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【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学(人教A版,必修四) 第一章 三角函数 1.3(二) 课时作业]


§1.3

三角函数的诱导公式(二)

课时目标 1.借助单位圆及三角函数定义理解公式五、公式六的推导过程.2.运用公式五、公 式六进行有关计算与证明.

1.诱导公式五~六 π ? ?π ? (1)公式五:sin? ?2-α?=________;cos?2-α?=________. 以-α 替代公式五中的 α,可得公式

六. π ? ?π ? (2)公式六:sin? ?2+α?=________;cos?2+α?=________. 2.诱导公式五~六的记忆 π π -α, +α 的三角函数值,等于 α 的____________三角函数值,前面加上一个把 α 看成锐角 2 2 时原函数值的________,记忆口诀为“函数名改变,符号看象限”.

一、选择题 1.已知 f(sin x)=cos 3x,则 f(cos 10° )的值为( ) 1 1 3 3 A.- B. C.- D. 2 2 2 2 7 1 ? 2.若 sin(3π+α)=- ,则 cos ? ) ?2π-α?等于( 2 1 1 3 3 A.- B. C. D.- 2 2 2 2 π π 1 ? ? ? 3.已知 sin? ) ?α-4?=3,则 cos?4+α?的值等于( -2 2 1 1 2 2 A.- B. C. D. 3 3 3 3 π 3 ? ? ? 4.若 sin(π+α)+cos? ?2+α?=-m,则 cos?2π-α?+2sin(2π-α)的值为( 2m 2m 3m 3m A.- B. C.- D. 3 3 2 2 π 3 π ? 5.已知 cos? ) ?2+φ?= 2 ,且|φ|<2,则 tan φ 等于( 3 3 A.- B. C.- 3 D. 3 3 3 1 6.已知 cos(75° +α)= ,则 sin(α-15° )+cos(105° -α)的值是( ) 3 1 2 1 2 A. B. C.- D.- 3 3 3 3 二、填空题 π? 1 ? 7π? 7.若 sin? ?α+12?=3,则 cos?α+12?=________. 8.代数式 sin2(A+45° )+sin2(A-45° )的化简结果是______. 2 2 9.sin 1° +sin 2° +?+sin288° +sin289° =________.

)

π ? ?π ? sin?α-3π?+cos?π-α?+sin? ?2-α?-2cos?2+α? 10.已知 tan(3π+α)=2,则 =________. -sin?-α?+cos?π+α? 三、解答题 tan?2π-α?sin?-2π-α?cos?6π-α? 11.求证: =-tan α. 3π? ? 3π? ? α + α + sin? 2 ?cos? 2?

π ? cos?-5π-α?= 60 ,且π<α<π,求 sin α 与 cos α 的值. 12.已知 sin? ?-2-α?· ? 2 ? 169 4 2

能力提升 13.化简:sin? 4k-1 ? ?4k+1 ? ? 4 π-α?+cos? 4 π-α? (k∈Z).

π π? 14.是否存在角 α,β,α∈? ?-2,2?,β∈(0,π),使等式 π ? ? -β ?sin?3π-α?= 2cos? 2 ? ? ? 同时成立. ? ? 3cos?-α?=- 2cos?π+β? 若存在,求出 α,β 的值;若不存在,说明理由.

π 1.学习了本节知识后,连同前面的诱导公式可以统一概括为“k·± α(k∈Z)”的诱导公式.当 2 k 为偶数时,得 α 的同名函数值;当 k 为奇数时,得 α 的异名函数值,然后前面加一个把 α 看 成锐角时原函数值的符号. π 2.诱导公式统一成“k·± α(k∈Z)”后,记忆口诀为“奇变偶不变,符号看象限”. 2

