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高考理科数学数学专题复习向量、复数、线性规划

时间:2016-06-15


师大附中 2015 年高三专题复习
------------------平面向量、复数、程序框图及合情推理

一、必备主干知识:
1.掌握两个定理 (1)向量共线定理:向量 a(a≠0)与 b 共线当且仅当存在唯一一个实数 λ,使 b=λa. (2)平面向量基本定理:如果 e1,e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对这一平面 内的任一向量 a,有且只有一对实数 λ1,λ2,使 a=λ1e1+λ2e2,其中 e1,e2 是一组基底. 1.掌握两个定理 (1)向量共线定理:向量 a(a≠0)与 b 共线当且仅当存在唯一一个实数 λ,使 b=λa. (2)平面向量基本定理:如果 e1,e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对这一平面 内的任一向量 a,有且只有一对实数 λ1,λ2,使 a=λ1e1+λ2e2,其中 e1,e2 是一组基底. (2)若 A(x1,y1),B(x2,y2),则 → |AB|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2. (3)若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ 为 a 与 b 的夹角,则 x1x2+y1y2 a· b cos θ= = 2 2 2 2. |a||b| x1+y1 x2+y2 5.熟悉复数的四则运算法则 (a+bi)± (c+di)=(a± c)+(b± d)i. (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i. ac+bd bc-ad (a+bi)÷ (c+di)= 2 + i(a,b,c,d∈R,c+di≠0). c +d2 c2+d2 高考真题要回访,做好真题底气足 1. (2014· 湖南)执行如图所示的程序框图. 如果输入的 t∈[-2,2], 则输出的 S 属于( )

A.[-6,-2] C.[-4,5] [解析] 由程序框图,可得

B.[-5,-1] D.[-3,6]

2 ? ?2t +1-3,t∈[-2,0?, S=? 其值域为(-2,6]∪[-3,-1]=[-3,6],故选 D. ?t-3,t∈[0,2], ?

2.(2014· 新课标全国卷Ⅱ)设向量 a,b 满足|a+b|= 10,|a-b|= 6,则 a· b=( A.1 B.2 C.3 D.5

)

[解析] 由条件,可得(a+b)2 =10,(a-b)2 =6,两式相减,得 4a· b=4,所以 a· b=1. z 3.(2014· 安徽)设 i 是虚数单位, z 表示复数 z 的共轭复数.若 z=1+i,则 +i·z =( i A.-2 B.-2i C.2 D.2i z 1+i -i +i z [解析] ∵z=1+i,∴ z =1-i, = = =1-i,∴ +i·z =1-i+i(1-i)= i i i i (1-i)(1+i)=2.故选 C. 4.(2014· 新课标全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A,B,C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 乙说:我没去过 C 城市; 丙说:我们三人去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为________. [解析] 由题意可推断:甲没去过 B 城市,但比乙去的城市多,而丙说“三人去过同一 城市”,说明甲去过 A,C 城市,而乙“没去过 C 城市”,说明乙去过城市 A,由此可知, 乙去过的城市为 A.
2

)

二、典例解析:
考点一:复数的概念及运算 ?1+i?3 [例 1] (1)(2014· 新课标全国卷Ⅰ) =( ?1-i?2 A.1+i C.1-i B.-1+i D.-1-i ) )

(2)(2014· 江西) z 是 z 的共轭复数, 若 z+ z =2, (z- z )i=2(i 为虚数单位), 则 z=( A.1+i C.-1+i B.-1-i D.1-i

?1+i?3 1-i+3i-3 -2+2i [解析] (1) = = =-1-i,故选 D. ?1-i?2 -2i -2i (2)设 z=a+bi(a,b∈R),则 z =a-bi,又 z+ z =2,即(a+bi)+(a-bi)=2,所以 2a =2,解得 a=1.又(z- z )i=2,即[(a+bi)-(a-bi)]· i=2,所以 bi2=1,解得 b=-1.所以 z =1-i. (1)(2014· 新课标全国卷Ⅱ)设复数 z1,z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,

则 z1z2=( A.-5

) B.5 D.-4-i

C.-4+i [解析] 由题意可知,z2=-2+i, 所以 z1z2=(2+i)(-2+i)=i2-4=-5.

