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高二寒假作业(必修+选修2-1)


高二寒假作业(一)[数学必修一]
一、选择题:







天气:

1 、 已 知 全 集 I ? {0, 1, 2, 3, 4} 集 合 M ? {1, 2, 3} N ? {0,3, 4} , 则 (?I M ) ? N 等 于 , , ( ) B.{3,4

} C.{1,2} D. ? )

A.{0,4} 2、设集合 M ? {x A.{0}

x2 ? 6x ? 5 ? 0} , N ? {x x2 ? 5x ? 0} ,则 M ? N 等于 (
B.{0,5} ) 10 C 8 ( ) D 6 C.{0,1,5} D.{0,-1,-5}

3、计算: log 29 ? log38 = ( A 12 B

4、函数 y ? a x ? 2(a ? 0且a ? 1) 图象一定过点

A (0,1) B (0,3) C (1,0) D(3,0) 5、 “龟兔赛跑”讲述了这样的故事:领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟,骄傲起来,睡了一觉, 当它醒来时,发现乌龟快到终点了,于是急忙追赶,但为时已晚,乌龟还是先到达了终点? 用 S1、S2 分别表示乌龟和兔子所行的路程,t 为时间,则与故事情节相吻合是 ( )

二、填空题: 6、函数 f ( x) ? 2 ? log5 ( x ? 3) 在区间[-2,2]上的值域是______

?1? 7、计算: ? ? ?9?

3 -  2

+ 64 =______
2

2 3

8、函数 y ? log 1 ( x ? 4 x ? 5) 的递减区间为______
2

9、函数 f ( x ) ?

x?2 的定义域是______ 2x ?1

三、解答题 :

1

10、计算

2 log 3 2 ? log 3

32 ? log 3 8 ? 5log5 3 9

(x ? x ? 2    ? ?1) ? 2 (? 11、已知函数 f ( x ) ? ? x    1 ? x ? 2) 。 ?2 x    ? 2) (x ?
(1)求 f (?4) 、 f (3) 、 f [ f (?2)] 的值; (2)若 f (a) ? 10 ,求 a 的值.

12、已知函数 f ( x) ? lg(2 ? x), g ( x) ? lg(2 ? x), 设h( x) ? f ( x) ? g ( x). (1)求函数 h( x) 的定义域 (2)判断函数 h( x) 的奇偶性,并说明理由.

2

高二寒假作业(二)[数学必修二]
一、选择题 1.如图1所示,空心圆柱体的主视图是(

年 月



天气:



图1

(A)

(B)

(C)

(D) )

2.过点 ?? 2,4? 且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有 (

(A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条 3.如图 2,已知 E、F 分别是正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱 BC,CC1 的中点,设 ? 为二 面角 D1 ? AE ? D 的平面角,则 sin ? =( )

(A)

2 3

(B)

5 3

(C)

2 2 2 (D) 3 3

图2 )

4.点 P ( x, y ) 是直线 l : x ? y ? 3 ? 0 上的动点,点 A(2,1) ,则 AP 的长的最小值是( (A) 2 (B) 2 2 (C) 3 2 (D) 4 2

5 .3.一束光线 从点 A(?1,1) 出发,经 x 轴 反射到圆 C : ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 1 上的 最短
2 2

路径长度是( (A)4 二、填空题

) (B)5 (C) 3 2 ? 1 (D) 2 6

6.在空间直角坐标系中,已知 P(2,2,5) 、 Q(5,4, z ) 两点之间的距离为 7,则 z =_______. 7.如图,在透明塑料制成的长方体 ABCD? A1 B1C1 D1 容器内灌 进一些水,将容器底面一边 BC 固定于地面上,再将容器倾斜,随 着倾斜度的不同,有下列四个说法: ① 水的部分始终呈棱柱状; ② 水面四边形 EFGH 的面积不改变;

3

③ A1 D1 始终与水面 EFGH 平行; 棱 ④ E ? AA 时, AE ? BF 是定值. 当 1 其中正确说法是 . 8.四面体的一条棱长为 x ,其它各棱长均为 1,若把四面体的体积 V 表示成关于 x 的函数

V (x) ,则函数 V (x) 的单调递减区间为
三、解答题
9.已知直线 l 经过点 P(?2,5) ,且斜率为 ? (Ⅰ )求直线 l 的方程; (Ⅱ )求与直线 l 切于点(2,2) ,圆心在直线



3 . 4
x ? y ? 11 ? 0 上的圆的方程.

10. 如图所示, 在直三棱柱 ABC ?

A1 B1C1 中,?ABC ? 90? , A1C1 的中点.

BC ? CC1 , M

、 N 分别为 BB1 、

(Ⅰ )求证: CB1

? 平面ABC1 ;

(Ⅱ )求证: MN // 平面ABC . 1

11.已知圆 x

2

? y 2 ? 2x ? 4 y ? m ? 0 .

(1)此方程表示圆,求 m 的取值范围; (2)若(1)中的圆与直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 相交于 M 、 N 两点,且 OM 值; (3)在(2)的条件下,求以 MN 为直径的圆的方程

? ON

( O 为坐标原点),求 m 的

4

高二寒假作业(三)[数学必修三]

年 月



天气:

一、选择题: 1.101110(2)转化为等值的八进制数是( ) A.46 B.56 C.67 D.78 2.某工厂生产产品,用传送带将产品送到下一道工序,质检人员每隔十分钟在传送带的某 一个位置取一件检验,则这种抽样方法是( ) A.简单随机抽样 B.系统抽样 C.分层抽样 D.非上述答案 3.从甲、乙、丙三人中任选两名代表,甲被选中的概率是( ) 1 A. 2 A.1 1 B. 3 B. 2 2 C. 3 ) D.2 C. 3 D.1

4.已知五个数据 3,5,7,4,6,则该样本标准差为(

1 1 1 1 5.如图是计算 + + +…+ 的值的一个程序框图,其中在判断框中应填入的 2 4 6 20 条件是( )

A.i<10 B.i>10 C.i<20 D.i>20 6.若 P(A∪ B)=1,则事件 A 与 B 的关系是( ) A.A、B 是互斥事件 B.A、B 是对立事件 C.A、B 不是互斥事件 D.以上都不对 7.在总共 50 件产品中只有 1 件次品,采用逐一抽取的方法抽取 5 件产品,在送 质检部门检验时次品被抽到的概率是( ) A.0.1 B.0.02 C.0 或 1 D.以上都不对 8.如右框图表示的算法的功能是( ) A.求和 S=2+22+…+264 B.求和 S=1+2+22+…+263 C.求和 S=1+2+22+…+264 D.以上均不对 9.从一批产品中取出三件产品,设 A=―三件产品全不是次品‖,B=―三件产品 全是次品‖,C=―三件产品不全是次品‖,则下列结论中正确的是( ) A.A 与 C 互斥 B.B 与 C 互斥 C.任何两个均互斥 D.任何两个均不互斥 10.某班学生在一次数学考试中成绩分布如下表: 分数段 人数 分数段 人数 [0,80) 2 [110,120) 12 [80,90) 5 [120,130) 6 [90,100) 6 [130,140) 4 [100,110) 8 [140,150) 2

那么分数在[100,110)中的频率是(精确到 0.01)( ) A.0.18 B.0.47 C.0.50 D.0.38 二、填空题 11.下列程序运行结束后输出结果为 3,则从键盘输入的 x 值为________. 程序:INPUT―x=;‖x IF x<=0 THEN y=-x
5

ELSE IF x>0 AND x<=1 THEN y=0 ELSE y=x-1 END IF END IF PRINT y END. 12.一个工厂有若干个车间,今采用分层抽样法从全厂某天的 2048 件产品中抽取一个容量 为 128 的样本进行质量检查, 若一车间这一天生产了 256 件产品, 则从该车间抽取的产品件 数为 。 三、解答题 13.已知一个 5 次多项式为 f(x)=4x5﹣3x3+2x2+5x+1,用秦九韶算法求这个多项式当 x=2 时的值.