§1.3

三角函数的诱导公式(二) 答案

知识梳理 1.(1)cos α sin α (2)cos α -sin α 2.异名 符号 作业设计 1 [f(cos 10° )=f(sin 80° )=cos 240° =cos(180° +60° )=-cos 60° =- .] 2 1 1 2.A [∵sin(3π+α)=-sin α=- ,∴sin α= . 2 2 7π 3 π 1 ? ? ? ? ? ∴cos? ? 2 -α?=cos?2π-α?=-cos?2-α?=-sin α=-2.] π ? 1 ?π ?π ?? ?π ? ? π? 3.A [cos? ?4+α?=sin?2-?4+α??=sin?4-α?=-sin?α-4?=-3.] π ? 4.C [∵sin(π+α)+cos? ?2+α?=-sin α-sin α=-m, 3 m 3 ? ∴sin α= .cos? ?2π-α?+2sin(2π-α)=-sin α-2sin α=-3sin α=-2m.] 2 π 3 3 +φ?=-sin φ= ,得 sin φ=- , 5.C [由 cos? 2 ? ? 2 2 π π 又∵|φ|< ,∴φ=- ,∴tan φ=- 3.] 2 3 6.D [sin(α-15° )+cos(105° -α) =sin[(75° +α)-90° ]+cos[180° -(75° +α)] =-sin[90° -(75° +α)]-cos(75° +α) =-cos(75° +α)-cos(75° +α) 2 =-2cos(75° +α)=- .] 3 1 7.- 3 π 7π π π 1 α+ ?=cos? +?α+12??=-sin?α+ ?=- . 解析 cos? 12 ? ? 12 ? ? ? ? ?2 ? 3 8.1 解析 原式=sin2(A+45° )+sin2(45° -A)=sin2(A+45° )+cos2(A+45° )=1. 89 9. 2 1.A 1 解析 原式=(sin21° +sin289° )+(sin22° +sin288° )+?+(sin244° +sin246° )+sin245° =44+ 2

89 = . 2 10.2 sin α tan α 2 解析 原式= = = =2. sin α-cos α tan α-1 2-1 tan?-α?· sin?-α?· cos?-α? 11.证明 左边= ?π ?? cos?2π-?π-α?? sin? ?2π-?2-α??· ? ?2 ?? ?-tan α?· ?-sin α?· cos α = ?π ?? ? ?π ?? sin? ?-?2-α??cos?-?2-α?? sin2α = π ? ?π ? -sin? ?2-α?cos?2-α? sin2α sin α = =- =-tan α=右边. cos α -cos α· sin α ∴原等式成立. π ? 12.解 sin? ?-2-α?=-cos α, 5π ? π ? ? cos? ?- 2 -α?=cos?2π+2+α?=-sin α. 60 120 ∴sin α· cos α= ,即 2sin α· cos α= . ① 169 169 又∵sin2α+cos2α=1, ② 2 289 ①+②得(sin α+cos α) = , 169 49 ②-①得(sin α-cos α)2= , 169 π π? 又∵α∈? ?4,2?,∴sin α>cos α>0, 即 sin α+cos α>0,sin α-cos α>0, 17 ∴sin α+cos α= , ③ 13 7 sin α-cos α= , ④ 13 12 5 ③+④得 sin α= ,③-④得 cos α= . 13 13 ?π ?? ? ?π ?? 13.解 原式=sin? ?kπ-?4+α??+cos?kπ+?4-α??. 当 k 为奇数时,设 k=2n+1 (n∈Z),则 ?π ?? ? ?π ?? 原式=sin? ??2n+1?π-?4+α??+cos??2n+1?π+?4-α?? ?π ?? ? ?π ?? =sin? ?π-?4+α??+cos?π+?4-α?? π ? ? π +α + -cos? -α?? =sin? 4 ? ? ? ?4 ?? π ? ?π ?π ?? =sin? ?4+α?-cos?2-?4+α?? π ? ?π ? =sin? ?4+α?-sin?4+α?=0; 当 k 为偶数时,设 k=2n (n∈Z),则 ?π ?? ? ?π ?? 原式=sin? ?2nπ-?4+α??+cos?2nπ+?4-α??

π ? ?π ? =-sin? ?4+α?+cos?4-α? π ?π ?π ?? ? =-sin? ?4+α?+cos 2-?4+α?

?

?

π π +α?+sin? +α?=0. =-sin? ?4 ? ?4 ? 综上所述,原式=0. ① ?sin α= 2sin β, 14.解 由条件,得? ? 3cos α= 2cos β. ② 2 2 2 ① +② ,得 sin α+3cos2α=2,③ 又因为 sin2α+sin2α=1,④ 1 2 由③④得 sin2α= ,即 sin α=± , 2 2 π π? π π 因为 α∈? ?-2,2?,所以 α=4或 α=-4. π 3 当 α= 时,代入②得 cos β= ,又 β∈(0,π), 4 2 π 所以 β= ,代入①可知符合. 6 π 3 当 α=- 时,代入②得 cos β= ,又 β∈(0,π), 4 2 π 所以 β= ,代入①可知不符合. 6 π π 综上所述,存在 α= ,β= 满足条件. 4 6


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