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第二章 数列 单元测试1(人教A版必修5)


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第二章 数列 单元测试 1
(时间:120 分钟 满分:150 分)

一、选择题(本大题共 12 个小题,每个小题 5 分,共 60 分,每 小题给出的四个备选答案中,有且仅有一个是符合题目要求的) 1. 在等差数列{an}中, 若 a4+a6=12, Sn

是数列{an}的前 n 项和, 则 S9 的值为( A.48 C.60 [答案] D.66 B ) B.54

[解析] ∵a4+a6=a1+a9=12, ∴S9= 9?a1+a9? 9?a4+a6? = =9×6=54. 2 2 )

2.若等比数列{an}的公比 q>0,且 q≠1,又 a1<0,那么( A.a2+a6>a3+a5 B.a2+a6<a3+a5 C.a2+a6=a3+a5 D.a2+a6 与 a3+a5 的大小不能确定 [答案] [解析] B (a2+a6)-(a3+a5)=(a2-a3)-(a5-a6)

=a2(1-q)-a5(1-q)=(1-q)(a2-a5) =a1q(1-q)2(1+q+q2). ∵q>0,且 q≠1,又 a1<0, ∴(a2+a6)-(a3+a5)<0. 即 a2+a6<a3+a5. 3.△ABC 中三内角 A、B、C 成等差数列,三边 a、b、c 成等
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比数列,则三内角的公差等于( A.0° B.15° C.30° [答案] A D.45°

[解析] ∵A、B、C 成等差数列,则 B=60° . 又三边成等比数列, ∴b2=ac,则有 sin2B=sinAsinC. 3 1 =- [cos(A+C)-cos(A-C)], 4 2 即 cos(A-C)=1,∴A-C=0° , ∴A=C.又∵B=60° ,∴A=B=C=60° ,故选 A. 4.设{an}是公差不为 0 的等差数列,a1=2 且 a1,a3,a6 成等比 数列,则{an}的前 n 项和 Sn=( n2 7n A. + 4 4 n2 3n C. + 2 4 [答案] A n2 5n B. + 3 3 D.n2+n )

[解析] ∵a1,a3,a6 成等比数列,则(a1+2d)2=a1(a1+5d),a1d 1 =4d2,∴d= , 2 n?n-1? n2-n n2 7 ∴Sn=na1+ d=2n+ = + n. 2 4 4 4 5.某工厂去年产值为 a,计划今后 5 年内每年比上年产值增加 10%,则从今年起到第 5 年,这个厂的总产值为( A.1.14a B.1.15a D.10(1.16-1)a )

C.11×(1.15-1)a [答案]
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C 金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com

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[解析] 本题是等比数列实际应用问题,考查建模能力和实际问 题中求通项还是前 n 项和的区别能力. 设从去年开始,每年产值构成数列为{an},则 a1=a an=a(1+10%)n-1(1≤n≤5),从今年起到第 5 年是求该数列 a2 a?1.16-1? 到 a6 的和应为 S6-a1= -a=11×(1.15-1)a. 1.1-1 1 1 1 1 6.2 +4 +8 +?+1024 等于( 2 4 8 1024 1023 A.2046 1024 1 C.1047 1024 [答案] A 1023 B.2007 1024 1 D.2046 1024 )

1 1 1 1 [解析] 2 +4 +8 +?+1024 2 4 8 1024 1 1 1 1 =(2+4+8+?+1024)+( + + +?+ ) 2 4 8 1024 1 1 [1-? ?10] 2?1-2 ? 2 2 1 = + =211-2+1-( )10 1 2 1-2 1- 2
10

210-1 1023 1023 =2046+ 10 =2046+ =2046 . 2 1024 1024 7.等差数列{an}中,a1>0,若其前 n 项和为 Sn,且有 S14=S8, 那么当 Sn 取最大值时,n 的值为( A.8 C.10 [答案] B.9 D.11 D )

[解析] 解法一:∵S14=S8,∴a9+a10+?+a14=0, ∴a11+a12=0,
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∵S14=S8,a1>0,∴d≠0. 故 a11>0,a12<0,∴S11 最大. 解法二:∵a1>0,S14=S8,∴d<0. ∴点(n,Sn)是抛物线上的点,且抛物线的对称轴为 n=11,抛物 线的开口向下, ∴n=11 时,Sn 取最大值,故选 D.
2 * 8.正项数列{an}满足 a2 n+1=an+4(n∈N ),且 a1=1,则 a7 的值

为(

) A.4 [答案] B B.5 C.6 D.7

2 * [解析] ∵a2 n+1=an+4(n∈N ), 2 2 ∴a2 n+1-an=4,又 a1=1,∴a1=1.