14.某初级中学共有学生 2000 名,各年级男、女生人数如下表: 初一年级 女生 男生 373 377 初二年级 x 370 初三年级 y z

已知在全校学生中随机抽取 1 名,抽到初二年级女生的概率是 0.19. (1)求 x 的值; (2)现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生,问应在初三年级抽取多少名? (3)已知 y≥245,z≥245,求初三年级中女生比男生多的概率.

15.下表数据是退水温度 x(℃ )对黄硐延长性 y(%)效应的试验结果,y 是以延长度计算的, 且对于给定的 x,y 为正态变量,其方差与 x 无关. x(℃ ) y(%) 300 40 400 50 500 55 600 60 700 67 800 70

画出散点图,并求 y 对 x 的线性回归方程.

6

高二寒假作业(四)[数学必修四]
一、选择题: 1. 下列命题中正确的是( A.第一象限角必是锐角 C.相等的角终边必相同 )

年 月



天气:

B.终边相同的角相等 D.不相等的角其终边必不相同 )

2.已知角 ? 的终边过点 P?? 4m, ? , ?m ? 0 ? ,则 2 sin ? ? cos ? 的值是( 3m A.1 或-1 B.

2 2 或 ? 5 5

? ?

C.1 或 ?

2 5

D.-1 或

2 5

3. 下列命题正确的是(
? ? ? ?

A 若 a ? b = a ? c ,则 b = c C 若 a // b , b // c ,则 a // c
? ? ? ? ? ?

B 若 | a ? b | ?| a ? b | ,则 a ? b =0 D 若 a 与 b 是单位向量,则 a ? b =1
? ? ? ?

?

?

4. 计算下列几个式子,① tan 25? ? tan 35? ? 3 tan 25? tan 35? ,
1 ? tan15? 1 ? tan15?

tan

?
6

② 2(sin35 cos25 +sin55 cos65 ), ③

, ④

1 ? tan2

?
6

,结果为

3 的是

( A.①②

) B. ①③

C. ①②③

D. ①②③④

? -2x)的单调递增区间是 ( ) 4 ? 5 3 ? A.[kπ+ ,kπ+ π] B.[kπ- π,kπ+ ] 8 8 8 8 ? 5 3 ? C.[2kπ+ ,2kπ+ π] D.[2kπ- π,2kπ+ ](以上 k∈ Z) 8 8 8 8
5. 函数 y=cos( 6. △ABC 中三个内角为 A、B、C,若关于 x 的方程 x2 ? x cos A cos B ? cos2 则△ABC 一定是( ) A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C ? 0 有一根为 1, 2

C. 锐角三角形

D. 钝角三角形

? 1 ? 7. 将函数 f ( x) ? sin(2 x ? ) 的图像左移 , 再将图像上各点横坐标压缩到原来的 , 则所得 3 2 3

到的图象的解析式为( A y ? sin x

) C y ? sin(4 x ? ) D 2cos5
2? ) 3

? B y ? sin(4 x ? ) 3

? D y ? sin(x ? ) 3

8. 化简 1? sin10 + 1? sin10 ,得到( A -2sin5 B -2cos5 9. 函数 f(x)=sin2x?cos2x 是 ( C 2sin5 )

7

A 周期为π 的偶函数 B 周期为π 的奇函数 C 周期为

? ? 的偶函数 D 周期为 的奇函数. 2 2

10. 若| a |? 2 , | b |? 2 且( a ? b )⊥ a ,则 a 与 b 的夹角是 (A)





? 6

(B)

? 4
??

(C)
?

? 3
??
?

(D)
??

5 ? 12

11. 正方形 ABCD 的边长为 1,记 AB = a , BC = b , AC = c ,则下列结论错误的是
? ? ? ? ? ? ?

?

c A.( a - b )· =0
? ? ? ? ?

a B.( a + b - c )· =0

C.(| a - c | -| b |) a = 0

D.| a + b + c |= 2

?

?

?

12. 2002 年 8 月,在北京召开的国际数学家大会会标如图所示,它是由 4 个相同的直角三角 形与中间的小正方形拼成的一大正方形,若直角三角形中较小的锐 角为? ,大正方形的面积是 1,小正方形的面积是

1 , 则 sin 2 ? ? cos 2 ? 的值等于( ) 25 24 7 7 A.1 B. ? C. D.- 25 25 25
二、解答题: 13.化简

1 ? sin x ? cos x

sin 2 x 2 cos
2

(

?

4

?

x ) 2

14. 已知 值.

? 3? 5 ? 3 ? 3? ? ?) ? ,求 sin ?? ? ? ? 的 ??? ,0 ? ? ? ,cos( ? ? ) ? ? ,sin( 4 4 13 4 5 4 4

15. 已知向量 a ? (cos

3x 3x x x ,sin ) , b ? (cos ,? sin ) , c ? ( 3,? 1) ,其中 x ? R . 2 2 2 2
(Ⅱ)求 | a ? c | 的最大值.

(Ⅰ)当 a ? b 时,求 x 值的集合;

8

16. 已知函数 y= 4cos2x+4 3 sinxcosx-2,(x∈R) 。 (1)求函数的最小正周期; (2)求函数的最大值及其相对应的 x 值; (3)写出函数的单调增区间; (4)写出函数的对称轴。

17. 设函数 f ? x ? ? sin ?? x ? ? ? ? ? ? 0, ? ① f ? x ? 的图象关于直线 x ? ?

? ?

?
2

?? ?

??

? ,给出下列三个论断: 2?

?
6

对称;② f ? x ? 的周期为 ? ; ③ f ? x ? 的图象关于点

?? ? ? , 0 ? 对称. ? 12 ?
以其中的两个论断为条件,余下的一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题,并对 该命题加以证明.

9

高二寒假作业(五)[数学必修五]

年 月



天气:

一.选择题 1.不在 3x+ 2y < 6 表示的平面区域内的一个点是( ) A(0,0) B(1,1) C(0,2) D (2,0) 2.如果 a、x1、x2、b 成等差数列,a、y1、y2、b 成等比数列,那么 x A
a?b ab
1

? x2 y1 y2

等于(



B b?a
ab

C

ab a?b

D

a?b a ?b

3.若 b ? 0 ? a, d ? c ? 0 ,则 ( A bd ? ac B

) D a?c ?b?d ) D 第 11 项

a b ? c d

C a?c ?b?d

4.数列 2, 5,2 2, 11,…, 则 2 5 是该数列的( A 第6项 B 第7项 C 第 10 项

5. 抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的两个交点为( ? 2 , 0), ( 2 , 0), ax2+bx+c>0 的解的情 则 况是( ) B x> 2 或 x< ? 2 C x≠± 2 D 不确定,与 a 的符号有关 )

A ? 2 <x< 2

6. 若 0 ? a ? b 且 a ? b ? 1 ,则下列四个数中最大的是 ( A

1 B b C 2ab D a 2 ? b2 2 7.如图,为了测量隧道两口之间 AB 的长度,对给出的四组数据, 计算时要求最简便, 测量时要求最容易, 应当采用的一组是 ( )
A. a, b, ? B. a, b,? C. a, b, ? D. ? , ? , a ) D

8.已知 x ? 2 y ? 1 ,则 2 x ? 4 y 的最小值为( A 8 B 6 C

2 2

3 2
Y

9.给出平面区域如图所示,其中 A(1,1) ,B(2,5) ,C(4,3) ,若使目标

( 函 数 Z ? a x? y a? 0 )取 得 最 大 值 的 最 优 解 有 无 穷 多 个 , 则 a 的 值 是
( A )

B C

2 3

B 1

C 4

D ) 个。

3 2
0

A

X

10.下列函数中,最小值为 4 的有(

10

x 4 4 (0 ? x ? ? ) ③ y ? e ② y ? sin x ? x sin x A.4 B.3 C.2 D.1 二.填空题

① y? x?

