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2004年全国高中数学联赛试题及答案


2004 年全国高中数学联合竞赛试题
第 一
2



时间:10 月 16 日

一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1、设锐角 ? 使关于 x 的方程 x ? 4 x cos? ? cot ? ? 0 有重根,则 ? 的弧度数为( A. )

? 6


B.

?
12

or

5? 12

C.

?
6

or

5? 12

D.

? 12

2、已知 M ? {( x, y) | x2 ? 2 y 2 ? 3}, N ? {( x, y) | y ? mx ? b} 。若对所有

m ? R, 均有 M
A. ? ?

N ? ? ,则 b 的取值范围是(
B. ? ? ?



? ?

6 6? , ? 2 2 ?

? ?

6 6? , ? 2 2 ? ?

C. (?

2 3 2 3 , ] 3 3


D. ? ?

? 2 3 2 3? , ? 3 ? ? 3

3、不等式 log 2 x ? 1 ? A. [2,3)

1 log 1 x3 ? 2 ? 0 的解集为( 2 2
C. [2, 4)

B. (2,3]

D. (2, 4]

4、设 O 点在 ?ABC 内部,且有 OA ? 2OB ? 3OC ? 0 ,则 ?ABC 的面积与 ?AOC 的面积 的比为( A. 2 ) B.

3 2

C. 3

D.

5 3

5、设三位数 n ? abc ,若以 a,b,c 为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形, 则这样的三位数 n 有( ) A. 45 个 B. 81 个 C. 165 个 D. 216 个 6、顶点为 P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形,A 是底面圆周上的点,B 是底面圆内的点, O 为底面圆的圆心, AB ? OB ,垂足为 B, OH ? PB ,垂足为 H,且 PA=4,C 为 PA 的 中点,则当三棱锥 O-HPC 的体积最大时,OB 的长是( ) A.

5 3

B.

2 5 3

C.

6 3

D.

2 6 3

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 7、 在平面直角坐标系 xoy 中, 函数 f ( x) ? a sin ax ? cos ax (a ? 0) 在一个最小正周期长的 区间上的图像与函数 g ( x) ? a 2 ? 1 的图像所围成的封闭图形的面积是________________。 8、设函数 f : R ? R, 满足f (0) ? 1 ,且对任意 x, y ? R, 都有

f ( xy ? 1) ? f ( x) f ( y) ? f ( y) ? x ? 2 ,则 f ( x) =_____________________。
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D1

C1

9、如图、正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, 二面角 A ? BD1 ? A1 的度数是____________。

A1 F E D

B1

C A
2

10、设 p 是给定的奇质数,正整数 k 使得 k ? pk 也是一个正整数,则 k=____________。 11、 已知数列 a0 , a1 , a2 ,..., an ,..., 满足关系式 (3 ? an?1 )(6 ? an ) ? 18, 且a0 ? 3 , 则

B

?a
i ?o

n

1
i

的值

是_________________________。 12、在平面直角坐标系 XOY 中,给定两点 M(-1,2)和 N(1,4) ,点 P 在 X 轴上移动, 当 ?MPN 取最大值时,点 P 的横坐标为___________________。 三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 13、一项“过关游戏”规则规定:在第 n 关要抛掷一颗骰子 n 次,如果这 n 次抛掷所出现的 点数之和大于 2 ,则算过关。问: (Ⅰ)某人在这项游戏中最多能过几关? (Ⅱ)他连过前三关的概率是多少? (注:骰子是一个在各面上分别有 1,2,3,4,5,6 点数的均匀正方体。抛掷骰子落地静 止后,向上一面的点数为出现点数。 ) 14、在平面直角坐标系 xoy 中,给定三点 A(0, ), B(?1, 0), C (1, 0) ,点 P 到直线 BC 的距离 是该点到直线 AB,AC 距离的等比中项。 (Ⅰ)求点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)若直线 L 经过 ?ABC 的内心(设为 D) ,且与 P 点的轨迹恰好有 3 个公共点,求 L 的斜率 k 的取值范围。
2 15、已知 ? , ? 是方程 4x ? 4tx ?1 ? 0 (t ? R) 的两个不等实根,函数 f ( x) ?
n

