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1.4生活中的优化问题举例(三课时)

时间:2017-07-29


生活中的优化问题举例

一、如何判断函数的单调性?
设函数y=f(x) 在 某个区间 内可导, f(x)为增函数 f(x)为减函数

二、如何求函数的极值与最值?
求函数极值的一般步骤
(1)确定定义域 (2)求导数f’(x) (3)求f’(x)=0的根 (4)列表 (5)判断

求f(x

)在闭区间[a,b]上 的最值的步骤:

(1) 求f(x)在区间(a,b)内极值; (2) 将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b) 比较,从而确定函数的最值。

生活中经常遇到求利润最大、用料 最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优 化问题.通过前面的学习,我们知道,导数是 求函数最大(小)值的有力工具,本节我们运 用导数,解决一些生活中的 优化问题.

例1:海报版面尺寸的设计
学校或班级举行活动,通常需要张贴海报进行 宣传。现让你设计一张如图3.4-1所示的竖向张贴 的海报,要求版心面积为128dm2,上、下两边各 空2dm,左、右两边各空1dm,如何设计海报的尺 寸,才能使四周空白面积最小?

x

分析:已知版心的面 积,你能否设计出版心 的高,求出版心的宽, 从而列出海报四周的面 积来?

图3.4-1

解 : 设版心的高为xdm, 则版心的宽为

128 S ( x) ? ( x ? 4)( ? 2) ? 128 x 512 ? 2x ? ? 8, x ? 0 x
求导数,得S ' ( x) ? 2 ?
令:S ' ( x) ? 2 ? 512 ?0 2 x

128 dm, 此时四周空白面积为 x

512 x2

你还有其他解 法吗?例如用 基本不等式行 不?

解得:x ? 16,x ? ?16 (舍)
当x ??16, ???时,s' ? x ? ? 0.

128 128 于是宽为: ? ?8 x 16

当x ? ? 0,16?时,s' ? x ? ? 0;

因此,x=16是函数S(x)的极小值,也是最小值点。所以, 当版心高为16dm,宽为8dm时,能使四周空白面积最 小。

解法二:由解法(一)得
512 512 S ( x) ? 2 x ? ? 8 ? 2 2x ? ?8 x x

? 2 ? 32 ? 8 ? 72
512 当且仅当2x ? , 即x ? 16( x ? 0)时S 取最小值 x

128 此时y= ?8 16

答:应使用版心宽为8dm,长为 16dm,四周空白面积最小

说明
1、设出变量找出函数关系式; 确定出定义域;
所得结果符合问题的实际意义。 2、在实际应用题目中,若函数 f ( x )在定义域内 只有一个极值点x0 ,则不需与端点比较, f ( x0 )即 是所求的最大值或最小值. (所说区间的也适用于开区间或无穷区间)

练习1:将一段长为12cm的铁丝围成一个矩形,则 这个矩形面积的最大值为多少?
设矩形的一边为xcm,则另一边为( 6 ? x)cm,面积为S 解: S(x) ? x( ? 6 ? x) ? 6x ? x (0 ? x ? 6) ? S ?( x) ? 6 ? 2 x(0 ? x ? 6)
2

令S ?( x) ? 0,解得x ? 3 当S ?( x) ? 0时, 得0 ? x ? 3 ? S ( x)在(0,3)上是单调递增的, S ( x)在(3,6)是单调递减的 ? S ( x)在x ? 3cm处取到最大值S (3) ? 9cm
2

答 : 当矩形是正方形时, 它的面积最大为9cm

2

结论:周长为定值的矩形中,正方形的面积最大。

变式:某养鸡场是一面靠墙,三面用铁丝网围成的矩形 场地.如果铁丝网长40 m,问靠墙的一面多长时,围成 的场地面积最大?
解 : 设靠墙的一面长x m,围成的场地面积为y m 2 , 40 ? x 此时矩形的宽为 ? 0. 2 40 ? x 1 2 ? y ? x? ? ? x ? 20 x.(0 ? x ? 40) 2 2 y′=-x+20 令y′=0得,x=20
当0<x<20时,y′>0,当20<x<40时,y′<0.
∴x=20时,y最大=20×10=200.

答:靠墙的一面长20 m时,围成的场地面积最大,为200 m2.