(2)(2014· 山东)已知 a,b∈R,i 是虚数单位,若 a-i 与 2+bi 互为共轭复数,则(a+bi)2 =( ) A.5-4i B.5+4i C.3-4i D.3+4i [解析] 根据已知,得 a=2,b=1, 所以(a+bi)2=(2+i)2=3+4i. 考点二:平面向量的运算与应用 [例 2] (1)(2014· 四川)平面向量 a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且 c 与 a 的夹角 等于 c 与 b 的夹角,则 m=( A.-2 C.1 ) B.-1 D.2

(2)(2014· 湖北)设向量 a=(3,3),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a-λb),则实数 λ=________. c· a [解析] (1)解法一:由已知,得 c=(m+4,2m+2),因为 cos〈c,a〉= ,cos〈c, |c|· |a| c· b c· a c· b b〉= ,所以 = ,又由已知,得|b|=2|a|,所以 2c· a=c· b,即 2[(m+4)+2(2m |c|· |b| |c|· |a| |c|· |b| +2)]=4(m+4)+2(2m+2),解得 m=2. 解法二:易知 c 是以 ma,b 为邻边的平行四边形的对角线向量,因为 c 与 a 的夹角等 于 c 与 b 的夹角,所以该平行四边形为菱形,又由已知,得|b|=2|a|,故 m=2. (2)(a+λb)⊥(a-λb)?(a+λb)· (a-λb)=a2-λ2b2=0?18-2λ2=0?λ=± 3. (1)(2014· 天津)已知菱形 ABCD 的边长为 2,∠BAD=120° ,点 E,F 分别在边 BC,DC 2 上,BE=λBC,DF=μDC.若AE· AF=1,CE· CF=- ,则 λ+μ=( 3 1 A. 2 2 5 7 B. C. D. 3 6 12 → → → → )

[解析] 如图所示,以菱形 ABCD 的两条对角线所在直线为坐标轴,建立平面直角坐标 系 xOy,不妨设 A(0,-1),B(- 3,0),C(0,1),D( 3,0), 由题意,得 → → CE=(1-λ)· CB=( 3λ- 3,λ-1),

→ → →



CF=(1-μ)CD=( 3- 3μ,μ-1), 2 因为CE· CF=- , 3 2 所以 3(λ-1)(1-μ)+(λ-1)(μ-1)=- , 3 1 即(λ-1)(μ-1)= . 3 → → → 又AE· AF=1,所以(λ+1)(μ+1)=2. 1 ? ??λ-1??μ-1?=3, 由? ? ??λ+1??μ+1?=2, 5 解得 λ+μ= .故选 C. 6 → → → → 1 (2)(2014· 新课标全国卷Ⅰ)已知 A,B,C 为圆 O 上的三点,若AO= (AB+AC),则AB与AC的 2 夹角为________. → → → 1 [解析] ∵AO= (AB+AC), 2 ∴点 O 是△ABC 的边 BC 的中点, → → ∴BC 为直径,根据圆的几何性质有〈AB,AC〉=90° . 考点三:程序框图 [例 3] (1)(2014· 新课标全国卷Ⅱ)执行如图的程序框图,如果输入的 x,t 均为 2,则输 出的 S=( ) → → → → → → 因为AE=AC+CE=( 3λ- 3,λ+1),AF=AC+CF=( 3- 3μ,μ+1),

A.4

B.5 C.6

D.7

(2)(2014· 四川)执行如图所示的程序框图,如果输入的 x,y∈R,那么输出的 S 的最大值 为( )

A.0 B.1 C.2 D.3 [解析] (1)在循环体部分的运算为:第一步,M=2,S=5,k=2;第二步,M=2,S

=7,k=3.故输出的结果为 7. x≥0, ? ? (2)当?y≥0, ? ?x+y≤1

时,由线性规划的图解法知,目标函数 S=2x+y 的最大值为 2,否则,

S 的值为 1.所以输出的 S 的最大值为 2. (1)(2014· 新课标全国卷Ⅰ)执行如图所示的程序框图,若输入的 a,b,k 分别为 1,2,3, 则输出的 M=( )

20 A. 3

16 B. 5

7 15 C. D. 2 8

3 3 8 3 8 [解析] 第一次循环:M= ,a=2,b= ,n=2;第二次循环:M= ,a= ,b= ,n 2 2 3 2 3 15 8 15 15 =3;第三次循环:M= ,a= ,b= ,n=4,则输出 M= ,故选 D. 8 3 8 8 (2)(2014· 重庆)执行如图所示的程序框图,若输出 k 的值为 6,则判断框内可填入的条件 是( )