4 3

2x ? t 的定义 x2 ? 1

域为 ?? , ? ? 。 (Ⅰ)求 g (t ) ? max f ( x) ? min f ( x) ; (Ⅱ)证明:对于 ui ? (0,

?
2

)(i ? 1, 2,3) ,若 sin u1 ? sin u2 ? sin u3 ? 1,



1 1 1 3 ? ? ? 6。 g (tan u 1 ) g (tan u2 ) g (tan u3 ) 4

第 2 页

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二○○四年全国高中数学联合竞赛试题 参考答案及评分标准
说明: 1、评阅试卷时,请依据本评分标准。选择题只设 6 分和 0 分两档,填空题只设 9 分和 0 分两档; 其他各题的评阅, 请严格按照本评分标准规定的评分档次给分, 不要再增加其他中间档次。 2、如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时可 参照本评分标准适当划分档次评分, 5 分为一个档次, 不要再增加其他中间档次。 一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分)
1、解:因方程 x ? 4 x cos? ? cot ? ? 0 有重根,故 ? ? 16cos ? ? 4cot ? ? 0
2 2

0 ?? ? ? 2? ?

?
2

, ? 4 cot ? (2sin 2? ? 1) ? 0

得 sin 2? ?

?
6

或 2? ?

5? ? 5? 或 ,于是 ? ? 。 故选 B。 6 12 12

1 2

2、解: M

N ? ? 相 当 于 点 ( 0 , b ) 在 椭 圆 x2 ? 2 y 2 ? 3 上 或 它 的 内 部
故选 A。

?

2b 2 6 6 。 ? 1, ?? ?b? 3 2 2

3 3 1 ? ? log 2 x ? 1 ? log 2 x ? ? ? 0 3、解:原不等式等价于 ? 2 2 2 ? ?log 2 x ? 1 ? 0
? 3 2 1 ?t ? t ? ? 0 设 log 2 x ? 1 ? t , 则有 ? 2 2 ? t ? 0 ?
即 0 ? log2 x ?1 ? 1, ?2 ? x ? 4 。 解得 0 ? t ? 1 。

故选 C。

4、解:如图,设 D,E 分别是 AC,BC 边的中点, 则

A

OA ? OC ? 2OD 2(OB ? OC ) ? 4OE

(1) (2)
D

由(1) (2)得,

OA ? 2OB ? 3OC ? 2(OD ? 2OE) ? 0 ,
即 OD与OE 共线,
B E

O

C

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且 | OD |? 2 | OE |

?

S?AEC 3 S 3? 2 ? , ? ?ABC ? ? 3 , 故选 C。 S?AOC 2 S?AOC 2

解法 2 如图建立坐标系 xo?y ,分别设 A(a,0), B(0, b), C (c,0), O( x, y) , 则 OA ? (a ? x, ? y), OB ? (? x, b ? y), OC ? (c ? x, ? y)

y B

b 由 OA ? 2OB ? 3OC ? 0 得, y ? , 3

S b ? ?ABC ? ? 3 , 故选 C S?AOC y

O
y
王新敞
奎屯 新疆

C

o'

D

A

x

5、解:a,b,c 要能构成三角形的边长,显然均不为 0。即 a, b, c ?{1, 2,...,9} (1)若构成等边三角形,设这样的三位数的个数为 n1 ,由于三位数中三个数码都相同,所
1 以, n1 ? C9 ? 9。

(2)若构成等腰(非等边)三角形,设这样的三位数的个数为 n2 ,由于三位数中只有 2 个
2 不同数码。设为 a、b,注意到三角形腰与底可以置换,所以可取的数码组(a,b)共有 2C9 。

但当大数为底时,设 a>b,必须满足 b ? a ? 2b 。此时,不能构成三角形的数码是 a b 9 4,3 2,1 8 4,3 2,1 7 3,2 1 6 3,2 1 5 1,2 4 1,2 3 1 2 1 1

共 20 种情况。
2 同时,每个数码组(a,b)中的二个数码填上三个数位,有 C3 种情况。 2 2 2 故 n2 ? C3 (2C9 ? 20) ? 6(C9 ?10) ? 156 。 综上, n ? n1 ? n2 ? 165 。

6、解:

AB ? OB, AB ? OP, ? AB ? PB, 又OH ? PB

?面PAB ? 面POB, ?OH ? HC, OH ? PA 。C 是 PA 中点,? OC ? PA

?当HO ? HC时S?HOC 最大,
也即 VO? HPC ? VP? HCO 最大。 此时,

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1 HO ? 2, 故HO= OP, ??HPO ? 300 2 , 2 6 0 ? OB ? OP ? tan 30 ? 3
故选 D。

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分)
7 、解: f ( x) ?

