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2016新课标三维人教A版数学必修2 2.2 直线、平面平行的判定及其性质

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直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1&2.2.2 直线与平面平行的判定、平面与平面平行的判定

预习课本 P54~57,思考并完成以下问题 1.线面平行的判定定理是什么?

2.判定线面平行的方法有哪些?

3.面面平行的判定定理是什么?

4.判定面面平行的方法有哪些?

[新知初探]

1.直线与平面平行的判定 表示 定理 直线与平面平行的判 定定理 图形 文字 平 面 外一 条 直线 与 此 平 面内一直线平行,则该直 线与此平面平行 符号 a ?α ? ? b?α??a∥α a∥b ? ?

[点睛]

用该定理判断直线 a 和平面 α 平行时,必须同时具备三个条件:

(1)直线 a 在平面 α 外,即 a?α; (2)直线 b 在平面 α 内,即 b?α;

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(3)两直线 a,b 平行,即 a∥b. 2.平面与平面平行的判定 表示 位置 图形 文字 符号

平面与平面平行的判 定定理

一个平面内的两条相交 直线与另一个平面平行, 则这两个平面平行

? ? a∩b=P ?α∥β ? a∥ α ? ? b∥ α
a? β b? β

[点睛]

(1)平面与平面平行的判定定理中的平行于一个平面内的 “两条相交直线”是

必不可少的. (2)面面平行的判定定理充分体现了等价转化思想,即把面面平行转化为线面平行.

[小试身手]
1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若直线 l 上有两点到平面 α 的距离相等,则 l∥平面 α( ) ) )

(2)若直线 l 与平面 α 平行,则 l 与平面 α 内的任意一条直线平行(

(3)两条平行线中的一条直线与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行( 答案:(1)× (2)× (3)× )

2.能保证直线 a 与平面 α 平行的条件是( A.b?α,a∥b B.b?α,c∥α,a∥b,a∥c C.b?α,A,B∈a,C,D∈b,且 AC∥BD D.a?α,b?α,a∥b

解析:选 D 由线面平行的判定定理可知,D 正确. 3.若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线,则这两个平面的位 置关系是( ) B.一定相交 D.以上判断都不对

A.一定平行 C.平行或相交

解析:选 C 可借助于长方体判断两平面对应平行或相交.

直线与平面平行的判定

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[典例] 如图, 在正方体 ABCDA1B1C1D1 中, E, F, G 分别是 BC, CC1, BB1 的中点, 求证:EF∥平面 AD1G. [证明] 连接 BC1,则由 E,F 分别是 BC,CC1 的中点,知 EF∥BC1.

又 AB 綊 A1B1 綊 D1C1,所以四边形 ABC1D1 是平行四边形, 所以 BC1∥AD1,所以 EF∥AD1. 又 EF?平面 AD1G,AD1?平面 AD1G, 所以 EF∥平面 AD1G.

利用直线和平面平行的判定定理证明线面平行的关键是在平 找一条直线与已知直线平行,常利用平行四边形、三角形中位线、平行公理等.

面内

[活学活用]
已知有公共边 AB 的两个全等的矩形 ABCD 和 ABEF 不同在一个平面内, P,Q 分别 是对角线 AE,BD 上的点,且 AP=DQ.求证:PQ∥平面 CBE. 证明:如图,作 PM∥AB 交 BE 于点 M,作 QN∥AB 交 BC 于点 N,连接 MN,则 PM ∥QN, PM EP QN BQ = , = . AB EA CD BD

∵EA=BD,AP=DQ,∴EP=BQ. 又∵AB=CD,∴PM 綊 QN, ∴四边形 PMNQ 是平行四边形,∴PQ∥MN. 又∵PQ?平面 CBE,MN?平面 CBE, ∴PQ∥平面 CBE. 平面与平面平行的判定

[典例]

已知,点 P 是△ABC 所在平面外一点,点 A′,B′,C′分别是△PBC,△

PAC,△PAB 的重心. (1)求证:平面 A′B′C′∥平面 ABC. (2)求 A′B′∶AB 的值. [解] (1)证明:如图,连接 PA′,并延长交 BC 于点 M,连接 PB′,

并延长交 AC 于点 N,连接 PC′,并延长交 AB 于点 Q,连接 MN,NQ. ∵A′,B′,C′分别是△PBC,△PAC,△PAB 的重心, ∴M, N, Q 分别是△ABC 的边 BC, AC, AB 的中点, 且 =2,∴A′B′∥MN. 同理可得 B′C′∥NQ. 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn PA′ PB′ = A′M B′N

