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专题15


解析几何中的综合问题

x2 y2 1.椭圆 2+ 2=1 的内接矩形的面积最大值为________. a b 2.两点 A(3,0),B(0,4),动点 P(x,y)在线段 AB 上运动,则 xy 的最大值为________. 3.和圆(x-3)2+(y-1)2=36 关于直线 x+y=0 对称的圆的方程是________. 4.若实数 x,y 满足 x2+

y2-2x=0,则 x2+y2 的取值范围是________. 9 x2 y2 4, ?,C(x2,y2)是右焦点为 F 的椭圆 + =1 上三个不同的点,若 AF,BF, 5.设 A(x1,y1),B? ? 5? 25 9 CF 成等差数列,则 x1+x2=________.

[典例1] 已知 i,j 是 x,y 轴正方向的单位向量,设 a=(x- 3)i+yj,b=(x+ 3)i+yj,且满足|a|+|b|=4. (1)求点 P(x,y)的轨迹 C 的方程; (2)如果过点 Q(0,m)且方向向量为 c=(1,1)的直线 l 与点 P 的轨迹交于 A,B 两点,当△AOB 的面积 取到最大值时,求 m 的值.

(1)本题以向量为载体考查椭圆的定义、标准方程、直线与椭圆的位置关系及最值问题. (2)求解解析几何中的最值问题,一般要先建立目标函数,再求最值,求最值的方法主要是配方法和利 用基本不等式. [演练1]
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AB = 2| AB |· 已知点 A(-2 2,0),B(- 2,0),动点 P 满足 AP · | BP |,若动点 P 的轨迹记作曲线
C1. (1)求曲线 C1 的方程; (2)已知曲线 C1 交 y 轴正半轴于点 Q,过点 D?0,-

?

2? 作斜率为 k 的直线 l 交曲线 C1 于 M、N 点,求 3?

证:无论 k 如何变化,以 MN 为直径的圆过点 Q.

[典例2] x2 y2 已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,点 M(0,2)是椭圆的一个顶点,△F1MF2 是等 a b
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腰直角三角形. (1)求椭圆的方程; (2)过点 M 分别作直线 MA,MB 交椭圆于 A,B 两点,设两直线的斜率分别为 k1,k2,且 k1+k2=8, 1 ? 证明:直线 AB 过定点? ?-2,-2?.

(1)本题主要考查椭圆的标准方程,直线方程及圆锥曲线中定值问题的证明. (2)证 明直线过定点时,可先用参数表示出直线方程,再根据方程的特点去证明. (3)证明函数式为定值时,一般是写出其表达式,消去参数,从而证明为定值. [演练2] 如图,已知椭圆的两个焦点 F1、F2 在 y 轴上,短轴长为 2 2,离心率 为 2 ,点 P 2

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PF 2 =1,过点 P 作关于直线 PF1 对称的两条直线 PA、PB,分别 是椭圆上一点,且在第一象限内, PF1 ·
交椭圆于 A、B 两点. (1)求点 P 的坐标; (2)求证:直线 AB 的斜率为定值.

[典例3] 已知中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为 (1)求椭圆 C 的标准方程;
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2 的椭圆 C 经过点( 6,1). 2

(2)若过椭圆的一个焦点且互相垂直的直线 l1、l2 分别与椭圆交于 A,B 和 C,D,那么是否存在常数 λ 使得 AB+CD=λ· AB· CD?若存在,求出实数 λ 的值;若不存在,请说明理由.

本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质及圆锥曲线中的探索性问题. 本题(2)的解法中将等式巧妙变 形,即把问题转化为弦长的计算问题,体现了化归思想 的重要作用. [演练3] x2 y2 已知 A、B 为椭圆 + =1 的左、右顶点,F 为椭圆的右焦点,P 是椭圆上异于 A、B 的任意一点, 4 3 直线 AP、BP 分别交直线 l:x=m(m>2)于 M、N 两点,l 交 x 轴于 C 点.

