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高一数学同步辅导教材(第15讲)


高一数学同步辅导教材(第 15 讲)
一、本讲速度 3.1 数列 3.2 等差数列 二、本讲主要内容 1. 数列的概念,数列的通项公式,由递推公式给出数列。 2. 等差数列的概念和通项公式,等差中项的概念。 三、学习指导 1. 要正确理解数列的概念,了解数列通项公式的意义,了解递推公式是给出数列 的一种方法,并会根据递推公式写出数列的前若干项。 数列是按一定顺序排列起来

的一列数。它可以看作是一个序号集合到另一个数 集的映射;从映射函数的观点来看,数列是一个定义域为正整数集N+(或它的有限 子集{1,2,??,n} )的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一系列函数 值。用函数观点看待数列,有助于加深对数列概念和性质的理解。 数列的数是按一定顺序排列的。如果组成两个数列的数相同而顺序不同,那么 它们是不同的数列,如课本上堆放钢管的实例,自上而下的每层钢管数组成数列: 4,5,6,7,8,9,10。与自下而上的每层钢管数组成的数列:10,9, 8,7,6,5,4。是两个不同的数列。 要把数列概念与数集概念区分开来。数列中的数不但有顺序,而且并没有规定 必须不同,即同一个数在数列中是可以重复出现的,常数数列甚至都是由同一个数 排成的数列,如,1,1,1,??。而数集中的数是无序的,并且是互异的。 数列的通项公式就是相应函数的解析式。如果已知一个数列的通项公式,那么 只要用序号代替公式中的 n,就可以求出数列的各项。 根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是一个难点。克服这个难点的关键 是根据各项的特点,它与序号的关系,找出各项共同的构成规律得出通项公式。 并不是每个数列都是有通项公式的,如π 精确到1,0.1,0.01,0.00 1,??的不足近似值构成的数列就没有通项公式。 一个数列的通项公式可以有不同的形式,如数列-1,1,-1,1,??的 通项公式可以写成 an=(-1)n,也可以写成 1 an= -1 (n=2k,k∈N+) 它们形式不同,但实质是一样的. 与表示函数有列表法、图象法一样,数列也可以列表表示或用图象表示。利用 列表法表示的数列,内容具体,方法简单,缺点是难以表示项数较多的数列或无穷 数列。图象法表示的数列直观但不精确。 数列还可以用递推公式表示。虽然递推公式是表示数列的一种重要方法,但限 于学习要求, 只需了解这种方法, 能够根据递推公式写出数列的前若干项就可以了。 2.要正确理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念,并 能用于解决一些简单的问题。 课本上通过归纳三个数列的共同特点给出了等差数列的定义及公差 d 的概念。 对于等差数列 {an} 有 an+1-an=d(n∈N+),这就是等差数列的递推公式.由 an-an-1=d, an-1-an-2=d, ??, a2-a1=d, 将这 n-1 个式子相加, 得 an-a1=(n-1)d, 即 an=a1+(n-1)d, (n=2k-1,k∈N+)

这是等差数列的通项公式。这种求通项公式的方法叫迭加法,是解决数列问题的有 效方法之一。 等差数列的通项公式在课本上是由定义,通过不完全归纳法得出的,这种推导 过程要引起重视,它是培养观察分析,归纳总结能力的重要途径。 根据等差数列的定义,一个等差数列至少有三项。如果 a,A,b 成等差数列, a?b 那么A叫做 a,b 的等差中项, 且A= , (A也叫 a,b 的算术平均值) 。 容易知道, 2 一个等差数列中,除首末(如果有末项的话)两项外,任何一项都是相邻两项的等 差中项,并且进而可知,任何一项都是前后与它等距两项的等差中项,即
an ? an?k ? an? k , (n,k∈N+,且 n>k) . 2