练习2:在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去边长相 等的正方形,再把它的边沿虚线折起(如图),做成一个无 盖的方底铁皮箱.箱底边长为多少时,箱子容积最大?最 大容积是多少?
解: 设箱底边长为 x, 箱子容积为
60 ? x V ( x) ? x ( ) (0 ? x ? 60) 2 3 2
2

由 V ?( x) ? 60 x ?

解得 x1=0 (舍), x2=40. 当x∈(0,40)时,V'(x)>0;当x∈(40,60)时,V'(x)<0. ∴函数V (x)在x=40处取得极大值,这个极大值 就是函数V (x)的最大值.
60 ? 40 V (40) ? 40 ( ) ? 16000(cm) 3 2
2

2

x ?0

h

x

答 当箱箱底边长为40cm时,箱子容积最大, 最大值为6000cm3

练习3
要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为 20cm, 要使其体积最大,则其高为( ) A A.
20 3 3

B. 100 C.

20

D.

20 3

由上述例子,我们不难发现,解决优化问题的 基本思路是:
优化问题 用函数表示的数学问题

优化问题的答案

用导数解决数学问题

上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过 程。

解决生活中的优化问题的基本步骤
1、建立实际问题的数学模型,写出函数
关系式 y ? f ( x) ;

2、求函数的导数
4、作答。

f ?( x )

,求出极值点;

3、确定最大(小)值;

作业:课本P37习题1.4 A组1、2

课本P371、一条长为l的铁丝截成两段,分别弯成 两个正方形,要使两个正方形的面积和最小,两 段铁丝的长度分别是多少? 解:设两段铁丝的长度分别为x, l-x, 其中0<x<l 则两个正方形面积和为 x 2 l?x 2 1 S ? s1 ? s2 ? ( ) ? ( ) ? (2 x 2 ? 2lx ? l 2 ) 4 4 16
S? ? 1 1 (4 x ? 2l ) ? (2 x ? l ) 16 8
令S ? ? 0, 得x ? l 2

由问题的实际意义可知:
l2 l 当x ? 时, S取最小值 . 最小值为 . 32 2

课本P373:某种圆柱形的饮料罐的容积一定时,如何确 定它的高与底半径,使得所用材料最省? 解: 设圆柱的高为h,底面半径为R. 则表面积为 S(R)=2πRh+2πR2. 又V=πR2h(定值), 则h ? V 2 . ?R V ? S ( R ) ? 2?R ? 2 ? 2?R 2 ? 2V ? 2?R 2 . ?R R
由S ?( R ) ? ?
从而h ? V V 3 ? 2 ? ?R 2 2?

h R

2V V 3 ? 4 ? R ? 0 . 解得 R ? . 2 R 2?

即h=2R.

当R ?

3

V V 时,S? ? R ? ? 0, 当R ? 3 时,S? ? R ? ? 0. 2? 2?
3

V 因此,当R ? 时,S ? R ? 有极小值, 且是S ? R ?的最小值. 2?

答 :罐高与底的直径相等时, 所用材料最省.

生活中的优化问题举例

第二课时
问题2: 饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗? ? 你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一 般比大包装的要贵些?你想从数学上知道它的 道理吗? ? 是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大?

例2:饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品,若它们 的价格如下表所示,则 (1)对消费者而言,选择哪一种更合算呢? (2)对制造商而言,哪一种的利润更大?

规格(L) 价格(元)

2 5.1

1.25 4.5

0.6 2.5

某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料,瓶子的制造成本 是0.8?r2分,其中r是瓶子的半径,单位是厘米,已知每出售1ml的 饮料,制造商可获利0.2分,且制造商能制造的瓶子的最大半径为 6cm,(1)瓶子半径多大时,能使每瓶饮料的 利润最大? (2)瓶子半径多大时,每瓶饮料的利润最小?

解:由于瓶子的半径为 ∴每瓶饮料的利润: r,所以每瓶饮料的利润是
4 3 y ? f ( r ) ? 0.2 ? ? r ? 0.8? r 2 3 r3 = 0.8π ( - r 2 ) ( 0 ? r ? 6 ) 3
2

令 f ' ( r ) = 0.8π(r - 2 r ) ? 0, 得 r = 2

r f '( r ) f (r)

(0,2)

-

减函数↘

2 0 -1.07?