1 2? a2 ? 1 sin(ax ? ? ),其中? ? arctan ,它的最小正周期为 ,振幅为 a a

a2 ?1 。由 f ( x) 的图像与 g ( x) 的图像围成的封闭图形的对称性,可将这图形割补成长为
2? 2? 、宽为 a2 ?1 的长方形,故它的面积是 a a
8、解:

a2 ? 1 。

对?x, y ? R, 有f ( xy ? 1) ? f ( x) f ( y) ? f ( y) ? x ? 2, ?有f ( xy ? 1) ? f ( y) f ( x) ? f ( x) ? y ? 2

? f ( x) f ( y ) ? f ( y ) ? x ? 2 = f ( y ) f ( x) ? f ( x) ? y ? 2
即 f ( x) ? y ? f ( y) ? x, 令y ? 0, 得f ( x) ? x ? 1 。

9、解:连结 D1C, 作CE ? BD1 ,垂足为 E,延长 CE 交 A 1B 于 F,则 FE ? BD 1 ,连结 AE, 由对称性知 AE ? BD1 , ??FEA 是二面角 A ? BD1 ? A1 的平面角。
D1 C1

连结 AC,设 AB=1, 则 AC ? AD1 ? 2, BD1 ? 3.
A1 F E D C A 4 ?2 2 2 2 2 2 AE ? CE ? AC 2 AE ? AC 1 3 在 ?AEC中, cos ?AEC ? ? ? ?? 2 4 2 AE ? CE 2 AE 2 3 B1

AB ? AD1 2 , 在Rt ?ABD1 中, AE ? ? BD1 3

B

??AEC ? 1200 , 而?FEA是?AEC 的补角,??FEA ? 600 。
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p ? p 2 ? 4n2 10、解:设 k ? pk ? n, n ? N , 则 k ? pk ? n ? 0, k ? ,从而 p 2 ? 4n2 2
2 * 2 2

是平方数,设为 m2 , m ? N * , 则 (m ? 2n)(m ? 2n) ? p2

? p2 ? 1 m? ? ? m ? 2n ? 1 ? 2 p是质数,且p ? 3, ? ? , 解得 ? 2 2 ? m ? 2n ? p ?n ? p ? 1 ? ? 4
?k ? p ? m 2 p ? ( p 2 ? 1) ( p ? 1)2 ? ,故k ? 。 (负值舍去) 2 4 4

11、解:设 bn ?

1 1 1 , n ? 0,1, 2,..., 则(3 ? )(6 ? ) ? 18, an bn?1 bn
1 3 1 1 ? 2(bn ? ) 3 3

即 3bn ?1 ? 6bn ? 1 ? 0. ? bn ?1 ? 2bn ? , bn ?1 ? 故数列 {bn ? } 是公比为 2 的等比数列,

1 3

1 1 1 1 1 1 bn ? ? 2n (b0 ? ) ? 2n ( ? ) ? ? 2n?1 ? bn ? (2n?1 ? 1) 。 3 3 a0 3 3 3
n n ? 1 1 1 i ?1 1 ? 2(2n?1 ? 1) ? ? bi ? ? (2 ? 1) ? ? ? (n ? 1) ? ? ? 2n? 2 ? n ? 3? 。 ? 3 ? 2 ?1 i ?o ai i ?0 i ?0 3 ? 3 n

12、解:经过 M、N 两点的圆的圆心在线段 MN 的垂直平分线 y=3-x 上,设圆心为 S(a,3-a) ,则圆 S 的方程为: ( x ? a) ? ( y ? 3 ? a) ? 2(1 ? a )
2 2 2

对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大,所以,当 ?MPN 取最大值时,经过 M,N,P 三点的圆 S 必与 X 轴相切于点 P,即圆 S 的方程中的 a 值必须满足 2(1 ? a ) ? (a ? 3) , 解得
2 2 '

a=1 或 a=-7。

即对应的切点分别为 P(1,0)和P (?7,0) ,而过点 M,N, p ' 的圆的半径大于过点 M, N,P 的圆的半径,所以 ?MPN ? ?MP ' N ,故点 P(1,0)为所求,所以点 P 的横坐标 为 1。

三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分)
13、解:由于骰子是均匀的正方体,所以抛掷后各点数出现的可能性是相等的。
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(Ⅰ)因骰子出现的点数最大为 6,而 6 ? 4 ? 24 , 6 ? 5 ? 25 ,因此,当 n ? 5 时,n 次出现 的点数之和大于 2 已不可能。即这是一个不可能事件,过关的概率为 0。所以最多只能连 过 4 关。 (Ⅱ)设事件 An 为“第 n 关过关失败” ,则对立事件 An 为“第 n 关过关成功” 。 第 n 关游戏中,基本事件总数为 6 个。 第 1 关:事件 A , 1 所含基本事件数为 2(即出现点数为 1 和 2 这两种情况)
n
n

.......5 分

? 过此关的概率为: P ( A1 ) ? 1 ? P ( A1 ) ? 1 ?