等差数列有如下一些性质: (1) 设数列{an}是公差为 d 的等差数列,那么 an=am+(n-m)d (m,n∈N+) (2) 设数列{an}是等差数列,如果 m,n,k, l ∈N+,且 m+n=k+ l ,那么 am+ an=ak+ al (3) 等差数列中,序号成等差数列的项也成等差数列. (4) 设数列{an}和{bn}都是等差数列,那么数列{λ an+μ bn} (λ ,μ 为 常数) ,也是等差数列. 以上性质不难用等差数列的定义和通项公式进行证明,读者不妨一试. 四.典型例题分析 例1. 分别写出下列数列的一个通项公式: 1 2 3 4 5 (1) ? 1 ,3 ,?5 ,7 ,?9 , ?? 4 9 6 25 36 5 7 (2) 4,? ,2,? , ?? 2 4 (3)5,55,555,5555,?? 5 7 9 (4) 1,1, , , , ?? 7 15 31 解题思路分析: (1) 数列各项的绝对值可以分成整数,分数的分子和分母三部分 ,再分别考 察各部分,加上变换正负号的(-1)n 得 an=(-1)n[(2n-1)+
n ] (n ? 1) 2

4 5 6 7 n+1 n ? 3 (2) 将这数列前4项改写成 ,? , ,? ,可得通项公式 an=(-1) 1 2 3 4 n n (3) 由于9,99,999,9999,??的通项公式是 10 -1 所以将题 5 中数列各项改写后,可得通项公式 an= (10n-1) 9 1 3 5 7 9 2n ? 1 (4) 原数列可写成: , , , , , ?? 得通项公式为 an= n 1 3 7 15 31 2 ?1

例2. 数列{an}中,a1=1, 对所有的 n≥2都有 a1 ? a 2 ? ?an=n2; (1) 求 a3+a5; 256 (2) 是这数列中的项吗? 225

解题思路分析: 据题设 a1 ? a 2 ? ?an-1=(n-1)2,而 a n ?

a1 ? a 2 ? ? ? an a1 ? a2 ? ? ? an?1

∴ an ?

n2 (n ? 1) 2

(n≥2)
61 256 256 n2 ,令 ,可以判断 是这数列中的第16 ? 2 16 225 225 (n ? 1)

由此可以求得 a3+a5=

项. 例3. 在-1与7之间顺次插入三个数 a,b,c,使这五个数成等差数列,求此 数列. 解题思路分析: 设五个数组成等差数列{an} ,则 a1=-1,a5=7,利用通项公式求出公差,得数列 为-1,1,3,5,7. 也可以利用等差中项来解,第三项是第一和第五项的等差中项,第二,第四项 分别是其相邻两项的等差中项,从而求得数列. 例4. 已知 an=an-1+
1 , (n≥2),a1=1 n( n ? 1)

(1) 写出数列的前五项; (2) 由(1)中的前5项推测数列的通项公式并进行证明. 解题思路分析: 3 5 7 9 前五项为 1, , , , . 2 3 4 5 2n ? 1 2n ? 3 观察这五项的分子,分母,猜得 a n ? ,由此得 a n ?1 ? ,代入递推公 n n ?1 式证明上述猜想正确. 例5. 在等差数列{an}中 (1) 已知 a2=5,a6=17,求 an. (2) 已知 a6=5,a3+a8=5,求 a5. (3) 已知 a1+a2+a3+a4=26,a2a3=40,求 a5. 解题思路分析: a1+d=5 (1) 利用等差数列通项公式有 a1+5d=17 解出 a1,d 后得通项公式 an=3n-1; (2) 利用等差数列性质,由 a3+a8=a5+a6=5,得 a5=0. (3) 设 a1=a-3d,a2=a-d,a3=a+d,a4=a+3d, (a-3d)+(a-d)+(a+d)+(a+3d)=26 则得 (a-d) (a+d)=40 解出 a,b.得 a5=14 或-1. 例6. 已知等差数列{an}满足 a3?a7=-12,a4+a6=-4,求数列{an}的通项公 式.