(2,6]

+
增函数↗

当半径r>2时,f ’(r)>0它表示 f(r) 单调递增, 即半径越大,利润越高; 当半径r<2时,f ’(r)<0 它表示 f(r) 单调递减, 即半径越大,利润越低. 1.半径为2cm 时,利润最小,这时 f (2) ? 0 表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本, 此时利润是负值 2.半径为6cm时,利润最大

换一个角度 : 如果 我 们不用导 数工具 ,直接 从函数的图象 (图 1.4 ? 4)上观察,你有什么发现 ?
从 图象上容 易看出 ,当 r ? 3 时, f ?3? ? 0, 即瓶子半径是 3cm 时, 饮料的利润与饮料瓶的 成本恰 好相等;当r ? 3 时,利润才为正值 .
当r ? ?0,2?时, f ?r ?是减函数 ,你能 解释它的实际意义吗 ?

y

? r3 2? f ?r ? ? 0.8 π? ? 3 ?r ? ? ? ?

2

o

3

r

图1.4 ? 4

练习1:已知某工厂生产x件产品的成本为c=2 500+200x+?x2(元).
(1)要使平均成本最低,应生产多少件产品? (2)若产品以每件500元售出,要使利润最大,应生产多少件产品?

解 : ?1? 设生产x件产品时, 平均成本y最低. c 2500 x ?y ? ? ? ? 200. x x 4 2500 1 y? ? ? 2 ? , 令y? ? 0得x ? 100. x 4 当0 ? x ? 100时, y? ? 0, 当x ? 100时, y? ? 0, ? x ? 100时, y最小 ? 25 ? 25 ? 200 ? 250.
答:生产100件产品时,平均成本最低为250元.

练习2. 某商品每件成本9元,售价为30元,每星期卖出 432件,如果降低价格,销售量将会增加,且每星期多

卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位:
元,0≤x≤30)的平方成正比,已知商品单价降低2元时,

一星期将多卖出24件.
(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数;

(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大?

[解] (1)设商品降价x元,则多卖出的商品件数为kx2,若记 商品一个星期的获利为f(x), 则由题意得 f(x)=(30-x-9)(432+kx2) =(21-x)(432+kx2). 又由已知条件,24=k×22,于是有k=6. ∴f(x)=-6x3+126x2-432x+9072,x∈[0,30].
(2)根据(1)有f′(x)=-18x2+252x-432=-18(x-2)(x-12).

当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x [0,2) 2 (2,12) 12 (12,30]

f′(x)
f(x)



0
极小值

+


0
极大值



故x=12时,f(x)达到极大值,∵f(0)=9072,f(12)=11664, ∴定价为30-12=18(元)能使一个星期的商品销售利润最大.

练习3. 某单位用2160万元购得一块空地,计划在该块地上 建造一栋至少10层,每层2000平方米的楼房,经测算,如果将

楼房建为x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为
560+48x(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最 少,该楼房应建为多少层?(注:平均综合费用=平均建筑费用 购地总费用 +平均购地费用,平均购地费用 = ) 建筑总面积

[解]设楼房每平方米的平均综合费用为f ? x ? 元, 则 f ( x) ? (560 ? 48 x) ? 10800 . 2 x 令f ? ? x ? ? 0得x ? 15. f '( x) ? 48 ? 当x ? 15时, f ? ? x ? ? 0, 当0 ? x ? 15时, f ? ? x ? ? 0, 因此,当x ? 15时, f ? x ? 取最小值f ?15 ? ? 2000. 2160 ?10000 10800 ? 560 ? 48 x ? 2000 x x

答:为了楼房每平方米的综合费用最少,该楼房应建为15层.

作业:课本P37习题1.4 A组 6

B组 1

生活中的优化问题举例

第三课时 问题3、磁盘的最大存储量问题
(1) 你知道计算机是如何存储、检索信息的吗? (2) 你知道磁盘的结构吗? (3)如何使一个圆环状的磁盘存储尽可能多的信息?

计算机把信息存储到磁盘上,磁盘是带有磁性介质 的圆盘,并由操作系统将其格式化成磁道和扇区.
磁道是指不同半径所构成的同心圆轨道,扇区是 指被圆心角分割成的扇形区域.磁道上的定长的 弧可作为基本存储单元,根据其磁化与否可分别 记录数据0或1,几个基本单元通常称为比特(bit).

例3:现有一张半径为R 的磁盘,它的 存储区是半径介于r与R 的环行区域。 (1)是不是r越小,磁盘的存储量越大?

