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2015年高中数学作业第8篇 第5讲椭 圆

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第5讲

椭 圆

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择题 x2 1.已知△ABC 的顶点 B,C 在椭圆 3 +y2=1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且 椭圆的另外一个焦点在 BC 边上,则△ABC 的周长是 A.2 3 C.4 3 解析 B.6 D.12 ( ).

由椭圆的定义知:|BA|+|BF|

=|CA|+|CF|=2a(F 是椭圆的另外一个焦

点),∴周长为 4a=4 3. 答案 C ( ).

x2 y2 4 2.(2014· 广州模拟)椭圆 9 + =1 的离心率为5,则 k 的值为 4+k A.-21 19 C.-25或 21 解析 B.21 19 D.25或 21

若 a2=9,b2=4+k,则 c= 5-k,

5-k 4 c 4 19 由a=5,即 3 =5,解得 k=-25; 若 a2=4+k,b2=9,则 c= k-5, k-5 4 c 4 由a=5,即 = ,解得 k=21. 4+k 5 答案 C x2 y2 + =1,长轴在 y 轴上.若焦距为 4,则 10-m m-2 ( B.5 D.8 ).

3.(2014· 韶关模拟)已知椭圆 m 等于 A.4 C.7

解析

将椭圆的方程转化为标准形式为

y2 x2 + =1, ? m-2?2 ? 10-m?2

显然 m-2>10-m,即 m>6,且( m-2)2-( 10-m)2=22,解得 m=8. 答案 D

4.(2014· 烟台质检)一个椭圆中心在原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,P(2, 3)是椭 圆上一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则椭圆方程为 x2 y2 A. 8 + 6 =1 x2 y2 C. + =1 8 4 解析 3 b2=1. 又|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列, 则|PF1|+|PF2|=2|F1F2|, c 1 即 2a=2· 2c,a=2, 又 c2=a2-b2,联立解得 a2=8,b2=6. 答案 A x2 y2 B.16+ 6 =1 D. x2 y2 + =1 16 4 ( ).

x2 y2 4 设椭圆的标准方程为a2+b2=1(a>b>0). 由点(2, 3)在椭圆上知a2+

x2 y2 5.(2013· 辽宁卷)已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的左焦点为 F,C 与过原点的 4 直线相交于 A,B 两点,连接 AF,BF.若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF=5, 则 C 的离心率为 3 A.5 4 C.5 5 B.7 6 D.7 ( ).

解析

82+102-x2 4 如图,设|AF|=x,则 cos∠ABF= = . 2×8×10 5

解得 x=6, ∴∠AFB=90° , 由椭圆及直线关于原点对称可知|AF1|=8, ∠FAF1 =∠FAB+∠FBA=90° ,△FAF1 是直角三角形,所以|F1F|=10,故 2a=8+6 c 5 =14,2c=10,∴a=7. 答案 B

二、填空题 x2 y2 6.(2014· 青岛模拟)设椭圆m2+n2=1(m>0,n>0)的右焦点与抛物线 y2=8x 的焦 1 点相同,离心率为2,则此椭圆的方程为________. 解析 1 2 抛物线 y2=8x 的焦点为(2,0),∴m2-n2=4①,e=2=m,∴m=4,代
2

x2 y2 入①得,n =12,∴椭圆方程为16+12=1. 答案 x2 y2 16+12=1

x2 y2 7. 已知 F1, F2 是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的两个焦点, P 为椭圆 C 上的一点, a b → ⊥PF → .若△PF F 的面积为 9,则 b=________. 且PF 1 2 1 2 解析 → ⊥PF →, 由题意知|PF1|+|PF2|=2a,PF 1 2

∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2, ∴(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|· |PF2|=4c2, ∴2|PF1|· |PF2|=4a2-4c2=4b2. ∴|PF1|· |PF2|=2b2, 1 1 ∴S△PF1F2=2|PF1|· |PF2|=2×2b2=b2=9. ∴b=3. 答案 3

x2 y2 8.(2013· 福建卷)椭圆 Γ:a2+b2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为 F1,F2,焦距为 2c.若直线 y= 3(x+c)与椭圆 Γ 的一个交点 M 满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则

该椭圆的离心率等于________. 解析 因为直线 y= 3(x+c)过椭圆左焦点,且斜率为 3,所以∠MF1F2=

60° ,∠MF2F1=30° ,∠F1MF2=90° , 故|MF1|=c,|MF2|= 3c 由点 M 在椭圆上知,c+ 3c=2a. c 故离心率 e=a= 答案 三、解答题 9.已知椭圆的两焦点为 F1(-1,0),F2(1,0),P 为椭圆上一点,且 2|F1F2|=|PF1| +|PF2|. (1)求此椭圆的方程; (2)若点 P 在第二象限,∠F2F1P=120° ,求△PF1F2 的面积. 解 (1)依题意得|F1F2|=2, 3-1 2 = 3-1. 3+1

又 2|F1F2|=|PF1|+|PF2|, ∴|PF1|+|PF2|=4=2a.∴a=2,c=1,b2=3. x2 y2 ∴所求椭圆的方程为 4 + 3 =1. (2)设 P 点坐标为(x,y), ∵∠F2F1P=120° , ∴PF1 所在直线的方程为 y=(x+1)· tan 120° , 即 y=- 3(x+1). ?y=- 3?x+1?, ? 解方程组?x2 y2 + =1, ? ?4 3 8 x=-5, ? ? 并注意到 x<0,y>0,可得? 3 3 y = ? ? 5 . 1 3 3 3 3 ∴S△PF1F2=2|F1F2|· 5 = 5 .

x2 y2 10. (2014· 绍兴模拟)如图, 椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左、 右焦点分别为 F1(-c,0), ? 2? F2(c,0).已知点 M? 3, ?在椭圆上,且点 M 到两焦点距离之和为 4. 2 ? ?

(1)求椭圆的方程; →· → (2)设与 MO(O 为坐标原点)垂直的直线交椭圆于 A, B(A, B 不重合), 求OA OB 的取值范围. 解 (1)∵2a=4,∴a=2,

? 2? 又 M? 3, ?在椭圆上, 2? ? 3 1 ∴4+2b2=1,解得 b2=2, x2 y2 ∴所求椭圆方程 4 + 2 =1. 6 (2)由题意知 kMO= 6 ,∴kAB=- 6. 设直线 AB 的方程为 y=- 6x+m, ?x y ? + =1, 联立方程组? 4 2 ? ?y=- 6x+m, 消去 y,得 13x2-4 6mx+2m2-4=0, Δ=(4 6m)2-4×13×(2m2-4)=8(12m2-13m2+26)>0, ∴m2<26,设 A(x1,y1),B(x2,y2), 2m2-4 4 6m 由根与系数的关系得 x1+x2= 13 ,x1x2= 13 , 3m2-28 ? 28 50? → → 2 则OA· OB=x1x2+y1y2=7x1x2- 6m(x1+x2)+m = 13 ∈?-13,13?. ? ?
2 2

? 28 50? → → ∴OA· OB的取值范围是?-13,13?. ? ? 能力提升题组 (建议用时:25 分钟) 一、选择题 x2 y2 1.(2014· 潍坊模拟)已知椭圆: 4 +b2=1(0<b<2),左、右焦点分别为 F1,F2, 过 F1 的直线 l 交椭圆于 A,B 两点,若|BF2|+|AF2|的最大值为 5,则 b 的值是 ( A.1 3 C.2 解析 ). B. 2 D. 3 由题意知 a=2,所以|BF2|+|AF2|+|AB|=4a=8,因为|BF2|+|AF2|的最