解题思路分析:设公差为 d ,首项为 a1,可得方程组: a3?a7=(a1+2d)(a1+6d)=-12 a4+a6=(a1+3d)+(a1+5d)=-4 解得 a1,d 后得通项公式 an=2n-12 或 an=-2n+8 例7. 为了测试某种金属的热膨胀性质, 将这种金属的一根细棒加热, 从 100℃ 开始第一次量细棒长度,以后每升高 50℃量一次,把依次量得的数据所 成的数列{ l n}表示成图象,如图, 2.007 Ln(单位:m) 2.006 根据图象回答下列问题: 2.005 (1) 第 5 次量得金属棒的长度是多少? 2.004 2.003 2.002 此时金属棒的温度是多少? 2.001 (2)求{ l n}的通项公式和金属棒长度 l 2.000 n o 1 2 3 4 5 6 (单位:m)关于温度 t(单位:℃)的 (测量序号) 函数关系式; (3)在 30℃的温度条件下,如果把两块这种矩形金属板平铺在一个平面上, 这个平面的最高温度可达到 500℃,问铺设时两块金属板之间至少要留出多宽的空 隙? 解题思路分析: 本题是通过实验取得数据从而进行研究实际问题一个应用题。从图上不难看 到第 5 次量得金属棒长度是 2.005 m,这时温度为 300℃。 设 l n=dn+b , 由 待 定 系 数 法 可 得 通 项 公 式 l n=0.001n+2 , 由 题 意 可 得 t ? 50 t=50(n-1)+100=50n+50 。 ∴ n ? ,代入通项公式得所求函数关系式为 50 l =0.00002t+1.999。 设当 t=30℃时,金属板在某个面上长度为 l ’m,当 t=500℃时金属板在该个面的 长度为 l ”m,则 l ”- l ’=0.0094(m)。这就是至少要留出的空隙。

五.巩固练习 (一)选择题: 1.如果无穷数列{an}的第 n 项与 n 之间的函数关系能用一个公式 an=f(n)来表 示,则该函数的定义域为( ) (A)Z (B)N (C)N+ (D)N+的有限子集{1,2,?,n} 2.数列-1,6,-11,16,?的一个通项公式为 ( ) (A)an= 5n-4 (B) an=-5n+4 (C) an= (-1)n?5n-4 (D) an=(-1)n(5n-4) 3. 已知数列{an}的首项 a1=1, 且 an=2an-1+1 (n≥2) ,则 a5 为 ( ) (A)7 (B)15 (C)30 (D)31 4. a,b,c 都是实数, 那么 “2b=a+c” 是 “a,b,c 成等差数列” 的 ( ) (A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件 (C)充要条件 (D)既非充分又非必要条件 5. 一个等差数列的第五项 a5=10, 且 a1+a2+a3=3, 则有 ( ) (A)a1=-2,d=3 (B)a1= 2,d=-3 (C)a1= -3,d=2 (D)a1=3, d=-2 6.在等差数列{an}中,am=n,an=m(m,n∈N+),则 am+n= ( ) (A)mn (B)m-n (C)m+n (D)0

7 . 已 知 等 差 数 列 {an} 中 , a1=-5,d=7,an ≤ 695, 则 这 个 等 差 数 列 至 多 有 ( ) (A)98 项 (B)99 项 (C)100 项 (D)101 项 8. 已知等差数列{bn}中, d=-3,b7=10,则 b1 是 ( ) (A)-39 (B)28 (C)39 (D)32 9 . 已 知 等 差 数 列 {cn} 中 , c10+c15=9, 则 c9+c16,cn 的 值 是 ( ) 9 (A)不能确定 (B)9 (C)18 (D) 2 10. 在等差数列 40, 37, 34, ??中第一个负数项是 ( ) (A)第 13 项 (B)第 14 项 (C)第 15 项 (D)第 16 项 (二)填空题 11.数列 2,-4,6,-8,?的一个通项公式是_________。 12.已知数列: 2 , 5, 2 2 , 11, ?,则 2 5 是这个数列的第________项。 13.数列 a1=-1,an=
2 a n ?1 ? 1 (n≥2)的前四项依次是________________________。