2 2 ? 。 6 3

第 2 关:事件 A2 所含基本事件数为方程 x ? y ? a 当 a 分别取 2,3,4 时的正整数解组数之
1 1 1 和。即有 C1 。 ? C2 ? C3 ? 1 ? 2 ? 3 ? 6 (个)

? 过此关的概率为: P( A2 ) ? 1 ? P( A2 ) ? 1 ?

6 5 ? 。 62 6

........10 分

第 3 关:事件 A3 所含基本事件为方程 x ? y ? z ? a 当 a 分别取 3,4,5,6,7,8 时的正整
2 2 2 2 2 2 数解组数之和。即有 C2 。 ? C3 ? C4 ? C5 ? C6 ? C7 ? 1? 3 ? 6 ? 10 ? 15 ? 21 ? 56 (个)

? 过此关的概率为: P( A3 ) ? 1 ? P( A3 ) ? 1 ?

56 20 ? 。 63 27 2 5 20 100 ? 故连过前三关的概率为: P( A1 ) ? P( A2 ) ? P( A3 ) ? ? ? 。 3 6 27 243
(说明:第 2,3 关的基本事件数也可以列举出来)

.........15 分 ........20 分

4 4 ( x ? 1), y ? ? ( x ? 1), y ? 0 。 (, ) 点 Pxy 3 3 1 1 到 AB、AC、BC 的距离依次为 d1 ? | 4 x ? 3 y ? 4 |, d 2 ? | 4 x ? 3 y ? 4 |, d3 ?| y | 。依设, 5 5
14、 解: (Ⅰ) 直线 AB、 AC、 BC 的方程依次为 y ?
2 d1d2 ? d3 , 得 |16x2 ? (3y ? 4)2 |? 25 y2 ,即

16x2 ? (3 y ? 4)2 ? 25 y 2 ? 0, 或16 x2 ? (3 y ? 4)2 ? 25 y 2 ? 0 ,化简得点 P 的轨迹方程为
圆 S: 2x ? 2 y ? 3 y ? 2 ? 0与双曲线T:8x ?17 y ? 12 y ? 8 ? 0
2 2 2 2

......5 分

(Ⅱ)由前知,点 P 的轨迹包含两部分 圆 S: 2 x ? 2 y ? 3 y ? 2 ? 0
2 2

① ②
第 7 页 共 14 页

与双曲线 T: 8x ?17 y ? 12 y ? 8 ? 0
2 2

因为 B(-1,0)和 C(1,0)是适合题设条件的点,所以点 B 和点 C 在点 P 的轨迹上, 且点 P 的轨迹曲线 S 与 T 的公共点只有 B、C 两点。

1 ?ABC 的内心 D 也是适合题设条件的点, 由 d1 ? d2 ? d3 , 解得 D (0, ) , 且知它在圆 S 上。 2
直线 L 经过 D,且与点 P 的轨迹有 3 个公共点,所以,L 的斜率存在,设 L 的方程为

y ? kx ?

1 2



y
H D B P G

E

o
Q

CF

x

(i)当 k=0 时,L 与圆 S 相切,有唯一的公共点 D;此时,直线 y ?

1 平行于 x 轴,表明 L 2

与双曲线有不同于 D 的两个公共点,所以 L 恰好与点 P 的轨迹有 3 个公共点。......10 分 (ii)当 k ? 0 时,L 与圆 S 有两个不同的交点。这时,L 与点 P 的轨迹恰有 3 个公共点只 能有两种情况: 情况 1: 直线 L 经过点 B 或点 C, 此时 L 的斜率 k ? ?

1 , 直线 L 的方程为 x ? ?(2 y ? 1) 。 2

代入方程②得 y(3 y ? 4) ? 0 ,解得 E ( , )或F(- , )。表明直线 BD 与曲线 T 有 2 个交 点 B、E;直线 CD 与曲线 T 有 2 个交点 C、F。 故当 k ? ?

5 4 3 3

5 4 3 3

1 时,L 恰好与点 P 的轨迹有 3 个公共点。 ......15 分 2 1 情况 2:直线 L 不经过点 B 和 C(即 k ? ? ) ,因为 L 与 S 有两个不同的交点,所以 2

?8 x 2 ? 17 y 2 ? 12 y ? 8 ? 0 ? L 与双曲线 T 有且只有一个公共点。即方程组 ? 有且只有一组实数 1 ? y ? kx ? ? 2
解,消去 y 并化简得 (8 ? 17 k ) x ? 5kx ?
2 2

25 ?0 4
2

该方程有唯一实数解的充要条件是 8 ? 17k ? 0 或 (?5k ) ? 4(8 ? 17 k )
2 2

④ ⑤

25 ?0 4

解方程④得 k ? ?

