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第07单元第4节 数列求和


第四节 数列求和
基础梳理
数列求和的常用方法 (1)公式法

①直接用等差、等比数列的求和公式.
②掌握一些常见数列的前n项和公式.

n(n ? 1) 1? 2 ? 3 ? ?? n ? ; 2 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n - 1) ? n 2 .
(2)倒序相加法

/>如果一个数列{an},与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一
常数,那么求这个数列的前n项和就可用倒序相加法,如 等差 数列的 前n项和就是用此法推导的.

(3)错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构 成的,那么这个数列的前n项和即可用此法来求,如 等比 数列的前n项

和就是用此法推导的. (4)裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消, 从而求得其和.常见的拆项公式有:
1 1 1 ? ; ① n(n ? 1) n n ? 1

1 1 1 1 ? ( ② (2n - 1)(2n? 1) 2 2n - 1 2n ? 1)



1 n ? n ?1

? n ?1 - n.

(5)分组求和法 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆 开,可分为几个等差,等比或常见的数列,即先分别求和,然后再合并, 形如: ①{an+bn},其中{an}是等差数列,{bn}是等比数列;

?f(n),n ? 2k - 1, k ? N * ② an ? ? ?g(n), n ? 2kk? N *

典例分析 题型一 利用错位相减法求和 【例1】(2008· 全国) 在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+2n. a (1)设b n ? nn-1 ,证明:数列{bn}是等差数列; 2 (2)求数列{an}的前n项和Sn. 分析 (1)求bn+1,观察bn与bn+1的关系. (2)由an=n· n-1的特点可知,运用错位相减法求和Sn. 2 解(1)证明: 由已知an+1=2an+2n,得

a n ? 1 2an ? 2n a n b n ?1 ? n ? ? n -1 ? 1 ? b n ? 1 n 2 2 2
又b1=a1=1,因此{bn}是首项为1,公差为1的等差数列.

(2)由(1)知

Sn=1+2· 1+3· 2+…+n·2n-1, 2 2

an ? n, 即a n ? n ? 2 n -1 2 n -1

两边乘以2,得2Sn=2+2· 2+…+n·2n, 2
两式相减,得Sn=-1-21-22-…-2n-1+n· n 2 =-(2n-1)+n· n=(n-1)2n+1. 2

学后反思
(1)一般地,如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{an· n}的 b 前n项和时,可采用错位相减法. (2)用错位相减法求和时,应注意: ①要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形更值得注意; ②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”, 以便于下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式;

③应用等比数列求和公式时必须注意公比q≠1这一前提条件,如果不能 确定公比q是否为1,应分两种情况讨论,这在以前高考中经常考查.

举一反三

a 1. (2010· 广州综测)已知数列{ an }中, 1 ? 5 且 an ? 2an?1 ? 2n ?1 (n≥2且n∈N*).
?a ? ? ? (1)若数列 ? n n ? 为等差数列,求实数λ的值; ? 2 ?

(2)求数列{

an

}的前n项和

Sn

解析: (1)方法一:∵ a1 ? 5 ,

a2 ? 2a1 ? 22 ?1 ? 13 , a3 ? 2a2 ? 23 ?1 ? 33 ∴
设 b ? an ? ? n 2n 则有 2b2 ? b1 ? b3 ,由{ bn }为等差数列,




2?

a2 ? ? a1 ? ? a3 ? ? ? ? 22 2 23

13 ? ? 5 ? ? 33 ? ? ? ? 2 2 8

,解得λ=-1.

则 bn ?1 ? bn ?
?

an ?1 ? 1 an ? 1 1 ? n ? n ?1 ? (an ?1 ? 2an ) ? 1? 2n ?1 2 2

1 ?(2n ?1 ? 1) ? 1? ? 1 ? 2n ?1 ? 综上可知,当λ=-1时,数列 ? an ? ? ? 为首项是2,公差是1的 ? n ? ? 2 ? 等差数列. ? an ? ? ? an ? ? 方法二:设 bn ? ,∵数列 ? 2n ? 为等差数列, n ? ? 2

∴{

}为等差数列,则 2bn?1 ? bn ? bn?2 (n∈N*).

∴ 2 ? 2n?1

bn an?1 ? ?