14.等差数列{an}中,a15=33,a45=153,则 217 是这个数列的第__________项。 15.若一个三角形的三内角成等差数列,且已知一个角为 28°,则其它两角度 数为____________________。 16. 若{an}为等差数列, a2,a10 是方程 x2-3x-5=0 的两根, 则 a5+a8=____________。 (三)解答题 17.求下列各数列的一个通项公式: 1 3 5 7 9 (1) , , , , , ?? 4 8 16 32 64 1 1 1 1 1 (2) ? , ,? , ,? , ?? 3 8 15 24 35 1 1 1 (3) 1,0, ,0, ,0, ,0, ?? 3 5 7 18.在矩形纸片内取 n(n∈N+)个点,连同矩形的 4 个顶点共 n+4 个点,这 n+4 个点中无三点同在一直线上。以这些点作三角形的顶点,把矩形纸片剪成若干个三 角形纸片,把这些纸片的个数记为 an (1)求 a1,a2。 (2)求数列{an}的递推公式; (4) 根据递推公式写出数列{an}的前 6 项。 19.已知等差数列{an}中,a1+a4+a7=15,a2a4a6=45,求数列{an}的通项公式。 20.在等差数列{an}中,已知 a4=70,a21=-100, (1)求首项 a1 与公差 d,并写出通项公式; (2){an}中有多少项属于区间[-18,18]? 21.已知等差数列{an},求证: (1)若 u+v=p+q,则 au+av=ap+aq; (2)若 t=7n+2(n∈N+),则当 n 依次取 1,2,3,?时,所得 at 组成的数列也 是等差数列。

六.参考解答 (一) 选择题: 1.C.无穷数列从函数观点来看,定义域是 N+。 2.D.将 n=1,2,3,4 代入各通项公式,知 D 适合。 3. D. 逐项计算, a1=1,a2=2?1+1=3,a3=2?3+1=7,a4=2? 7+1=15,a5=2?15+1=31. 4.C.由 2b=a+c 得 b-a=c-b,知 a,b,c 是等差数列;反之也真。 a1+4d=10 5.A.由 解得 a1=-2,d=3。 3a1+3d=3 6.D.由 am=n,an=m,得 d ?
an ? am ? ?1 ,am+n=am+nd=n-n=0. n?m

7.D.由-5+7(n-1)≤695 得 n≤101. 8.B.b7=b1+(7-1)(-3)=10,∴b1=28. 9.B.c9+c16=c10+c15=9..
1 10.C.∵a1=40,d=-3,∴由 an=40-3(n-1) ≤0 解得 n≥ 14 ,∵n∈N∴n≥15. 3 (二) 填空题 11.an=(-1)n+1?2n 各项符号正负相间,满足(-1)n+1;各项是序号 n 的 2 倍。

12.7

将数列写成 2, 5, 8, 11,?, 则 2 5 = 20 是数列中第 7 项。

13.-1,-1,-1,-1 逐项代入计算得到。 14.61 由 a1+14d=33 及 a1+44d=153 得 d=4,a1=-23,从-23+4(n-1)=217 解得 n=61. 15.60°,92° 设三角形三个内角为 x-d,x,x+d,则(x-d)+x+(x+d)= 180°,∴x-d= 28°,∴d=32°,∴x+d=92°。 16.3 ∵a3+a10=3,∴a5+a8=a3+a10=3 (三)解答题 17.解(1)所给数列前 5 项分子组成奇数数列,其通项公式为 2n-1,而前 5 2n ? 1 项分母所组成数列的通项公式为 2?2n,所以已知数列 an 的通项公式为 a n ? n ?1 , 2 (2)从所给数列的前 5 项可知,每一项分子都是 1,而分母所组成的数列为 3 , 8, 15, 24, 35, ?可变形为 1?3, 2?4, 3?5, 4?6, 5?7?, 其通项公式为 n(n+2); 各项符号是奇数项为 负,偶数项为正。因此所给数列的通项公式为 an=(-1)n ?
1 . n(n ? 2)

