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平面向量的正交分解、坐标表示及运算


e2

a

回顾
平移 共同起点

e1
B

a ? OA ? OB

a
e1
A

OA ? ?1 e1 OB ? ?2 e2

分解

e2
O

/>?
1 1 2 2

? a ? ? e ?? e

平面向量的正交分解及坐标表示 & 平面向量的坐标运算
韩建平 2012.12.21

λ2 a2

a

把一个向量分解为两个互相垂 直的向量,叫做把向量正交分解
λ1a1

F1 G

F2

正交分解

探究
问题1:如图,取与x轴、y轴同向的单 ? ? ? ? 位向量 i ?,j 为基底,分别用 i ,j ? ?, ?。 表示 a,b , c d

演示

探究
问题2:更一般的,怎样定义平面内任一 ? 向量 a 的坐标? 平面向量的坐标表示的定义:在直角坐标 ? 系内,取与x轴,y轴同向的单位向量 i 、 ? ? j 为基底,任意一个向量 a ,由平面向量 基本定理知,有且只有一对实数x、y,使 ? ? ? ? 得 a =xi +yj ,则称(x,y)为向量 a 的坐 ? 标,记作 a =(x,y) ,即为向量的坐标 表示。

问题3:写出下图中各向量的坐标。

探究

??? ? 问题4:观察下面的演示,其中 BA 的坐

探究

标与终点A点的坐标之间有何关系。

演示

探究
问题5:向量的坐标与表示该向量的有向线 段的起点和终点坐标之间有什么关系?

演示
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线 段的终点的坐标减去起点的坐标。

探究
问题6:当向量用有向线段表示时,我们 可以对其进行加、减、数乘等运算,向量 用坐标表示了之后,相应的运算法则是什 么?

演示

? ? ? ? ?? 例4.已知a =(2,1),b=(-3,4),求a +b,a -b, ? ? 3a +4b的坐标。

巩固

巩固
例5.已知平行四边形ABCD的点A、B、C 分别为(-2,1)、(-1,3),(3,4), 求D点坐标。


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