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广东省东莞市2009届高三理科数学模拟试题


广东省东莞市 2009 届高三理科数学模拟试题(一)
一、选择题: 本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个备选项中,有且只有一项是符合要求的. 1.下列四个函数中,在(0,1)上为增函数的是 A. y ? sin x B. y ? ? log2 x C. y ? ( )

1 2

x
<

br />D. y ? x

?

1 2

2.如果复数 z ? a 2 ? a ? 2 ? (a 2 ? 3a ? 2)i 为纯虚数,那么实数 a 的值为 A.-2 B.1 C.2 D.1 或 -2 3.已知 a, b是不共线的向量 , 若AB ? ?1 a ? b, AC ? a ? ?2 b(?1 , ?2 ? R) , 则 A、B、C 三点共线的充要条件为 A. ?1 ?? 2 ? ?1 B. ?1 ?? 2 ? 1 C . ?1? 2 ?1 ? 0 D. ?1 ?? 2 ?1 ? 1 4 .下图是 2008 年在郑州举行的全国少数民族运动会上, 七位评委为某民族舞蹈打出的分数的茎叶统计图, 去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为 A. 84 , 4.84 B. 84 , 1.6 85 C. , 4 D. 85 , 1.6 5.已知函数 f ( x) ? 2 x 的反函数 f A.1 B.
?1

( x) 满足 f ?1 (a) ? f ?1 (b) ? 4 ,则
C.

1 1 ? 的最小值为 a b

1 3

1 2

D.

1 4

6.如右图,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正三角形,俯视图是一个圆, 那么几何体的侧面积为 A. C.

1 ? 2 2 ? 4

B. D.

2 ? 2

? 4
9 ,一个等比中项是 2 5 ,且 a ? b, 2

7.两个正数 a 、 b 的等差中项是 则双曲线 A.
x2 a2 ? y2 b2

? 1 的离心率为

5 3

B.

41 4
2

C.

5 4

D.

41 5

8.已知 ? ? {( x, y ) | ?

? ?y ? 0

? ?y ? 4 ? x 它们围成的平面区域为 M ,向区域 ? 上随机投一点 A,点 A 落在区域 M 内的概率为 P( M ) , ? ?2 ,1] ,则实数 m 的取值范围为 若 P(M ) ? [ 2? 1 3 3 ,1] A. [ ,1] B. [0, C. [ D. [0,1] ] 2 3 3
7

} ,直线 y ? mx ? 2m 和曲线 y ? 4 ? x 2 有两个不同的交点,

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 30 分.

2? ? 3 9.在 ? x ? ? 的展开式中, x 的系数是 x ? ?

.(用数字作答)

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10.一个均匀小正方体的六个面中,三个面上标以数 0,两个面上标以数 1,一个面上标以数 2, 将这个小正方体抛掷 2 次,则向上的数之积为 0 的概率 . 11.如图,该程序运行后输出的结果为 . P( x, y) 12 . 已 知 点 满 足 条 件

? x ? 0, ? (k为常数), 若z ? x ? 3 y 的最大值为 8,则 ? y ? x, ?2 x ? y ? k ? 0 ?
. 13. (几何证明选讲选做题) 如图,AD 是⊙ O 的切线,AC 是⊙ O 的弦,过 C 做 AD 的 垂线,垂足为 B, CB 与⊙ O 相交于点 E,AE 平分 ?CAB ,且 AE ? 2 , 则 AB ? , AC ? , BC ? . 14.(参数方程与极坐标选做题) 为 . . 在极坐标系中, 点 ?1,0 ? 到直线 ? ? cos? ? sin ? ? ? 2 的距离 15. (不等式选讲选做题)函数 f ( x) ? x ? x ? 3 的最大值为

k?

C

O E A B D

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. ( 12 分) 设函数 f ( x) ? 2cos2 x ? sin 2 x ? a(a ? R) . (1)求函数 f ( x ) 的最小正周期和单调递增区间; (2)当 x ? [0,

?
6

] 时, f ( x) 的最大值为 2,求 a 的值,并求出 y ? f ( x)( x ? R) 的对称轴方程.