1 A.s> 2 7 C.s> 10

3 B.s> 5 4 D.s> 5

考点四:合情推理。 [例 4] (1)(2014· 北京)学生的语文、 数学成绩均被评定为三个等级, 依次为“优秀”“合 格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于 乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好, 并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,那么这组学生最多有( A.2 人 C.4 人 B.3 人 D.5 人 )

[解析] (1)假设满足条件的学生有 4 位及 4 位以上, 设其中 4 位同学分别为甲、 乙、 丙、 丁,则 4 位同学中必有两个人语文成绩一样,且这两个人数学成绩不一样,那么这两个人中 一个人的成绩比另一个人好,故满足条件的学生不能超过 3 人.当有 3 位学生时,用 A,B, C 表示“优秀”“合格”“不合格”,则满足题意的有 AC,CA,BB,所以最多有 3 人.

师大附中 2015 年高三专题复习
------------------不等式与线性规划

一、必备主干知识:
1.牢记四类不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法 先化为一般形式 ax2+bx+c>0(a≠0), 再求相应一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根, 最后根据相应二次函数图象与 x 轴的位置关系,确定一元二次不等式的解集. (2)简单分式不等式的解法 ① ② f?x? >0(<0)?f(x)g(x)>0(<0); g?x? f?x? ≥0(≤0)?f(x)g(x)≥0(≤0)且 g(x)≠0. g?x?

(3)简单指数不等式的解法 ①当 a>1 时,af(x)>ag(x)?f(x)>g(x); ②当 0<a<1 时,af(x)>ag(x)?f(x)<g(x). (4)简单对数不等式的解法 ①当 a>1 时,logaf(x)>logag(x)?f(x)>g(x)且 f(x)>0,g(x)>0; ②当 0<a<1 时,logaf(x)>logag(x)?f(x)<g(x)且 f(x)>0,g(x)>0. 2.熟记五个重要不等式 (1)|a|≥0,a2≥0(a∈R). (2)a2+b2≥2ab(a,b∈R). a+b (3) ≥ ab(a>0,b>0). 2 (4)ab≤? (5) a+b?2 ? 2 ? (a,b∈R).

a2+b2 a+b ≥ ≥ ab(a>0,b>0). 2 2 )

1.(2014· 四川)若 a>b>0,c<d<0,则一定有( a b A. > c d a b B. < c d

a b C. > d c

a b D. < d c

a b a [解析] 令 a=3,b=2,c=-3,d=-2,则 =-1, =-1,所以 A,B 错误; = c d d 3 b 2 a b - , =- ,所以 < ,所以 C 错误,故选 D. 2 c 3 d c 2.(2014· 新课标全国卷Ⅱ)设集合 M={0,1,2},N={x|x2-3x+2≤0},则 M∩N=( A.{1} C.{0,1} B.{2} D.{1,2} )

[解析] N={x|x2-3x+2≤0}={x|1≤x≤2},又 M={0,1,2},所以 M∩N={1,2}. y≤x, ? ? 3.(2014· 广东)若变量 x,y 满足约束条件?x+y≤1, ? ?y≥-1, 分别为 m 和 n,则 m-n=( A.8 B.7 C.6 D.5 [解析] 作出可行域(如图中阴影部分所示)后,结合目标函数可知,当直线 y=-2x+z
? ? ?y=-1, ?x=2, 经过点 A 时,z 的值最大,由? 得? 则 m=zmax=2×2-1=3.当直线 y ?x+y=1, ? ? ?y=-1, ?y=-1, ?x=-1, ? ? =-2x+z 经过点 B 时,z 的值最小,由? 得? 则 n=zmin=2×(-1)-1 ?y=x, ?y=-1, ? ?

且 z=2x+y 的最大值和最小值

)

=-3,故 m-n=6. 4.(2014· 上海)若实数 x,y 满足 x· y=1,则 x2+2y2 的最小值为________. 2 2 2 2 [解析] x +2y ≥2 x · 2y =2 2xy=2 2,当且仅当 x= 2y 时等号成立,所以 x2+2y2 的最小值为 2 2.