∵A′B′∥MN,MN?平面 ABC,A′B′?平面 ABC, ∴A′B′∥平面 ABC. 同理可证 B′C′∥平面 ABC. 又∵A′B′∩B′C′=B′, A′B′?平面 A′B′C′, B′C′?平面 A′B′C′, ∴平面 A′B′C′∥平面 ABC. A′B′ PA′ 2 (2)由(1)知 A′B′∥MN,且 MN = PM = , 3 2 即 A′B′= MN. 3 1 ∵M,N 分别是 BC,AC 的中点,∴MN= AB. 2 2 2 1 1 ∴A′B′= MN= × AB= AB, 3 3 2 3 ∴ A′B′ 1 1 = ,即 A′B′∶AB 的值为 . AB 3 3

两个平面平行的判定定理是确定面面平行的重要方法.解答问题时一定要寻求好判定 定理所需要的条件,特别是相交的条件,即与已知平面平行的两条直线必须相交,才能确 定面面平行.

[活学活用]
如图,在三棱柱 ABCA1B1C1 中,E,F,G,H 分别 是 AB,AC,A1B1,A1C1 的中点. 求证:(1)B,C,H,G 四点共面; (2)平面 EFA1∥平面 BCHG. 证明:(1)∵GH 是△A1B1C1 的中位线, ∴GH∥B1C1. 又 B1C1∥BC,∴GH∥BC, ∴B,C,H,G 四点共面. (2)∵E,F 分别为 AB,AC 的中点,∴EF∥BC. ∵EF?平面 BCHG,BC?平面 BCHG, ∴EF∥平面 BCHG. ∵A1G 綊 EB,∴四边形 A1EBG 是平行四边形, ∴A1E∥GB. ∵A1E?平面 BCHG,GB?平面 BCHG, ∴A1E∥平面 BCHG. ∵A1E∩EF=E,∴平面 EFA1∥平面 BCHG. 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

平行中探索存在性问题

[典例] 在三棱柱 ABCA1B1C1 中,D,E 分别是线段 BC,CC1 的 中点,在线段 AB 上是否存在一点 M,使直线 DE∥平面 A1MC?请证 明你的结论. [解] 如图,取线段 AB 的中点 M,连接 A1M,MC,A1C,AC1,

设 O 为 A1C, AC1 的交点. 由已知,O 为 AC1 的中点. 连接 MD,OE,则 MD,OE 分别为△ABC,△ACC1 的中位线, 1 1 所以 MD 綊 AC,OE 綊 AC, 2 2 因此 MD 綊 OE. 连接 OM,从而四边形 MDEO 为平行四边形,则 DE∥MO. 因为直线 DE?平面 A1MC,MO?平面 A1MC, 所以直线 DE∥平面 A1MC. 即线段 AB 上存在一点 M(线段 AB 的中点),使直线 DE∥平面 A1MC.

平行中探索存在性问题的判定是高考的常考内容,多出现在解答题中.证明线面平行 的关键是找线线平行,注意利用所给几何体中隐含的线线位置关系,当题目中有中点时, 一般考虑先探索中点,再用中位线定理找平行关系.

[活学活用]
如图所示, 在正方体 ABCDA1B1C1D1 中, E, F, G, H 分别为 CC1, C1D1,DD1,CD 的中点.N 为 BC 的中点.试在 E,F,G,H 四个点中 找两个点,使这两个点与点 N 确定一个平面 α,且平面 α∥平面 BB1D1D. 解:由面面平行的判定定理,若使平面 α∥平面 BB1D1D,只需在平 面 α 内有两条相交直线平行于平面 BB1D1D, 或在平面 α 内有两条相交直 线平行于平面 BB1D1D 内的两条相交直线即可.连接 HN,HF,NF, 易知 HN∥BD, HF∥DD1, 所以平面 NHF∥平面 BB1D1D, 即在 E, F, G,H 四个点中,由 H,F 两点与点 N 确定的平面 α 满足条件.

层级一

学业水平达标

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1.下列选项中,一定能得出直线 m 与平面 α 平行的是( A.直线 m 在平面 α 外 B.直线 m 与平面 α 内的两条直线平行 C.平面 α 外的直线 m 与平面内的一条直线平行 D.直线 m 与平面 α 内的一条直线平行

)