∴数列{a2 n}是首项为 1,公差为 4 的等差数列, ∴a2 n=1+4(n-1)=4n-3. ∴a2 7=4×7-3=25, 又 a7>0,∴a7=5. 9.若等比数列{an}的前 n 项和 Sn=2010n+t(t 为常数),则 a1 的 值为( ) B.2009 D.2011

A.2008 C.2010 [答案] B

[解析] ∵等比数列{an}的前 n 项和 Sn=2010n+t, ∴ a1 = S1 = 2010 + t , a2 = S2 - S1 = 20102 + t - 2010 - t = 2009×2010,a3=S3-S2=20103+t-20102-t=2009×20102,又 a1a3
2 =a2 ,

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∴(2010+t)×2009×20102=(2009×2010)2, ∴t=-1,∴a1=2010+t=2009. 10.若 log32,log3(2x-1),log3(2x+11)成等差数列,则 x 的值为 ( ) A.7 或-3 C.log27 [答案] [ 解析 ] C 由已知得, 2log3(2x- 1)= log32+ log3(2x+ 11),整理得 B.log37 D.4

(2x)2-4· 2x-21=0,解得 2x=7, ∴x=log27. 11.已知 0<a<b<c<1,且 a、b、c 成等比数列,n 为大于 1 的整 数,则 logan,logbn,logcn 成( A.等差数列 B.等比数列 D.各项倒数成等比数列 )

C.各项倒数成等差数列 [答案] C

[解析] ∵b2=ac,∴

1 1 + =logna+lognc logan logcn 2 . logbn

=logn(ac)=lognb2=2lognb=

12.把数列{2n+1}依次按第一个括号一个数,第二个括号两个 数,第三个括号三个数,第四个括号四个数,第五个括号一个数?? 循环分为: (3), (5,7), (9,11,13), (15,17,19,21), (23), (25,27), (29,31,33), (35,37,39,41),(43),?则第 104 个括号内各数之和为( A.2036 C.2060 [答案] D 金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com B.2048 D.2072 )

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[解析] 由观察会发现,每十个数都是一个循环,一个循环里有 10 个数组成,104 个括号有 26 个小循环,则第 104 个括号内有四个 数,则这四个数为数列 3,5,7,9?的第 257 项,第 258 项,第 259 项, 第 260 项,分别为 3+(257-1)×2,3+(258-1)×2,3+(259-1)×2,3 +(260-1)×2,即 515,517,519,521,其和为 2072. 二、填空题(本大题共 4 个小题,每个小题 4 分,共 16 分.将正 确答案填在题中横线上) 13.已知{an}为等差数列,a3+a8=22,a6=7,则 a5=________. [答案] 15 [解析] 由等差数列的性质得,a3+a8=a5+a6=22,又 a6=7, a5=22-7=15. 14.已知数列 1,a1,a2,4 成等差数列,1,b1,b2,b3,4 成等比 数列,则 a1+a2 的值为________. b2 5 2

[答案]

[解析] a1+a2=5,b2 2, 2=1×4,b2=± 而 b2 是第三项,第一项和第五项都是正数,故 b2=2, ∴ a1+a2 5 = . b2 2

15.(2011· 湖北理)《九章算术》“竹九节”问题:现有一根 9 节 的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面 4 节的容积共 3 升, 下面 3 节的容积共 4 升,则第 5 节的容积为________升. [答案] 67 66

[解析] 设此等差数列为{an},公差为 d,则

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? ?a1+a2+a3+a4=3, ? ?a7+a8+a9=4, ?

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? ?4a1+6d=3, ∴? ?3a1+21d=4, ?

13 ? a = 1 ? 22, 解得? 7 ? d = ? 66,

∴a5=a1+4d=

13 7 67 +4× = . 22 66 66

16.在等差数列{an}中,Sn 为它的前 n 项和,若 a1>0,S16>0, S17<0, 则当 n=________时,Sn 最大. [答案] 8

[解析]

?S ∵? ?S

16=

16?a1+a16? =8?a8+a9?>0 2

17?a1+a17? =17a9<0 17= 2



∴a8>0 而 a1>0,∴数列{an}是一个前 8 项均为正,从第 9 项起 为负值的等差数列,从而 n=8 时,Sn 最大. 三、 解答题(本大题共 6 个小题, 共 74 分, 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分)数列{an}是等差数列,a1=1,an=-512, Sn=-1022,求公差 d. [解析] ∵an=a1+(n-1)d,Sn=na1+ 又 a1=1,an=-512,Sn=-1022, n?n-1? d, 2

?1+?n-1?d=-512 ∴? 1 n + ? 2n?n-1?d=-1022
把(n-1)d=-513 代入②,得
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① ②

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1 n+ n· (-513)=-1022, 2 解得 n=4,∴d=-171. 18.(本小题满分 12 分)数列{an}的前 n 项和为 Sn=2-2an ,n ∈N*.求证:数列{an}为等比数列,并求通项 an. [证明] 2 (1)当 n=1 时,a1=S1=2-2a1,∴a1= ; 3

当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(2-2an)-(2-2an-1) =2an-1-2an.∴ an 2 = . an-1 3

2 2 故{an}是以 a1= 为首项,以 q= 为公比的等比数列. 3 3 2 ∴an=a1qn-1=( )n. 3 19.(本小题满分 12 分)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a2=1,S11=33. (1)求{an}的通项公式; 1 (2)设 bn=( )an.求证:{bn}是等比数列,并求其前 n 项和 Tn. 4

[解析]

?1 ? ?a2=1 (1)∵? ,∴? 11×10 ?S11=33 ? 11a1+ d=33
a +d=1

?