不等式的性质及解法
[例 1] (2014· 山东)已知实数 x,y 满足 ax<ay(0<a<1),则下列关系式恒成立的是( 1 1 A. 2 > 2 x +1 y +1 C.sin x>sin y B.ln(x2+1)>ln(y2+1) D.x3>y3 )

[解析] 根据指数函数的性质得 x>y,此时 x2,y2 的大小不确定,故选项 A,B 中的不 等式不恒成立;根据三角函数的性质,选项 C 中的不等式也不恒成立;根据不等式的性质 知选项 D 中的不等式恒成立. (2)(2014· 唐山模拟)定义在 R 上的函数 f(x)满足:f(-x)+f(x)=x2,当 x<0 时,f′(x)<x, 1 则不等式 f(x)+ ≥f(1-x)+x 的解集为________. 2 [解析] ∵f(x)+f(-x)=x2,∴f′(x)-f′(-x)=2x,

∴f′(-x)=f′(x)-2x, 当 x<0 时,f′(x)<x,∴f′(-x)=f′(x)-2x<x-2x=-x, 1 ∴当 x>0 时,f′(x)<x, 令 g(x)=f(x)+ -f(1-x)-x, 则 g′(x)=f′(x)+f′(1-x)-1<x 2 +1-x-1=0, 1? ?1? 1 ?1? 1 ?1? ∴g(x)在 R 上单调递减,而 g? ?2?=f?2?+2-f?2?-2=0,∴g(x)≥0,即 g(x)≥g?2?,故 1? 原不等式的解集为? ?-∞,2?.

基本不等式及其应用
x+2 [例 2] (1)(2014· 潍坊联考)已知不等式 <0 的解集为{x|a<x<b}, 点 A(a, b)在直线 mx x+1 2 1 +ny+1=0 上,其中 mn>0,则 + 的最小值为( m n A.4 2 C.9
3

) B.8 D.12

(2)(2014· 福建)要制作一个容积为 4 m ,高为 1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底 面造价是每平方米 20 元, 侧面造价是每平方米 10 元, 则该容器的最低总造价是________(单 位:元). x+2 [解析] (1)易知不等式 <0 的解集为(-2,-1),所以 a=-2,b=-1,则 2m+n x+1 2 1 ? 2 +1?=5+2m+2n≥5+4=9 当且仅当 m=n=1时取等号,所以 2 + =1, + =(2m+n)· ?m n? m n n m 3 m 1 的最小值为 9. n 设该容器的总造价为 y 元,长方体的底面矩形的长为 x m,因为无盖长方体的容积为 4 4 ?2x+2×4?= m3,高为 1 m,所以长方体的底面矩形的宽为 m,依题意,得 y=20×4+10· x x ? ? 4 x+ ?≥80+20×2 80+20? ? x? 低总造价为 160 元. π 1+2sin2x 0, ?,且函数 f(x)= (1)(2014· 开封模拟)已知 x∈? 的最小值为 b,若函数 g(x) ? 2? sin 2x 4 4 当且仅当x= ,即x=2时取等号?, x× =160? x ? ? 所以该容器的最 x

?8x -6bx+4,0<x≤4, =? π π ?-1,4<x<2,
2

π

则不等式 g(x)≤1 的解集为(

)

π π? A.? ?4,2?

B.?

? ? 4 ,2?
3 π

C.?

3 3? , 4 2 ? ?

π 3 D.? , ? 4 2 ? ?

π? [解析] 依题意,当 x∈? ?0,2?时, 3sin2x+cos2x 1? 1 f(x)= = ?3tan x+tan x? ?≥ 2sin xcos x 2 1 1 3tan x· = 3,当且仅当 3tan x= ,则 tan x tan x π ①或 4

π ? ?0<x≤4, 3 π tan x= ,x= 时取等号,因此 b= 3,不等式 g(x)≤1 等价于? 3 6 ?8x2-6 3x+4≤1 ?

π π? ? 3 π? π 3 π 3 π , = <x< ,解①得 ≤x≤ ,因此不等式 g(x)≤1 的解集是? , ?∪? ,故选 2 4 4 ? 4 4? ?4 2? ? 4 ,2? B.

