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单县二中高三第四次模拟考试数学


单县二中高三第四次模拟考试数学(理)试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 满分 150 分,时间 120 分钟.

第Ⅰ卷
一、 选择题:

选择题(共 60 分)

x 1.设全集 U ? R ,集合 A ? {x || x ? 1|? 1}, B ? {x | y ? 2 ,

y ? 1}, 则 A

(CU B ) =

A. ?

B. {0}

C. {x | 0 ? x ? 2}

D. {x | x ? 2}

2.袋中有 40 个小球,其中红色球 16 个、蓝色球 12 个,白色球 8 个,黄色球 4 个,从中 随机抽取 10 个球作成一个样本,则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为 A.
2 3 1 4 C4 C8 C12C16 10 C40

B.

2 1 3 4 C4 C8C12C16 10 C40

C.

1 2 3 4 C4 C8 C12C16 10 C40

D.

1 3 4 2 C4 C8 C12C16 10 C40

3.—空间几何体的三视图如图所示,则此空间几何体的直观图为

4.已知随机变量 ? 服从正态分布 N (0, ? ) .则
2

开始 “ P(?2 ? ? ? 2) ? 0.9 ”是“ P(? ? 2) ? 0.04 ”的 输入 x A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 否

x?4

x≥4?

x ? x ?1

5. 按照如图的程序运行,已知输入 x 的值为1 ? log 2 3 ,则输出 y 的 值为 A.

1 y ? ( )x 2

1 12

B.

7 12

C.

11 24

D.

3 8
结束

6.某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出 8 名学生 参加数学竞赛,他们取得的成绩(满分 100 分)的 茎叶图如右图,其中甲班学生成绩的平均分是 86 , 乙班学生成绩的中位数是 83 ,则 x ? y 的值为 A. 9 B. 10 C. 11 D. 13

7.在 ?ABC 中,角 A, B 均为锐角,且 cos A ? sin B ,
1



?ABC 的形状是
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不能判断

? x ? 2 y ? 19 ? 0, ? 8.设二元一次不等式组 ? x ? y ? 8 ? 0, 所表示的平面区域为 M ,使函数 ?2 x ? y ? 14 ? 0 ?

y ? a x (a ? 0, a ? 1) 的图象过区域 M 的 a 的取值范围是
A. [2,9]
2

B. (2,9)

C. [2, 10]

D. (2, 10)

9. 抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F , M 是抛物线 C 上的点,若 ?OFM 的外接 圆与抛物线 C 的准线相切,且该圆面积为 36? ,则 p ? B. 4 C. 6 D. 8 1 ? 10. 函数 y ? 的图像与函数 y ? sin x( ?4 ? x ? 8) 的图像所有交点的横坐标之和等 2? x 2 A. 2 于 A. 16 B. 12 C. 8 D. 4

二、填空题: 11.已知复数 z 满足 ( 3 ? 3i) z ? 3i ,则 z 的虚部= 12.设函数 f ( x) ? 3
n
x ?1 ? x?1 ? a

. .
n

, 则使 f ( x) ? 3 恒成立的 a 的取值范围为

13.已知 (1 ? 2 x) 展开式中,奇数项的二项式系数之和为 64 ,则 (1 ? 2x) (1 ? x) 展开式 中含 x 项的系数=
2

.

14.如图矩形 ORTM 内放置 5 个大小相同的正方形,其中 A, B, C , D 都 在矩形的边上,若向量 BD ? xAE ? yAF ,则 x ? 2 y ? .

15.已知 f ( x) 是定义在 R 上的不恒为零的函数,且对于任意的 a, b ? R, 满足

f (a ? b) ? af (b) ? bf (a) , f (2) ? 2, a n ?

f (2 n ) f (2 n ) (n ? N ? ), bn ? (n ? N ? ) , n n 2

考查下列结论:① f (0) ? f (1) ;② f ( x) 为偶函数;③数列 ?a n ?为等比数列;④数列

?bn ? 为等差数列.其中正确的是_________

.

2

三、解答题: . 16. (本小题满分12分) 将函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) (? ? 0,0 ? ? ? ? ) 的图象向右平移 象,已知 g ( x) 的部分图象如右图所示,该图
y

? 后得到 g ( x) 图 4
象 与

y 轴相交于点 F (0,1) ,与 x 轴相交于点 B 、
点 M 为最高点,且 S ? MBC ?