? 4e? x ④ y ? log3 x ? 4log x 3

11.不等式 3 ? 2 x ? x ? 0 的解集是
2

。 。

12.在 ?ABC 中, B ? 45? , C ? 60? , c ? 6 ,则最短边的长是
? x ?? 13.约束条件 ? ?3 ? y ? 2 构成的区域的面积是 ? ? x2 ? y2 ? 4 ?

平方单位。

14.等差数列{an}中,Sn 是它的前 n 项之和,且 S6<S7,S7>S8,则 ① 比数列的公差 d<0 ② 一定小于 S6 S9 ③ 是各项中最大的一项 a7 ④ 一定是 Sn 中的最大值 S7 其中正确的是 (填入你认为正确的所有序号) 。 三.解答题 15.在等比数列 ?an ? 中, a5 ? 162 ,公比 q ? 3 ,前 n 项和 Sn ? 242 ,求首项 a1 和项数 n .

? 1 ? 16.若不等式 ax2 ? 5 x ? 2 ? 0 的解集是 ?x ? x ? 2? ,求不等式 ax2 ? 5 x ? a 2 ? 1 ? 0 的解集. ? 2 ?

17.某工厂要建造一个无盖长方体水池,底面一边长固定为 8 m ,最大装水量为 72 m ,池 底和池壁的造价分别为 2a 元 / m 、 a 元 / m ,怎样设计水池底的另一边长和水池的高,才 能使水池的总造价最低?最低造价是多少?
2 2

3

11

高二寒假作业(六)[数学选修 2-1]
一、选择题:







天气:

1.给出命题:p: 3 ? 1 ,q: 4 ? {2,3} ,则在下列三个命题: 且 q” “p 或 q” “非 p” “p 中,真命题的个数为( A.0 B.3 ) C.2 D.1 )

5 3 2.若椭圆的两焦点为(-2,0)和(2,0) ,且椭圆过点 ( ,? ) ,则椭圆方程是( 2 2
2 2 A. y ? x ? 1

2 2 2 2 2 2 B. y ? x ? 1 C. y ? x ? 1 D. x ? y ? 1 10 6 4 8 8 4 10 6 3. “m=-2”是“直线(m+2)x+3my+1=0 与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0 相互垂直”的 ( ) A.充分必要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也 不必要条件

4.给出下列三个命题:①若 a ? b ? ?1 ,则 a ? b ;②若正整数 m 和 n 满足 m ? n ,则
1? a 1? b

m( n ? m) ?

n ;③设 P( x1 , y1 ) 为圆 O1 : x 2 ? y 2 ? 9 上任一点,圆 O2 以 Q(a, b) 为圆心且半径 2

为 1.当 (a ? x1 ) 2 ? (b ? y1 ) 2 ? 1 时,圆 O1 与圆 O2 相切;其中假命题的个数为( A.0
2



B.1
2

C.2

D.3 )

5.双曲线 x ? y ? ?1 的渐近线方程是(

4

9

A. y ? ?

3 x 2

B. y ? ?

2 x 3

C. y ? ?

9 x 4

D. y ? ?

4 x 9

6.已知 M(-2,0),N(2,0),|PM|-|PN|=4,则动点 P 的轨迹是( ) A.双曲线 B.双曲线左支 C.一条射线 D.双曲线右支 7.如果方程 x2+ky2=2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是 ( A. (0,+∞) B. (0,2) C. (1,+∞) D. (0,1) 8.已知向量 a ? ( 2,?3,5) 与向量 b ? (?4, x, y ) 平行,则 x,y 的值分别是( )



A.6 和-10 B.–6 和 10 C.–6 和-10 D.6 和 10 9. 已知 ABCD 是平行四边形,且 A (4,1,3) (2,-5,1) (3,7,-5) ,B ,C ,则顶点 D 的坐标为 ( A. (1,1,-7) B. (5,3,1) C. (-3,1,5) D. (5,13,-3) 3x ? 4 y ? 6 10.方程 ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 表示的曲线为( ) 5 A.抛物线 B.椭圆 C.双曲线 D.圆 11.已知双曲线方程为 x 2 ? L 的条数共有( )



y2 ? 1 ,过 P(2,?1) 的直线 L 与双曲线只有一个公共点,则直线 4

12

A.4 条 B.3 条 C.2 条 D.1 条 12.有 4 个命题: (1)没有男生爱踢足球; (2)所有男生都不爱踢足球; (3)至少有一个男 生不爱踢足球;4) ( 所有女生都爱踢足球; 其中是命题 “所有男生都爱踢足球” 的否定是 ( ) A. (1) B. (2) C. (3) D. (4) 二、填空题: 13. 已知双曲线 为

x2 y2 ? ? 1 的一条渐近线方程为 4 x ? 3 y ? 0 ,则双曲线的离心率 a2 b2


14.直线 l 过抛物线 x ? ay2 (a>0)的焦点,并且与 x 轴垂直,若 l 被抛物线截得的线段长为 4,则 a= .

15.已知下列命题( a , b, c 是非零向量) (1)若 a ? b ? a ? c ,则 b ? c ; (2)若 a ? b ? k , 则a ?

k ; (3) (a ? b)c ? a(b ? c) 。 则假命题的个数为___________。 b
??? ? ??? ? ????

16.已知向量 OA ? ( k,12,1),OB ? (4, 5,1), ? ? k ,10,1) ,且 A、B、C 三点共线,则 OC ( k= . 三、解答题:
17.如果正△ABC 中,D∈AB,E∈AC,向量 DE

????

?

? 1 ??? BC ,求以 B,C 为焦点且过点 D,E 的双曲线的离心率. 2

18. 设 p :指数函数

y ? c x 在 R 上是减函数;q: 1 ? 2c ? 0 。若 p∨q 是真命题,

p∧q 是假命题,求 c 的取值范围。

19.已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0) ,右顶点为 ( (1) 求双曲线 C 的方程; (2) 若直线 l: y

3,0) 。

? kx ? 2 与双曲线 C 恒有两

个不同的交点 A 和 B,且 OA ? OB ? 2(其中 O 为原点) ,求 k 的取值范围。

13

高二寒假作业(七)[数学选修 2-1]
一、选择题 1、(x+1)(x+2)>0 是(x+1)( x +2)>0 的( )条件
2







天气:

A 必要不充分 B 充要 C 充分不必要 D 既不充分也不必要 2、已知 p 是 r 的充分不必要条件,s 是 r 的必要条件,q 是 s 的必要条件,那么 p 是 q 成立 的( )条件 A 必要不充分 B 充分不必要 C 充要 D 既不充分也不必要 3、已知 A? 2, ?5,1? , B ? 2, ?2, 4? , C ?1, ?4,1? ,则向量 AB与AC 的夹角为( A

??? ??? ? ?