线性规划问题
x+y-7≤0, ? ? [例 3] (1)(2014· 新课标全国卷Ⅱ)设 x,y 满足约束条件?x-3y+1≤0, ? ?3x-y-5≥0, 的最大值为( A.10 ) B.8 C.3 D.2 则 z=2x-y 则 z=2x-y

x+y-7≤0, ? ? [例 3] (1)(2014· 新课标全国卷Ⅱ)设 x,y 满足约束条件?x-3y+1≤0, ? ?3x-y-5≥0, 的最大值为( A.10 ) B.8 C.3 D.2

x+2y-4≤0, ? ? (2)(2014· 浙江)当实数 x,y 满足?x-y-1≤0, ? ?x≥1

时,1≤ax+y≤4 恒成立,则实数 a 的取

值范围是________. [解析] (1)作出可行域如图中阴影部分所示,由 z=2x -y 得 y=2x-z,作出直线 y= 2x, 平移使之经过可行域, 观察可知, 当直线经过点 B(5,2)时, 对应的 z 值最大. 故 zmax=2×5 -2=8.

(2)作出题中线性规划条件满足的可行域如图中阴影部分所示,令 z=ax+y,即 y=-ax

3? +z.作直线 l0:y=-ax,平移 l0,最优解可在 A(1,0),B(2,1),C? ?1,2?处取得. 故由 1≤z≤4 恒成立,可得 1≤a≤4, ? ?1≤2a+1≤4, ? 3 ? ?1≤a+2≤4,

3 解得 1≤a≤ . 2

x≥0, ? ? y+4 (2)(2014· 云南质检二)已知 x,y 满足约束条件?y≥0, 则 的取值范围是( x+2 ? ?2x+y≤4, A.[1,4] C.[-1,4] B.[1,2] D.[-1,2]

)

y+4 [解析] 作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示.目标函数 的几何意义 x+2 是区域上的点(x,y)与(-2,-4)的连线的斜率,经过点(2,0)时取得最小值 1,经过点(0,4) y+4 时取得最大值 4,所以 的取值范围是[1,4],故选 A. x+2

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------------------计数原理与二项式定理 2.排列、组合 (1)排列数公式 Am n =n(n-1)(n-2)?(n-m+1), Am n= n! , ?n-m?!

An ,0!=1(n∈N*,m∈N*,m≤n). n=n! (2)组合数公式及性质 Cm n= Cm n= n?n-1??n-2???n-m+1? Am n = , Am m! m n! m n-m m m-1 ,C0 ,Cm . m=1,Cn =Cn n+1=Cn +Cn m!?n-m?!

3.把握二项式定理的四个基本问题 (1)二项式定理

n 0 1 n 1 n r r n * (a+b)n=C0 b+?+Cr b +?+Cn na b +Cna na nb ,(n∈N ).
- -

(2)通项与二项式系数
n r r ①通项 Tr+1=Cr b (其中 0≤r≤n,r∈N*,n∈N*),其中 Cr na n(r=0,1,2,?,n)叫做二


项式系数. ②二项式系数最值问题 n 2 n 当 n 为偶数时,中间一项即第 +1 项的二项式系数Cn 最大;当 n 为奇数时,中间两项 2 n-1 n+1 2 2 n+1 n+3 即第 , 项的二项式系数Cn ,Cn 相等且最大. 2 2 ②二项式系数最值问题 n 2 n 当 n 为偶数时,中间一项即第 +1 项的二项式系数Cn 最大;当 n 为奇数时,中间两项 2 n-1 n+1 2 2 n+1 n+3 即第 , 项的二项式系数Cn ,Cn 相等且最大. 2 2 高考真题要回访,做好真题底气足 1 2 3 ?5 1.(2014· 湖南)? ?2x-2y? 的展开式中 x y 的系数是( A.-20 B.-5 C .5 D.20 )

3 2 3 2 3 ?1 ?2 [解析] 由二项展开式的通项可得,第四项 T4=C3 5 2x (-2y) =-20x y ,故 x y 的系 ? ?