?

an ? ? a ?? ? ? n?2 ?2 2n 2n

∴ ? ? 4an?1 ? 4an ? an? 2 ? 2(an?1 ? 2an ) ? ? an? 2 ? 2an?1 ?
? 2(2n ?1 ? 1) ? (2n ? 2 ? 1) ? ?1

? an ? ? ? 综上可知,当λ=-1时,数列 ? n ? 为首项是2,公差是1 ? 2 ? 的等差数列.
an ? 1 a1 ? 1 ? (n ? 1) ? 1 (2)由(1)知, n ? 2 2
an ? (n ? 1) ? 2n ? 1 ∴

∴ Sn ? (2 ? 21 ? 1) ? (3? 22 ? 1) ? ...? (n ? 2n ?1 ? 1)? ? (n ? 1)? 2n ? 1 ? ? ?

Sn ? 2 ? 21 ? 3? 22 ? ...? n ? 2n?1 ? (n ? 1)? 2n ? n 即
1 2 n?1 n 令 Tn ? 2 ? 2 ? 3? 2 ? ...? n ? 2 ? (n ? 1)? 2 ,① 2 3 n n?1 则 2Tn ? 2 ? 2 ? 3? 2 ? ...? n ? 2 ? (n ? 1)? 2 ,②

②-①,得 Tn ? ?2 ? 21 ? (22 ? 23 ? ...? 2n ) ? (n ? 1)? 2n?1 ? n ? 2n?1
n?1 n?1 ∴ Sn ? n ? 2 ? n ? n ? (2 ? 1)

题型二 【例2】

利用裂项相消法求和

(2008· 江西)等差数列{an}的各项均为正数,a1=3,前n项和为Sn,{bn}为等比 数列,b1=1,且b2S2=64,b3S3=960. (1)求an与bn; (2)求 分析
1 1 1 ? ??? S1 S2 S2

易求得Sn=n(n+2),而
S1 S2 S2

法就能求出 1 ? 1 ? ? ? 1

1 1 1 1 1 ? ? ( ) ,应用裂项 Sn n(n ? 2) 2 n n ? 2 的值.



(1)设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,则d为正数,
an=3+(n-1)d,bn=qn-1, 依题意有
6 ? d??S2 b 2 ? (6 ? d)q ? 64, ?d ? 2, ? ? 5 解得? , 或? ? S3b 3 ? (9 ? 3d)q2 ? 960, ?q ? 8 ? ?q ? 40 ? 3 ? 故an=3+2(n-1)=2n+1,bn=8n-1.

(2)Sn=3+5+…+(2n+1)=n(n+2),所以 1 1 1 ? ??? S1 S2 Sn 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? (n ? 2) 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 n

1 1 1 1 1 1 1 1 (1- ? - ? - ? ? ? ) 2 3 2 4 3 5 n n?2 1 1 1 1 3 2n ? 3 ? (1? )? 2 2 n ?1 n ? 2 4 2(n ? 1)(n ? 2) ?

学后反思 如果数列的通项公式可转化为f(n+1)-f(n)的形式,常采用裂项

? 1 ? 求和的方法.特别地,当数列形如 ? ?,其中{an}是等差数列时,可 ? a n a n ?1 ? 尝试采用此法.
1 1 1 1 1 1 ? ( ); ? ( n ? k - n )等 常用裂项技巧如: n(n ? k) k n n ? k n?k ? n k

使用裂项法,要注意正负项相消时,消去了哪些项,保留了哪些项;要注 意由于数列{an}中每一项an均裂成一正一负两项,所以互为相反数的项合

并为零后,所剩正数项与负数项的项数必是一样多的,切不可漏写未被消
去的项,未被消去的项有前后对称的特点.实质上,正负项相消是此法的 根源和目的.

举一反三

3 5 7 2n ? 1 2. 求数列1? 22 , 22 ? 32 , 32 ? 42 ,?, n 2 (n ? 1)2 ,? 的前n项和Sn.
解析: ?

2n ? 1 1 1 ? 2, 2 2 2 n (n ? 1) n (n ? 1) 1 1 1 1 1 1 1 ? Sn ? (1 - 2 ) ? ( 2 - 2 ) ? ( 2 - 2 ) ? ? ? [ 2 ] 2 2 3 3 4 n (n ? 1)2 1 n 2 ? 2n ? 1? 2 (n ? 1) (n ? 1)2

题型三 倒序相加法求和 【例3】
3x 设函数 f(x) ? x 图象上有两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),若P为P1P2的中 3 ? 3 1

点,且P点的横坐标为

2 (1)求证:P点的纵坐标为定值,并求出这个值; 1 2 n (2)求 f( ) ? f( ) ? ? ? f( ). n n n

分析

3x1 3x 2 , y2 ? x , (1)由已知函数图象上两点P1,P2,可得 y1 ? x1 2 3 ? 3 y ?y 3 ? 3
设P(x,y),根据中点坐标公式去求 y ? 到 f( ) ? f( 解
1 2