1 0 1 0 1 0 1 0 (3)所给数列改写成: , , , , , , , ,?, 数列分子是 1,0 重复变化,且奇 1 2 3 4 5 6 7 8

数项为 1,偶数项为 0,所以可表示为
1 ? (?1) n ?1 。 2n

1 ? ( ?1) n ?1 ;分母通项为正整数 n,所以数列 2

的通项公式为 a n ?

18.解(1)a1=4,a2=6 (2)因为这 n+4 个点中无三点共线,所以每增加 1 个点 Ai(如图,点 Ai 必在某一个三角形内)剪成的三 角形纸层新增 3 个(图中的Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ)但减少了原 来的 1 个,实际增加 2 个,所以 ?an ? 的递推公式是 an=an-1+2(n≥2) 。 (3) a1=4,a2=a1+2=4+2=6, a3=a2+2=6+2=8 a4=a3+2=8+2=10 a5=a4+2=10+2=12 a6=a5+2=12+2=14 19.解:∵a1+a7=2a4 ∴a1+a4+a7=3a4=15 ∴a4=5 ∵a2a4a6=45, ∴a2a6=9 设等差数列公差为 d,则(a4-2d)(a4+2d)=9 即(5-2d)(5+2d)=9 ∴d=±2 当 d=2 时 an=a4+(n-4)d=5+(n-4)?2=2n-3 当 d=-2 时,an=5+(-2)(n-4)=13-2n
?a1 ? 3d ? 70 20.解(1)由题意,得 ? 解得 a1=100,d=-10 ?a1 ? 20 d ? ?100

Ⅲ Ai

I



所以通项公式是 an=100-10(n-1) 即 an=-10n+110 (2)由题意,得-18≤-10n+110≤18 解得 12.8≥n≥9.2, ∵n∈N+ ∴12≥n≥10.所以属于区间[-18,18]的共有 3 项,它们是 a10,a11,a12 21.解(1)设 an=a1+(n-1)d,则 au=a1+(u-1)d ① av=a1+(v-1)d, ② ap=a1+(p-1)d ③, aq=a1+(q-1)d ④ ①+②,得 au+av=2a1+(u+v-2)d ③+④,得 ap+aq=2a1+(p+q-2)d ∵u+v=p+q ∴au+av=ap+aq (2)设 at 所组成的数列为 ?bm ?, (m∈N+) 则 b1=a9,b2=a16,b3=a23,?, bm-1=a7(m-1)+2,bm=a7m+2,?, ∴bm-bm-1=a7m+2-a7(m-1)+2 =a1+(7m+1)d-{a1+[7(m-1)+1]d}=7d 所以 ?bn ? 是公差为 7d 的等差数列。 七.附录 例 1 的解 (1) 数列的各项的绝对值均有三部分组成, 整数部分, 分数的分子和分母部分, 整数部分是奇数数列,分子部分是正整数数列,而分母部分是比分子大 1 的平分数 数列,所以所求的一个通项公式为

? n ? a n ? (?1) n ?(2n ? 1) ? ? (n ? 1) 2 ? ?
4 5 6 7 (2) 这个数列的前四项可以改写成: ,? , ,? 这 4 项的分母都与序号相同, 1 2 3 4 分子都恰好是分母加 3;又因如奇数项为正,偶数项为负,所以它的一个通项公式 为 n?3 a n ? (?1) n ?1 ? n 5 5 5 (3)这个数列的前 4 项可以写成: ? 99, ? 999 , ? 9999 , 其中 9,99,999,9999 9 9 9 1 2 3 4 则可表示成 10 -1,10 -1,10 -1,10 -1,这里 10 的正整数次幂恰好与数列中项的 5 序号相等,所以它的一个通项公式是 an= (10 n ? 1) 9 1 3 5 7 9 (4) 原数列可以写成: , , , , , ? 分子数列恰好为奇数数列,分母数列恰 1 3 7 15 31 2n ? 1 好为 2n-1, 故所求的一个通项公式为 a n ? n 2 ?1 评注:复杂的数列常常是由一些简单的基本数列构成的,求这些数列的通项公 式可以转化成基本数列的求解,在分析较复杂数列的构造时,有时把所给的前几项 作适当的变形,将有助于我们找到项与序号之间的对应关系。 例 2 的解 由已知 a1?a2??an=n2,得 a1a2?an-1=(n-1)2,