数为-20,故选 A. 2.(2014· 四川)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则 不同的排法共有( )

A.192 种 B.216 种 C.240 种 D.288 种 [解析] 根据甲、乙的位置要求分类解决,分两类. 第一类:甲在左端,有 A5 5=5×4×3×2×1=120(种)方法; 第二类:乙在最左端,有 4A4 4=4×4×3×2×1=96(种)方法. 所以共有 120+96=216(种)方法. a?7 1 3.(2014· 湖北)若二项式? ?2x+x? 的展开式中x3的系数是 84,则实数 a=( A.2 5 B. 4 C.1 D. 2 4

)

7-k?a?k k 7-k k 7-2k 5 2 5 [解析] Tk+1=Ck 7(2x) ?x? =C72 a x ,令 7-2k=-3,得 k=5,即 T5+1=C72 a x

-3

=84x 3,解得 a=1,故选 C.


x ?n 2 4.(2014· 安徽)设 a≠0,n 是大于 1 的自然数,? ?1+a? 的展开式为 a0+a1x+a2x +?+ anxn.若点 Ai(i,ai)(i=0,1,2)的位置如图所示,则 a=________.

[解析] 由题意知,A0(0,1),A1(1,3),A2(2,4). 故 a0=1,a1=3,a2=4. x ?n 由? ?1+a? 的展开式的通项公式知,

? x ?r Tr+1=Cr n a (r=0,1,2,?,n). ? ?
故 C1 C2 n n =3, 2 =4,解得 a=3. a a

计数原理及应用
[例 1] (1)(2014· 全国大纲卷)有 6 名男医生、5 名女医生,从中选出 2 名男医生、1 名 女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有( )

A.60 种 B.70 种 C.75 种 D.150 种 (2)(2014· 山西四校联考)航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中,有 5 架歼 -15 飞机准备着舰,如果甲、乙两机必须相邻着舰,而甲、丁两机不能相邻着舰,那么不 同的着舰方法有( )

A.12 种 B.16 种 C.24 种 D.36 种 [解析] (1)第一步,先从 6 名男医生中选出 2 名,不同的选法有 C2 6=15(种);第二步, 再从 5 名女医生中选出 1 名,不同的选法有 C1 5=5(种);由分步计数原理可得,组成医疗小 组的不同的选法共有 15×5=75(种).故选 C.
3 (2)当甲排在边上时,有 2A3 =12 种方法;当甲不排在边上时,有 12A2 2=24 种方法.这

样一共有 12+24=36 种不同的着舰方法. (1)(2013· 福建)满足 a,b∈{-1,0,1,2},且关于 x 的方程 ax2+2x+b=0 有实数解的有序 数对(a,b)的个数为( )

A.15 B.13 C.12 D.10 [解析] 当 a=0 时,方程变为 2x+b=0,则 b 为-1,0,1,2 都有解;当 a≠0 时,需满足

Δ=22-4ab≥0,即 ab≤1.当 a=-1 时,b 可取-1,0,1,2;当 a=1 时,b 可取-1,0,1;当 a =2 时,b 可取-1,0.故满足条件的有序数对(a,b)的个数为 4+4+3+2=13. (2)(2014· 上海普陀区质量调研)已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7,8},在 U 中任取四个元素组 成的集合记为 A={a1,a2,a3,a4},余下的四个元素组成的集合记为?UA={b1,b2,b3,b4}, 若 a1+a2+a3+a4<b1+b2+b3+b4,则集合 A 的取法共有________种. [解析] 本题只要抓住 A 和?UA 是成对出现的, 而它们中的元素之和就是 U 中所有元素 之和 1+2+?+8=36,因此只要 A 中 4 个元素之和小于 18 就符合要求,从{1,2,3,4,5,6}中 任取 4 个数,和最大的为 3+4+5+6=18,故这里有 C4 6-1=14 个符合题意,下面考虑所 取 4 个数中最大的为 7,则另外 3 个的和小于 11,从{1,2,3,4,5}中任取 3 个数,除 2+4+5 =11,3+4+5=12 外其余任 3 个数的和都小于 11,有 C3 5-2=8 个,此时还有{1,2,6,7}这 1 种取法也合题意,当最大数为 8 时,另外 3 个数和的小于 10,从{1,2,3,4}中任取 3 个符合 题意,有 C4=4 种取法,此外有{1,3,6,7},{1,3,5,8},{1,2,5,8},{1,2,6,8}四种取法也 符合题意,这样共有取法为 14+8+1+4+4=31 种. 排列组合的应用 [例 2] (1)(2014· 重庆)某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目、2 个小品类节目和 1 个相声 类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是( A.72 B.120 C.144 D.168 (2)(2014· 北京)把 5 件不同产品摆成一排,若产品 A 与产品 B 相邻,且产品 A 与产品 C 不相邻,则不同的摆法有________种.
3 3 [解析] (1)依题意,先仅考虑 3 个歌舞类节目互不相邻的排法种数为 A3 A4=144,其中 2 3 3 个歌舞类节目互不相邻但 2 个小品类节目相邻的排法种数为 A2 2A2A3=24,因此满足题意
3