30 0

B

450

C

60 0

D

90 0

4、O、A、B、C 为空间四个点,又 OA 、 OB 、 OC 为空间的一个基底,则( ) A O、A、B、C 四点共线 B O、A、B、C 四点共面 C O、A、B、C 四点中任三点不共线 D O、A、B、C 四点不共面 5、给出下列关于互不相同的直线 m、l、n 和平面α 、β 的四个命题: ①若 m ? ? , l ? ? ? A, 点A ? m, 则l与m不共面 ; ②若 m、l 是异面直线, l // ? , m // ? , 且n ? l , n ? m, 则n ? ? ; ③若 l // ? , m // ? , ? // ? , 则l // m ; ④若 l ? ? , m ? ? , l ? m ? 点A, l // ? , m // ? , 则? // ? . 其中为假命题的是 ( ) A ① B ② C ③ D ④ 6、已知高为 3 的直棱柱 ABC—A′B′C′的底面是边长为 1 的 正三角形(如图 1 所示) ,则三棱锥 B′—ABC 的体积为( ) A

1 4

B

1 2

C

3 6

D

3 4

2 2 x 轴上的椭圆 x ? y ? 1 的离心率为 1 ,则 m=( ) 7、若焦点在 2 2 m

A

3

B

3 2

C

8 3

D

2 3

8、已知 P ? ?3cos ? ,3sin ? ,1? 和Q ? ? 2cos ? ,2sin ? ,1? ,则 PQ 的取值范围是( )
14

A

?1,5?

B

?1,5?

C

?0,5?

D

?0, 25?

9、 已知椭圆 距离是( A 8 ) B

x2 y2 ? ? 1 上一点 P 到它的右准线的距离为 10, 则点 P 到它的左焦点的 100 36
10 C 12 D 14

10、与双曲线

x2 y2 ? ? 1有共同的渐近线,且经过点 ? 3,2 3 的双曲线的一个焦点到 9 16
D 8

?

?

一条渐近线的距离是( ) A 1 B 2 C 4

11、若抛物线 y 2 ? 8x 上一点 P 到准线和抛物线的对称轴的距离分别为 10 和 6 ,则此点 P 的横坐标为( ) A 10 B 9 C 8 D 非上述答案 12、已知坐标满足方程 F(x,y)=0 的点都在曲线 C 上,那么( ) A 曲线 C 上的点的坐标都适合方程 F(x,y)=0; B 凡坐标不适合 F(x,y)=0 的点都不在 C 上; C 不在 C 上的点的坐标不必适合 F(x,y)=0; D 不在 C 上的点的坐标有些适合 F(x,y)=0,有些不适合 F(x,y)=0。 二、填空题 13、已知四面体 A—BCD,设 AB ? a , BC ? b , CD ? c , DA ? d ,E、F 分别为 AC、 BD 中点,则 EF 可用 a b c d 表示为___________. 、 、、 14、 “若 A 则 B”为真命题,而“若 B 则 C”的逆否命题为真命题,且“若 A 则 B”是“若 C 则 D” 的充分条件, “若 D 则 E” “若 B 则 C” 而 是 的充要条件, 则┐B 是┐E 的 条 件;A 是 E 的 条件。 (填“充分” “必要”“充要”或“既不充分也不必要” ) 、

x2 y2 15、设双曲线 2 ? 2 ? 1 的一条准线与两条渐近线交于 A、B 两点,相应的焦点为 F,若 a b
以 AB 为直径的圆恰好过 F 点,则离心率为 16、抛物线 y ? 8x 上一点 P 到其焦点的距离为 9,则其横坐标为_______。
2

三、解答题 17、已知顶点在原点, 焦点在 x 轴上的抛物线被直线 y=2x+1 截得的弦长为 15 。 求抛物线的方程.

15

18、已知

x 2 y2 + =1 的焦点 F1、F2,在直线 l:x+y-6=0 上找一点 M, 5 9

求以 F1、F2 为焦点,通过点 M 且长轴最短的椭圆方程.

19、A 是△BCD 所在平面外一点,M、N 分别是△ABC 和△ACD 的重心.若 BD=4,试求 MN 的长.

y2 ? 1。 A 20、 给定双曲线 x ? 过 (2, 的直线与双曲线交于两点 P1 及 P2 , 1) 求线段 P1 P2 2
2

的中点 P 的轨迹方程.

16

高二寒假作业(八)[数学选修 2-1]







天气:

一、选择题 1.平面??外有两条直线 m 和 n,如果 m 和 n 在平面??内的射影分别是 m'和 n' ,给出下列 四个命题:①m'⊥n' ? m⊥n;②m⊥n ? m'⊥n' ;③m'与 n'相交 ? m 与 n 相交 或重合;④m'与 n'平行 ? m 与 n 平行或重合,其中不正确的命题个数是( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 2 2.抛物线 y =4x 上的点 A 到其焦点的距离是 6,则点 A 的横坐标是( ) (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 3.若椭圆

x2 y2 x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,则双曲线 2 ? 2 ? 1 的离心率为( ) 2 a2 b a b
(B)

(A)

5 4

5 2

(C)

3 2

(D)

5 4
)

4.若向量(1,0,z)与向量(2,1,2)的夹角的余弦值为

2 ,则 z 等于( 3

(A)0 (B)1 (C)-1 (D)2 5.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N 分别为 A1B1,CC1 的中点,P 为 AD 上一动点, 记??为异面直线 PM 与 D1N 所成的角,则??的取值范围是( )

π π ?? ? } 6 2 π π π π (C) {? | ? ? ? } (D) {? | ? ? ? } 4 2 3 2 1 6.已知??是三角形的一个内角,且 sin ? ? cos ? ? ,则方程 x2sin??-y2cos??=1 表示( ) 5
(A) { } (B) {? | (A)焦点在 x 轴上的双曲线 (C)焦点在 x 轴上的椭圆 7.如图,在正四棱锥 P-ABCD 中, PA ? (B)焦点在 y 轴上的双曲线 (D)焦点在 y 轴上的椭圆

π 2

3 AB,E 是 AB 的中点,G 是△PCD 的重心, 2
)

则在平面 PCD 内过 G 点且与 PE 垂直的直线有(

17

(A)0 条 (B)1 条 (C)2 条 (D)无数条 x 2 8.设 p:f(x)=e +lnx+2x +mx+1 在(0,+∞)内单调递增,q:m≥-5,则 p 是 q 的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 9.已知 A(4,1,3),B(2,3,1),C(3,7,-5),点 P(x,-1,3)在平面 ABC 内,则 x 的 值为( ) (A)-4 (B)1 (C)10 (D)11 10. 命题 p: 函数 f ( x) ? sin( 2 x ? ) ? 1 满足 f (

π 6

π π ? x) ? f ( ? x) , 命题 q: 函数 g(x)=sin(2x 3 3

+??)+1 可能是奇函数(??为常数).则复合命题“p 或 q” 且 q” “p “非 q”为真命题的个 数为( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 11.如图所示,已知正四面体 A-BCD 中,AE= 角的余弦值为( )

1 1 AB,CF= CD 则直线 DE 和 BF 所成 4 4

(A)

4 13 4 13

(B)

3 13 3 13

(C) ?