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(1)当 PF∥l 时,求点 P 的坐标; (2)是否存在实数 m,使得以 MN 为直径的圆过点 F?若存在,求出实数 m 的值;若不存在,请说明理 由.

[专题技法归纳] 1.定点定值问题的求解策略: (1)从一般的情形进行论证. (2)运用从特殊到一般的思想来解决问题,即先求出特殊情形下的值,如直线的斜率不存在的情况,再 论证该特殊值对一般情形也成立.
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2.求解最值问题应注意: (1)如果建立的函数是关于斜率 k 的函数,要增加考虑斜率不存在的情况; (2)如果建立的函数是关于点的坐标 x,y 的函数,可以考虑用代入消元、基本不等式、三角换元或几 何解法来解决问题.

1.(2012· 陕西高考)右图是抛物线形拱桥, 当水面在 l 时, 拱顶离水面 2 米, 宽 4 米.水位下降 1 米后,水面宽______米.

水面

x2 y2 2. (2012· 江西高考)椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、 右顶点分别是 A, B, 左、 右焦点分别是 F1, F2.若|AF1|, a b |F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为____________. x2 y2 3.(2012· 湖北高考)如图,双曲线 2- 2=1(a,b>0)的两顶点为 A1,A2,虚轴两端 a b 点为 B1,B2,两焦点为 F1,F2.若以 A1A2 为直径的圆内切于菱形 F1B1F2B2,切点分别 为 A,B,C,D.则 (1)双曲线的离心率 e=________; S1 (2)菱形 F1B1F2B2 的面积 S1 与矩形 ABCD 的面积 S2 的比值 =________. S2

4.(2012· 北京高考)在直角坐标系 xO y 中,直线 l 过抛物线 y2=4x 的焦点 F,且与该抛物线相交于 A, B 两点,其中点 A 在 x 轴上方.若直线 l 的倾斜角为 60° ,则△OAF 的面积为________. x2 y2 5.已知椭圆 2+ 2=1(a >b>0)的左顶点为 A,上顶点为 B,右焦点为 F.设线段 AB 的中点为 M,若 2 a b

MA · MF + BF 2 ≥0,则该椭圆离心率的取值范围为________.

6.若三角形三边所在直线方程分别为 x+2y-5=0,y-2=0,x+y-4=0,则能够覆盖此三角形且 面积最小的圆的方程为________. x2 7.(2011· 浙江高考)设 F1,F2 分别为椭圆 +y2=1 的左,右焦点,点 A,B 在椭圆上,若 F1 A =5 F2 B , 3 则点 A 的坐标是________. x2 y2 8.已知 F1、F2 分别为双曲线 C: - =1 的左、右焦点,点 A∈C,点 M 的坐标为(2,0),AM 为∠ 9 27
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F1AF2 的平分线,则 AF2=________. 9.已知 F 是抛物线 y2=x 的焦点,A,B 是该抛物线上的两点,AF+BF=3,则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为________.

10.已知直线 l 过抛物线 C 的焦点,且与 C 的 对称轴垂直,l 与 C 交于 A,B 两点,AB=12,P 为 C 的准线上一点,则△ABP 的面积为________. x2 11.(2012· 陕西高考)已知椭圆 C1: +y2=1,椭圆 C2 以 C1 的长轴 为短轴,且与 C1 有相同的离心率. 4 (1)求椭圆 C2 的方程; (2)设 O 为坐标原点,点 A,B 分别在椭圆 C1 和 C2 上, OB =2 OA ,求直线 AB 的方程.

x2 y2 12.给定椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0),称圆心在原点 O,半径为 a2+b2的圆是椭圆 C 的“准圆”.若 a b 椭圆 C 的一个焦点为 F( 2,0),且其短轴上的一个端点到 F 的距离为 3.
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(1)求椭圆 C 的方程和其“准圆”方程; (2)点 P 是椭圆 C 的“准圆”上的一个动点,过动点 P 作直线 l1,l2,使得 l1,l2 与椭圆 C 都只有一个 交点,试判断 l1,l2 是否垂直,并说明理由.

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