17. ( 12 分) 某公司有 10 万元资金用于投资,根据市场分析知道: 如果投资甲项目,一年后可能获利 10﹪,可能损失 10﹪,可能不赔不赚,
第 2 页 共 7 页

这三种情况发生的概率分别为

1 1 1 , , ; 2 4 4

如果投资乙项目,一年后可能获利 20﹪,也可能损失 20﹪, 这两种情况发生的概率分别为 ? 和?(? ? ? ? 1 . ) (1)如果把 10 万元投资甲项目,用 ? 表示投资收益(收益=回收资金-投资资金) , 求 ? 的概率分布及 E? ; (2)若把 10 万元投资投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益,求 ? 的取值范围.

18.(14 分) 已知圆 C 方程为: x 2 ? y 2 ? 4 . (1)直线 l 过点 P ?1,2? ,且与圆 C 交于 A 、 B 两点,若 | AB |? 2 3 ,求直线 l 的方程; (2) 过圆 C 上一动点 M 作平行于 x 轴的直线 m , 设 m 与 y 轴的交点为 N , 若向量 OQ ? OM ? ON , 求动点 Q 的轨迹方程,并说明此轨迹是什么曲线.

19. (14 分) , AB ? 1 , 如图,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1中, AD ? AA 1 ?1 点 E 在棱 AB 上移动,小蚂蚁从点 A 沿长方体的表面爬到点 C1,所爬的最短路程为 2 2 .
第 3 页 共 7 页

(1)求证:D1E⊥A1D; (2)求 AB 的长度; (3)在线段 AB 上是否存在点 E,使得二面角 D1 ? EC ? D的大小为 若存在,确定点 E 的位置;若不存在,请说明理由.

?
4



20. (14 分) 已知 f ( x) ? x2 ? ax ? a (a ? 2, x ? R) , g ( x) ? e? x , ?( x) ? f ( x) ? g ( x) . (1)当 a ? 1 时,求 ? ( x) 的单调区间; (2)求 g ( x) 在点 (0,1) 处的切线与直线 x ? 1 及曲线 g ( x) 所围成的封闭图形的面积; (3)是否存在实数 a ,使 ? ( x) 的极大值为 3?若存在,求出 a 的值,若不存在,请说明理由.

21. (14 分) 设等差数列 {an },{bn } 前 n 项和 Sn ,Tn 满足 函数 g ( x) ?

Sn An ? 1 a3 a 2 ,且 ? ? 7 ? ,S2=6; Tn 2n ? 7 b4 ? b6 b2 ? b8 5

1 ? x ? 1? ,且 cn ? g (cn?1 )(n ? N , n ? 1), c1 ? 1. 2 (1)求 A; (2)求数列 {an }及{cn } 的通项公式;
(3)若 d n ? ?

?a n (n为奇数) , 试求d1 ? d 2 ? ? ? d n . ?cn (n为偶数)

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东莞市 2009 届高三理科数学模拟试题(一)
参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 题号 1 2 3 4 答案 A A C D 二、 填空题(每小 题 5 分, 共 30 分 ) 9.84; 10. 5 C 6 A 7 B 8 D

3 2 ; 11.45; 12. -6; 13. 3, 2 3,3 ; 14. ; 15.3 4 2

三、 解答题(共 80 分.解答 题应写出推理 、演算步 骤)
2 16. 解: (1) f ( x) ? 2cos x ? sin 2 x ? a ? 1 ? cos 2 x ? sin 2 x ? a ? 2 sin(2 x ?

则 f ( x ) 的最小正周期 T ? 且当 2k? ?

2?

? ) ?1? a 4

(k ? Z ) 时 f ( x) 单调递增. 2 4 2 3? ? , k? ? ](k ? Z ) 为 f ( x) 的单调递增区间(写成开区间不扣分) 即 x ? [ k? ? .…………6 分 8 8 ? ? ? 7? (2)当 x ? [0, ] 时 ? ? 2 x ? ? , 6 4 4 12
当 2x ?

?

? 2x ?

?

?

?? ,

……………………………4 分

? 2 k? ?

?