(D) ?

12.设抛物线 y3=8x 的准线与 x 轴交于点 Q,若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点,则直 线 l 的斜率的取值范围是( ) (A) [? , ]

1 1 2 2

(B)[-2,2]

(C)[-1,1]

(D)[-4,4]

二、填空题 13.已知空间四边形 OABC,如图所示,其对角线为 OB,AC.M,N 分别为 OA,BC 的中 点,点 G 在线段 MN 上,且 MG ? 2GN ,现用基向量 OA, OB, OC 表示向量 OG ,并 设 OG ? xOA ? yOB ? zOC ,则 x,y,z 之和为______.

14.已知椭圆 x2+2y2=12,A 是 x 轴正方向上的一定点,若过点 A,斜率为 1 的直线被椭圆

18

截得的弦长为

4 14 ,则点 A 的坐标是______. 3

15.如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是 C1C 的中点,则 BE 与平面 B1BD 所成角 的余弦值为______.

16.已知双曲线的离心率为 2,焦点是(-4,0),(4,0),则双曲线方程为______. 三、解答题 17.设命题 p:函数 f ( x) ? ln

{x||x+2a|≥a, a>0}满足 A ? B, 如果 p 和 q 有且仅有一个正确, a 的取值范围. 求

a?x 是奇函数,命题 q:集合 A={x‖x|≤1,x∈R},B= 1? x

18.如图,棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1,E,F,G 分别是 DD1,BD,BB1 的中点.

(1)求证:EF⊥CF; (2)求 EF 与 CG 所成角的余弦值; (3)求 CE 的长.

19.在直角坐标平面上给定一曲线 y2=2x.设点 A 的坐标为 ( ,0) ,求曲线上距点 A 最近的 点 P 的坐标及相应的距离|PA|.

2 3

19

高二寒假数学作业参考答案
(一)
一、选择题 1-5:ACDBB 二、填空题 6:

[2,3]

7:43

8: (5, ??)

9: ( ??, 2]

三、简答题 10: 解:原试= 2log3 2 ? log3 32-log3 9) ? log3 2 ( = 2log3 2 ? (5 log3 2 = ?3log3 2 11、解: (1)
3

? 5log5 3

-2log3 3 ) ? 3log3 2 ? 3

+2 ? 3log3 2 ? 3 =-1

f (?4) =-2, f (3) =6, f [ f (?2)] = f (0) ? 0

(2)当 a ≤-1 时, a +2=10,得: a =8,不符合; 当-1< a <2 时, a 2=10,得: a = ?

10 ,不符合;

a ≥2 时,2 a =10,得 a =5,
12、解: (1) h( x) ?

所以, a =5

f ( x) ? g ( x) ? lg( x ? 2) ? lg(2 ? x)
得 ?2 ?



?x ? 2 ? 0 f ( x) ? ? ?2 ? x ? 0

x?2

所以, h( x)的定义域是(-2,2)

? f ( x)的定义域关于原点对称
h(? x) ? f (? x) ? g (? x) ? lg(2 ? x) ? lg(2 ? x) ? g ( x) ? f ( x) ? h( x) ? h( x)为偶函数
(二) 一、选择题(8 小题,每小题 4 分,共 32 分) 1C, 2C, 3B , 4C , 5A 二、填空题(6 小题,每小题 4 分,共 24 分)

6.

z ? ?1或11 ;

7. ① ④ ③ ;

8.

? 6 ? , 3? ? ? ? 2 ?
3 . 4



三、解答题(4 大题,共 44 分) 9.已知直线 l 经过点 P(?2,5) ,且斜率为 ? (Ⅰ )求直线 l 的方程; (Ⅱ )求与直线 l 切于点(2,2) ,圆心在直线

x ? y ? 11 ? 0 上的圆的方程.

20

3 y ? 5 ? ? ( x ? 2), 4 解析: )由直线方程的点斜式,得 (Ⅰ
整理,得所求直线方程为

3x ? 4 y ? 14 ? 0.

……………4 分 ……………5 分

(Ⅱ )过点(2,2)与 l 垂直的直线方程为

4x ? 3 y ? 2 ? 0 ,

? x ? y ? 11 ? 0, ? 4 x ? 3 y ? 2 ? 0. 由? 得圆心为(5,6) ……………7 分 ,
∴ 半径

R ? (5 ? 2)2 ? (6 ? 2)2 ? 5



……………9 分 ………10 分

故所求圆的方程为

( x ? 5)2 ? ( y ? 6)2 ? 25 .

10. 解析: )在直三棱柱 (Ⅰ 侧面 BB1C1C ⊥ 底面 ∵ ABC =90° ∠ ,即 ∴ AB ∵CB1 ∵ ∴

ABC ? A1 B1C1 中,
ABC = BC ,

ABC

,且侧面 BB1C1C ∩底面

AB ? BC ,

? 平面 BB1C1C

? 平面 BB1C1C ,∴CB1 ? AB .

……2 分

BC ? CC1 , CC1 ? BC ,∴BCC1 B1 是正方形,

CB1 ? BC1 ,∴CB ? 平面ABC . …………… 4 分 1 1

(Ⅱ )取 在△

AC1 的中点 F ,连 BF 、 NF
、 F 是中点,

. ………………5 分

AA1C1 中, N

∴ NF // 分

AA1 , NF ?

1 1 AA1 ,又∵BM // AA , BM ? AA1 ,∴NF // BM , NF ? BM 1 2 2

, ………6

故四边形 BMNF 是平行四边形,∴MN 而 BF

// BF

,…………8 分 ……10 分

? 面 ABC1 , MN ? 平面 ABC1 ,∴MN // 面 ABC1
2

11.已知圆 x

? y 2 ? 2x ? 4 y ? m ? 0 .

(1)此方程表示圆,求 m 的取值范围; (2)若(1)中的圆与直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 相交于 M 、 N 两点,且 OM 值; (3)在(2)的条件下,求以 MN 为直径的圆的方程.

? ON

( O 为坐标原点),求 m 的

21

解析:(1)方程 x

2

? y 2 ? 2x ? 4 y ? m ? 0 ,可化为

(x-1)2+(y-2)2=5-m, ∵ 此方程表示圆, ∴ 5-m>0,即 m<5. ?x2+y2-2x-4y+m=0, (2)? ?x+2y-4=0, 消去 x 得(4-2y)2+y2-2× (4-2y)-4y+m=0, 化简得 5y2-16y+m+8=0.

?y1+y2=16, ? 5 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则? m+8 ?y1y2= 5 . ?
由 OM⊥ 得 y1y2+x1x2=0, ON ∴ 16-8(y1+y2)+5y1y2=0.