∴ an ?

a1a2 ?an n2 ? (n ? 2, n ? N ?) a1a2 ?an?1 (n ? 1) 2

(n ? 1) ?1 ? ∵a1=1 不适合此等式,故 a n ? ? n 2 ? (n ? 1)2 (n ? 2) ?

(1) a3 ? a5 ?

3 2 5 2 61 ? ? ; 2 2 4 2 16

(2)设

256 256 n2 , 则解方程可得 n=16,∵16∈N+, ∴ 是这个数列的第 16 ? 2 225 225 (n ? 1)

项。 评注:求出了数列的通项公式就可以求得数列的任何一项。本题在求通项公式 时,应用了 a1a2?an=n2 对一切 n≥2 都成立的条件,当 n-1 项时理当也成立。要说 明一个数是否是数列中的某一项,只要验证这个数是否满足通项公式。 例 3 的解 方法一, 设这五个数组成的等差数列为 ?an ? , 由已知 a1=-1,a5=7,∴7=-1+ (5n-1) d,解得 d=2,所求数列为-1,1,3,5,7 方法二,利用等差数列的性质求解。 ∵-1,a,b,c,7 成等差数列,∴b 是-1,7 的等差中项,a 是-1,b 的等差中项,

c 是 b,7 的等差中项,即 b ?

?1? 7 ?1? b b?7 ? 3, a ? ? 1, c ? ?5 2 2 2

∴所求数列为-1,1,3,5,7, 例 4 的解 1 3 3 1 5 5 1 7 7 1 9 ? , a3 ? ? ? , a4 ? ? ? , a5 ? ? ? (1)a1=1,a2=1+ 2 ?1 2 2 3? 2 3 3 4?3 4 4 5?4 5 (2)观察 a1,a2,a3,a4,a5 的分子和分母,可以看到,分母就是序号,而分子是分 2n ? 1 (n ? N ?) 母两倍减 1,所以通项公式猜测为 an= n 2(n ? 1) ? 1 2n ? 3 ? 由此可知 a n ?1 ? n ?1 n ?1 ∴ a n ? a n?1 ?
1 2n ? 3 1 (2n ? 1)(n ? 1) 2n ? 1 ? ? ? ? 故猜想成立。 n(n ? 1) n ? 1 n(n ? 1) n(n ? 1) n

2n ? 1 n 评注:由数列的前几项写出数列的通项公式是由特殊到一般的过程,往往使用 不完全归纳法,它的正确性是需要进行证明的。 例 5 的解 (1)∵a2=5,a6=17

∴数列的通项公式为 a n ?

?a1 ? d ? 5 ∴? ?a1 ? 5d ? 17

?a1 ? 2 解得 ? ?d ? 3

∴an=a1+(n-1)d=3n-1 即 an=3n-1 (2)∵a3+a8=a5+a6=5,a6=5,∴a5=0 (3)a1,a2,a3,a4 成等差数列,依次设为 a-3d,a-d,a+d,a+3d,由题设得

