 2 | ? | x 3 ? x 1 ? ( x 2 ? x 1 ) ? | x 3 ? x 1 | ? | x 2 ? x 1 |? 2 . ?14 分

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