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【志鸿优化设计】(浙江版)2016高考数学二轮复习 第三部分 题型专项训练5 三角函数与三角形(解答题专项)

时间:2016-01-12


题型专项训练 5
(1)求角 A 的取值范围;

三角函数与三角形(解答题专项)

1.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 sin C+sin(B-A)=sin 2A,A≠. (2)若 a=1,△ABC 的面积 S=,C 为钝角,求角 A 的大小.

2.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且. (1)求角 A 的大小; (2)若 4sin Bsin C=3,试判断△ABC 的形状,并说明理由.

3.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足 4cos C+cos 2C=4cos Ccos . (1)求角 C 的大小;

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(2)若=2,求△ABC 面积的最大值.

4.已知 a=(sin x,cos x+sin x),b=(2cos x,sin x-cos x),f(x)=a·b. (1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)当 x∈时,对任意 t∈R,不等式 mt +mt+3≥f(x)恒成立,求实数 m 的取值范围.
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5.(2015 浙江杭州一模,文 16)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 cos 2A+=2cos A. (1)求角 A 的大小; (2)若 a=1,求△ABC 的周长 l 的取值范围.

6.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 cos 2A=3cos(B+C)+1. (1)求角 A 的大小; (2)若 cos Bcos C=-,且△ABC 的面积为 2,求 a.

答案

题型专项训练 5

三角函数与

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三角形(解答题专项) 1.解:(1)由 sin C+sin(B-A)=sin 2A,得 sin(B+A)+sin(B-A)=2sin Acos A. 即 2sin Bcos A=2sin Acos A.因为 cos A≠0,所以 sin B=sin A. 由正弦定理,得 b=a,故 A 必为锐角. 又 0<sin B≤1,所以 0<sin A≤. 因此角 A 的取值范围为. (2)由(1)及 a=1 得 b=.又因为 S=, 所以×1×·sin C=. 从而 sin C=.因为 C 为钝角,故 C=. 由余弦定理,得 c =1+2-2×1×cos=1+2-2×1×=2+.故 c=. 由正弦定理,得 sin A=.因此 A=. 2.解:(1)由正弦定理得(a+c)(a-c)=b(b-c),即 a =b +c -bc. 由余弦定理得 cos A=,又 0<A<π ,则 A=. (2)由 A=,4sin Bsin C=3 得 4sin Bsin=3, 即 4sin B=3,即 sin 2B+1-cos 2B=3. 即 sin=1,又 0<B<,则 2B-,即 B=. 则 A=B=C=,故△ABC 是等边三角形. 3.解:(1)由 4cos C+cos 2C=4cos Ccos
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得 4cos C+2cos C-1=2cos C(1+cos C), 解得 cos C=,因为 0<C<π ,所以 C=. (2)取 BC 中点 D,则=2=||. 在△ADC 中,AD =AC +CD -2AC·CDcos C, 即 4=b +≥2, 所以 ab≤8,当且仅当 a=4,b=2 时取等号. 此时 S△ABC=absin C=ab,其最大值为 2. 4.解:f(x)=a·b=2sin xcos x+(cos x+sin x)(sin x-cos x)=sin 2x-cos 2x=2sin.
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(1)令-+2kπ ≤2x-+2kπ ,k∈Z 得-+kπ ≤x≤+kπ ,k∈Z, 所以函数的单调递增区间为,k∈Z. (2)当 x∈时,≤2x-,所以≤2sin≤2, 因为对任意 t∈R,不等式 mt +mt+3≥f(x)恒成立, 所以 mt +mt+3≥f(x)max 恒成立,即 mt +mt+3≥2,即 mt +mt+1≥0 恒成立. 若 m=0,符合条件;若 m≠0,则 m>0 且 m -4m≤0,即 0<m≤4; 所以实数 m 的取值范围为[0,4]. 5.解:(1)根据倍角公式:cos 2x=2cos x-1,得 2cos A+=2cos A,即 4cos A-4cos A+1=0, 所以(2cos A-1) =0,所以 cos A=, 因为 0<A<π ,所以 A=. (2)根据正弦定理:, 得 b=sin B,c=sin C, 所以 l=1+b+c=1+(sin B+sin C). 因为 A=,所以 B+C=,所以 l=1+=1+2sin. 因为 0<B<,所以 l∈(2,3]. 6.解:(1)由 cos 2A=3cos(B+C)+1 得 2cos A+3cos A-2=0,即(2cos A-1)(cos A+2)=0,所以,cos A= 或 cos A=-2(舍去), 因为 A 为三角形内角,所以 A=. (2)由(1)知 cos A=-cos(B+C)=, 则 cos Bcos C-sin Bsin C=-. 由 cos Bcos C=-,得 sin Bsin C=, 由正弦定理,有,即 b=,c=, 由三角形的面积公式,得 S=bcsin A=a ,即 a =2,解得 a=4.
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