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高中数学1.2.2同角三角函数的基本关系(1)教案新人教A版必修4

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课题 教 学 目 标 重点 难点 知识与技能 过程与方法 情感态度价值观 1.2.2 同角三角函数的基本关系 定义推导同角三角函数的基本关系式 求值、化简三角函数式、证明三角恒等式 使学生养成探究、分析的习惯,树立划归的思想方法 三个公式的推导及应用 三个公式的推导及应用 教学内容 探究点一 利用任意角三角函数的概念推导平方关系 和商数关系 问题 1 利用任意角的三角函数的定义证明同角三角 函数的平方关系和商数关系. 答 设点 P(x, y)为 α 终边上任意一点, P 与 O 不重合. P 到原点的距离为 r= x +y >0,则 sin α = ,cos α = ,tan α = . 2 2 教学环节与活动设计 y r x r y x 教 学 设 计 于是 sin α +cos α =( ) +( ) = 2 2 y r 2 x r 2 y2+x2 sin α =1, 2 r cos α y r y = = =tan α . x x r sin α 2 2 即 sin α +cos α =1,tan α = . cos α 2 2 问题 2 平方关系 sin α +cos α =1 与商数关系 tan sin α α = 成立的条件是怎样的? cos α 2 2 答 平方关系 sin α +cos α =1 对一切 α ∈R 恒成立; sin α 商数关系 tan α = 中 α 是使 tan α 有意义的 cos α 值, π 即 α ≠kπ + ,k∈Z. 2 探究点二 已知一个角的三角函数值求其余两个三角 函数值 2 2 已知某角的一个三角函数值,再利用 sin α +cos α 教学内容 教学环节与活动设计 1 =1 求它的其余三角函数值时,要注意角所在的象限, 恰当选取开方后根号前面的正负号, 一般有以下三种情 况: 类型 1:如果已知三角函数值,且角的象限已知,那么 只有一组解. 3 例如:已知 sin α = ,且 α 是第二象限角,则 5 cos α =_____,tan α =_____. sin θ 答 ∵ = tan θ =- 3 .∴sin θ =- 3cos cos θ θ . ?sin2θ +cos2θ =1 由? .∴4cos2θ =1, cos2θ = ?sin θ =- 3cos θ 1 . 4 1 3 当 θ 为第二象限角时,cos θ =- ,sin θ = ; 2 2 1 3 当 θ 为第四象限角时,cos θ = ,sin θ =- . 2 2 类型 3:如果所给的三角函数值是由字母给出的,且没 有确定角在哪个象限,那么就需要进行讨论. 例如:已知 cos α =m,且|m|<1,求 sin α ,tan α . 答 ∵cos α =m,且|m|<1, ∴sin α =± 1-cos2α =± 1-m2. 当 α 在第一、二象限时,sin α = 1-m2, 1-m2 tan α = ; m 当 α 在第三、四象限时,sin α =- 1-m2, - 1-m2 tan α = ; m 当 α 终边在 y 轴上时,sin α =±1,tan α 不存在. 8 例 1 已知 cos α =- ,求 sin α ,tan α . 17 8 解 ∵cos α =- <0 且 cos α ≠-1, 17 ∴α 是第二或第三象限的角. (1)如果 α 是第二象限的角,可以得到 ? 8 ? 15 sin α = 1-cos2α = 1-?- ?2= . ? 17? 17 15

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