解析:选 C 选项 A 不符合题意,因为直线 m 在平面 α 外也包括直线与平面相交;选 项 B 与 D 不符合题意,因为缺少条件 m?α;选项 C 中,由直线与平面平行的判定定理,知 直线 m 与平面 α 平行,故选项 C 符合题意. 2.已知 α,β 是两个不重合的平面,下列选项中,一定能得出平面 α 与平面 β 平行的 是( ) A.平面 α 内有一条直线与平面 β 平行 B.平面 α 内有两条直线与平面 β 平行 C.平面 α 内有一条直线与平面 β 内的一条直线平行 D.平面 α 与平面 β 不相交 解析:选 D 选项 A、C 不正确,因为两个平面可能相交;选项 B 不正确,因为平面 α 内的这两条直线必须相交才能得到平面 α 与平面 β 平行;选项 D 正确,因为两个平面的位 置关系只有相交与平行两种.故选 D. 3. 在三棱锥 ABCD 中, E, F 分别是 AB 和 BC 上的点, 若 AE∶EB=CF∶FB=2∶5, 则直线 AC 与平面 DEF 的位置关系是( A.平行 C.直线 AC 在平面 DEF 内 ) B.相交 D.不能确定

解析:选 A ∵AE∶EB=CF∶FB=2∶5,∴EF∥AC.又 EF?平面 DEF,AC?平面 DEF,∴AC∥平面 DEF. 4.已知 a,b,c,d 是四条直线,α,β 是两个不重合的平面,若 a∥b∥c∥d,a?α, b?α,c?β,d?β,则 α 与 β 的位置关系是( A.平行 C.平行或相交 )

B.相交 D.以上都不对

解析:选 C 根据图 1 和图 2 可知 α 与 β 平行或相交.

5.如图,下列正三棱柱 ABCA1B1C1 中,若 M,N,P 分别为其所在棱的中点,则不 能得出 AB∥平面 MNP 的是( )

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解析:选 C 在图 A、B 中,易知 AB∥A1B1∥MN,所以 AB∥平面 MNP;在图 D 中, 易知 AB∥PN,所以 AB∥平面 MNP.故选 C. 6.已知 l,m 是两条直线,α 是平面,若要得到“l∥α”,则需要在条件“m?α,l∥ m”中另外添加的一个条件是________. 解析:根据直线与平面平行的判定定理,知需要添加的一个条件是“l?α”. 答案:l?α 7.已知 A,B 两点是平面 α 外两点,则过 A,B 与 α 平行的平面有________个. 解析: 当 A, B 两点在平面 α 异侧时, 不存在这样的平面. 当 A, B 两点在平面同侧时, 若直线 AB∥α,则存在一个,否则不存在. 答案:0 或 1 8.如图,在五面体 FEABCD 中,四边形 CDEF 为矩形,M,N 分别 是 BF,BC 的中点,则 MN 与平面 ADE 的位置关系是________. 解析:∵M,N 分别是 BF,BC 的中点,∴MN∥CF.又四边形 CDEF 为矩形,∴CF∥DE, ∴MN∥DE.又 MN?平面 ADE,DE?平面 ADE, ∴MN∥平面 ADE. 答案:平行 9.如图所示,在直角梯形 ABCP 中,BC∥AP,AB⊥BC,CD⊥AP,AD=DC=PD.E, F,G 分别为线段 PC,PD,BC 的中点,现将△PDC 折起,使点 P?平面 ABCD. 求证:平面 PAB∥平面 EFG.

证明:∵PE=EC,PF=FD,∴EF∥CD, 又∵CD∥AB,∴EF∥AB. 又 EF?平面 PAB,∴EF∥平面 PAB. 同理可证 EG∥平面 PAB. 又∵EF∩EG=E,∴平面 PAB∥平面 EFG. 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

10.已知正方形 ABCD,如图(1)E,F 分别是 AB,CD 的中点,将△ADE 沿 DE 折起, 如图(2)所示,求证:BF∥平面 ADE.

证明:∵E,F 分别为 AB,CD 的中点,∴EB=FD. 又∵EB∥FD,∴四边形 EBFD 为平行四边形, ∴BF∥ED. ∵DE?平面 ADE,而 BF?平面 ADE, ∴BF∥平面 ADE.

层级二
A.α 内的所有直线与 l 异面 B.α 内不存在与 l 平行的直线 C.α 内存在唯一的直线与 l 平行 D.α 内的直线与 l 都相交

应试能力达标
)

1.若直线 l 不平行于平面 α,且 l?α,则(

解析: 选 B 若在平面 α 内存在与直线 l 平行的直线, 因 l?α, 故 l∥α, 这与题意矛盾. 2.在正方体 EFGHE1F1G1H1 中,下列四对截面彼此平行的一对是( A.平面 E1FG1 与平面 EGH1 B.平面 FHG1 与平面 F1H1G C.平面 F1H1H 与平面 FHE1 D.平面 E1HG1 与平面 EH1G 解析:选 A 画出相应的截面如图所示,即可得答案. )