) ? 1. 4 2 8 4 所以 f ( x)max ? 2 ?1 ? a ? 2 ? a ? 1 ? 2 . ……………9 分 ? ? k? ? 2 x ? ? k? ? ? x ? ? (k ? Z ) 为 f ( x) 的对称轴. ……12 分 4 2 2 8
17. 解: (1)依题意, ? 的可能取值为 1,0,-1 ………1 分

?

?

?

,即 x ?

?

时 sin(2 x ?

?

? 的分布列为
?
p 1

…4 分 0

(2)设 ? 表示 10 万元投资乙项目的收益,则? 的分布列为……8 分

1 1 2 4 1 1 1 E? = ? = …………6 分 2 4 4

?1 1 4

? p

?

2

?2

?

E? ? 2? ? 2? ? 4? ? 2 …………10 分 1 依题意要求 4? ? 2 ? … 11 分 4 9 9 ∴1 ? ? ? ………12 分 注:只写出 ? ? 扣1分 16 16 18. 解: (1)①当直线 l 垂直于 x 轴时,则此时直线方程为 x ? 1 ,l 与圆的两个交点坐标为 1, 3 和
②若直线 l 不垂直于 x 轴,设其方程为 y ? 2 ? k ?x ? 1? ,即 kx ? y ? k ? 2 ? 0 设圆心到此直线的距离为 d ,则 2 3 ? 2 4 ? d 2 ,得 d ? 1 …………3 分

?1,? 3 ?,其距离为 2

? ?

3

满足题意

………1 分

第 5 页 共 7 页

3 , 故所求直线方程为 3x ? 4 y ? 5 ? 0 4 k 2 ?1 综上所述,所求直线为 3x ? 4 y ? 5 ? 0 或 x ? 1 …………7 分 (2)设点 M 的坐标为 ?x0 , y0 ? ( y0 ? 0 ) , Q 点坐标为 ? x, y ? 则 N 点坐标是 ?0, y0 ? …………9 分
∴1 ? ,k ? ∵ OQ ? OM ? ON , ∴ ? x, y ? ? ? x0 , 2 y0 ? 即 x0 ? x ,
2

| ?k ? 2 |

y0 ?

y 2

…………11 分

y2 ? 4( y ? 0) 4 x2 y 2 ? ? 1( y ? 0) , ∴ Q 点的轨迹方程是 4 16 轨迹是一个焦点在 x 轴上的椭圆,除去短轴端点。
2 2 又∵ x0 ? y0 ? 4 ,∴ x ?

…………13 分 …………14 分

19.解一: (1)证明:连结 AD1,由长方体的性质可知: AE⊥平面 AD1,∴AD1 是 ED1 在 平面 AD1 内的射影。又∵AD=AA1=1, ∴AD1⊥A1D ∴D1E⊥A1D1(三垂线定理) 4分 (2)设 AB=x,∵四边形 ADD1A 是正方形, ∴小蚂蚁从点 A 沿长方体的表面爬到 点 C1 可能有两种途径,如图甲的最短路程为

| AC1 |? x 2 ? 4
如图乙的最短路程为

| AC1 ? ( x ? 1) 2 ? 1 ? x 2 ? 2 x ? 2 ?x ?1 ? x 2 ? 2x ? 2 ? x 2 ? 2 ? 2 ? x 2 ? 4

? x 2 ? 4 ? 2 2 ? x ? 2 ………………9 分
(3)假设存在,平面 DEC 的法向量 n1 ? (0,0,1) , D1C ? (0,2,?1)

?z ? 2 y n ? ( x , y , z ) 2 设平面 D1EC 的法向量 ,则 ? x ? (2 ? a) y ? ? n2 ? (2 ? a,1,2) …………………12 分
由题意得: cos ? n1 , n2 ??

2 (2 ? a) ? 1 ? 2
2 2 2

?

