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2014年人教A版选修1-1课件 3.3 导数在研究函数中的应用

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本章内容 3.1 变化率与导数 3.2 导数的计算 3.3 导数在研究函数中的应用 3.4 生活中的优化问题举例 第三章 小结 函 3.3.1 函数的单调性与导数(第一课时) 3.3.1 函数的单调性与导数(第二课时) 3.3.2 函数的极值与导数 3.3.3 函数的最大(小)值与导数 3.3.1 函数的单调性 与导数 (第一课时) 1. 函数的单调性与其导数有什么关系? 2. 怎样用导数求函数的单调区间? 问题1: 如图, 函数 y = f (x) 在区间 (a, b)内, 函 数是增函数还是减函数? 切线 l1 的倾斜角是锐角还 是钝角? 这时函数的导数是正还是负? 在区间 (b, c) 内呢? y 在区间 (a, b) 内, 任一点 l 2 l1 的切线的斜率都为正, 即在 y = f ( x) (a, b) 内, f?(x)>0, 这一段函 c a x 数是增函数. b o 在区间 (b, c) 内, 任一点 的切线的斜率都为负, 即在 (b, c) 内, f?(x)<0, 这一段函 数是减函数. 问题1: 如图, 函数 y = f (x) 在区间 (a, b)内, 函 数是增函数还是减函数? 切线 l1 的倾斜角是锐角还 是钝角? 这时函数的导数是正还是负? 在区间 (b, c) 内呢? y 一般地, 设函数 y = f (x) l 2 l1 在某个区间内有导数, 如果 y = f ( x) 在这个区间内 y?>0, 那么 y = c a o x b f (x) 为这个区间内是增函数; 如果在这个区间内 y?<0, 那么 y = f (x) 为这个区间内是 减函数. 例1. 已知导函数 f? (x) 的下列信息: 当 1<x<4 时, f? (x)>0; 当 x>4, 或 x<1 时, f? (x)<0; 当 x=4, 或 x=1 时, f? (x)=0. 试画出函数 f(x) 图象的大致形状. 解: 在区间 (1, 4) 内, f? (x)>0, y 则在这区间内函数是增函数; 在区间 (-∞, 1)与(4, +∞) 内, f? (x)<0, 则在 (-∞, 1) 及 (4, +∞) o 1 两区间内函数是减函数; 当 x=4, 或 x=1 时, f? (x)=0, 曲线在这两点的切线平行于 x 轴, 这两点是曲线在那一段的顶点. 4 x 例2. 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间: (1) f(x)=x3+3x; (2) f(x)=x2-2x-3; (3) f(x)=sinx-x, x?(0, p); y (4) f(x)=2x3+3x2-24x+1. 解: (1) f? (x) = 3x2+3, 解不等式 3x2+3>0 得 x?R, 即 x?(-∞, +∞), f? (x)>0, ∴函数在区间 (-∞, +∞)上是增函数. o x 例2. 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间: (1) f(x)=x3+3x; (2) f(x)=x2-2x-3; (3) f(x)=sinx-x, x?(0, p); y (4) f(x)=2x3+3x2-24x+1. 解: (2) f? (x) = 2x-2, 解不等式 2x-2>0 得 x>1, 即 x?(-∞, 1) 时, f? (x)<0, 函数是减函数; x?(1, +∞) 时, f? (x)>0, 函数是增函数. o 1 x 例2. 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间: (1) f(x)=x3+3x; (2) f(x)=x2-

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