3.已知 P 是正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱 DD1 上任意一点(不是端点),则在正方体的 12 条棱中,与平面 ABP 平行的有( A.3 个 C.9 个 ) B.6 个 D.12 个

解析:选 A 因为棱 AB 在平面 ABP 内,所以只要与棱 AB 平行的棱都满足题意,即 A1B1,D1C1,DC. 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

4.A,B 是直线 l 外的两点,过 A,B 且和 l 平行的平面有( A.0 个 C.无数个 B.1 个 D.以上都有可能

)

解析:选 D 若 AB 与 l 平行,则和 l 平行的平面有无数个;若 AB 与 l 相交,则和 l 平行的平面没有;若 AB 与 l 异面,则和 l 平行的平面有一个. 5.已知三棱柱 ABCA1B1C1,D,E,F 分别是棱 AA1,BB1,CC1 的中点,则平面 DEF 与平面 ABC 的位置关系是________. 解析:∵D,E,F 分别是棱 AA1,BB1,CC1 的中点, ∴在平行四边形 AA1B1B 与平行四边形 BB1C1C 中, DE∥AB,EF∥BC,∴DE∥平面 ABC,EF∥平面 ABC.又 DE∩EF=E,∴平面 DEF ∥平面 ABC. 答案:平行 6.如图是一几何体的平面展开图, 其中 ABCD 为正方形, E, F, G,H 分别为 PA,PD,PC,PB 的中点.在此几何体中,给出下面 四个结论: ①平面 EFGH∥平面 ABCD;②直线 PA∥平面 BDG;③直线 EF∥平面 PBC;④直线 EF∥平面 BDG.其中正确的序号是________. 解析: 作出立体图形, 可知平面 EFGH∥平面 ABCD; PA∥平面 BDG; EF∥HG,所以 EF∥平面 PBC;直线 EF 与平面 BDG 不平行. 答案:①②③ 7.如图所示,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,S 是 B1D1 的中点,E,F, G 分别是 BC,DC 和 SC 的中点.求证:平面 EFG∥平面 BDD1B1. 证明:如图所示,连接 SB,SD, ∵F,G 分别是 DC,SC 的中点, ∴FG∥SD. 又∵SD?平面 BDD1B1,FG?平面 BDD1B1, ∴FG∥平面 BDD1B1. 同理可证 EG∥平面 BDD1B1, 又∵EG?平面 EFG, FG?平面 EFG,EG∩FG=G, ∴平面 EFG∥平面 BDD1B1.

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8.如图, 已知底面是平行四边形的四棱锥 PABCD, 点 E 在 PD 上, 且 PE∶ED=2∶1, 在棱 PC 上是否存在一点 F,使 BF∥平面 AEC?若存在,请证明你的结论,并说出点 F 的 位置;若不存在,请说明理由. 解:当 F 是棱 PC 的中点时,BF∥平面 AEC.证明如下:取 PE 的中点 M,连接 FM,则 FM∥CE. 因为 FM?平面 AEC, EC?平面 AEC, 所以 FM∥平面 AEC. 1 由 EM= PE=ED,得 E 为 MD 的中点,连接 BM,BD, 2 设 BD∩AC=O,则 O 为 BD 的中点. 连接 OE,则 BM∥OE. 因为 BM?平面 AEC,OE?平面 AEC, 所以 BM∥平面 AEC. 又因为 FM?平面 BFM,BM?平面 BFM,FM∩BM=M, 所以平面 BFM∥平面 AEC, 所以平面 BFM 内的任何直线与平面 AEC 均没有公共点. 又 BF?平面 BFM, 所以 BF 与平面 AEC 没有公共点, 所以 BF∥平面 AEC.

2.2.3&2.2.4

直线与平面平行的性质、平面与平面平行的性质

预习课本 P58~61,思考并完成以下问题 1.线面平行的性质定理是什么?

2.面面平行的性质定理是什么?

3.面面平行还有哪些性质?

[新知初探]
1.直线与平面平行的性质 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

(1)文字语言: 一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行. (2)图形语言:

(3)符号语言:

? ? a?β ??a∥b. α∩β=b? ?
a∥α [点睛] 定理中有三个条件:①直线 a 和平面 α 平行,即 a∥α;②直线 a 在平面 β 内,

即 a?β;③平面 α,β 相交,即 α∩β=b.三个条件缺一不可. 2.平面与平面平行的性质 (1)文字语言: 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行. (2)图形语言:

(3)符号语言:

? ? α∩γ=a??a∥b. β∩γ=b? ?
α∥β [点睛] (1)已知两个平面平行,虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面,但是

这两个平面内的所有直线并不一定相互平行,它们可能是平行直线,也可能是异面直线, 但不可能是相交直线. (2)该定理提供了证明线线平行的另一种方法,应用时要紧扣与两个平行平面都相交的 第三个平面.

