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数学选修一2.2.2


2.2.2

2.2.2

双曲线的简单几何性质

【读一读学习要求,目标更明确】 1.掌握双曲线的简单几何性质. 2.了解双曲线的渐近性及渐近线的概念. 3.能区别椭圆与双曲线的性质. 【看一看学法指导,学习更灵活】 利用双曲线的方程研究其图象和几何性质, 在自主探究合作 交流中通过类比,分析双曲线的几何性质.

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填一填·知识要点、记下疑难点

2.2.2

双曲线的几何性质

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标 准 方程

x2 y2 - =1 a2 b2 (a>0,b>0)

y2 x2 - =1 a2 b2 (a>0,b>0)

图形

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范围 对称性

2.2.2

x≥a或x≤-a
对称轴: 坐标轴 对称中心: 原点 顶点坐标:

y≥a或y≤-a 对称轴:坐标轴
对称中心:原点 顶点坐标: A1 (0,-a) , A2 (0,a)

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性 质

顶点

A1 (-a,0) , A2 (a,0)

渐近线 离心率

b y=± x a

a y=± x b
c e=a,e∈(1,+∞)

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2.2.2

问题探究一 问题 1

双曲线的几何性质

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类比椭圆的几何性质,结合图象,你能得到双曲线

x2 y2 - =1 (a>0,b>0)的哪些几何性质? a2 b2

答案 (1)范围:x≥a或x≤-a;
(2)对称性:双曲线关于x轴、y轴 和原点都是对称的; (3)顶点:双曲线有两个顶点 A1(-a,0),A2(a,0).

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问题 2

2.2.2

椭圆中,椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度,

在双曲线中,双曲线的“张口”大小是图象的一个重要特 征,怎样描述双曲线的“张口”大小呢?

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答案

x y 如问题 1 中图,作直线a± =1, b

x2 y2 在双曲线 2- 2=1 的各支向外延伸时, 与两直线无限接近, a b 把这两条直线叫双曲线的渐近线;

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b c 双曲线的“张口”大小取决于a的值,设 e=a, b 则a= e2-1.

2.2.2

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b 当 e 的值逐渐增大时, 的值增大,双曲线的“张口”逐渐 a 增大.

画板演示

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问题 3

2.2.2

已知双曲线方程,怎样求双曲线的几何性质?

答案

由双曲线的标准方程求双曲线的有关性质的步骤是:

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x2 y2 y2 x2 先将双曲线方程化为标准形式a2-b2=1 (或a2-b2=1),再 根据它确定 a,b 的值(注意它们的分母分别为 a2,b2,而不 是 a,b),进而求出 c,再对照双曲线的几何性质得到相应 的答案.

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2.2.2

例 1 求双曲线 9y2-4x2=-36 的顶点坐标、焦点坐标、实 轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程. x2 y2 解 将 9y2-4x2=-36 变形为 9 - 4 =1,
x2 y2 即32-22=1,∴a=3,b=2,c= 13,
因此顶点为 A1(-3,0),A2(3,0),

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焦点坐标 F1(- 13,0),F2( 13,0),

c 13 实轴长是 2a=6,虚轴长是 2b=4,离心率 e=a= 3 ,

b 2 渐近线方程 y=± x=± x. a 3

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小结 讨论双曲线的几何性质,先要将双曲线方程化为标准 形式,然后根据双曲线两种形式的特点得到几何性质.

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2.2.2

跟踪训练 1 求双曲线 25y2-4x2+100=0 的半实轴长,半 虚轴长,焦点坐标,顶点坐标,离心率,渐近线方程.
解 双曲线的方程 25y2-4x2+100=0 可化为

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x2 y2 25- 4 =1.

∴半实轴长 a=5, 半虚轴长 b=2, 顶点坐标为(-5,0), (5,0). 由 c= a2+b2= 29,得焦点坐标为( 29,0),(- 29,0). c 29 2 离心率 e=a= 5 ,渐近线方程 y=± x. 5

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问题探究二 问题 1 双曲线几何性质的应用

2.2.2

已知双曲线的方程可以确定几何性质,已知双曲线

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的几何性质怎样确定双曲线的标准方程?