2 2 34 ,解方程⑤得 k ? ? 。 2 17
第 8 页 共 14 页

综合得直线 L 的斜率 k 的取值范围是有限集 {0, ?

1 2 34 2 ,? ,? }。 2 17 2

......20 分

2 2 15、解: (Ⅰ)设 ? ? x1 ? x2 ? ? , 则4x1 ? 4tx1 ?1 ? 0, 4x2 ? 4tx2 ?1 ? 0,
2 ? 4( x12 ? x2 ) ? 4t ( x1 ? x2 ) ? 2 ? 0, ? 2 x1 x2 ? t ( x1 ? x2 ) ?

1 ?0 2

则 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?

2 x2 ? t 2 x1 ? t ( x2 ? x1 ) ?t ( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ? 2? ? ? 2 2 x2 ? 1 x12 ? 1 ( x2 ? 1)( x12 ? 1)
1 ? 0 ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 2
.......5 分

又 t ( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ? 2 ? t ( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ? 故 f ( x ) 在区间 ?? , ? ? 上是增函数。

? ? ? ? t , ?? ? ? ,
? g (t ) ? max f ( x) ? min f ( x) ? f ( ? ) ? f (? ) ? ( ? ? ? ) ?t (? ? ? ) ? 2?? ? 2?

1 4

? 2? 2 ?? 2 ? ? 2 ?1

5? ? t 2 ?1 ? t 2 ? ? 2 2 2 ? 8 t ? 1(2t ? 5) ? ? ? 25 16t 2 ? 25 t2 ? 16
(Ⅱ)证:

......10 分

8 2 16 ( 2 ? 3) ? 24 cos ui cos ui cos ui cos ui g (tan ui ) ? ? 16 16 ? 9 cos 2 ui ? 9 cos 2 ui

?

2 16 ? 24 16 6 ? (i ? 1, 2,3) 2 16 ? 9cos ui 16 ? 9cos 2 ui
3

3 1 1 3 1 2 ?? ? (16 ? 9cos ui ) ? (16 ? 3 ? 9 ? 3 ? 9)? sin 2 ui ) ....15 分 ? 16 6 i ?1 16 6 i ?1 g (tan ui ) i ?1
3

sin ui ? 1, 且ui ? (0, ), i ? 1, 2,3 ? 2 i ?1
与柯西不等式中,等号不能同时成立,

?

?3? sin 2 ui ? (? sin ui ) 2 ? 1 ,而均值不等式
i ?1 i ?1

3

3

?

1 1 1 1 1 3 ? ? ? (75 ? 9 ? ) ? 6 g (tan u 1 ) g (tan u2 ) g (tan u3 ) 16 6 3 4
第 9 页

......20 分.

共 14 页

2004 年全国高中数学联赛加试试卷
考生注意: 1、 本试卷共三大题,全卷满分 150 分. 2、 卷面的第 1 页、第 3 页、第 5 页印有试题,第 2 页、第 4 页、第 6 页是空 白页,留作答题用. 3、 用钢笔、签字笔或圆珠笔作答. 4、 解题书写不要超出装订线. 一. (本题满分 50 分) 在锐角三角形 ABC 中, AB 上的高 CE 与 AC 上的高 BD 相交于点 H ,以 DE 为直径 的圆分别交 AB 、 AC 于 F 、G 两点,FG 与 AH 相交于点 K . 已知 BC ? 25 ,BD ? 20 , BE ? 7 ,求 AK 的长.

C

D G H K A
二. (本题满分 50 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, y 轴正半轴上的点列 ? An ? 与曲线 y ? 点列 ?Bn ? 满足 OAn ? OBn ?

F

E

B

2 x ( x ? 0 )上的

1 ,直线 An Bn 在 x 轴上的截距为 an ,点 Bn 的横坐标为 bn , n

n? N* .
(I)证明 an ? an?1 ? 4 , n ? N .
*

(II)证明有 n0 ? N * ,使得对 ? n ? n0 ,都有

b2 b3 ? ? b1 b2

?

bn bn?1 ? ? n ? 2004 . bn?1 bn

三. (本题满分 50 分) 对 于 整 数 n ? 4 , 求 出 最 小 的 整 数 f ? n? , 使 得 对 于 任 何 正 整 数 m , 集 合

?m, m? 1,

的任一个 f ? n ? 元子集,均有至少 3 个两两互素的元素. ,m? n??1

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