2 (2)根据(1)的结论:若x1+x2=1,则由f(x1)+f(x2)=1.可以得

1 n

n -1 ) ? 1,利用倒序相加法进行求解. n
y1 ? y 2 2

y (1)∵P为P1P2的中点,∴x1+x2=1, p ? 3 x1 3x 2 又y ?y ? ? x 1 2 x1 3 ? 3 32? 3

? 1-

3 3 ?1- x 3x1 ? 3 32? 3

6 ? 3 (3x1 ? 3x 2 ) y1 ? y 2 ? 2? 2 - 1 ? 1,? y p ? ? 12 x1 x2 2 6 ? 3 (3 ? 3 )

(2)由x1+x2=1,得
3- 3 , 2 1 2 n -1 n ? Sn ? f( ) ? f( ) ? ? ? f( ) ? f( ) n n n n n -1 n-2 1 n 又Sn ? f( ) ? f( ) ? ? ? f( ) ? f( ), n n n n ? 2Sn ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1? 2f(1)? n ? 2 - 3 , y1 ? y 2 ? f(x1 ) ? f(x2 ) ? 1, f(1) ?
(n -1)个1

即Sn ?

n ? 2- 3 2

学后反思 本题在求和时,运用了第(1)问所得等式f(x)+f(1-x)=1得到通项的特 征,即f( ) ? f(
i n n -i ) ? 1(i ? 1,2, ?, n) ,由于距首末两项等距的两项相加的 n

和为定值,所以可以用倒序相加法求和.

举一反三
3. 如果函数f(x)满足:对任意的实数m、n都有 f(m)+f(n)=f(m+n)且f(1 005)=2,求f(2)+f(4)+f(6)+…+f(2 008)的值. 解析: 由f(x)对任意实数m、n都有f(m)+f(n)=f(m+n),得 f(1 005)+f(1 005)=f(2 010)=2+2=4; f(2)+f(2 008)=f(2 010)=4; … f(1 004)+f(1 006)=4. 令S=f(2)+f(4)+f(6)+…+f(2 008), 则S=f(2 008)+f(2 006)+…+f(2), 于是2S=[f(2)+f(2 008)]+[f(4)+f(2 006)]+…+[f(2 008)+f(2)]= 1 4〓1 004=4 016,故S= 2 〓4 016=2 008.

题型四 分组法求和

2 2an , n ? 1,2,?. 【例4】(14分)(2008· 陕西)已知数列{an}的首项 a1 ? , a n ?1 ? 3 a n ?1
(1)证明:数列 {

n (2)求数列 { } 的前n项和Sn. an
分析

1 - 1} 是等比数列; n a

2an (1)由已知条件利用等比数列的定义证明,即根据 a n ?1 ? ,从中得到 an ?1 1 1
n 1 1 (2)充分利用(1)的结论得出 ? n ? 1. 欲求数列 { }的前n项和Sn, an an 2
可先求出Tn ? ?
a n ?1 - 1与 an - 1 的等式关系.

1 2 3 n ? 3 ? ? ? n 的值. 2 2 2 2 2

? 解 (1)证明: a n ?1 ? ? ? 1 a n ?1 1 a n ?1 ?

2a n , an ?1 an ?1 1 1 1 ? ? ? 2a n 2 2 an 1 1 2 1 1 ( - 1)又a 1 ? , ? -1 ? 2 an 3 a1 2

-1 ?

? 数列{

(2) 1知 由 ?

1 1 1 1 1 1 - 1 ? ? n -1 ? n 即 ? n ? 1. an 2 2 2 an 2

1 1 1 - 1}是以 为首项 为公比的等比数列 a1 2 2

n n ? n ?n an 2

1 1 3 n ? 2 ? 3 ? ....? n ① 2 2 2 2 1 1 3 n -1 n 则 Tn ? 2 ? 3 ? .... ? n ? n ?1 ② 2 2 2 2 2 ①?② 设Tn ?