2

1 ? a = 1 ? 2 ∴? 1 ? d = ? 2

n ,∴an= . 2
n

bn+1 1 1 1 1 1 (2)∵bn=( )2 = n,∴ b = ,∴{bn}是以 b1= 为首项, 为公 4 2 2 2 2 n

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1 1 ?1- n? 2 2 1 比的等比数列,前 n 项和 Tn= =1- n. 1 2 1- 2 20.(本小题满分 12 分)设数列{an}满足 a1=1,3(a1+a2+?+an) =(n+2)an,求通项 an. [解析] ∵3(a1+a2+?+an)=(n+2)an, ∴3Sn=(n+2)an, ∴3Sn-1=(n+1)an-1(n≥2),两式相减,得 3an=(n+2)an-(n+1)an-1, ∴(n-1)an=(n+1)an-1,即 an n+1 = (n≥2). an-1 n-1

a2 3 a3 4 a4 5 an n+1 ∴ = , = , = ,?, = (n≥2),将以上各式相 a1 1 a2 2 a3 3 an-1 n-1 乘,得 n?n+1? an n?n+1? = ,又 a1=1,∴an= . a1 2 2 n?n+1? 又 a1=1 满足上式,∴an= (n∈N*). 2 1 21.(本小题满分 12 分)设正项等比数列{an}的首项 a1= ,前 n 2 项的和为 Sn,且 210S30-(210+1)· S20+S10=0. (1)求{an}的通项; (2)求{nSn}的前 n 项和 Tn. [解析] (1)解法一: 当 q=1 时, S10=10a1, S20=20a1, S30=30a1,

∴210S30-(210+1)S20+S10=210· 30a1-(210+1)· 20a1+10a1 =210· 30a1-210· 20a1-20a1+10a1 =10a1· 210-10a1=10a1(210-1),
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∵a1>0,∴10a1(210-1)≠0.∴q≠1. 由 210S30-(210+1)S20+S10=0 a1?1-q30? a1?1-q20? a1?1-q10? 10 得2 · -(2 +1) · + =0, 1-q 1-q 1-q
10

∴210(1-q30)-(210+1)· (1-q20)+1-q10=0, ∴210-210q30-210+210q20-1+q20+1-q10=0, 即 q10(q10-1)(210q10-1)=0, 1 ∴210q10-1=0,∴210q10=1,∵q>0,∴q= . 2 1 1 n- 1 1 ∴an=a1qn-1= · ( ) = n. 2 2 2 解法二:由 210S30-(210+1)S20+S10=0,得 210(S30-S20)=S20-S10, 即 210(a21+a22+?+a30)=a11+a12+?+a20. 可得 210· q10(a11+a12+?+a20)=a11+a12+?+a20. 1 ∵an>0,∴210q10=1.解得 q= . 2 1 故 an=a1qn-1= n,(n=1,2?) 2 1 1 (2)因为{an}是首项 a1= ,公比 q= 的等比数列, 2 2 1? 1? ?1- n? 2? 2 ? 1 n 故 Sn= =1- n,nSn=n- n.则数列{nSn}的前 n 项和 1 2 2 1- 2
?1 2 n? Tn=(1+2+?+n)-?2+22+?+2n?, ? ? ?1 n-1 2 n ? Tn 1 = (1+2+?+n)-?22+23+?+ 2n + n+1?. 2 2 2 ? ?
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① ②

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金太阳新课标资源网 ①-②,得

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?1 1 1? Tn 1 n = (1+2+?+n)-?2+22+?+2n?+ n+1 2 2 ? ? 2
n n?n+1? ?1? n = -1+?2? + n+1, 4 ? ? 2

即 Tn=

n?n+1? 1 n -2+ n-1+ n. 2 2 2

22.(本小题满分 14 分)已知 f(x)=3x2-2x,数列{an}的前 n 项和 为 Sn,点(n,Sn)(n∈N*)均在函数 y=f(x)的图象上. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn= 3 m ,Tn 是数列{bn}的前 n 项和,求使得 Tn< 对所 20 anan+1

有 n∈N*都成立的最小正整数 m. [解析] 3n2-2n. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1 =(3n2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5; 当 n=1 时,a1=S1=3×12-2×1=1=1,满足上式. 所以 an=6n-5(n∈N*). (2)由(1)得 3 3 bn= = anan+1 ?6n-5?[6?n+1?-5] 1 ? 1? 1 = ?6n-5-6n+1?, 2? ? 1 1 1 1 1 1 1 Tn=b1+b2+b3+?+bn= [1- + - + - +?+ 2 7 7 13 13 19 6n-5 1 1 1 1 - ]= - < . 6n+1 2 2?6n+1? 2
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(1)由点(n,Sn)(n∈N*)均在函数 y=f(x)的图象上得 Sn=

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1 ? m 1? 1 因此,使得 ?1-6n+1?< (n∈N*)成立的 m 必须且仅须满足 2? 2 ? 20 m ≤ ,即 m≥10,故满足要求的最小整数 m=10. 20

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