① ②

即 y1y2+(4-2y1)(4-2y2)=0,

将① 两式代入上式得 ②

m+8 16 8 16-8× +5× =0,解之得 m= . 5 5 5 8 (3)由 m= ,代入 5y2-16y+m+8=0, 5 化简整理得 25y2-80y+48=0,解得 y1= 4 12 ∴ x1=4-2y1=- ,x2=4-2y2= . 5 5 4 8 ∴MN 的中点 C 的坐标为 5,5 . 12 4 ,y2= . 5 5 ∴M

(-4,12), N (12,4), 5 5 5 5

( )

又|MN|=

(12+4)2+(4-12)2=8 5 5, 5 5 5 5
4 8 16 ∴ 所求圆的方程为 x-5 2+ y-5 2= . 5

4 5 ∴ 所求圆的半径为 . 5 (三) 一、选择题 二、填空题 三、解答题

( ) ( )

1-5 BBCBB 11.-3 或 4

6-10 DACBA 12. 16 件

13.解:由 f(x)=(( ((4x+0)x﹣3)x+2)x+5)x+1 ∴v0=4 v1=4× 2+0=8 v2=8× 2﹣3=13 v3=13× 2+2=28 v4=28× 2+5=61 v5=61× 2+1=123 故这个多项式当 x=2 时的值为 123. 14.[解析] x (1)∵ =0.19,∴ x=380. 2000

(2)初三年级人数为 y+z=2000-(373+377+380+370)=500,

22

现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生,应在初三年级抽取的人数为:

48 × 500=12 名. 2000

(3)设初三年级女生比男生多的事件为 A,初三年级女生、男生数记为(y,z), 由(2)知 y+z=500,且 y、z∈ N, 基本事件有:(245,255)、(246,254)、(247,253),…,(255,245)共 11 个, 事件 A 包含的基本事件有:(251,249)、(252,248)、(253,247)、(254,246)、(255,245)共 5 个, 5 ∴ P(A)= . 11 15.[解析] 散点图如下:

由散点图可以看出样本点分布在一条直线的附近. 列出下表并用科学计算器进行有关计算.

i xi yi xiyi x2 i - x =550 6

1 300 40 12000 90000 - y =57

2 400 50 20000 160000

3 500 55 27500 250000

4 600 60 36000 360000

5 700 67 46900 490000

6 800 70 56000 640000

i ?x2=1990000 i=1

?xiyi=198400
i=1

6

?xiyi-6 x
i=1 于是可得 b= 6 i ?x2-6 x 2 i=1

6

y = 198400-6× 550× 57 1990000-6× 5502

≈0.05886. - - a= y -b x =57-0.05886× 550=27.57. ^ 因此所求的回归直线的方程为:y=0.05886x+27.57.

(四) 一、选择题:

23

1 C 二、解答题: 13. (1)2sinx

2 B

3 B

4 C

5 B

6 B

7 B

8 A

9 D

10 B

11 D

12 D

14.-

63 65

15.(1) ? x |

? ?

?
4

?

k? ? ,k ? Z? 2 ?

(2) 3

16.(1)T= ? (3) [?

(2)

y?

?
6

? k? (k ? Z ), y max ? 4
(4)对称轴 x

?
3

? k? ,

?
6

? k? ], (k ? Z )

?

?
6

?

17.由①② ? ③或由②③ ? ① (五) 一.选择题 题目 答案 二.填空题 11 1 D 2 A 3 C 4 B 5 D 6 B

k? 2

, k ? Z) (

7 A

8 C

9 A

10 D

? ??, ?3? ??1, ??? , 12

2

,13

6?

,14 ①②④ 。

三.解答题 15.解:由已知,得

?a1 ? 35?1 ? 162, ? ? a1 (1 ? 3n ) ? 242, ? ? 1? 3
由①得 81a1

① ②

? 162 ,解得 a1 ? 2 .
2(1 ? 3n ) ? 242 1? 3
n=5. ,

将 a1

? 2 代入②得



3n ? 243 ,解得

∴数列

?an ? 的首项 a1 ? 2 ,项数 n=5.
1 ? 0 ,且 , 2 是方程 ax 2 ? 5x ? 2 ? 0 的两个根,?3 分 2

16.解:由已知条件可知 a

? 5 5 ?? ? 由根与系数的关系得 ? a 2 ,解得 a ? ?2 ? ? ? 2 ?1 ? a ?
2 2 所以 ax ? 5 x ? a ? 1 ? 0 变为 2 x

2

? 5x ? 3 ? 0

24

? 2x ?1?? x ? 3? ? 0
? ?3 ? x ? 1 2

2 2 即不等式 ax ? 5 x ? a ? 1 ? 0 的解集是 ? x | ?3 ?

? ?

1? x? ? 2?

17.解:设池底一边长为 x ,水池的高为

y ,池底、池壁造价分别为 z1 , z2 ,则总造价为

z ? z1 ? z2
由最大装水量知 8 xy

? 72 ,? y ?

9 x

? z1 ? 2a ? 8x ? 16ax
z2 ? 2 ? a ? xy ? 2 ? a ? 8 y ? 18a ? 144a x

144 ? ? ? z ? 18a ? a ?16 x ? ? x ? ?

x?0

? 18a ? 2a 16 x ?
当且仅当 16x

144 ? 18a ? 96a ? 114a x

144 9 即 x ? 3, y ? ? 3 时,总造价最低, zmin ? 114a x x 答:将水池底的矩形另一边和长方体高都设计为 3m 时,总造价最低,最低造价为 51a 元。 ?
(六) 一、选择题 二、填空题 13.e1, e2; 14.4; 三、解答题 17.解: 15.3; 16. ? DDBBA CDADA CC

2 3

3 ?1
∴p 真 q 假 或 q 假 p 真

18.解:∵p∨q 是真命题,p∧q 是假命题,

?p

:指数函数

y ? c x 在 R 上不是减函数,即增函数; ? q: 1 ? 2c ? 0
1 ? ? 0 ? c ? 或c>1? 2 ? ?

?0<c<1, ?c>1, ? ? ∴? 1 或? 1 ?c ? 2 ?c ? 2 ? ?

所以 c 的取值范围是 ?c

25

19.解: (Ⅰ)设双曲线方程为

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0). a 2 b2 x2 ? y 2 ? 1. 3

由已知得 a

? 3, c ? 2, 再由a 2 ? b 2 ? 22 , 得b 2 ? 1. 故双曲线 C 的方程为

(Ⅱ)将

y ? kx ? 2代入

x2 ? y 2 ? 1得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6 2kx ? 9 ? 0. 3
?1 ? 3k 2 ? 0, ?
2 2 2 ?? ? (6 2k ) ? 36(1 ? 3k ) ? 36(1 ? k ) ? 0. ?

由直线 l 与双曲线交于不同的两点得 ?

即k

2

1 ? 且k 2 ? 1. 3



设 A( x A , y A ), B( x B , y B ) ,则

xA ? xB ?
而 xA xB

??? ??? ? ? 6 2k ?9 , xA xB ? ,由OA ? OB ? 2得x A xB ? y A yB ? 2, 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k

? yA yB ? xA xB ? (kxA ? 2)(kxB ? 2) ? (k 2 ?1) xA xB ? 2k ( xA ? xB ) ? 2

?9 6 2k 3k 2 ? 7 ? (k ? 1) ? 2k ?2? 2 . 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 3k ? 1
2

于是

3k 2 ? 7 ?3k 2 ? 9 1 ? 2,即 ? 0, 解此不等式得 ? k 2 ? 3. 2 2 3 3k ? 1 3k ? 1
1 ? k 2 ? 1. 3
故 k 的取值范围为 (?1, ?