1 1 1 1 n Tn ? ? 2 ? ? ? n - n ?1 2 2 2 2 2 1 1 (1- n ) 2 - n ? 1- 1 - n ?2 1 2 n ?1 2 n 2 n ?1 1? 2 n n n(n ? 1) ? Tn ? 2 - n ?1 - n 又1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 2 2 2 n ? 数列{ }的前n项和 an 2 ? n n(n ? 1) n 2 ? n ? 4 n ? 2 Sn ? 2 - n ? ? - n 2 2 2 2

学后反思 某些数列,通过适当分组,可得出两个或几个等差数列或等比数列,进

而利用等差数列或等比数列的求和公式求和,从而得出原数列的和.拆项
法是通过对数列通项结构的分析研究,将数列分解转化为若干个能求和 的新数列的差,从而求得原数列的和的一种求和方法.

1 1 1 4. 求和: Sn ? ( x ? )2 ? ( x 2 ? 2 )2 ? ... ? ( x n ? n )2 x x x 解析: 当x≠〒1时, 1 1 1 Sn ? ( x ? ) 2 ? ( x 2 ? 2 ) 2 ? ... ? ( x n ? n ) 2 x x x 1 1 1 ? ( x 2 ? 2 ? 2 ) 2 ? ( x 4 ? 2 ? 4 ) 2 ( x 2n ? 2 ? 2n ) 2 x x x 1 1 1 ? ( x 2 ? x 4 ? ... ? x 2 n ) ? 2n ? ( 2 ? 4 ? ... ? 2 n ) x x x x 2 (1 ? x 2 n ) x ?2 (1 ? x ?2 n ) ? ? ? 2n 2 ?2 1? x 1? x

?

( x 2 n ? 1) ? x 2 n ? 2 ? 1? x ( x ? 1)
2n 2

? 2n

当x=〒1时,Sn =4n.

易错警示
【例1】
2 2 n n?1 n? 2 2 n 求和 Sn ? (3 ? 2) ? (3 ? 3? 2 ? 2 ) ? ...? (3 ? 3 ? 2? 3 ? 2 ? ...? 2 )

错解 ∵ an ? 3n ? 3n?1 ? 2 ? 3n? 2 ? 22 ? ... ? 2n
n ? 2 ? 2 ?2 ? 2? ? ? 3 ?1 ? ? ? ? ? ... ? ? ? ? ? 3? ? ? 3 ? 3? ? ? n

?2? 1? ? ? 3 ? 3n ? ? ? ? 3n?1 ? 3 ? 2n 2 1? 3
2 3 n ?1 2 3 n ∴ Sn ? (3 ? 3 ? ... ? 3 ) ? 3(2 ? 2 ? ...? 2 ) 3n? 2 9 ? ? 3 ? 2n?1 ? 2 2

n

错解分析 错解中在计算 an 时,没注意到项数是n+1项,而不 是n项,从而导致解题错误.
n n ?1 n?2 2 n 正解 ∵ an ? 3 ? 3 ? 2 ? 3 ? 2 ? ... ? 2 n ? 2 ? 2 ?2 ?2? ? ? 3n ?1 ? ? ? ? ? ... ? ? ? ? ?3? ? ? 3 ?3? ? ?

?2? 1? ? ? 3 ? 3n ? ? ? 2 1? 3

n ?1

? 3n ?1 ? 3 ? 2n ?1

2 3 n ?1 2 3 n ?1 ∴ Sn ? (3 ? 3 ? ... ? 3 ) ? (2 ? 2 ? ...? 2 )

3n? 2 1 ? ? 2n ? 2 ? 2 2

【例2】在等差数列{ an }中,Sn 是数列{ an }的前n项和. 若 S2 ? 16 ,S4 ? 24 ,求 a1 ? a2 ? ... ? an 错解 由 ? S 2 ? 16 ? ?a1 ? 9 ? ? S 4 ? 24 ?d ? ?2 ? ∴ an ? 9 ? (n ? 1)(?2) ? 11? 2n 由 an ? 11 ? 2n ? 0 ,得n≤5.5.
' 设 S n ? a1 ? a2 ? ... ? an
' ∴ S n ? S5 ? ( Sn ? S5 ) ? 2S5 ? Sn n(n ? 1) ? ? ? 50 ? ?9n ? ? (?2)? ? n2 ? 10n ? 50 2 ? ?

错解分析 忽略对n的讨论,由于n的不同,数列 { an } 并不是等差数列,当n≤5时, an ? an ,当n≥6时,an ? ?an

正解 由 ? S 2 ? 16

?a1 ? 9 ?? ? S 4 ? 24 ?d ? ?2 ?