[小试身手]
1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若直线 a∥平面 α,直线 a∥直线 b,则直线 b∥平面 α( ) )

(2)若直线 a∥平面 α,则直线 a 与平面 α 内任意一条直线都无公共点( (3)若 α∥β,则平面 α 内有无数条互相平行的直线平行于平面 β( 答案:(1)× (2)√ (3)√ 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn )

2.梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB?平面 α,CD?平面 α,则直线 CD 与平面 α 内的直 线的位置关系只能是( A.平行 C.平行或相交 ) B.平行或异面 D.异面或相交

解析:选 B 由题意,CD∥α,则平面 α 内的直线与 CD 可能平行,也可能异面. 3.过正方体 ABCDA1B1C1D1 的顶点 A1,C1,B 的平面与底面 ABCD 所在的平面的交 线为 l,则 l 与 A1C1 的位置关系是________. 解析:由于平面 ABCD∥平面 A1B1C1D1,平面 A1B1C1D1∩平面 A1C1B=A1C1,平面 ABCD∩平面 A1C1B=l,所以 l∥A1C1. 答案:平行

线面平行性质的应用

[典例] 如图,P 是平行四边形 ABCD 所在平面外的一点,M 是 PC 的中点,在 DM 上取一点 G,过点 G 和 AP 作平面,交平面 BDM 于 GH. 求证:AP∥GH. [证明] 如图,连接 AC,交 BD 于点 O,连接 MO.

∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴点 O 是 AC 的中点. 又∵点 M 是 PC 的中点, ∴AP∥OM. 又∵AP?平面 BDM,OM?平面 BDM, ∴AP∥平面 BDM. ∵平面 PAHG∩平面 BDM=GH,AP?平面 PAHG, ∴AP∥GH.

线面平行的性质和判定经常交替使用,也就是通过线线平行得到线面平行,再通过线 面平行得线线平行. 利用线面平行的性质定理解题的具体步骤: (1)确定(或寻找)一条直线平 行于一个平面; (2)确定(或寻找)过这条直线且与这个平行平面相交的平面; (3)确定交线; (4) 由性质定理得出线线平行的结论.

[活学活用]
如图所示,已知两条异面直线 AB 与 CD,平面 MNPQ 与 AB,CD 都 平行,且点 M,N,P,Q 依次在线段 AC,BC,BD,AD 上,求证:四边形 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

MNPQ 是平行四边形. 证明:∵AB∥平面 MNPQ,且过 AB 的平面 ABC 交平面 MNPQ 于 MN,∴AB∥MN. 又过 AB 的平面 ABD 交平面 MNPQ 于 PQ,∴AB∥PQ,∴MN∥PQ. 同理可证 NP∥MQ. ∴四边形 MNPQ 为平行四边形. 面面平行性质的应用

[典例]

如图所示, 已知三棱柱 ABCA′B′C′中, D 是 BC 的中点,

D′是 B′C′的中点,设平面 A′D′B∩平面 ABC=a,平面 ADC′∩平 面 A′B′C′=b,判断直线 a,b 的位置关系,并证明. [解] 直线 a,b 的位置关系是平行.

∵平面 ABC∥平面 A′B′C′, 平面 A′D′B∩平面 ABC=a, 平面 A′D′B∩平面 A′B′C′=A′D′, ∴A′D′∥a,同理可得 AD∥b. 又 D 是 BC 的中点,D′是 B′C′的中点, ∴DD′綊 BB′,而 BB′綊 AA′,∴DD′綊 AA′, ∴四边形 AA′D′D 为平行四边形, ∴A′D′∥AD,因此 a∥b.

利用面面平行的性质定理判断两直线平行的步骤 (1)先找两个平面,使这两个平面分别经过这两条直线中的一条; (2)判定这两个平面平行(此条件有时题目会直接给出); (3)再找一个平面,使这两条直线都在这个平面上; (4)由定理得出结论.

[活学活用]
如图,平面 α∥平面 β,AB,CD 是两异面直线,且 A,C∈β,B,C AM CN ∈α,M,N 分别在线段 AB,CD 上,且 = .求证:MN∥α. MB ND 证明:如图,过点 A 作 AE∥CD,AE∩α=E,连接 BE,在平面 ABE 内 作 MP∥BE,MP 交 AE 于 P, AM AP 连接 NP,DE,则MB=PE.