C
x



?
2



5? , 0) 是否是 g ( x) 的一个对称中心; 6 (Ⅱ)在 ?ABC 中, a 、 b 、 c 分别是角 A 、 B 、 C
(Ⅰ)求函数 g ( x) 的解析式,并判断 (? 的对边, g ( A) ? 1,且 a ? 5 ,求 S?ABC 的最大值. 17. (本小题满分 12 分) 已知正项数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , a1 ? (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)当1 ? i ? n ,1 ? j ? n ( i, j , n 均为正整数)时,求 ai 和 a j 的所有可能的乘积 ai a j 之和. 18. (本题满分 12 分) 如图,直角梯形 ABCD 与等腰直角三角形 ABE

1 , 且满足 2Sn?1 ? 4Sn ? 1 (n ? N ? ) . 2

所在的平面互相垂直. AB // CD, AB ? BC,

AB ? 2CD ? 2BC ? 2, EA ? EB .
(Ⅰ)求直线 EC 与平面 ABE 所成角的正切值; (Ⅱ)线段 EA 上是否存在点 F ,使 EC // 平面 FBD ?存在请确定具体位置,不存在说 明理由.

3

19. (本题满分 12 分) 现有正整数 1, 2,3, 4,5,?n ,一质点从第一个数 1 出发顺次跳动,质点的跳动步数通 过抛掷骰子来决定:骰子的点数小于等于 4 时,质点向前跳一步;骰子的点数大于 4 时,质点向前跳两步. (Ⅰ)若抛掷骰子二次,质点到达的正整数记为 ξ ,求 E? 和 D? ; (Ⅱ)求质点恰好到达正整数 6 的概率. 20.(本小题满分 13 分)

7 x2 y 2 已知圆 M : ( x ? 2) ? y ? ,椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右顶点为圆 M 3 a b
2 2

的圆心,左焦点与双曲线 x ? y ? 1的左顶点重合.
2 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)已知直线 l : y ? kx 与椭圆 C 分别交于两点 A, B ,与圆 M 分别交于两点 G , H (其中点 G 在线段 AB 上)且 | AG |?| BH | ,求 k 的值.

21.(本题满分 14 分)
2 3? x 设 x ? 3 是函数 f ? x ? ? x ? ax ? b e , ? x ? R ? 的一个极值点.

?

?

(Ⅰ)求 a 与 b 的关系式(用 a 表示 b ) ,并求 f ? x ? 的单调区间; ( Ⅱ ) 设 a ? 0, g ? x ? ? ? a ?
2

? ?

25 ? x ?e , 若 存 .在 . ?1 , ?2 ??0, 4? , 使 得 4 ?

f ??1 ? ? g ?? 2 ? ?

25 成立,求实数 a 的取值范围. 4

4

单县二中高三第四次模拟理科数学参考答案及评分标准

17 解: (Ⅰ)∵ 2Sn?1 ? 4Sn ? 1 (n ? N ? ),?2Sn ? 4Sn?1 ? 1 (n ? 2, n ? N ? ) , 两式相减得 an ?1 ? 2an ,?

1分

an?1 ? 2(n ? 2, n ? N ? ) , an

2分

由 2S2 ? 4S1 ? 1 得 2(a1 ? a2 ) ? 4a1 ? 1 ,又 a1 ? ∴ 数列 ?an ? 是首项为 ∴ an ? 2n?2

a 1 ,? a2 ? 1, 2 ? 2 . 2 a1

3分

1 ,公比为 2 的等比数列, 2
. 5分
i ? j ?4

(Ⅱ)由 a i 和 a j 的所有可能乘积 ai ? a j ? 2 可构成下表

(1 ? i ? n ,1 ? j ? n )

6分

5

21?1?4 , 21? 2?4 , 21?3?4 , 22?1?4 , 22? 2?4 , 22?3?4 , 23?1?4 , 23? 2?4 , 23?3?4 , 2n ?1?4 , 2n ? 2?4 , 2n?3?4 ,

, 21? n ?4 , 22 ? n ? 4 , 23 ? n ? 4 , 2n? n?4
8分

1 (1 ? 2n ) 1 4 设上表第一行的和为 T1 ,则 T1 ? ? (2n ? 1) 1? 2 4
2
n ?1

10 分

1 n 1 n 1 ? 2n (2 ? 1) 2 ? 于是 Tn ? T1 (1 ? 2 ? 2 ? ?+ 2 ) = (2 ? 1) 4 4 1? 2

12 分

的一个法向量,则必需使 EC ? n .

E (0,0,1), C(1, ?1,0), B(0, ?1,0), D(1,0,0)
则 EC ? (1, ?1, ?1), BD ? (1,1,0) ,设 F (0, a,1 ? a)

? ?n ? DF ? 0 ?? x ? ya ? z (1 ? a) ? 0 得? DF ? (?1, a,1 ? a) ,? ? ? ?n ? BD ? 0 ? x ? y ? 0 1? a 1? a 1 ) .要使 EC ? n ,则有 1 ? 1 ? ? 0,? a ? . 令 x ? 1 ,则 n ? (1, ?1, 1? a 1? a 3 1 2 1 1 1 此时 F (0, , ), EF ? (0, , ? ), EA ? (0,1, ?1),? EF ? EA 3 3 3 3 3
所以,线段 EA 上存在点 F ,且是靠近点 E 的一个三等分点.(说明:第二问用几何法更简单) 19.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)ξ 的可能取值为 3, 4, 5
6