?(a ? 3d ) ? (a ? d ) ? (a ? d ) ? (a ? 3d ) ? 26 ? ?(a ? d )(a ? d ) ? 40

① ②

13 3 由①知 a= ,代入②得 d=± 2 2 ∴a1,a2,a3,a4 依次为 2,5,8,11 或 11,8。5,2 故 a5=14 或 a5=-1. 评注:求等差数列中的某些项时,常常是根据题意列出方程或方程组求解;利 用等差数列的性质,结合各元素之间的特殊联系,可以更简便地获得解答。 例 6 的解 解:设公差为 d,首项为 a1,由题意可知, a3?a7=(a1+2d)(a1+6d)=-12 ① a4+a6=(a1+3d)+(a1+5d)=-4 ② 由①,②解得 d=± 2, 当 d=2 时,a1=-4d-2=-10; 当 d=-2 时,a1=-4d-2=6

∴ an 的通项公式为 an=-10+(n-1)?2=2n-12 或 an=6+(n-1)(-2)=-2n+8 评注:通过列方程组求出等差数列公差 d 和首项 a1 是现在求解等差数列问题的 基本方法。 例 7 的解 (1)由图知,L5=2.005(m)

? ?
2

此时,金属棒的温度是 t=100+(5-1)?50=300(℃) 答:第 5 次量得金属棒的长度是 2.005m,此时金属棒的温度是 300℃

?2.001 ? d ? b ?d ? 0.001 (2)设 Ln=dn+b,由 L1=2.001,L2=2.002 得 ? 解得 ? ?2.002 ? 2d ? b ?b ? 2
∴通项公式为 Ln=0.001n+2 由题意可得 t=50(n-1)+100=50n+50 t ? 50 ∴n ? ,将它代入通项公式,得 L=0.00002t+1.999 50 由上式可知,L 也是 t 的一次函数,不过 t 不限于取正整数,可以取不致失去 实际意义的任何实数,求 L 关于 t 的函数关系式也可以直接设 L=kt+b,用待令函数 法直接求得。 (3)设当 t=30℃时金属板在某方向的长度为 L1m ,当 t=500℃时,金属板在该 方向的长度是 L2 m,则有

?l1 ? 0.00002? 30 ? 1.999 ? ?l 2 ? 0.00002? 500 ? 1.999
∴L2-L1=0.0094(m)
1 当金属板温度从 30℃上升到 500℃时,每块金属板的单向伸长为 ? 0.0094 m , 2 所以铺设时两块金属板之间至少留出 0.0094m 宽的空隙。

参考答案:
(一)选择题 1、A 求得集合 B={1,2,3,4}有 4 个元素。 2、B 值域 B 中元素必有原象,B 中命题为真。 1 3 3 3 3 、 B ∵ a2-a+1=(a- )2+ ≥ ∴ f( ) ≥ f(a2-a+1) 2 4 4 4 3 3 3 f(- )=f( ),有 f(- )≥f(a2-a+1) 4 4 4 4、C
2 ? ?( x ? 2) ? 9( x ? 1) y?? 2 ? ?? ( x ? 2) ? 9( x ? 1)

∵ f(x) 是偶函数,∴

作出图象后选择。

5、D ∵y= x ? 2 ? 1, x ? 2, ∴y≥1,反函数的定义域为 x≥1,再求出表达式选 D。 6、C 7、B f(x) 的定义域是 f-1(x)的值域[0,1] 依题意,a2-1>1,即 a2>2,∴|a|> 2 ∴a<1<b

2 8、A 利用指数函数图象特性, ( ) 0.1 ? 1 ,而 1.10.01>1 3

9、B 解出 3x=

y ? 0, ∴0<y<1 1? y
1 1 ≥0 知 0<a<1;再由|logba|=logb ≥0,0<a<1 知 b>1 4 a

10、B 由|loga4|=loga

11、C 易知 0<a2-1<1, 即 1<a2<2,等价于 1<|a|< 2 12、C 原方程为 log2x=3-x,在同一直角坐标系中作 y=log2x,y=3-x 的图象,可 判断交点横坐标属于(1,3) ,检验 x=2 时成立。 (二)填空题 13、 奇函数 它为奇函数。 14、m=1 15、 y=2x+1 原题设等价于 f(x)=f-1(x) ,求得 f-1(x)=
mx ? 5 ∴m=1 2x ? 1

f(x)=

1? x2 1? x2 的定义域为[-1, 0) ∪(0, 1], 此时 f(x)= , x | 2 ? x | ?2

?a ? b ? 3 点 (1, 3) , (0, 2) 在函数 y=ax+b 的图象上, ∴? 0 得 a=2,b=1. a ? b ? 2 ?