由①、②得

3 3 ) ? ( ,1). 3 3

(七)
一、选择题 题目 答案 二、填空题 13、 1 A 2 B 3 C 4 D 5 C 6 D 7 B 8 A 9 C 10 B 11 D 12 C

1 2

(a ? c)

14、必要

充分

15、

2

16、7

三、解答题(共 74 分) 17、 (12 分)已知顶点在原点, 焦点在 x 轴上的抛物线被直线 y=2x+1 截得的弦长为 求抛物线的方程. 解:依题意可设抛物线方程为: ,与直线 y=2x+1 截得的弦为 AB; y 2 ? ax (a 可正可负)

15 。

则可设 A(x1,y1) 、B(x2,y2)联立 ?

? y 2 ? ax ? y ? 2x ?1

得 4x

2

? (4 ? a ) x ? 1 ? 0

26

即:

x1 ? x 2 ? ?

4?a 4

x1 x 2 ?

1 4

AB ? (k 2 ? 1)[(x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ] ? 5[(?
得:a=12 或-4 所以抛物线方程为

4?a 2 ) ? 1] ? 15 4

y 2 ? 12x 或 y 2 ? ?4 x
y2 + 5
=1 的焦点 F1、F2,在直线 l:x+y-6=0 上找一点 M,

x2 18、 (12 分)已知 9

求以 F1、F2 为焦点,通过点 M 且长轴最短的椭圆方程.

解:由

x2 y2 ? ? 1 ,得 F (2,0) (-2,0) 关于直线 l 的对称点 F ,F ,F 9 5
1 2 1 /

/ 1

(6,4) ,连 F1 F2 交 l 于一

/

点,即为所求的点 M,∴2a=|MF1|+|MF2|=|F1 F2|=4

5 ,∴a=2 5 ,又 c=2,∴b =16,故所求椭圆方

2

程为

x2 y2 ? ? 1. 20 16

19、 (12 分)A 是△BCD 所在平面外一点,M、N 分别是△ABC 和△ACD 的重心.若 BD=4,试求 MN 的长.

解:连结 AM 并延长与 BC 相交于 E,又连结 AN 并延长与 CD 相交于 E,则 E、F 分别为 BC 及 CD 之中点. 现在 MN =

AN ? AM ?

2 2 AF ? AE 3 3

=

2 2 2 1 ( AF ? AE ) ? EF = (CF ? CE ) = 2 ( 1 CD ? 1 CB) ? 1 (CD ? CB) = BD 3 3 3 3 3 2 2 3
1 1 | BD |= 3 3
2

∴MN=| MN |=

BD=

4 3

20、 (12 分)给定双曲线 x 的中点 P 的轨迹方程.

?

y2 ? 1 。过 A(2,1)的直线与双曲线交于两点 P1 及 P2 ,求线段 P1 P2 2

解:设 P1 ( x1 ,

2 y1 ) , P2 ( x 2 , y 2 ) 代入方程得 x1 ?

2 y1 y2 2 ? 1, x2 ? 2 ? 1. 2 2

27

两式相减得:

1 ( x1 ? x 2 )( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ? 0 。 2

又设中点 P(x,y) ,将 x1

? x 2 ? 2 x , y1 ? y 2 ? 2 y 代入,当 x1 ? x 2 时得
代入得 2 x
2

2x ?
当弦

y ? y2 y ?1 2 y y1 ? y 2 , ? ? 0 。又 k ? 1 ? 2 x1 ? x 2 x1 ? x 2 x ? 2

? y 2 ? 4x ? y ? 0 。

P P 斜率不存在时,其中点 P(2,0)的坐标也满足上述方程。因此所求轨迹方程 1 2

8( x ? 1) 2 是 ? 7
(八)
一、选择题 1.D 2.A 3.B

1 4( y ? ) 2 2 ? 1。 7

4.A

5.A 点拨:取 C1D1 中点 E,连结 ME,DE,AM,则四边形 AMED 为矩形,PM ? 面 AMED,可证 D1N ⊥DE,D1N⊥AD,故 D1N⊥面 AMED,又 PM 90°.故选 A. 6.D 点拨:由 sin?+cos?=

? 面 AMED,所以 D1N⊥PM,故 PM 与 D1N 所成角为
,所以 sin2?= ?

1 1 ,得 1+sin2?= 5 25

24 25

,所以 π

? 2? ? 2π ,所以

π ? ? ? π ,所以 2
由 sin?? cos? =

sin??>0,cos??<0,-cos??>0,因此方程

x2 y2 ? ? 1 表示椭圆.又 1 1 ? sin ? cos?
,所以 sin?? >-cos?? >0,所以

1 π 3π ? 知,sin?? >|cos?? |,所以 ? ? ? 2 4 5
,所以椭圆的焦点在 y 轴上.应选 D.

1 1 ?? sin? cos?
7.D

点拨:取 CD 的中点 F,设 AB=1,则 PE=PF=

2 2

,EF=1,所以 PE⊥PF.又 PE⊥DC,DC

∩PF=F,所以 PE⊥平面 PCD. 8.A 点拨:p 中 =e
x

f ?( x) ? e x ?

1 1 ? 4 x ? m ? 0 在(0,+∞)上恒成立.m≥-( e x ? ? 4 x ),设 x x

a

?

1 ? 4 x ? e x ? 4 ? 5 则-a<-5.所以 m≥-a,所以{m|m≥-a} x

{m|m≥-5},所以

p 是 q 的充分不必要条件,故选 A. 9.D 点拨:因为 A(4,1,3),B(2,3,1),C(3,7,-5),P(x,-1,3),所以

AP =(x-4,-2,0) AB (-

2,2,-2)

AC (-1,6,-8)由于点 P 在平面 ABC 内,所以 P,A,B,C 四点共面.所以 AP , AB ,

AC 三个向量共面.故由共面向量定理,知存在有序实数对(m,n),使 AP =m AB +n AC 即(x-4,

28

? x ? 4 ? ?2 m ? n , ? m ? ? 4, ? ? -2,0)=m(-2,2,-2)+n(-1,6,-8),所以 ?? 2 ? 2m ? 6n 解得 ? n ? 1, 所以选 D. ?0 ? ?2m ? 8n ? x ? 11. ? ?
10 . C

π π f ( x) ? s i n x ? ) ? 1 的 一 条 对 称 轴 是 直 线 x ? , 则 f(x) 满 足 2( 3 6 π π f ( ? x) ? f ( ? x) ,故命题 p 为真命题;g(x)=sin(2x+??)+1 不可能是奇函数,命题 q 为假命 3 3
点 拨 : 点拨:

题,则“p 或 q” “非 q”均为真命题,故选 C. 11.A

ED ? EA ? AD ?

1 1 BA ? Ah, BF ? BC ? CF ? Br ? CD , 4 4

1 1 ( BA ? AD) ? ( BC ? CD) ED ? BF 4 4 4 ? ? . cos ? ED, BF ?? 13 1 1 | ED || BF | ( BA ? AD) 2 ( BC ? CD) 2 4 4
12.C 点拨:抛物线 y2=8x 的准线方程是 x=-2,则 Q 的坐标为(-2,0),直线 l 的斜率存在,设为 k, 则直线 l 的方程为 y=k(x+2)与抛物线方程联立得 k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,①,当 k=0 时,l 即为 x 轴,与抛物线只有一个交点(0,0);②当 k≠0 时,要使直线 l 与抛物线只有一个公共点,需?=(4k2- 8)2-4k2?4k2=0,解得 k=±1.所以 k 的取值范围是[-1,1]. 二、填空题 13.