???????1 分

2 2 4 P (? =3 ) = ? = 3 3 9 1 4 1 2 P(? ? 4) ? C2 ? ? 3 3 9 1 1 1 P(? ? 5) ? ? ? 3 3 9
ξ 的分布列为

??????4 分

?
p

3

4

5

4 9

4 9

1 9

4 4 1 11 E? ? 3 ? ? 4 ? ? 5 ? ? 9 9 9 3 4 11 4 11 1 11 4 D? ? (3 ? ) 2 ? (4 ? ) 2 ? (5 ? ) 2 ? ??????7 分 9 3 9 3 9 3 9
(Ⅱ)质点恰好到达 6 有三种情形 ①抛掷骰子五次,出现点数全部小于等于 4 ,概率 P 1 ?? ? ?

?2? ?3?

5

32 ;????8 分 243

②抛掷骰子四次,出现点数三次小于等于 4 ,一次大于 4 ,概率为

? 2 ? 1 32 ;????9 分 P2 ? C ? ? ? ? 3 ? 3 81
1 4

3

③抛掷骰子三次,出现点数一次小于等于 4 ,二次大于 4 ,概率

?1? 2 2 P3 ? C32 ? ? ? ??????10 分 ? 3? 3 9
所以 P ?

2

32 32 2 182 ? ? ? 243 81 9 243 182 . 243
??????12 分

即质点恰好到达正整数 6 的概率为

20 解 : ( Ⅰ ) 由 题 意 , 圆 心 M ( 2,0) , 双 曲 线 的 左 顶 点

(?1, 0) ,

1分

所 以 a ? 2, c ? 1, b ? 1 , 椭 圆 方 程 为 : C : 3分

x2 ? y2 ? 1 2

( Ⅱ ) 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 由 直 线 l 与 椭 圆 相 较 于 两 点

7

? y ? kx A, B ,则 ? 2 2 ?x ? 2 y ? 2 ? 0
所以 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 2 ? 0 ,则 x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? ? 所以 | AB |? (1 ? k 2 )

2 , 1 ? 2k 2
7分

5分

8 8(1 ? k 2 ) ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

点 M ( 2,0) 到直线 l 的距离 d ?

| 2k | 1? k 2



7 2k 2 则 | GH |? 2 r ? d ? 2 ? 3 1? k 2
2 2

9分

显然,若点 H 也在线段 AB 上,则由于对称性知,直线 y ? kx 就是 y 轴,矛盾. 因为 | AG |?| BH | ,所以 | AB |?| GH | , 10 分



8(1 ? k 2 ) 7 2k 2 ? 4( ? ) 整理得 4k 4 ? 3k 2 ? 1 ? 0 2 2 1 ? 2k 3 1? k
13 分

12 分

2 解得 k ? 1 即 k ? ?1

21. (本题满分 14 分)
2 3? x 解: (Ⅰ)∵ f ? x ? ? x ? ax ? b e

?

?

∴f

'

? x ? ? ? 2x ? a ?

'

e3? x ? ? x 2 ? ax ? b ? e3? x ? ?1?
2分 3分

2 3? x ? ?? ? x ? ? a ? 2? x ? b ? a ? ?e

由题意得: f

'

?3? ? 0 ,即 32 ? 3? a ? 2? ? b ? a ? 0 , b ? ?2a ? 3

2 3? x ' 3? x ∴ f ? x ? ? x ? ax ? 2a ? 3 e 且 f ? x ? ? ? ? x ? 3?? x ? a ?1? e

?

?

令f

'

? x ? ? 0 得 x1 ? 3 , x2 ? ?a ? 1

2 3? x ∵ x ? 3 是函数 f ? x ? ? x ? ax ? b e , ? x ? R ? 的一个极值点

?

?

∴ x1 ? x2 ,即 a ? ?4 故 a 与 b 的关系式 b ? ?2a ? 3, ? a ? ?4? (1)当 a ? ?4 时, x2 ? ?a ? 1 ? 3 ,由 f
'

5分

? x ? ? 0 得单增区间为: ?3, ?a ?1? ;
8

由 f ' ? x ? ? 0 得单减区间为: ? ??,3? 、 ? ?a ?1, ??? ; (2)当 a ? ?4 时, x2 ? ?a ? 1 ? 3 ,由 f ' ? x ? ? 0 得单增区间为: ? ?a ?1,3? ; 由 f ' ? x ? ? 0 得单减区间为: ? ??, ?a ?1? 、 ?3, ??? ; 8分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知:当 a ? 0 时, x2 ? ?a ? 1 ? 0 , f ? x ? 在 ?0,3? 上单调递增,在

?3, 4?





调 递

减 ,

f ? x ?min ? min ? f ? 0? , f ? 4?? ? ?2 ? a ? 3? e3 ,

f ? x ?max ? f ?3? ? a ? 6

9


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