∴ an ? 9 ? (n ?1)(?2) ? 11 ? 2n 由 an ? 11 ? 2n ? 0 ,得n≤5.5.
' 设 S n ? a1 ? a2 ? ... ? an

当n≤5时,S 'n ? S n ? 9n ?

n(n ? 1) ? (?2) ? ?n 2 ? 10n 2

' 当n>5时, S n ? S5 ? (Sn ? S5 ) ? 2S5 ? Sn n(n ? 1) ? ? ? 50 ? ?9n ? ? (?2) ? ? n2 ? 10n ? 50 2 ? ?

考点演练
2 10.已知数列{ an }的前n项和 Sn ? n ,求

1 1 1 ? ? ... ? a1 ? a2 a2 ? a3 a2008 ? a2009 的值.

解析: 当n≥2时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? 1 当n=1时, a1 ? S1 ? 2 ?1 ?1 故 an ? 2n ? 1 (n∈N*), an ? an?1 ? 2

原式= a2 ? a1 ? a3 ? a2 ? ... ? a2009 ? a2008
a2 ? a1 a3 ? a2 a2009 ? a2008 1? a2 ? a1 ? a3 ? a2 ? ... ? ? 2 1 1 ? a2009 ? a1 ? 4017 ? 1 2 2 ?

?

?

? ? ? ?

?

?

a2009 ? a2008 ? ?

?

?

11. 已知数列{

an }的前n项和 Sn ? 2n2 ? 3n

(1)求证:数列{

an

}是等差数列;

n (2)若 bn ? an ? 2 ,求数列{ bn }的前n项和Tn

解析: a (1)证明: 1 ? S1 ? ?1 2 2 a 当n≥2时, n ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? 3n ? 2(n ?1) ? 3(n ?1) ? 4n ? 5 又因为 a1 适合上式,故 an ? 4n ? 5 (n∈N*).

当n≥2时, an ? an?1 ? 4n ? 5 ? 4(n ?1) ? 5 ? 4
所以{

an

}是等差数列且d=4, a1 ? ?1

(2) bn ? (4n ? 5) ? 2n


Sn ? ?21 ? 3? 22 ? ... ? (4n ? 9)? 2n?1 ? (4n ? 5)? 2n ,①

2Sn ? ?22 ? 3? 23 ? ...? (4n ? 9)? 2n ? (4n ? 5)? 2n?1 ,②
①-②得
? Sn ? ?21 ? 4 ? 22 ? ... ? 4 ? 2n ? (4n ? 5) ? 2n?1 4(1 ? 2n?1 ) ? ?2 ? 4 ? ? (4n ? 5) ? 2n?1 ? ?18 ? (4n ? 9) ? 2n?1 1? 2 n?1 ∴ Sn ? 18 ? (4n ? 9)? 2

12. (2009· 湖北)已知{ an }是一个公差大于0的等差数列,且 满足 a3a6 ? 55 ,a2 ? a7 ? 16 (1)求数列{ an }的通项公式; b b b b an ? 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n (2)若数列{ an }和数列{ bn }满足等式: 2 2 2 23 2n (n为正整数),求数列{ bn }的前n项和 Sn

解析: (1)设等差数列{ an }的公差为d,则依题设d>0,
由 a2 ? a7 ? 16 ,得 2a1 ? 7d ? 16 .① 由 a3a6 ? 55 ,得 (a1 ? 2d )(a1 ? 5d ) ? 55.② 由①得 2a1 ? 16 ? 7d ,将其代入②得 (16 ? 3d )(16 ? 3d ) ? 220 ,即 256 ? 9d 2 ? 220 ,∴ d 2 ? 4 又∵d>0,∴d=2,代入①得 a1 ? 1 ∴ an ? 1 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ?1 (2)令 cn ?
bn 2n

an?1 ? an ? cn?1

,则有 an ? c1 ? c2 ? ... ? cn an?1 ? c1 ? c2 ? ... ? cn?1 ,

由(1)得 a1 ? 1 , an?1 ? an ? 2
n ?1 ∴ cn?1 ? 2 ,则 cn ? 2 (n≥2),即当n≥2时,bn ? 2

又当n=1时,b1 ? 2a1 ? 2 ,∴ b ? ? 2 ? n ?1 n
?2

,n=1, ,n≥2.

于是 Sn ? b1 ? b2 ? b3 ... ? bn ? 2 ? 23 ? 24 ? ... ? 2n ?1

? 2 ? 22 ? 23 ? 24 ? ... ? 2n ?1 ? 4 2(2n ?1 ? 1) ? ? 4 ? 2n ? 2 ? 6 2 ?1
即 Sn ? 2
n?2

?6


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