)

的排法种数为 144-24=120,故选 B.
4 (2)将 A,B 捆绑在一起,有 A2 2种摆法,再将它们与其他 3 件产品全排列,有 A4种摆法, 4 共有 A2 2A4=48 种摆法,而 A,B,C 3 件在一起,且 A,B 相邻.A,C 相邻有 CAB,BAC

两种情况.将这 3 件与剩下 2 件全排列,有 2×A3 3=12 种摆法,故 A,B 相邻,A,C 不相 邻的摆法有 48-12=36 种. (1)(2014· 辽宁)6 把椅子摆成一排,3 人随机就座,任何两人不相邻的种数为( A.144 C.72 B.120 D.24 )

3 [解析] 3 人中每两人之间恰有一个空座位,有 A3 ×2=12 种坐法,3 人中某两人之间有两 3 2 个空座位,有 A3×A2=12 种坐法,所以共有 12+12=24 种坐法. (2)(2014· 湖南师大附中二模)5 名志愿者到 3 个不同的地方参加义务植树, 则每个地方至

少有一名志愿者的方案共有________种. [解析] 将 5 名志愿者分到 3 个不同的地方参加义务植树,且每个地方至少有一名志愿 者,则分配至 3 地的人数模式只有“1,1,3”与“1,2,2”这两种模式,设这 3 地分别为甲、乙、丙.

①当分配的人数模式是“1,1,3”时,即甲、乙、丙 3 地中有一地是 3 个人,其他两地都只 有 1 人,则共有 C13· C3 A2 5· 2=60(种).即先从三地中选一地是分配 3 个人的,再从 5 名志愿 者中选三人派到该地,剩余 2 人再分配至其余两地. ②当分配的人数模式是“1,2,2”时,即甲、乙、丙 3 地中有一地是 1 个人,其他两地都有
1 1 2 人,则共有 C3 · C5· C2 4=90(种).即先从三地中选一地是只分配 1 个人的,再从 5 名志愿者

中选 1 人派到该地. 剩余 4 人再选出 2 人分配至其余两地中的某地, 那剩余 2 人即是最后一 地所得. 综上所述,共有 60+90=150 种方案.

二项式定理及应用
2 ?n [例 3] (1)(2014· 辽宁五校联考)若? 则 ? x+x2? 展开式中只有第 6 项的二项式系数最大, 展开式的常数项是( A.360 C.90 ) B.180 D.45

(2)(2014· 浙江)在(1+x)6(1+y)4 的展开式中, 记 xmyn 项的系数为 f(m, n), 则 f(3,0)+f(2,1) +f(1,2)+f(0,3)=( A.45 C.120 ) B.60 D.210

[解析] (1)展开式中只有第 6 项的二项式系数最大,则展开式总共 11 项,所以 n=10, 5 5- r 2 10-r ? 2 ?r r r 通项公式为 Tr+1=Cr · ,所以 r=2 时,常数项为 180. 10( x) ?x2? =C102 x
3 0 (2)由题意知, f(3,0)=C6 C 4, f(2,1)=C26C14, f(1,2)=C16C24, f(0,3)=C06C34, 因此 f(3,0)

+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=120,故选 C. (1)(2014· 新课标全国卷Ⅰ)(x-y)(x+y)8 的展开式中 x2y7 的系数为________.(用数字填 写答案) [解析] x2y7=x· (xy7),其系数为 C78, x2y7=y· (x2y6),其系数为-C68, ∴x2y7 的系数为 C78-C68=8-28=-20. (2)(2014· 新课标全国卷Ⅱ)(x+a)10 的展开式中,x7 的系数为 15,则 a=________.(用数 字填写答案)
10 r r [解析] 二项展开式的通项公式为 Tr+1=Cr a, 10x


3 7 当 10-r=7 时,r=3,T4=C3 10a x ,

1 3 则 C3 10a =15,故 a= . 2


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