5 1 2 1 2 1 1 点 拨 : OG ? OM ? MG ? OA ? MN ? OA ? (? OA ? OC ? CB ) 2 3 2 3 2 2 6 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 ? OA ? OA ? OC ? OB ? OC ? OA ? OB ? OC . 所 以 x ? , y ? , 2 6 3 3 3 3 3 6 3 3 5 1 z ? .所以 x ? y ? z ? . 3 6
点拨:设 A(x0,0)(x0>0),则直线 l 的方程为 y=x-x0,设直线 l 与椭圆相交于 P(x1,y1),Q(x2,
2 x0

14.(2,0)

y2)两点,由 y=x-x0 可得 3x2-4x0x+2

-12=0,由根与系数的关系,有 | =

x1 ? x2 ?

4 x0 2 x ? 12 ,x ?x ? 3 1 2 3
2 0

, 则 | x

1

- x

2

( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ?

15.

2 2 4 14 4 14 16x0 8x0 ? 48 2 2 ? ? 1 ? k 2 ? | x1 ? x2 | , 即 ? ? 36 ? 2 x0 . 所 以 3 3 9 3 3 2 2 2 2 ? ? 36 ? 2 x0 .所以 x0 ? 4 .又 x0>0,所以 x0=2,所以 A(2,0). 3 15 点拨:如图所示建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为 2,则 D(0,0,0),B(2,2,0),B1(2, 5

2,2),E(0,2,1), BD (-2,-2,0), BB (0,0,2), BE (-2,0,1). 1 设平面 B1BD 的法向量为 n=(x,y,z),因为 n ? BD ,n ? BB 1

29

所以 ?

?n ? BD ? ?2 x ? 2 y ? 0, ?

?n ? BB1 ? 2 z ? 0, ? ? x ? ? y, 所以 ? 令 y ? 1, ? z ? 0.
则 n=(-1,1,0), cos

? n, BE ??

n ? BE | n || BE |

?

10 5



设 BE 与平面 B1BD 所成角为??,则 cos ? 即 BE 与平面 B1BD 所成角的余弦值为 16.

? sin ? n, BE ??


15 5



15 5

x2 y2 ? ?1 4 12

三、解答题 17.解:函数 f(x)为奇函数,则 f(-x)=-f(x),即 f(-x)+f(x)=0.

a?x a?x 1? x ? ln ? 0 ,解得 a=±1.当 a=1 时,应满足 ? 0 ,得-1<x<1,此时 1? x 1? x 1? x ?1? x ? 0 ,不等式无解.故 a=-1 舍去.综上知,a 函数 f(x)为奇函数;当 a=-1 时,应满足 1? x
所以 ln

=1 时,f(x)为奇函数,因为 A={x|-x≤x≤1,x∈R},B={x|x≤-3a 或 x≥-a}且 A ? B(a>0), 所以-a≤-1,即当 a≥1 时,A ? B.若 p 正确,q 不正确,这样的 a 不存在.若 p 不正确,q 正确, 则 a>1,故 a>1 时,p 和 q 有且仅有一个正确. 18.(1)证明:建立如图所示的空间直有坐标系 Dxyz,则 D(0,0,0),E(0,0, 所以 EF =(

1 2

),C(0,1,0),F(

1 2



1 2

,0),G(1,1,

1 2

)

1 1 1 1 1 1 , ,- ), CF ( ,- ,0), CG (1,0, 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 EF ? CF ? ? ? ? (? ) ? (? ) ? 0 ? 0 , 2 2 2 2 2

), CE (0,-1,

1 2

).因为

所以 EF

? CF ,即 EF⊥CF.

30

(2)解:因为 EF

? CF (? 1 ?1 ? 1 ? 0 ? (? 1 ) ? 1 ? 1 ,
2 2 2 2 4

1 1 1 3 , | EF |? ( )2 ? ( )2 ? (? )2 ? 2 2 2 2 1 5 | CG |? 12 ? 02 ? ( )2 ? 2 2
所以 cos ? .

EF, CG ??

EF ? CG | EF || CG |

?

1 4 3 5 . 2 2

?

15 15

(3)解: | CE |?

1 5 . 02 ? (?1) 2 ? ( ) 2 ? 2 2
2

19.解:设 M(x,y)为曲线 y2=2x 上任意一点,则 | MA |

2 2 4 ? ( x ? )2 ? y 2 ? x2 ? x ? ? 3 3 9 1 1 1 1 4 2 ( x ? ) 2 ? 因为 x∈[0,+∞),当 x=0 时,| MA |min 2 ? ( ) 2 ? ? ,即 | MA |min ? .所 3 3 3 3 9 3 2 以距点 A 最近的点 P 的坐标为(0,0),这时 | PA |? . 3
1—4.CCBD 5.2x-2y-5=0 6.

(九)

1 2

7.小于 0 8.2.8

9.解:(1)

?x [10(20 ? ?t ) ? 5(20 ? ?t ) 2 ] ? []10 ? 20 ? 5 ? 202 ? =210+5Δ t ?t ?t

Δ t=1 时, v =215(m/s) Δ t=0.1 时, v =210.5(m/s) Δ t=0.01 时, v =210.05( m/s) (2) lim
?t ? 0

?x = lim (210+5Δ t)=210(m/s) ?t ? 0 ?t
2

10、由导数定义求得 f ' ( x) ? 3x ,

31

令 3x 2 ? 3 ,则 x=±1. 当 x=1 时, 切点为 (1, , 1) 所以该曲线在 (1, 处的切线方程为 y-1=3(x-1)即 3x-y-2=0; 1) 当 x=-1 时, 则切点坐标为 (-1, , -1) 所以该曲线在 (-1, 处的切线方程为 y+1=3(x+1) -1) 即 3x-y+2=0. 11、由导数定义得 f′(x)=2x,设曲线上 P 点的坐标为 ( x0 , y0 ) ,则该点处切线的斜率为

k p ? 2x0 ,根据夹角公式有
解得 x0 ? ?1 或 x 0 ?

2 x0 ? 3 ?1 1 ? 2 x0 ? 3

1 , 4

由 x0 ? ?1 ,得 y0 ? 1 ;

1 1 y0 ? 由 x 0 ? ,得 16 ; 4 1 1 )。 4 16 ?y f (0 ? ?x) ? f (0) ?x ? 0 ? lim? ? lim? ? 1, 12、 lim? ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x ?0 ?x ?x ?y f (0 ? ?x) ? f (0) ? ?x ? 0 l i ?m ? l i ?m ? l i ?m ? ?1 , ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x ?0 ?x ?x ?y ?y ? lim? ∵ lim? , ?x ? 0 ?x ?x ? 0 ?x ?y ∴lim 不存在. ?x ?0 ?x
则 P(-1,1)或 P( , ∴ 函数 f(x)在 x=0 处不可导. 13、可以验证点(2,0)不在曲线上,故设切点为 P( x0 , y0 ) 。

1 1 ? x ? ?x x0 ? ?x 由 y ' | x ? x0 ? lim 0 ? lim ?x ?0 ?x ?0 ?x ? ( x ? ?x) ? x ?x 0 0
? lim ?1 1 ?? 2 , x0 ( x0 ? ?x) x0

?x ?0

得所求直线方程为

y ? y0 ? ?

1 ( x ? x0 ) 。 2 x0

由点(2,0)在直线上,得 x0 y0 ? 2 ? x0 ,
2

再由 P( x0 , y0 ) 在曲线上,得 x0 y0 ? 1 ,联立可解得 x0 ? 1 , y0 ? 1 。所求直线方程为 x+y-2=0。

32

33


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