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AM CN AP CN = ,∴ = . MB ND PE ND

∵平面 α∥平面 β,平面 ACDE∩α=ED, 平面 ACDE∩β=AC, ∴AC∥ED,∴PN∥ED. ∵PN?α,ED?α,∴PN∥α. ∵PM∥BE,PM?α,BE?α,∴PM∥α. 又 PM∩PN=P, ∴平面 PMN∥平面 α. ∵MN?平面 PMN,∴MN∥α. 平行关系的综合应用

[典例]

在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,如图.

(1)求证:平面 AB1D1∥平面 C1BD; (2)试找出体对角线 A1C 与平面 AB1D1 和平面 C1BD 并证明:A1E=EF=FC. [证明] (1)因为在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,AD 綊 B1C1, 的交点 E,F,

所以四边形 AB1C1D 是平行四边形,所以 AB1∥C1D. 又因为 C1D?平面 C1BD,AB1?平面 C1BD. 所以 AB1∥平面 C1BD. 同理 B1D1∥平面 C1BD. 又因为 AB1∩B1D1=B1,AB1?平面 AB1D1,B1D1?平面 AB1D1, 所以平面 AB1D1∥平面 C1BD. (2)如图,连接 A1C1 交 B1D1 于点 O1,连接 AO1 与 A1C 交于点 E. 又因为 AO1?平面 AB1D1,所以点 E 也在平面 AB1D1 内, 所以点 E 就是 A1C 与平面 AB1D1 的交点; 连接 AC 交 BD 于 O,连接 C1O 与 A1C 交于点 F,则点 F 就是 A1C 与平面 C1BD 的交点.下面证明 A1E=EF=FC. 因为平面 A1C1C∩平面 AB1D1=EO1, 平面 A1C1C∩平面 C1BD=C1F, 平面 AB1D1∥平面 C1BD,所以 EO1∥C1F. 在△A1C1F 中,O1 是 A1C1 的中点,所以 E 是 A1F 的中点,即 A1E=EF; 同理可证 OF∥AE,所以 F 是 CE 的中点, 即 CF=FE, 所以 A1E=EF=FC. 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

(1)在遇到线面平行时,常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面,以便运用线 面平行的性质. (2)要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的相互联系、相互转化.在解决立体几 何中的平行问题时,一般都要用到平行关系的转化.转化思想是解决这类问题的最有效的 方法.

[活学活用]
如图,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,点 N 在 BD 上,点 M 在 B1C 上,且 CM=DN.求证:MN∥平面 AA1B1B. 证明:如图,作 MP∥BB1 交 BC 于点 P,连接 NP, ∵MP∥BB1, ∴ CM CP = . MB1 PB

∵BD=B1C,DN=CM, ∴B1M=BN, ∴ ∴ CM DN = , MB1 NB CP DN = , PB NB

∴NP∥CD∥AB. ∵NP?平面 AA1B1B,AB?平面 AA1B1B, ∴NP∥平面 AA1B1B. ∵MP∥BB1,MP?平面 AA1B1B,BB1?平面 AA1B1B, ∴MP∥平面 AA1B1B. 又∵MP?平面 MNP,NP?平面 MNP,MP∩NP=P, ∴平面 MNP∥平面 AA1B1B. ∵MN?平面 MNP, ∴MN∥平面 AA1B1B.

层级一
那么这些交线的位置关系为( A.都平行 )

学业水平达标

1.若直线 l∥平面 α,则过 l 作一组平面与 α 相交,记所得的交线分别为 a,b,c,?,

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B.都相交且一定交于同一点 C.都相交但不一定交于同一点 D.都平行或交于同一点 解析: 选 A 因为直线 l∥平面 α, 所以根据直线与平面平行的性质知 l∥a, l∥b, l∥c, ?, 所以 a∥b∥c∥?,故选 A. 2.如图, 已知 S 为四边形 ABCD 外一点, G, H 分别为 SB, BD 上的点, 若 GH∥平面 SCD,则( A.GH∥SA B.GH∥SD C.GH∥SC D.以上均有可能 解析:选 B 因为 GH∥平面 SCD,GH?平面 SBD,平面 SBD∩平面 SCD=SD,所 以 GH∥SD,显然 GH 与 SA,SC 均不平行,故选 B. 3.在空间四边形 ABCD 中,E,F,G,H 分别是 AB,BC,CD,DA 上的点,当 BD ∥平面 EFGH 时,下列结论中正确的是( A.E,F,G,H 一定是各边的中点 B.G,H 一定是 CD,DA 的中点 C.BE∶EA=BF∶FC,且 DH∶HA=DG∶GC D.AE∶EB=AH∶HD,且 BF∶FC=DG∶GC 解析: 选 D 由于 BD∥平面 EFGH, 由线面平行的性质定理, 有 BD∥EH, BD∥FG, 则 AE∶EB=AH∶HD,且 BF∶FC=DG∶GC. 4.已知 a,b,c 为三条不重合的直线,α,β,γ 为三个不重合的平面,现给出四个命 题: ①
? α∥c? ??α∥β; β∥c ? ?