2 2

解得: a ? 2 ? 3或a ? 2 ? 3 (舍去)

即当点 E离B为 3时, 二面角 D1 ? ED ? D的大小为
20. 解: (1)当 a ? 1时, ?( x) ? ( x2 ? x ? 1)e? x ,

?
4

. ………14 分

? '( x) ? e? x (? x2 ? x) .…(1 分) 当? '( x) ? 0时,0 ? x ? 1; 当? '( x) ? 0时, x ? 1或x ? 0. ……(3 分) ∴ ? ( x) 的单调递增区间为(0,1) ,单调递减区间为: (??,0) , (1, ??) . ……(4 分) (2)切线的斜率为 k ? g '(0) ? ?e? x |x ?0 ? ?1 , ∴ 切线方程为 y ? ? x ? 1 .……(6 分)
第 6 页 共 7 页

所求封闭图形面积为
1 1 1 1 1 S ? ? [e? x ? ( ? x ? 1)]dx ? ? (e? x ?x ? 1)dx ? (?e? x ? x2 ? x) |1 ? . 0? 0 0 2 2 e

……(8 分) (3) ? '( x) ? (2 x ? a)e? x ? e? x ( x2 ? ax ? a) ? e? x [? x2 ? (2 ? a) x] , 令 ? '( x) ? 0, 得x ? 0或x ? 2 ? a . 列表如下: x (-∞,0) 0 (0, 2-a) ? '( x ) - 0 + ? ( x) ↘ 极小 ↗ 设 ? (a) ? (4 ? a)e
a ?2 a ?2

……(9 分) ……(10 分)

2-a 0 极大

(2-a,+ ∞) - ↘ ……(12 分)

由表可知, ?( x)极大 ? ?(2 ? a) ? (4 ? a)ea?2 .

, ? '(a) ? (3 ? a)e ? 0 , ∴ ? (a)在(??,2) 上是增函数,……(13 分)
∴ ? (a) ? ? (2) ? 2 ? 3 ,即 (4 ? a)ea ?2 ? 3 , ∴不存在实数 a,使 ? ( x) 极大值为 3. ……(14)

a3 a7 a5 2 2 21.解: (1)由 b ? b ? b ? b ? 5 知 : b ? 5 4 6 2 8 5
?

9A ?1 2 ? 解得 A=1……………………………………2 分 2?9 ? 7 5 (2)令 S n ? kn(n ? 1) ? S 2 ? 6, 得k ? 1,即S n ? n 2 ? n
2

a 1 ? a9 ?9 S9 a 2 而 ? 2 ? 5 ? T9 b1 ? b9 b5 5 ?9 2

当 n=1 时,a1=S1=2,当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n +n ? (n ? 1) 2 ? (n ? 1) ? 2n 综合之:an=2n…………………………………………6 分

?

?

1 1 (c n ?1 ? 1)变形得 : c n ? 1 ? (c n ?1 ? 1) 2 2 1 ∴数列{cn+1}是 为公比,以 c1 ? 1 ? 2 为首项的等比数列。 2 1 1 c n ? 1 ? 2 ? ( ) n ?1即c n ? ( ) n ? 2 ? 1 ………………………9 分 2 2 (3)当 n ? 2k ? 1 时, d1 ? d 2 ? ? ? d n ? (a1 ? a3 ? ?a2k ?1 ) ? (c2 ?c 4 ?? ? c2k ) 4 1 4 1 ? 2(k ? 1) 2 ? [1 ? ( ) k ] ? k ? 2k 2 ? 3k ? 2 ? [1 ? ( ) k ] 3 4 3 4 2 n ?n?2 4 1 ? ? [1 ? ( ) n ?1 ] ………………………11 分 2 3 2 当 n ? 2k时, d1 ? d 2 ? ? ? d n ? (a1 ? a3 ? ?a2k ?1 ) ? (c2 ?c 4 ?? ? c2k )
由题意 c n ?

4 1 n2 ? n 4 1 ? 2k 2 ? k ? [1 ? ( ) k ] ? ? [1 ? ( ) n ] ………13 分 3 4 2 3 2 ?n2 ? n ? 2 4 1 ? [1 ? ( ) n ?1 ](n为正奇数) ? ? 2 3 2 综合之: d1 ? d 2 ? ? d n ? ? ………14 分 2 n ? n 4 1 ? ? [1 ? ( ) n ](n为正偶数) ? 2 3 2 ?

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