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高考求函数值域及最值得方法及例题


函数专题之值域与最值问题 一.观察法 通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域。 例 1 求函数 y=3+√(2-3x) 的值域。 点拨:根据算术平方根的性质,先求出√(2-3x) 的值域。 解:由算术平方根的性质,知√(2-3x)≥0, 故 3+√(2-3x)≥3。 ∴函数的知域为 . 点评:算术平方根具有双重非负性,即:(1)被开方数的非负性,(2)值的

非负性。 本题通过直接观察算术平方根的性质而获解, 这种方法对于一类函数的值域的求法, 简捷 明了,不失为一种巧法。 练习:求函数 y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案:值域为:{0,1,2,3,4,5}) 二.反函数法 当函数的反函数存在时,则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例 2 求函数 y=(x+1)/(x+2)的值域。 点拨:先求出原函数的反函数,再求出其定义域。 解:显然函数 y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1-2y)/(y-1),其定义域为 y≠1 的实数,故函 数 y 的值域为{y∣y≠1,y∈R}。 点评: 利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。 这种方法体现逆 向思维的思想,是数学解题的重要方法之一。 练习:求函数 y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案:函数的值域为{y∣y<-1 或 y>1}) 三.配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域 例 3:求函数 y=√(-x2+x+2)的值域。 点拨:将被开方数配方成完全平方数,利用二次函数的最值求。 解:由-x2+x+2≥0,可知函数的定义域为 x∈[-1,2]。此时-x2+x+2=-(x-1/2)2+ 9/4∈[0,9/4] ∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2] 点评:求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作 用。配方法是数学的一种重要的思想方法。 练习:求函数 y=2x-5+√15-4x 的值域.(答案:值域为{y∣y≤3}) 四.判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。 例 4 求函数 y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。 点拨:将原函数转化为自变量的二次方程,应用二次方程根的判别式,从而确定出原函数 的值域。 解:将上式化为(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0 当 y=2 时,方程(*)无解。∴函数的值域为 2<y≤10/3。 (*) 当 y≠2 时,由 ?=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)≥0,解得:2<x≤10/3 点评:把函数关系化为二次方程 F(x,y)=0,由于方程有实数解,故其判别式为非负数,可 求得函数的值域。常适应于形如 y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及 y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。 练习:求函数 y=1/(2x2-3x+1)的值域。(答案:值域为 y≤-8 或 y>0)。 五.最值法 对于闭区间[a,b]上的连续函数 y=f(x),可求出 y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值 f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数 y 的值域。 例 5 已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足 x+y=1,求函数 z=xy+3x 的值域。 点拨:根据已知条件求出自变量 x 的取值范围,将目标函数消元、配方,可求出函数的值 域。 解:∵3x2+x+1>0,上述分式不等式与不等式 2x2-x-3≤

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