16 、 f(-3.1)<f( π )<f(10) 由 f(x) 为偶函数,得 1-lgm=0 ,即 m=10 f(x)=9x2+1,离开原点距离越近的自变量对应的函数值越小。 17、log20.8<0.82<( 5 )0<20.8 log20.8<0,0<0.82<1, ( 5 )0=1, 20.8>1

18、[-2,1) 。 函数 y ? log1 u 是定义域(0,+∞)上的减函数, u=5-4x-x2>0,
3

得 x∈(-5,1) ,且 u=-(x+2) +9, 当 x∈[-2,1)时,u 是减函数。 ∴ y ? log1 (5 ? 4x ? x 2 ) 在[-2,1)上是增函数。
3

2

(三)解答题 19、解,图象如下 (1)

y

y

3

1 -1 o -1 1 x
1 1 2 3
x

2 ? ?(x ? 2) ? 1 (x ? 1或x ? 3) (2) y ? ? 2 ? ?? (x ? 2) ? 1 (1 ? x ? 3)

20、证明 设 x1,x2∈(-1,0),且 x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=

x1 x ( x ? x2 )(1 ? x1 x2 ) ? 22 ? 1 2 2 1 ? x1 1 ? x2 (1 ? x12 )(1 ? x2 )

∵ -1<x1<x2<0 ∴ 1+x12>0 1+x22>0, x1-x2<0 ,0<x1x2<1 , 即 1-x1x2>0 故 f(x1)-f(x2)<0 即 f(x1)<f(x2) ∴f(x)在(-1,0)上是增函数。 2 2 1 21、解:化简集合 M,由 a x ? x ? ( 2 ) x ? 2 得 a x ? x ? a ?2( x?2) a 2 2 当 a>1 时,x +x≤-2(x-2) 即 x -3x-4≤0 解得-4≤x≤1 ,从而 2-4≤2x≤2 1 这时值域为[ ,2 ] 16

当 0<a<1 时, x2+x≥-2(x-2) ,解得 x≤-4 或 x≥1, ∴2x≤2-4 或 2x≥2 1 这时值域为(-∞, ]∪[2,+ ∞) 16 2 22 、 解 : 由 x -10x+16 ≤ 0 解 得 2 ≤ x ≤ 8 所 以 1 ≤ log2x ≤ 3 3 13 y=(log2x- )2- 。 2 4 3 13 ∴当 log2x= 即 x=2 2 时,ymin=2 4 当 log2x=1 或 log2x=3, 即 x=2 或 x=8 时,ymax=-1。
10x ? 10? x 102 x ? 1 y ?1 ? 2x ? 0,? y ? (?1,1) 23、解(1) y ? x ,解得 102x= ? ?x y ?1 10 ? 10 10 ? 1



(2)由 102 x ?

1 ? f ( x ? y) 1 ? f ( y) 知 102 y ? 1 ? f ( x ? y) 1 ? f ( y)

102( x ? y ) ?

1 ? f ( x ? y) 1 ? f ( x ? y)

∵ 102 x ? 102 y ? 102( x? y ) ∴
1 ? f ( x ? y ) 1 ? f ( x) 1 ? f ( y ) ? ? 1 ? f ( x ? y ) 1 ? f ( x) 1 ? f ( y ) 2 f ( x ? y ) 2[ f ( x) ? f ( y )] ? 2 2[1 ? f ( x) f ( y )] f ( x) ? f ( y ) 1 ? f ( x) f ( y )

利用合分比定理,得

∴ f ( x ? y) ?


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