答案

利用几何性质, 求双曲线的标准方程, 一般使用待定

系数法,其步骤是:①利用性质判断焦点的位置;②设出双 曲线的标准方程; ③利用已知构造关于参数的方程; ④写出 所求的标准方程.

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2.2.2

问题 2 如果双曲线的渐近线给定,那么双曲线的焦点位置 是否确定?怎样来求双曲线方程?
答案 不一定,可根据其他条件,分别设出焦点在 x 轴上和

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在 y 轴上的两种标准形式来解.另外,也可使用统一形式, b x2 用待定系数法来解, 渐近线为 y=± x 的双曲线方程可设为a2 a y2 -b2=λ (λ≠0).

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2.2.2

例 2 已知双曲线的一条渐近线方程是 x-2y=0,且双曲线 过点 P(4,3),求双曲线的标准方程. 解 方法一 ∵双曲线的一条渐近线方程为 x-2y=0, x 当 =4 时,y=2<yp=3.
∴双曲线的焦点在 y 轴上. a 1 从而有b=2,∴b=2a. y2 x2 设双曲线方程为a2-4a2=1, 由于点 P(4,3)在此双曲线上,

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9 16 ∴a2-4a2=1,解得 a2=5. y2 x2 ∴双曲线方程为 5 -20=1.

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方法二

2.2.2

∵双曲线的一条渐近线方程为 x-2y=0,

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x x2 2 即2-y=0,∴双曲线的渐近线方程为 4 -y =0. x2 2 设双曲线方程为 4 -y =λ (λ≠0), 42 2 ∵双曲线过点 P(4,3),∴ 4 -3 =λ,即 λ=-5. x2 2 y2 x2 ∴所求双曲线方程为 4 -y =-5,即 5 -20=1.
小结 利用几何性质求双曲线方程, 一般用待定系数法, 要 正确选择方程形式,结合图象性质,减少运算量.

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跟踪训练 2 求满足下列条件的双曲线方程: (1)以 2x± 3y=0 为渐近线,且经过点(1,2); 5 (2)离心率为4,半虚轴长为 2;

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(3)与椭圆 x2+5y2=5 共焦点且一条渐近线方程为 y- 3x=0.



(1)设所求双曲线方程为 4x2-9y2=λ (λ≠0),点(1,2)在

双曲线上,将点的坐标代入方程可得 λ=-32, 9y2 x2 ∴所求双曲线方程为 4x2-9y2=-32,即 - =1. 32 8

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c 5 (2)由题意 b=2,e= = ,令 c=5k,a=4k, a 4

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4 64 2 2 则由 b =c -a =9k =4,得 k = .∴a =16k = , 9 9
2 2 2 2 2

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9x2 y2 9y2 x2 故所求的双曲线方程为 64 - 4 =1 或 64 - 4 =1.

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(3)由已知得椭圆 x2+5y2=5 的焦点为(± 2,0),又双曲线的一 条渐近线方程为 y- 3x=0, 则另一条渐近线方程为 y+ 3x=0. 设所求双曲线方程为 3x2-y2=λ (λ>0), λ 则 a = ,b2=λ. 3
2

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4λ ∴c =a +b = 3 =4,即 λ=3,
2 2 2

y2 故所求的双曲线方程为 x2- 3 =1.

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问题探究三 问题 1 与渐近线和离心率有关的问题

2.2.2

和椭圆相比较,渐近线是双曲线特有的性质,它的

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作用是什么?和离心率有什么联系?

答案

利用双曲线的渐近线可以很方便地画出双曲线, 设双

x2 y2 曲线方程为a2-b2=1 (a>0,b>0),则 b b 渐近线的斜率的绝对值为a,a= e2-1.

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2.2.2

问题 2

怎样求双曲线的离心率?

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答案 求双曲线的离心率有两种常见方法: 一是依据条件求 c 出 a,c,再计算 e= ;二是依据条件提供的信息建立关于 a 参数 a,b,c 的等式,进而转化为关于离心率 e 的方程,再 解出 e 的值.