)

)



? α∥γ? ??α∥β; β∥γ ? ?



α∥c? ? ??a∥α; ? a∥c ? )



a∥ γ ? ? ??a∥β. ? β∥γ?

其中正确的命题是( A.①②③ C.②

B.①④ D.①③④

解析:选 C ①α 与 β 有可能相交;②正确;③有可能 a?α;④有可能 a?β.故选 C. 5.已知平面 α∥平面 β,P 是 α,β 外一点,过点 P 的直线 m 与 α,β 分别交于 A,C 两点,过点 P 的直线 n 与 α,β 分别交于 B,D 两点,且 PA=6,AC=9,PD=8,则 BD 的长为( ) 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

A.16 C.14

B.24 或 D.20

24 5

PA PB 解析:选 B 由 α∥β 得 AB∥CD.分两种情况:若点 P 在 α,β 的同侧,则PC=PD, ∴PB= PA PB 16 24 ,∴BD= ;若点 P 在 α,β 之间,则有PC=PD,∴PB=16,∴BD=24. 5 5

6.如图,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,AB=2,点 E 为 AD 的中点, 点 F 在 CD 上.若 EF∥平面 AB1C,则线段 EF 的长度等于________. 解析:∵在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,AB=2,∴AC=2 2.又 E 为 AD 的中点,EF∥平面 AB1C,EF?平面 ADC,平面 ADC∩平面 AB1C= 1 AC,∴EF∥AC,∴F 为 DC 的中点,∴EF= AC= 2. 2 答案: 2 7.过三棱柱 ABCA1B1C1 的任意两条棱的中点作直线,其中与平面 ABB1A1 平行的直 线共有________条. 解析:记 AC,BC,A1C1,B1C1 的中点分别为 E,F,E1,F1,则直线 EF,E1F1,EE1, FF1,E1F,EF1 均与平面 ABB1A1 平行,故符合题意的直线共有 6 条. 答案:6 8.已知 a,b 表示两条直线,α,β,γ 表示三个不重合的平面,给出下列命题: ①若 α∩γ=a,β∩γ=b,且 a∥b,则 α∥β; ②若 a,b 相交且都在 α,β 外,a∥α,b∥β,则 α∥β; ③若 a∥α,a∥β,则 α∥β; ④若 a?α,a∥β,α∩β=b,则 a∥b. 其中正确命题的序号是________. 解析:①错误,α 与 β 也可能相交;②正确,设 a,b 确定的平面为 γ,依题意,得 γ ∥α,γ∥β,故 α∥β;③错误,α 与 β 也可能相交;④正确,由线面平行的性质定理可知. 答案:②④ 9.如图, S 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点, M, N 分别是 SA, AM DN BD 上的点,且 SM =NB,求证:MN∥平面 SBC. AP AM 证明:在 AB 上取一点 P,使BP= SM ,连接 MP,NP,则 MP∥ SB. ∵SB?平面 SBC,MP?平面 SBC,∴MP∥平面 SBC. 又 AM DN AP DN = ,∴ = ,∴NP∥AD. SM NB BP NB 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

∵AD∥BC,∴NP∥BC. 又 BC?平面 SBC,NP?平面 SBC, ∴NP∥平面 SBC. 又 MP∩NP=P, ∴平面 MNP∥平面 SBC,而 MN?平面 MNP, ∴MN∥平面 SBC. 10.如图所示,四边形 ABCD 是矩形,P?平面 ABCD,过 BC 作平 面 BCFE 交 AP 于点 E, 交 DP 于点 F, 求证: 四边形 BCFE 为梯形. 证明:∵四边形 ABCD 是矩形, ∴BC∥AD. ∵AD?平面 APD,BC?平面 APD, ∴BC∥平面 APD. 又平面 BCFE∩平面 APD=EF, ∴BC∥EF,∴AD∥EF. 又 E,F 是△APD 边上的点,∴EF≠AD,∴EF≠BC. ∴四边形 BCFE 是梯形.