大值为 5,所以|AB|的最小值为 3,当且仅当 AB⊥x 轴时,取得最小值,此时 3? ? 3? c2 9 ? A?-c,2?, B?-c,-2?, 代入椭圆方程得 4 +4b2=1, 又 c2=a2-b2=4-b2, ? ? ? ? 4-b2 9 b2 9 b2 9 所以 4 +4b2=1, 即 1- 4 +4b2=1, 所以 4 =4b2, 解得 b2=3, 所以 b= 3. 答案 D

x2 y2 3a 2.设 F1,F2 是椭圆 E:a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦点,P 为直线 x= 2 上一点, △F2PF1 是底角为 30° 的等腰三角形,则 E 的离心率为 1 A.2 3 C.4 解析 2 B.3 4 D.5 ( ).

令 c= a2-b2.如图, 据题意, |F2P|=|F1F2|, ∠F1PF2=30° , ∴∠F1F2P=120° ,

∴∠PF2x=60° , ?3a ? ∴|F2P|=2? 2 -c?=3a-2c. ? ? ∵|F1F2|=2c,∴3a-2c=2c, c 3 3 ∴3a=4c,∴a=4,即椭圆的离心率为4. 答案 C

二、填空题 x2 y2 3.(2014· 陕西五校联考)椭圆a2+ 5 =1(a 为定值,且 a> 5)的左焦点为 F,直线 x=m 与椭圆相交于点 A,B.若△FAB 的周长的最大值是 12,则该椭圆的离心 率是________. 解析

设椭圆的右焦点为 F′,如图,由椭圆定义知, |AF|+ |AF′|= |BF|+|BF′| =2a. 又△FAB 的周长为|AF|+|BF|+|AB|≤|AF|+|BF|+|AF′|+|BF′|=4a, 当且仅当 AB 过右焦点 F′时等号成立. 此时 4a=12,则 a=3. x2 y2 故椭圆方程为 9 + 5 =1,所以 c=2, c 2 所以 e=a=3. 答案 2 3

三、解答题 x2 y2 4.(2014· 河南省三市调研)已知圆 G:x2+y2-2x- 2y=0 经过椭圆a2+b2=1(a

5 >b>0)的右焦点 F 及上顶点 B.过椭圆外一点 M(m,0)(m>a)作倾斜角为6π 的 直线 l 交椭圆于 C,D 两点. (1)求椭圆的方程; (2)若右焦点 F 在以线段 CD 为直径的圆 E 的内部,求 m 的取值范围. 解 (1)∵圆 G:x2+y2-2x- 2y=0 经过点 F,B,

∴F(2,0),B(0, 2), ∴c=2,b= 2, x2 y2 ∴a2=b2+c2=6,椭圆的方程为 6 + 2 =1. 3 (2)由题意知直线 l 的方程为 y=- 3 (x-m),m> 6, x2 y2 ? ? 6 + 2 =1,

由?

? ?y=- 3 ?x-m?,

3

消去 y,得 2x2-2mx+(m2-6)=0. 由 Δ=4m2-8(m2-6)>0, 解得-2 3<m<2 3. ∵m> 6,∴ 6<m<2 3. 设 C(x1,y1),D(x2,y2), m2-6 则 x1+x2=m,x1x2= 2 , m m2 ? ?? ? 1 3 3 ?- ?x2-m??= x1x2- (x1+x2)+ . ∴y1y2=?- ?x1-m??· 3 3 ? 3 ?? 3 ? 3 → =(x -2,y ).FD → =(x -2,y ), ∵FC 1 1 2 2
2 →· → =(x -2)(x -2)+y y =4x x -m+6(x +x )+m +4=2m?m-3?. ∴FC FD 1 2 1 2 1 2 3 1 2 3 3 3

∵点 F 在圆 E 内部, →· → <0, ∴FC FD 即 2m?m-3? <0, 3

解得 0<m<3. 又 6<m<2 3, ∴ 6<m<3. 故 m 的取值范围是( 6,3).


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