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x2 y2 例 3 设双曲线 2- 2=1 (0<a<b)的半焦距为 c,直线 l 过点 a b 3 A(a,0),B(0,b)两点,且原点到直线 l 的距离为 4 c,求双 曲线的离心率.
解 ∵直线 l 过点 A(a,0),B(0,b), x y ∴l 的方程为a+b=1,即 bx+ay-ab=0. 3 ∵原点到直线 l 的距离为 4 c, |b· 0+a· 0-ab| 3 3 2 ∴ = 4 c,即 ab= 4 c . 2 2 a +b

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2.2.2

两边平方得 16a2b2=3c4,∴16a2(c2-a2)=3c4, ∴3c4-16a2c2+16a4=0,即 3e4-16e2+16=0. 4 b2 解得 e2=4 或 e2=3.∵b>a>0,∴a2>1. a2+b2 b2 ∴e2= 2 =1+ 2>2.∴e2=4,∴e=2. a a

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2.2.2

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小结

c 求离心率 e= , 只需关于 a, c 的一个方程即可(a, b, a

b,c 还满足 c2=a2+b2),不一定要求出 a,b,c,解题中要 注意离心率的范围.

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x2 y2 跟踪训练 3 已知 F1,F2 是双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)的 a b 两个焦点,PQ 是经过 F1 且垂直于 x 轴的双曲线的弦,如果 ∠PF2Q=90° ,求双曲线的离心率.

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c2 y2 解 设 F1(c,0),将 x=c 代入双曲线的方程得a2-b2=1,那 b2 么 y=±a .
由|PF2|=|QF2|,∠PF2Q=90° ,知|PF1|=|F1F2|,

b2 ∴ a =2c,∴b2=2ac.

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∴c -2ac-a
2 2

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?c? c ? ?2-2× -1=0. =0,∴ a a ? ?

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即 e2-2e-1=0.∴e=1+ 2或 e=1- 2(舍去). 所以所求双曲线的离心率为 1+ 2.

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2.2.2

1.实轴长为 4 5且过点 A(2,-5)的双曲线的标准方程是 ( x2 y2 A.20-16=1 x2 y2 C.16-20=1 y2 x2 B.20-16=1 y2 x2 D.16-20=1 )

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解析 由题意知 2a=4 5,a2=20,

2.2.2

x2 y2 若双曲线焦点在 x 轴上,则可设方程为20-b2=1, -25 16 4 25 代入点 A(2,-5),得 - 2 =1,即 2 = ,矛盾.因此 20 b b 20 x2 y2 设双曲线的方程为- 2+ =1. b 20 4 25 1 代入 A(2,-5),得 2=-1+ = ,∴b2=16. b 20 4 故选 B.

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答案 B

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x2 y2 2.若双曲线a2- 3 =1(a>0)的离心率为 2,则 a 等于( D ) A.2
解析

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B. 3

3 C.2

D.1

a2+3 c ∵b= 3,∴c= a2+3,∴a= a =2,

∴a=1.

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3.已知双曲线虚轴的一个端点为 M,两个焦点为 F1、F2,

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6 2 ∠F1MF2=120° ,则双曲线的离心率为________.

c 解析 由题意知b=tan 60° 3, =
即 c= 3b= 3?c2-a2?.

c2 3 所以有 e2=a2=2,又 e∈(1,+∞),
6 所以 e= 2 .

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x2 y2 4.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两条渐近线方程为 y a b 3 =± 3 x,若顶点到渐近线的距离为 1,则双曲线方程为 x2 3 2 4 -4y =1 ______________.

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解析 双曲线右顶点为(a,0),一条渐近线为 x+ 3y=0,
a a b 3 2 3 ∴1= = ,∴a=2.又a= 3 ,∴b= 3 , 1+3 2

x2 3 2 ∴双曲线方程为 4 -4y =1.

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1.通过双曲线方程可以讨论双曲线的几何性质,通过双曲 线的几何性质也可以得到双曲线方程. 2.渐近线是双曲线特有的性质,渐近线和离心率都可以描 述双曲线的“张口”大小.


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