R r

(2) r为多少时,磁盘具有最大存储量(最外面的 磁道不存储任何信息)? 为保障磁盘分辨率,磁道之间的宽度必须大 于m,每比特所占用的磁道长度不得小于n.磁盘 格式化时要求所有磁道具有相同的比特数.

解:存储量=磁道数×每磁道的比特数
设存储区的半径介于r与R之间,由于磁道之间的宽度必须 大于m,每比特所占用的磁道长度不得小于n,且最外面的磁道 R?r , 又由于每条磁 不存储任何信息,所以磁道最多可达 m 道上的比特数相同,为获得最大的存储量,最内一条磁道必须 装满,即每条磁道上的比特数可达到 2?r .所以,磁道总 n 存储量 R ? r 2? r 2? r f ?r? ? ? ? ? R ? r ?. m n mn (1)它是一个关于r的二次函数,从函数的解析式上可以判断, 不是r越小,磁盘的存储量越大.

' ? ? f x (2)为求 的最大值,计算 f ?r ? ? 0,


解得

2? ?R ? 2r ?, f ?r ? ? mn
'

f

'

?r ? ? 0

R r? 2

R R ' 当r ? 时, f ?r ? ? 0;当r ? 时, f ' ?r ? ? 0, 2 2

R 因此,当 r ? 时,磁道具有最大的存储量,最大 2
2 ? R 存储量为

2m n

.

例4:统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每 小时耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时) 的函数解析式可以表示为: y = 1 x - 3 x + 8 128000 80 ( 0 < x ≤ 120 ),已知甲乙两地相距100千米,当 汽车以多大速度行驶时,从甲地到乙地耗油最少? 最少为多少升?
3

解:当速度为x千米/小时,汽车从甲地到乙地 100 行驶了 x 小时,设耗油量为h(x)升.
1 3 100 1 2 800 15 x3 - x + 8) ? = x + 128000 80 x 1280 x 4 ? 0 < x ≤ 120? h(x) = (

例4
1 3 100 1 2 800 15 3 h(x) = ( x - x + 8) ? = x + 128000 80 x 1280 x 4 ? 0 < x ≤ 120? 1 800 x3 - 803 x- 2 = 求函数的导数得: h?(x) = 640 x 640x2

令 h?(x) = 0 解得:x = 80
当x∈(0,80)时, h?(x) < ;0 h?(x) > 0 . 当x∈(80,120)时, ∴在x=80时,取得极小值,也是最小值 h(80)=11.25.

练习1: 如图,在二次函数 f(x)=4x-x2的图象与x轴所 围成的图形中有一个内接 矩形ABCD,求这 个矩形的 最大面积.

y

x 解:设B(x,0)(0<x<2), 则 A(x, 4x-x2). 从而|AB|= 4x-x2,|BC|=4-2x.故矩形ABCD的面积为 S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0<x<2). 2 3 2 3 2 ? ? S ( x) ? 6 x ? 24x ? 16. 令 S ( x ) ? 0 ,得 x1 ? 2 ? , x2 ? 2 ? .

3 2 3 32 3 S ( x )max ? . ? x1 ? (0,2), 所以当 x ? 2 ? 时, 3 9

3

2 3 32 3 ,0)时,矩形的最大面积是 . 因此当点B为 ( 2 ? 2 9

由上述例子,我们不难发现,解决优化问题的 基本思路是:
优化问题 用函数表示的数学问题

优化问题的答案

用导数解决数学问题

上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过 程。

解决生活中的优化问题的基本步骤
1、建立实际问题的数学模型,写出函数
关系式 y ? f ( x) ;

2、求函数的导数
4、作答。

f ?( x )

,求出极值点;

3、确定最大(小)值;

作业:课本P37
必做 A组5

选做B组2

练习2:某种圆柱形的饮料罐的容积一定时,如何确定它 的高与底半径,使得所用材料最省? 解 设圆柱的高为h,底面半径为R.
则表面积为 S(R)=2πRh+2πR2.
V R 则h ? . ?R 2 V ? S ( R ) ? 2?R ? 2 ? 2?R 2 ? 2V ? 2?R 2 . ?R R 2V ? 由S ( R ) ? ? 2 ? 4?R ? 0. 解得R ? 3 V . R 2?
h

又V=πR2h(定值),

V V 3 从而h ? ? 2? 2 ?R 2?

即h=2R.

可以判断S(R)只有一个极值点,且是最小值点. 答 罐高与底的直径相等时, 所用材料最省.


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