层级二
c∥β,则平面 α 与 β 的位置关系是( A.平行 C.平行或相交 )

应试能力达标

1.已知平面 α,β,直线 a,b,c,若 a?α,b?α,c?α,a∥b∥c,且 a∥β,b∥β,

B.相交 D.以上都不对

解析:选 C 由题意可知,平面 α 内不一定有两条相交直线与平面 β 平行,所以平面 α 与 β 有可能平行,也有可能相交. 2.已知直线 a∥平面 α,直线 b?平面 α,则( A.a∥b C.a 与 b 相交 )

B.a 与 b 异面 D.a 与 b 无公共点

解析:选 D 由题意可知直线 a 与平面 α 无公共点,所以 a 与 b 平行或异面,所以两 者无公共点. 3.已知平面 α∥平面 β,a?α,b?β,则直线 a,b 的位置关系是( A.平行 C.异面 B.相交 D.平行或异面 )

解析:选 D ∵平面 α∥平面 β,∴平面 α 与平面 β 没有公共点.∵a?α,b?β,∴直 线 a,b 没有公共点,∴直线 a,b 的位置关系是平行或异面.

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4.如图所示, P 是三角形 ABC 所在平面外一点, 平面 α∥平面 ABC, α 分别交线段 PA,PB,PC 于 A′,B′,C′,若 PA′∶AA′=2∶3, 则△A′B′C′与△ABC 面积的比为( A.2∶5 C.4∶9 ) B.3∶8 D.4∶25

解析:选 D ∵平面 α∥平面 ABC,平面 PAB∩α=A′B′,平面 PAB∩平面 ABC= AB ,∴ A′B′ ∥ AB. 又∵ PA′ ∶ AA′ = 2 ∶ 3 ,∴ A′B′ ∶ AB = PA′ ∶ PA = 2 ∶ 5. 同理 B′C′∶BC=A′C′∶AC=2∶5.∴△A′B′C′与△ABC 相似, ∴S△A′B′C′∶S△ABC=4∶ 25. 5.如图,四边形 ABDC 是梯形,AB∥CD,且 AB∥平面 α,M 是 AC 的中点, BD 与平面 α 交于点 N, AB=4, CD=6, 则 MN=________. 解析:∵AB∥平面 α,AB?平面 ABDC,平面 ABDC∩平面 α= MN, ∴AB∥MN.又 M 是 AC 的中点, ∴MN 是梯形 ABDC 的中位线, 1 故 MN= (AB+CD)=5. 2 答案:5 6.如图,四边形 ABCD 是空间四边形,E,F,G,H 分别是四边 上的点, 它们共面, 且 AC∥平面 EFGH, BD∥平面 EFGH, AC=m, BD=n,则当四边形 EFGH 是菱形时,AE∶EB=________. 解析:∵AC∥平面 EFGH,∴EF∥AC,HG∥AC,∴EF=HG BE AE BE AE =ABm.同理,EH=FG=ABn,∴ABm=ABn,∴AE∶EB=m∶n. 答案:m∶n 7.如图,在棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E,F,P,Q 分别是 BC,C1D1, AD1,BD 的中点. (1)求证:PQ∥平面 DCC1D1; (2)求 PQ 的长; (3)求证:EF∥平面 BB1D1D. 解:(1)证明:如图所示. 连接 AC,CD1, ∵P,Q 分别是 AD1,AC 的中点, ∴PQ∥CD1. 又 PQ?平面 DCC1D1, CD1?平面 DCC1D1, ∴PQ∥平面 DCC1D1. 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

1 2 (2)由(1)易知 PQ= D1C= a. 2 2 (3)证明: 取 B1C1 的中点 E1, 连接 EE1, FE1, 则有 FE1∥B1D1, EE1∥BB1, 又 FE1∩EE1 =E1,B1D1∩BB1=B1,∴平面 EE1F∥平面 BB1D1D. 又 EF?平面 EE1F,所以 EF∥平面 BB1D1D.

8.如图,在三棱柱 ABCA1B1C1 中,点 E,F 分别是棱 CC1,BB1 上的 点,点 M 是线段 AC 上的动点,EC=2FB=2,若 MB∥平面 AEF,试判断 点 M 在何位置. 解:若 MB∥平面 AEF,过 F,B,M 作平面 FBMN 交 AE 于 N,连 接 MN,NF.因为 BF∥ 平面 AA1C1C, BF?平面 FBMN,平面 FBMN∩平面 AA1C1C=MN,所 MN. 又 MB∥平面 AEF,MB?平面 FBMN,平面 FBMN∩平 =FN,所以 MB∥FN, 所以 BFNM 是平行四边形, 所以 MN∥BF,MN=BF=1. 而 EC∥FB,EC=2FB=2, 1 所以 MN∥EC,MN= EC=1, 2 故 MN 是△ACE 的中位线. 所以 M 是 AC 的中点时,MB∥平面 AEF. 面 AEF 以 BF∥

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